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Segundo Teorema Fundamental e A´reas 335 1. A descoberta de Gregory e Sarasa sobre a´rea 335 2. Segundo Teorema Fundamental do Ca´lculo 336 3. Regio˜es entre dois gra´ficos 337 4. Um problema da Putnam Competition, n. 54, 1993. 340 5. Integral e centro de gravidade 343 6. Arquimedes e a para´bola: prova versus heur´ıstica 345 7. Exerc´ıcios 348 Cap´ıtulo 24. Integrac¸a˜o por partes 353 1. Exerc´ıcios 356 Cap´ıtulo 25. Integrac¸a˜o por substituic¸a˜o 359 1. A substituic¸a˜o trigonome´trica x = sin(θ) 362 2. A´reas do C´ırculo e Elipse 363 3. ∫ √ r2 − x2 dx 365 4. Mais exemplos da substituic¸a˜o x = sin(θ) 365 5. Substituic¸a˜o trigonome´trica x = tan(θ) 367 6. Mais exemplos da substituic¸a˜o x = tan(θ) 367 7. ∫ √ r2 + x2 dx 369 8. Substituic¸a˜o trigonome´trica x = sec(θ) 369 9. Mais exemplos para a substituic¸a˜o x = sec(θ). 370 10. ∫ √ x2 − r2 dx 371 11. E as da forma ∫ 1√ Ax3+Bx2+Cx+D dx ? 371 12. Exerc´ıcios 371 Cap´ıtulo 26. Integrac¸a˜o de func¸o˜es racionais 373 1. ∫ (ax2 + bx+ c)−1 dx 373 2. ∫ αx+β ax2+bx+c dx 375 3. ∫ 1 Ax3+Bx2+Cx+D dx 377 4. Frac¸o˜es parciais em geral 380 5. ∫ 1 (1+x2)n dx, n ≥ 2 383 6. Exemplos 384 7. Exerc´ıcios 387 Cap´ıtulo 27. Integrais impro´prias 389 1. Um problema da Putnam Competition, n. 2, 1939 391 8 I´NDICE 2. As primeiras Transformadas de Laplace, a func¸a˜o Gama e o fatorial 392 3. Fo´rmula de Euler para o fatorial 396 4. Exerc´ıcios 396 Cap´ıtulo 28. A curvatura dos gra´ficos 397 1. O comprimento de um gra´fico 397 2. Um problema da Putnam Competition, n.2, 1939 399 3. Curvas parametrizadas e seu vetor velocidade 399 4. Integrais que ningue´m pode integrar 401 5. Velocidade de um gra´fico ou de uma curva 402 6. Definic¸a˜o de curvatura e sua fo´rmula 403 7. Qual a curvatura de uma quina ? 405 Cap´ıtulo 29. Se´ries convergentes 409 1. Se´ries k-harmoˆnicas, k > 1. 409 2. A se´rie geome´trica 411 3. O teste da raza˜o (quociente) 412 4. Um argumento geome´trico para a se´rie geome´trica 414 Cap´ıtulo 30. Aproximac¸a˜o de Nu´meros e Func¸o˜es importantes 415 1. Aproximac¸o˜es de ra´ızes quadradas por nu´meros racionais 415 2. Ra´ızes quadradas que sa˜o irracionais 415 3. Como tirar ra´ız quadrada so´ com +,−,×, / 416 4. Os Reais atrave´s de sequeˆncias de nu´meros Racionais 418 5. Aproximac¸o˜es de e por nu´meros Racionais 419 6. Arcotangente e cartografia 421 7. A aproximac¸a˜o de pi dada por Leibniz 423 8. Aproximac¸o˜es de logaritmos 425 9. Aproximac¸a˜o de logaritmos de nu´meros quaisquer 426 10. Aproximac¸a˜o de ln(2) 428 11. Exerc´ıcios 428 Cap´ıtulo 31. Se´ries nume´ricas e de func¸o˜es 429 1. Se´ries nume´ricas 429 2. Se´ries de poteˆncias 431 3. Se´ries de Taylor e os Restos de Lagrange, Cauchy e Integral 434 4. A se´rie binomial e sua se´rie de Taylor 439 5. Um devaneio sobre os nu´meros Complexos 442 6. Exerc´ıcios 443 Cap´ıtulo 32. O discriminante de polinoˆmios de grau 3 445 1. Preparac¸a˜o para a fo´rmula de Cardano 445 2. A fo´rmula de Cardano para as treˆs ra´ızes Reais: viagem nos Complexos 449 3. O discriminante como curva 452 4. A curva discriminante entre as cu´bicas singulares 454 5. Parametrizac¸a˜o dos pontos racionais de cu´bicas singulares 458 6. Cu´bicas singulares aparecem como sec¸o˜es com o plano tangente 459 I´NDICE 9 Cap´ıtulo 33. Discriminante dos polinoˆmios de grau 4 463 1. A andorinha: o discriminante como superf´ıcie 463 2. Discriminante como envelope de famı´lias de retas ou planos 465 Cap´ıtulo 34. Apeˆndice: O expoente 3 4 comanda a vida ! 467 1. Metabolismo versus massa corporal 467 2. Escalas log/log para um experimento 468 3. Reta de ajuste - me´todo de mı´nimos quadrados 468 4. A Lei experimental de Kleiber 470 5. Justificac¸a˜o racional da Lei de Kleiber 471 6. O argumento 472 Parte 2. Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias e Aplicac¸o˜es 479 Cap´ıtulo 35. As primeiras equac¸o˜es diferenciais 481 1. A exponencial e as equac¸o˜es diferenciais 481 2. A definic¸a˜o original de Napier para o logaritmo 482 3. Decaimento radioativo e datac¸a˜o 484 4. Equac¸o˜es diferenciais lineares com coeficientes constantes 486 5. Objetos em queda-livre vertical 489 6. Queda ao longo de um gra´fico 493 7. A curva que minimiza o tempo 496 8. Bal´ıstica e o Super Ma´rio 500 9. Equac¸o˜es diferenciais lineares em geral 504 10. Um problema da Putnam Competition, n.14, 1954 504 11. Soluc¸o˜es das equac¸o˜es lineares gerais 506 12. Um problema da Putnam Competition, n. 49, 1958. 510 13. As equac¸o˜es de Bernoulli e sua reduc¸a˜o a equac¸o˜es lineares 511 14. Exerc´ıcios 512 Cap´ıtulo 36. Aspectos gerais das equac¸o˜es de primeira ordem 515 1. Equac¸o˜es diferenciais e metamorfoses de curvas 515 2. Equac¸o˜es diferenciais em forma normal e as curvas Iso´clinas 517 3. Existeˆncia e unicidade para y′(x) = F (x, y) - Me´todo de Picard 520 4. Equac¸o˜es separa´veis 525 5. A clepsidra 527 6. Equac¸o˜es homogeˆneas 528 7. Equac¸o˜es exatas 530 8. Integral ao longo de um caminho 534 9. Derivada da integral em relac¸a˜o ao paraˆmetro - Fo´rmulas de Leibniz 536 10. Fatores integrantes 539 11. Equac¸o˜es impl´ıcitas, discriminantes e envelopes 542 12. Um problema da Putnam Competition, n. 5, 1942 548 13. Equac¸o˜es de Clairaut e de Lagrange: iso´clinas retas 550 14. Transformac¸a˜o de Legendre, dualidade e resoluc¸a˜o de equac¸o˜es diferenciais553 15. Apeˆndice: Func¸o˜es cont´ınuas de duas varia´veis e continuidade uniforme 556 10 I´NDICE 16. Exerc´ıcios 558 Cap´ıtulo 37. Curvas de Perseguic¸a˜o 559 1. O problema 559 2. As elipses iso´cronas, segundo A. Lotka 566 3. Um envelope que e´ uma curva de perseguic¸a˜o 568 4. Exerc´ıcios 570 Cap´ıtulo 38. Cine´tica qu´ımica e crescimento bacteriano 571 1. Cine´tica qu´ımica 571 2. Equac¸a˜o diferencial de uma reac¸a˜o de primeira ordem 573 3. Equac¸a˜o diferencial de uma reac¸a˜o de segunda ordem 574 4. Crescimento bacteriano 576 5. Ponto de inflexa˜o da func¸a˜o log´ıstica 580 6. Equac¸a˜o de Bernoulli e reac¸o˜es qu´ımicas de ordem fraciona´ria 581 Cap´ıtulo 39. Newton e a gravitac¸a˜o 583 1. Atrac¸a˜o segundo o inverso do quadrado da distaˆncia 583 2. Tempo de colisa˜o e velocidade de escape 584 3. N´ıveis de energia 587 4. O´rbitas planeta´rias 589 5. Velocidade e acelerac¸a˜o expressas em coordenadas polares 589 6. Grandezas constantes ao longo das trajeto´rias 592 7. As o´rbitas como coˆnicas em coordenadas polares 597 8. Oscilador harmoˆnico 599 9. A´rea em coordenadas polares e a lei de Kepler sobre as a´reas 601 10. Em torno da proposic¸a˜o XXX do Principia 602 11. A Equac¸a˜o de Kepler para o movimento planeta´rio el´ıptico 606 Cap´ıtulo 40. Equac¸o˜es diferenciais de segunda ordem 609 1. Reduc¸a˜o de ordem 609 2. Homogeˆneas, a coeficientes constantes 610 3. Na˜o-Homogeˆneas, lineares de segunda ordem 614 4. Na˜o homogeˆnas: Me´todo de Lagrange de variac¸a˜o de paraˆmetros 616 5. Um problema da Putnam Competition, n.58, 1987 617 6. Equac¸a˜o diferencial de um circuito ele´trico simples 619 7. Na˜o-homogeˆneas: Me´todo de coeficientes a determinar 620 8. Sistemas de equac¸o˜es diferenciais 624 9. Um problema da Putnam Competition, n.2, 1939 626 10. Homogeˆneas, na˜o-singulares, coeficientes varia´veis: reduc¸a˜o a constantes 627 11. Homogeˆneas, na˜o-singulares, coeficientes varia´veis: Me´todo de D’Alembert629 12. Existeˆncia de soluc¸o˜es de equac¸o˜es homogeˆneas e na˜o-singulares 630 13. Propriedades das soluc¸o˜es de equac¸o˜es lineares de segunda ordem 632 14. Um problema da Putnam Competition, n. 15, 1955 635 15. O Teorema de Comparac¸a˜o de Sturm 638 16. Um problema da Putnam Competition, n. 22, 1961 639 17. Exerc´ıcios 641 I´NDICE 11 Cap´ıtulo 41. Equac¸o˜es com pontos na˜o-singulares: Airy, Hermite e Legendre 643 1. Soluc¸a˜o expl´ıcita da Airy 643 2. Soluc¸a˜o expl´ıcita da Hermite 645 3. Soluc¸a˜o
