EQUAÇÕES e frações algébricas

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FEAMIG – FACULDADE DE ENGENHARIA DE MINAS GERAIS 
PROF. ALCIR GARCIA REIS 
EQUAÇÕES 
 
1- Resolva as seguintes equações polinomiais de primeiro grau: 
 
a) 5x = 4 
b) x + 1 = 8 
c) x – 5 = 7 
d) 2m – 4 = 7 
e) 
2
p - 5 = 4 
f) 3x + 5 = 2x – 1 
g) y + 2(y – 2) = y – 1 
i) 2 1 2
3 3 3
1x x x− + −+ =
 
 
2- Resolver as equações reais fracionárias seguintes e em cada caso determinar o 
domínio de validade e o conjunto solução: 
 
a) 3 1
1 1
x
x x
+ =+ − 
b) 3 2 2
3 5 2
1
3
x x
x x
− +=+ + 
 
c) 3 4
2
x
x
− =− 
d) 3 1
2 2
x
x
− =− 
 
e) 2 3
5 4
x
x
2
5
− =+ 
f) 1 2
3 3
x x
x x x
− = +− − 
g) 
2 7 3 0
2 2( 3) 3
x x x
x x
+ −+ + =− − 
h) 2 3 7 11
3 2
x
x
−⎛ ⎞
2
+ =⎜ ⎟+⎝ ⎠
 
EXERCÍCIOS DE PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
Se a e b são duas funções quaisquer, temos: 
 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
 
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
 
(a + b) (a - b) = (a - b) (a + b) = a2 - b2 
 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
 
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
 
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) 
 
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) 
 
 
 
 
 
 
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PROF. ALCIR GARCIA REIS 
 
1- Associando as regras dos produtos notáveis determine: 
 
a) (x + 5)2 
b) (2x – 1)2 
c) (3 + a)2 
d) (x + 3) (x – 3) 
e) (2m + 5) (2m – 5) 
f) (x + 4)3 
g) (4 + 3m)2 
h) (3a – 3b)(3a + 3b) 
i) (x – 2y)3 
j) (x2 – 3y)2 
k) (x2 + 2) (x2 – 2) 
l) 
2
2
2
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + x 
m) (a3 + 2b) (a3 – 2b) 
n) (a – 4ab)2 
o) (a + bc)2 
p) (2a – 3m)3 
q) (a3 – 2bc) (a3 + 2bc) 
r) 
2
6
5
4
3 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + ba 
s) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + acmacm
3
2
3
2 
t) 
2
32
3
12 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − aa 
u) (3x + 4)2 
v) (x + y)3 
w) 
2
3
4
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ − mna 
x) (1 – ab2) (1 + ab2) 
 
 
 
 
2- Fatorar as seguintes expressões algébricas: 
 
a) xy – x 
b) y2 + 2y +1 
c) ac + 2bc + ad + 2bd 
d) a2 – m2 
e) 2ab + 4ab2 – 6a2b 
f) a2 – 9 
g) a2 + ax + ab + bx 
h) 16a2 – 24ab + 9b2 
i) m2n2 – 1 
j) 25 – 80m + 64m2 
k) 12a3m – 6a2m + 18am 
l) 5ac – 10ab + 2c – 4b 
m) x4 – 1 
n) axx
2
1
2
1 2 − 
o) 36a2b2 + 60abc + 25c2 
p) a5 + a3 + a2 + 1 
q) 3x4 – 6x3 + 9x2 
r) x2y2 – 4xy + 4 
s) x4y4 – 
9
1 
t) a3b2 – a2b3 
u) 2an + n – 2am – m 
v) m2 – 14am + 49a2 
w) 12a4b2 + 18a3b3 
x) 100 – c2x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS SOBRE FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
 
1. Simplificando a expressão algébrica abaixo, obtêm-se: 
 
2
4
2
4
424
2
24
432
9
np d) 9) 
m
9n b) 
9
)
9
81
mm
npc
pnp
ma
nm
pnm
 
2. Simplificando a expressão algébrica abaixo, obtêm-se: 
 
 
 
2
2
2
3
22
3d
10abc d) 
3
10a c) 
3
10) 
3d
10abc a)
4
8.
3
5
b
cd
b
acdb
ab
dc
c
ba
45
34
54
43
54
43
54
3
3
3
32
2
3) 
3
m c) 3m b) 3mn a)
: vale quedizer se-pode então 
9
4
3
4mn
 Sendo 3.
qp
nmd
qp
n
qp
n
qp
m
nm
qp
qpm =
 
 
4. Se a e b são dois números reais e diferentes de zero, o resultado da expressão 
 b .a 
ab
2
a
1 2
2 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ + é: 
 
a) 2a + b b) 
b)(a a
b2a
+
+ c) 
ba
3
 2 d) ba
b
2 e) ab
b2a + 
 
 
5. Considere o conjunto , em que a expressão {0,1} - IR V =
2n
1 
n
21
n
1 -n 
n
1 - 1
 M
+−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
= . No 
conjunto V, a única expressão correspondente a M é: 
 
a) 1 b) n2 c) n + 1 d) 
1n
n
+ e) 21)(n
1
+ 
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6. Seja D o conjunto dos números reais para os quais a expressão 2
2
 x- 
x
1x
21
1) -(x 
+
−
 está 
definida. Nesse conjunto a expressão dada é igual a: 
 
a) x2 + 1 b) x c) 2x2 – 1 d) 0 e) 1 
 
 
 
7. Sejam as frações algébricas abaixo: 
 
bxb3a3ax
4b-4a-bxax -II
x2mxm2
1-x-mmx -I
+++
+
+++
+
As respostas são, respectivamente, 
 
 
8. Para os valores do domínio da expressão abaixo, o valor de p é: 
 
 
 
 
9. Depois de simplificada a expressão abaixo, para os valores de x pertencentes ao seu 
domínio, o valor obtido é: 
 
 
3x
4x;
2m
1md) 
3x
4x;
1m
2mc) ;
3x
4x;
1m
2mb) 
3x
4x;
2m
1m)a ++
−
−
+
+
−
+
− + + − +
− + +
22 −− aa
2
1) 
2-a
1-a c) 
2a
1a b) 
2-a
1a a)
12
4
1
2
2
2
+
−
+
++
+−
−
−=
a
ad
aa
a
ap
3-x
2-x d) 
3-x
2x c) 
3-x
2-xb) 
3
2)
43
23.
32
45
2
2
2
2
+
+
+
−−
++
−+
+−
x
xa
xx
xx
xx
xx
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EQUAÇÕES 
 
1- 
 
a) 4
5
 
b) 7 
c) 12 
d) 11
2
 
e) 18 
f) - 6 
g) 3
2
 
i) Infinitas soluções
 
 
 
2- 
 
a) domínio R-{-1;1}, solução -2 
 
b) domínio R -{- 5
3
; 3
2
}, solução 
8
11− 
 
c) domínio R -{2}, solução 11
5
 
 
d) domínio R -{2}, solução 4 
 
e) domínio R -{ 4
5
− }, solução Ø 
 
f) domínio R -{0;3}, solução 1
2
 
 
g) domínio R -{3}, solução Ø 
 
h) domínio R -{-2}, solução 2
 
EXERCÍCIOS DE PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
1- 
 
a) x2 + 10x + 25 
b) 4x2 - 4x + 1 
c) 9 + 6a + a2 
b) x2 – 9 
c) 4m2 – 25 
d) x3 + 12x2 + 48x + 64 
e) 16 + 24m + 9m2 
f) 9a2 – 9b2 
g) x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 
h) x4 – 6x2y + 9y2 
i) x4 – 4 
j) 42
4
1 xx ++ 
k) a6 – 4b2 
l) a2 – 8a2b + 16a2b2 
m) a2 + 2abc + b2c2 
n) 8a3 – 36a2m + 54am2 – 27m3 
o) a6 – 4b2c2 
p) 22
36
25
12
15
16
9 baba ++ 
q) 222
9
4 cam − 
r) 654
9
1
3
44 aaa +− 
s) 9x2 + 24x + 16 
t) x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 
u) 2236
16
1
2
1 nmmnaa +− 
v) 1 – a2b4
 
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3- Fatorar as seguintes expressões algébricas: 
 
a) x(y – 1) 
b) (y + 1)2 
c) (a + 2b)(c + d) 
d) (a + m)(a – m) 
e) 2ab(1 + 2b – 3a) 
f) (a + 3)(a – 3) 
g) (a + x)(a + b) 
h) (4a – 3b)2 
i) (mn + 1)(mn – 1) 
j) (5 – 8m)2 
k) 6am(2a2 – a + 3) 
l) (c – 2b)(5a + 2) 
m) (x2 + 1)(x2 – 1) 
n) ( )axx −
2
1 
o) (6ab + 5c)2 
p) (a2 + 1)(a3 + 1) 
q) 3x2(x2 – 2x + 3) 
r) (xy – 2)2 
s) (x2y2 + 
3
1 )(x2y2 – 
3
1 ) 
t) a2b2(a – b) 
u) (2a + 1)(n – m) 
v) (m – 7a)2 
w) 6a3b2(2a + 3b) 
x) (10 + cx)(10 – cx)
 
EXERCÍCIOS SOBRE FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
 
1. c 
2. b 
3. b 
4. a 
5. c 
6. e 
7. a 
8. d 
9. a