Dica Matemática AFA

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AFA – Resumo Teórico 
Matemática 
 
 
 
 
 
 
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 RESUMO TEÓRICO – MATEMÁTICA – AFA 2007/2008 
 
1 
 
MATEMÁTICA – FRENTE 1 
 
CONJUNTOS 
 
1 - Noções Básicas 
 
Conjunto: é uma coleção de elementos. 
a) vazio: não possui elementos 
b) unitário: possui um único elemento 
c) universo: conjunto que possui todos os elementos 
 
Relação de pertinência: se x é um elemento do conjunto A Ax∈⇒ . 
Caso contrário, Ax∉ . 
 
Subconjunto: se todos os elementos de um conjunto A pertencem a 
um conjunto B então A é subconjunto de B, ou seja, BA ⊂ . 
 
Operações com conjuntos: 
a) união: }BxouAx,x{BA ∈∈=∪ 
b) intersecção: }BxeAx,x{BA ∈∈=∩ 
c) diferença: }BxeAx,x{BA ∉∈=− 
 
Complementar: se BA ⊂ então o complementar de A com relação à 
B é o conjunto ABCBA −= . 
 
União de dois conjuntos: )BA(n)B(n)A(n)BA(n ∩−+=∪ 
 
Conjunto das partes: dado um conjunto A, o conjunto das partes de 
A, P(A), é o conjunto de todos os possíveis subconjuntos de A. Se A 
possui n elementos, então P(A) possui 2n elementos. 
 
2 – Conjuntos Numéricos 
 
Números naturais: N = {0, 1, 2, 3, ...} 
 
Números inteiros: Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} 
 
Números racionais: Q = {a/b, com a,b ∈ Z e b ≠ 0} 
Obs: o conjunto dos números racionais é formado por todas as frações 
e por dízimas periódicas. 
 
Números irracionais: são todos os números que não podem ser 
escritos como uma fração de dois números inteiros. É o conjunto I. 
Obs: todas as dízimas não-periódicas são irracionais. 
 
Números reais: R = {x, x é racional ou x é irracional}. 
 
TEORIA BÁSICA DE FUNÇÕES 
 
Definição: dados dois conjuntos A e B, uma relação f:A→B é 
chamada função quando associa a cada elemento de A um único 
elemento de B. O domínio de f é o conjunto A, o contra-domínio de f é 
o conjunto B e a imagem de f é o subconjunto de B formado por todos 
os elementos que estão em correspondência com os elementos de A. 
 
Classificações 
a) sobrejetora: conjunto-imagem = contradomínio. 
b) injetora: se x1,x2 ∈A, com x1≠x2, então f(x1)≠f(x2). 
c) bijetora: função injetora e sobrejetora 
d) função par: f(x) = f(-x) 
e) função ímpar: f(x) = -f(-x) 
obs: existem funções que não são nem pares nem ímpares. 
 
Função composta: chama-se função composta, ou função de uma 
função, à função obtida substituindo-se a variável independente x por 
uma outra função. 
 
Função inversa: se f:A→B é uma função bijetora, então existe uma 
função f-1:B→A tal que se f(x)=y ⇒ f-1(y)=x. 
Obs: para determinar a função inversa, escreve-se y = f(x), e troca-se 
x por y e y por x na expressão. Isolando-se y obtemos então a 
expressão da função inversa de f. 
 
Função composta com a inversa: se f é uma função inversível então 
x)x)(ff( 1 =−? . 
 
 
 
 
FUNÇÕES E EQUAÇÒES 
 
1- Função do 1o grau 
 
Definição: f(x) = a.x + b, com a ≠ 0. Seu gráfico sempre é uma reta. 
 
Função crescente 
 
Função decrescente 
Zero da função do 1o grau: valores onde f(x) = 0. 
a
bx0bax −=⇒=+ 
 
2- Função do 2o grau 
 
Definição: f(x) = a.x2 + b.x + c, com a ≠ 0. Seu gráfico é uma 
parábola. 
 
Zeros da função do 2o grau: ax2+bx+c=0 
a.2
bx
c.a.4b2
Δ±−=
−=Δ
 
Aqui, temos: 
a) se ∆>0: duas raízes reais (o gráfico de f corta o eixo x em dois 
pontos distintos). 
b) se ∆=0: uma raiz real (o gráfico de f tangencia o eixo x) 
c) se ∆<0: duas raízes complexas conjugadas (o gráfico de f não 
passa pelo eixo x). 
Vértice: ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ Δ−−
a4
;
a2
b . 
 
3- Função modular 
 
Definição: f(x) = |x| 
 
⎩⎨
⎧
<−
≥=
0xx
0xx
xf
,
,
)( 
Equação modular: uma equação modular é uma equação do tipo 
)x(g)x(f = , onde f(x) e g(x) são funções. Para resolver tais equações 
esse tipo de equações devemos estudar o sinal de f e aplicar a 
definição de módulo: 
⎩⎨
⎧
<−
≥=
0)x(fquando),x(f
0)x(fquando),x(f
)x(f 
⎩⎨
⎧
<=−
≥=⇒=
0)x(fquando),x(g)x(f
0)x(fquando),x(g)x(f
)x(g)x(f 
 
4- Função exponencial 
 
Definição: f(x) = ax, onde a é constante positiva. 
a) a > 1 
 
f é crescente 
x2>x1 ⇒ y2>y1 
Imagem = IR+ 
 
b) 0<a<1 
 
f é decrescente 
x2>x1 ⇒ y2<y1 
Imagem = IR+ 
 
 
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Equação exponencial: são equações que possuem termos com 
expoentes. Observe que se a > 0 então é impossível existir solução 
para a equação ax = 0. 
 
5- Função logaritmo 
 
Logaritmo: se a > 0, a ≠ 1 e b > 0 então baxblog xa =⇔= . 
Propriedades dos logaritmos 
1) clogblogc.blog aaa += 2) blog.mblog ama = 
3) clogblog
c
blog aaa −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 4) 
alog
blog
blog
c
c
a = 
Definição: f(x) = loga x. 
a) a>1: 
 
f é crescente 
Imagem = IR 
Domínio = IR+ 
b) 0<a<1: 
 
f é decrescente 
Imagem = IR 
Domínio = IR+ 
Condição de existência do logaritmo: a função log só existe quando 
a base é positiva e diferente de 1 e quando x > 0. 
Equação logarítmica: equação do tipo )x(g)x(floga = . Deve ser 
resolvida a partir das propriedades de logaritmos. 
Observação: resolver uma equação é o mesmo que encontrar os 
zeros de uma função. Normalmente, as equações são mistas, ou seja, 
são misturas de várias funções diferentes, o que torna difícil montar 
um modo de resolução específico para cada equação. 
 
SEQÜÊNCIAS 
 
1- Progressão aritmética 
 
Definição: seqüência na qual a diferença entre dois termos 
consecutivos é sempre constante. 
Termo geral: r).1n(aa 1n −+= 
Soma dos n primeiros termos: 1( ).
2
n
n
a a nS += 
 
2- Progressão geométrica 
 
Definição: seqüência na qual o quociente entre dois termos 
consecutivos é sempre constante. 
Termo geral: 1n1n qaa
−= 
Soma dos n primeiros termos: 1(1 )
1
n
n
a qS
q
−= − 
 
NÚMEROS COMPLEXOS 
 
Definição: são todos os números na forma z = a + b.i, com a,b ∈ IR e 
i é a unidade imaginária, com i2 = -1. Também são representados na 
forma z = (a, b), como um par ordenado de números reais. 
Obs: se b = 0, o número z é um número real; se a = 0 e b ≠ 0, o 
número z é chamado imaginário puro. 
 
Conjugado: i.baz −= 
 
Módulo: 2 2| |z a b= + 
 
Forma trigonométrica: )sen.i.(coszz α+α= 
Obs: o ângulo α é chamado argumento do número complexo, e é 
medido a partir do eixo real no sentido anti-horário. 
 
Forma exponencial: α= ie.zz 
 
Operações com números complexos 
Sejam z1 = a + b.i e z2 = c + d.i: 
22
21
2
1
21
21
21
z.z
z.z
z
z
i)bcad()bdac(zz
i).db()ca(zz
i).db()ca(zz
=
++−=
−+−=−
+++=+
 
dica: use a propriedade distributiva na multiplicação 
Multiplicação e divisão na forma trigonométrica 
)sen.i(coszz
)sen.i(coszz
β+β=
α+α=
22
11 
)](sen.i).[cos(
z
z
z
z
)](sen.i).[cos(z.zz.z
β−α+β−α=
β+α+β+α=
2
1
2
1
2121
 
Potenciação e radiciação: se z = |z|.(cos θ+ i. sen θ) e n é um 
número inteiro então: 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π+θ+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ π+θ=
θ+θ=
n
ksen.i
n
kcos.zz
)]n(sen.i)n[cos(zz
nn
nn
22
 
Obs: encontrar a raiz n-ésima de um número complexo z é resolver a 
equação rn = z. Essa equação é de grau n, logo, possui n raízes. 
Assim, fazendo k = 0, 1, 2, ..., n - 1 na equação acima, encontramos, 
para cada k, uma raiz diferente. 
 
POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 
 
Definição de polinômio: seja n um número natural. Um polinômio de 
grau n é toda expressão do tipo 
n
nxaxaxaaxP ++++= ...)( 2210 , 
onde os valores a0, a1, ..., an são constantes. 
 
Polinômios idênticos: dois polinômios são idênticos quando seus 
termos correspondentes são iguais. 
Polinômio identicamente nulo: um polinômio é identicamente nulo 
quando P(x) = 0, independente do valorde x. Nesse caso, todos os 
coeficientes de P são nulos. 
Equação polinomial ou algébrica: uma equação algébrica é um 
polinômio igualado a zero, ou seja: 
0...2210 =++++ nn xaxaxaa . 
Assim, resolver uma equação algébrica é o mesmo que encontrar as 
raízes de um polinômio. 
Teorema fundamental da álgebra: se P(x) é um polinômio de grau n 
então ele possui n raízes (reais ou complexas), e pode ser fatorado em: 
))...()(()( 21 nn rxrxrxaxP −−−= 
onde r1, ..., rn são as n raízes desse polinômio. 
Teorema das raízes complexas: se P(x) é um polinômio com 
coeficientes reais e o número complexo a + b.i é raiz de P(x) então 
seu conjugado a – b.i também é raiz. 
Divisão de polinômios: dividir um polinômio P(x) por um polinômio 
D(x) significa encontrar dois polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto) 
que satisfaçam a condição P(x) = Q(x).D(x) + R(x). 
)( R(x) 
 D(x) )( 
xQ
xP
 
Dispositivo prático de Briot-Ruffini: receita de bolo para a divisão de 
P(x) por (x-a): 
..... 1
011
−
−
+ nnn
nn
aaaa
aaaaa ?
 
Passo 1: escrever todos os coeficientes ordenadamente, conforme o 
esquema acima; 
Passo 2: copia-se o primeiro coeficiente; 
Passo 3: multiplica-se o primeiro coeficiente pela raiz e soma-se com o 
segundo coeficiente; 
Passo 4: faz-se a mesma coisa com o número obtido no passo 
anterior, até o último coeficiente; 
Passo 5: o último número obtido é o resto da divisão, enquanto os 
outros são os coeficientes do polinômio Q(x). 
Teorema do resto: o resto da divisão de P(x) por (x-a) é igual a P(a). 
Teorema das raízes racionais: seja P(x) um polinômio de grau n com 
coeficientes inteiros. Se P adimite uma raiz racional p/q, com p e q 
primos entre si, então p é divisor de a0 e q é divisor de an. 
Relações de Girard 
a) ax2+bx+c=0 b) ax3+bx2+cx+d=0 
a
cP
a
bS =−=
 a
dP
a
cS
a
bS −==−= 2
 
c) anxn +an-1xn-1 +...+a1x +a0=0 
n
n
n
pnp
p
n
n
n
n
a
a
P
a
a
S
a
a
S
a
a
S
0
2
2
1
)1(
)1(
−=
−==−= −−− ?
 
Obs: aqui, Sp indica a soma dos produtos das raízes tomadas p a p. 
 
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MATEMÁTICA – FRENTE 2 
 
MATEMÁTICA BÁSICA 
 
1- Potenciação 
 
Definição: seja n um número inteiro diferente de zero. Assim, dado 
um número real a, temos ???????
vezesn
n a...aaa ×××= . 
Propriedades 
1) se 1a0a 0 =⇒≠ 
2) n
n
a
1a =− 
3) nnn b.a)b.a( = 
4) n
nn
b
a
b
a =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
5) mnmn aa.a += 
6) mnm
n
a
a
a −= 
7) m.nmn a)a( = 
 
2- Radiciação 
 
Definição: radiciação é a operação inversa da potenciação. Assim, se 
n é um inteiro tal que n > 1, temos: 
nn abab =⇒= 
Propriedades 
1) nn
1
aa = (raiz escrita na forma de potência) 
2) n mp.n p.m aa = 
3) nnn b.ab.a = 
4) nmm n a = a ⋅ 
 
Racionalização de denominadores: a racionalização de 
denominadores consiste em transformar um denominador irracional, 
indicado por um radical, em um denominador racional, sem alterar sua 
fração. 
1 11) .
n nn p n p
n n np p n p
a a
aa a a
− −
−= = 
( ) ( )2 2
1 1 b 2) = = = 
a - b a - b a - 
a b a a b
a bb a b
+ + +⋅ −+
 
( ) ( )2 2
1 1 - - b - 3) = = = 
a + b a + b a - - 
a b a a b
a bb a b
⋅ − 
 
3- Produtos Notáveis 
2 2
2 2 2
2 2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
3 3 2 2
3 3 2 2
( )( )
( ) 2. .
( ) 2. .
( ) 3. . 3. .
( ) 3. . 3. .
( )( )
( )( )
a b a b a b
a b a a b b
a b a a b b
a b a a b a b b
a b a a b a b b
a b a b a ab b
a b a b a ab b
− = + −
+ = + +
− = − +
+ = + + +
− = − + −
− = − + +
+ = + − +
 
 
4- Aritmética 
 
Teorema fundamental da aritmética: todo número inteiro pode ser 
decomposto como produto de seus fatores primos. 
Máximo divisor comum: maior número inteiro que divide 
simultaneamente uma série de números dados. 
Mínimo múltiplo comum: menor número que é múltiplo 
simultaneamente de uma série de números dados. 
Propriedade: )b;a(mmc).b;a(mdcb.a = 
 
5- Regra de Três 
 
Grandezas diretamente proporcionais: duas grandezas são 
diretamente proporcionais quando, aumentando-se ou diminuindo-se 
uma delas, a outra aumenta ou diminui na mesma proporção. 
X K
Y
= 
Grandezas inversamente proporcionais: duas grandezas são 
inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra 
diminui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra 
aumenta na mesma proporção. 
KY.X = 
 
Regra de três simples direta: uma regra de três simples direta é uma 
forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais. 
Z
WK
Y
X ==
Z
W.YX
Z
W
Y
X =⇒=⇒ 
 
Regra de três simples inversa: uma regra de três simples inversa é uma 
forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais. 
D.CKB.A == 
B
C
D
AD.CB.A =⇒= 
 
Regra de três composta: regra de três composta é um processo que 
relaciona grandezas diretamente proporcionais, inversamente 
proporcionais ou uma mistura dessas situações 
 
Situação Grandeza 1 
Grandeza 
2 ........... 
Grandeza 
n 
1 A1 B1 ........... X1 
2 A2 B2 ........... X2 
 
Aqui, temos dois casos: 
1) se todas as grandezas são diretamente proporcionais à grandeza n, 
basta resolvermos a proporção: 
.....2D.2C.2B.2A
.....1D.1C.1B.1A
2X
1X =
 
2) se algumas das grandezas são inversamente proporcionais à grandeza 
n, basta invertermos a posição dessa grandeza. Suponha, por exemplo, 
que a grandeza 2 é inversamente proporcional à grandeza n: 
.....2D.2C.1B.2A
.....1D.1C.2B.1A
2X
1X = 
 
6- Matemática financeira 
Aqui, j simboliza juros, i simboliza a taxa de juros, t é o tempo, C é o 
capital aplicado e M é o montante final (capital + juros). 
Juros Simples: somente o capital inicial aplicado rende juros. 
jCt.i.cCM
t.i.Cj
+=+=
=
 
Juros Compostos: após cada período, os juros são incorporados ao 
capital, proporcionando juros sobre juros. 
CMj
)i1.(CM t
−=
+=
 
 
BINÔMIO DE NEWTON 
 
Fatorial: 1.2)...2)(1(! −−= nnnn 
Obs: 0! = 1 e 1! = 1 
 
Número binomial: 
)!pn(!p
!n
p
n
−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 
Triângulo de Pascal: 
?????
14641
1331
121
11
1
 
Obs: a soma dos elementos da linha n é igual a n2 . 
 
Relação de Stifel: ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
+
+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
1p
1n
1p
n
p
n
 
 
Binômios de Newton: são todas as potências da forma (a+b)n, com n 
natural. 
iin
n
i
n ba
i
n
ba −
=
∑ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=+
0
)(
 
 
Termo geral do binômio 
ppn
p bap
n
T −+ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=1
 
 
 
 
 
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4 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
Permutações: 
!nPn = 
Permutações circulares: 
)!1( −= nPn 
Permutações com elementos repetidos: 
!...!.
!,...,
ba
nP ban =
 
Arranjos: 
)!(
!
, pn
nA pn −=
 
Combinações: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=−= p
n
pnp
nC pn )!(!
!
,
 
 
PROBABILIDADE 
 
Espaço amostral: conjunto de todos os resultados possíveis de um 
determinado experimento. O total de elementos do espaço é dado por 
n(E). 
Evento: qualquer subconjunto do espaço amostral. O número de 
elementos de um evento A é dado por n(A). 
Definição de probabilidade: a probabilidade de um determinado 
evento A acontecer é: 
⎩⎨
⎧
−
−=
amostralespaçoE
eventoA
onde
)E(n
)A(n)A(P
 
Probabilidade condicional: probabilidade de um evento A ocorrer, 
dado que um outro evento B ocorreu antes. Aqui, como B já ocorreu, 
ele se torna nosso novo espaço amostral. Assim: 
)(
)(
)(
)()/(
Bp
BAp
Bn
BAnBAp ∩=∩= 
União de eventos: 
)BA(p)B(p)A(p)BA(p∩−+=∪
 
Eventos independentes: dois eventos A e B são independentes 
quando a ocorrência de A não interfere na ocorrência de B. Nesse 
caso, temos )B(p).A(p)BA(p =∩ . 
Eventos mutuamente excludentes: dois eventos A e B são 
mutuamente excludentes quando a ocorrência de A faz com que o 
evento B não aconteça, e vice-versa. Nesse caso, temos 0)BA(p =∩ 
e )B(P)A(p)BA(p +=∪ . 
 
TRIGONOMETRIA 
 
Trigonometria no triângulo retângulo 
 
 opostocatetoseno
hipotenusa
= , 
 cos cateto adjacenteseno
hipotenusa
= 
 oposto
 
catetotagente
cateto adjascente
= 
Lei dos Senos 
 
R2
Csen
c
Bsen
b
Asen
a === ∧∧∧ 
Lei dos Cossenos 
 
a2 = b2 + c2 – 2bc . cos 
∧
A 
 
Principais relações trigonométricas 
2 2cos 1sen α α+ = 
( ) .cos cos . .sen sen senα β α β α β+ = + 
( ) cos .cos . .cos sen senα β α β α β+ = − 
( )
1 .
tg tgtg
tg tg
α βα β α β
++ = − 
. . 2. . .cos.
2 2
p q p qsen p sen q sen + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
. . 2.cos .cos.
2 2
p q p qcos p cos q + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
MATRIZES 
 
Definição: uma matriz n x m é uma tabela numérica com n linhas e m 
colunas. Se m = n, a matriz é chamada quadrada de ordem n. 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
nmn
m
aa
aa
A
?
???
?
1
111
 
 
Multiplicação por um número: seja x um número qualquer. Quando 
fazemos x.A, multiplicamos todos os elementos de A por x: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=⇒
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
nmn
m
nmn
m
axax
axax
Ax
aa
aa
A
..
..
.
1
111
1
111
?
???
?
?
???
?
 
 
Soma de matrizes: quando A=(aij) e B=(bij) são matrizes de mesma 
ordem (n x m), então: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
++
++
=+
nmnmnn
mm
baba
baba
BA
?
???
?
11
111111
 
 
Multiplicação de matrizes: para que exista o produto de duas 
matrizes A e B, o número de colunas de A tem de ser igual ao número 
de linhas de B. Se C = A.B, então: 
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
++++
++++
=
nnnnnnnnn
nnnnnn
babababa
babababa
C
........
.........
1111111
1111111111
?
???
?
 
Obs: se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a 
matriz produto C tem ordem m x q. 
 
Matriz inversa: dada uma matriz quadrada A, dizemos que a possui 
uma inversa quando existe B de mesma ordem tal que A.B = B.A = I. 
Nesse caso, B = A-1. 
Matriz transposta (At): matriz formada trocando-se as linhas pelas 
colunas e vice-versa. 
Matriz simétrica: uma matriz é chamada simétrica quando A = At. 
Matriz anti-simétrica: uma matriz é chamada anti-simétrica quando 
A = - At. 
 
DETERMINANTES 
 
Menor complementar: chamamos de menor complementar relativo a 
um elemento aij de uma matriz M, quadrada e de ordem n>1, o 
determinante Dij , de ordem n - 1, associado à matriz obtida de M 
quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij. 
 
Cofator ou complemento algébrico: número relacionado com cada 
elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n dado por Aij = (-1)i+j .Dij. 
 
Teorema de Laplace: O determinante de uma matriz M, de ordem 
n≥2, é a soma dos produtos de uma fila qualquer (linha ou coluna) 
pelos respectivos cofatores. 
 
Cálculo do determinante para ordens 1 e 2 ( )
bcad
dc
ba
A
dc
ba
A
aaAaA
−==⇒⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
==⇒=
det
det
 
Propriedades 
1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. 
2) det(A) = det(At). 
3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero, é 
nulo. 
4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele 
muda de sinal. 
5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais é 
nulo. 
6) det(A-1) = 1/det A. 
7) det(A.B) = det A.det B 
8) se A é matriz quadrada de ordem n e k é real então det(k.A) = kn. det A 
 
Existência da matriz inversa: Uma matriz A só possui inversa se tem 
determinante não-nulo. 
 
 
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5 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
Sistemas lineares: são sistemas de equações onde o maior expoente 
é 1: 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...
...
2211
22222121
11212111
?????
 
A solução de um sistema linear é uma n-upla (r1, r2, ..., rn) que satisfaz 
as m equações acima. 
 
Forma matricial 
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
nnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
??????
2
1
2
1
21
22221
11211
...
...
...
 
 
Sistema Homogêneo: o sistema é chamado homogêneo quando 
b1=b2=...=bn=0. 
 
Classificação de sistemas lineares 
a) possível e determinado: só possui 1 solução; 
b) possível e indeterminado: possui infinitas soluções; 
c) impossível: não possui soluções. 
Obs: se m≠n, o sistema jamais será possível e determinado. 
 
Sistemas equivalentes: sistemas que possuem o mesmo conjunto-
solução. 
 
Propriedades: 
1) trocando de posição as equações de um sistema, obtemos outro 
sistema equivalente; 
2) multiplicando uma ou mais equações de um sistema por um número 
real K≠0 obtemos um sistema equivalente ao anterior. 
 
Escalonamento: método para resolver sistemas lineares de qualquer 
ordem. Para escalonar um sistema adotamos o seguinte 
procedimento: 
a) Fixamos como 1º equação uma das que possuem o coeficiente da 
1º incógnita diferente de zero. 
b) Utilizando as propriedades de sistemas equivalentes, anulamos 
todos os coeficientes da 1ª incógnita das demais equações. 
c) Repetimos o processo com as demais incógnitas, até que o sistema 
se torne escalonado. 
 
MATEMÁTICA – FRENTE 3 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
1- Triângulos 
 
Teorema de Tales 
 r//s//t 
 
EF
DE
BC
AB = 
Semelhança de Triângulos 
 
⇔ΔΔ '''~ VBAABC
 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==
=
=
=
⇔
∧∧
∧∧
∧∧
'c
c
'b
b
'a
ae
'CC
'BB
'AA
 
 
Razão entre linhas homólogas: admitindo que k é a razão de 
semelhança, temos: 
ΔABC~ΔA’B’C’ 
k
'c'b'a
cba
'm
m
'h
h
'c
c
'b
b
'a
a =++
++===== ?
 
 
 
 
Teorema fundamental 
 
ABC~ADEBC//DE ΔΔ⇒ 
 
Base média do triângulo 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=
2
BCMN
BC//MN
NCAN
e
BMAM
 
 
Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
 
a2 = b2 + c2 
b2 = a . n 
c2 = a . m 
b . c = a . h 
h2 = m . n 
 
Área do Triângulo 
 
 
2
h.aS = 
 
 
2
α sencbS ••= 
 
 
( )( )( )cpbpappS −−−= ; 
2
cbap ++= 
 
 
R4
abcS = 
a,b,c – lados do triângulo 
R - raio da circunferência circunscrita 
 
rp
2
rcbaS .).( =++= 
a,b,c – lados do triângulo 
p – semiperímetro 
r – raio da circunferência inscrita 
 
2- Quadriláteros 
 
Base média do trapézio 
 
2
ba
MN
+= 
 
Área dos Paralelogramos: a área de qualquer paralelogramo é dada por: 
S = (base) . (altura) 
Paralelogramo Qualquer 
 
S = a • h 
Retângulo 
 
SR = a • b 
Losango 
 
..
2
D dS h= =? 
 
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6 
 
Quadrado 
 
 
2S ?= 
Trapézio 
 
2
h).ba(
S
+= 
 
Área do Círculo e de Suas Partes 
Obs: O comprimento da circunferência é dado por S = 2πr 
Círculo 
 
S = πr2 
Coroa Circular 
 
S = π.(R2 – r2) 
Setor Circular 
 
2
o
r
360
S π•α=
2
r
S
•= ?
 
 
Áreas de Figuras Semelhantes 
Se, em duas figuras semelhantes, a razão entre as linhas homólogas é 
igual a k, a razão entre as áreas éigual a k2. 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
Ponto Médio e Distância de Dois Pontos 
 
2
A B
M
x xx += 
2
ba
m
yyy += 
( ) ( )2BA2BAAB YYXXd −+−= 
 
Equação Da Reta - Coeficiente Angular 
 
m = tg θ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ π≠θ
2 
BA
BA
XX
YY
m −
−= 
Formas da Equação da Reta 
 
Equação geral: ax+by+c=0 
Equação reduzida: y = mx + q 
m é o coeficiente angular 
q é o coeficiente linear 
1
1 0
1
A A
B B
x y
x y
x y
= 
 
 
 
Distância de Ponto a Reta 
 
( )
0 0
, 2 2p r
ax by c
d
a b
+ += +
 
 
Retas Paralelas 
 
r// s ⇒ mr = ms 
 
Retas Perpendiculares 
 
mr.ms= -1 
 
 
Equação Da Circunferência 
 
(x – xc)2 + (y – yc)2 = r2 
 
Obs: uma equação redutível à forma x2 + y2 + αx + βy + γ representa 
uma circunferência de centro C = (xC; yC) e raio r, onde 
γyxr e 
2
β y,
2
αx 2C
2
CCC −+=−=−= , desde que 0
2
cy
2
cx >γ−+ 
 
Área do Triângulo 
 
2
SABC
Δ= , onde 11
1
A A
B B
C C
x y
x y
x y
Δ = 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
1- Prismas 
 
Cubo 
 
3ad = 
Área Total = 6a2 
V = a3 
 
 
Paralelepípedo reto retângulo 
 
Área Total = 2(ab+bc+ac) 
V = abc 
2c2b2ad ++= 
 
Prisma regular: o prisma regular é reto e sua base é um polígono 
regular. O volume de qualquer prisma é dado pela fórmula: 
 
V = (área da base).(altura) 
 
2- Piramides 
 
Volume: o volume de qualquer pirâmide é dado por 
)altura).(basedaárea(
3
1V = 
Pirâmide regular: a base é um 
polígono regular e a projeção 
ortogonal do vértice sobre a base é o 
centro da mesma. 
 
 
Tetraedros notáveis 
 
Tetraedro tri-retângulo 
 
Tetraedro regular (todas as arestas 
são congruentes) 
3- Cilindro 
 
Cilindro oblíquo (g – geratriz) 
 
Cilindro reto 
 
Volume: o volume de qualquer cilindro é dado pela fórmula: 
V = (área da base).(altura) 
Obs: de um cilindro circular reto é possível calcular a área lateral e a área 
total: 
St = 2πrh St = 2πr(h + r) 
 
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4- Cone 
 
Cone oblíquo Cone reto 
Volume: o volume de qualquer cone é dado por: 
)altura).(basedaárea(
3
1V = 
Área lateral: num cone reto, a planificação da superfície lateral é um 
setor circular cujo raio é a geratriz. 
 
Área lateral = πrg 
Área Total = πr(g + r) 
g
r2π=θ (θ em radianos) 
 
5- Esfera 
 
área = 4πr2 
3
E r3
4V π= 
 
6- Sólidos semelhantes 
São sólidos que possuem lados homólogos (correspondentes) 
proporcionais. A razão de semelhança k entre esses sólidos é a razão 
entre dois elementos lineares homólogos. Assim: 
2 31 1
2 2
A Vh k k k
H A V
= = =
 
Onde: 
h, A1, V1 – altura, área, volume do menor sólido; 
H, A2, V2 – altura, área, volume do maior sólido. 
 
7- Relação de Euler: V – A + F = 2