Método de Elementos Finitos

Prévia do material em texto

1
1
Introdução ao 
Método de Elementos Finitos
Jaime Arturo Ramírez
Unidade 1
2
Método de Elementos Finitos
• Apresentação do curso 
– O que se estuda aqui?
– O que é preciso saber? 
– O que vamos fazer?
2
3
Apresentação do curso
• O que se estuda neste curso??
– ⇒ Aplicação do método de elementos finitos 
ao estudo de problemas de contorno, 
principalmente de Eletromagnetismo.
• Problemas de contorno ???
4
Problemas de Contorno?
3
5
Aplicações
• Projeto e análise de dispositivos 
eletromagnéticos, como máquinas elétricas, 
transformadores, fornos de indução, sondas de 
ensaios não destrutivos, dispositivos de 
microondas, antenas, guias de onda, 
equipamentos médicos, dispositivos 
semicondutores, equipamentos de alta tensão, 
etc ...
6
O que precisa??
• Conceitos matemáticos básicos (revisaremos, 
rapidamente);
• Eletromagnetismo básico (revisaremos 
rapidamente)
• Programação Orientada a Objetos - (não 
revisaremos!!)
4
7
Conceitos Básicos
• Cálculo vetorial, operadores diferenciais e 
teoremas integrais básicos
• Equações de Maxwell
• Uma visão do método de elementos finitos, 
« do ponto de vista do usuário »
8
Área de OPAC 
Definição do objeto modelado (Pré-processamento)
•Geometria / Modelo;
•Parâmetros / Condições de contorno / características dos materiais;
•Adicionar informações ao modelo automaticamente. Exemplo: malha de elementos finitos.
PAC - Projeto Assistido por Computador (graduação)
Geometria Computacional (pós-graduação)
Processamento do Modelo
•Método de elementos finitos
•Métodos de equações integrais
Pós-processamento
(Extração de informações a partir dos dados vindos do Processamento do modelo)
•Visualização (PAC);
•Grandezas de Engenharia (Elementos finitos / equações integrais);
•Análise de sensibilidade (Otimização);
Otimização
•Métodos determinísticos (Otimização);
•Métodos estocásticos (Algoritmos genéticos);
5
9
Cálculo vetorial, operadores diferenciais e 
teoremas integrais básicos
• Ref.: Annita Macedo, Eletromagnetismo, Capítulo 1
– Revisão das operações básicas com vetores: produto 
escalar, produto vetorial, definição e significado físico;
– Operadores diferenciais de primeira ordem: gradiente, 
divergente e rotacional - definição e significado físico;
– Teoremas integrais básicos: Teorema da Divergência e 
teorema de Stokes;
– Operadores diferenciais de segunda ordem: definição e 
inter-relação.
10
Produto escalar
a . b = ax .bx + ay .by + az .bz
a . b = abcos(θ)
Resultado: um escalar.
– Nulo, quando os dois vetores são 
ortogonais;
– Módulo máximo, quando os dois 
vetores estão na mesma direção. 
a
b
θ
6
11
Produto vetorial
 a x b  = absen (θ)
a
b
θ
kbabjbabibab
bbb
aaa
kji
xyyzxxyzz
zyx
zyx )(a)(a)(a b x a xzy −+−+−==
• Resultado: um vetor
•Nulo, quando os dois vetores estão na mesma 
direção;
•Módulo máximo, quando os dois vetores são 
perpendiculares
•Perpendicular ao plano definido pelos dois 
vetores
12
Operador ∇
k
z
j
y
i
x ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇
• Um vetor que é apenas um operador 
matemático, sem significado físico
• O significado físico aparece quando o 
aplicado a outras grandezas ...
7
13
Gradiente
k
z
fj
y
fi
x
ff ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇
• Seja f(x, y, z) um função escalar contínua, 
com derivadas contínuas até ordem 1
• Gradiente de f:
• Significado físico:
– o gradiente é um vetor;
– o gradiente aponta na direção de máxima 
variação de uma função;
– o gradiente é perpendicular às superfícies 
f(x,y,z) = c (c constante).
14
• Seja 
v(x, y, z) = vx(x,y,z)i + vy(x,y,z)j + vz(x,y,z)k
um campo vetorial contínuo, com derivadas contínuas 
até ordem 1
• Divergente de v:
• Significado físico:
– produto escalar de ∇ e v
– o divergente é um escalar;
– outros significados após vermos o teorema da divergência
Divergente
z
v
y
v
x
vv zyx ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇ r.
8
15
Teorema da divergência
∫∫∫ ==∇
SSV
dSnvSdvdVv rr
rrr ...
v
16
• Fluxo diferente de 0 Fluxo 0
Divergente: interpretação física
∫∫∫ ==∇
SSV
dSnvSdvdVv rr
rrr ...
• Suponha que vamos reduzindo V até que ele se torne um 
ponto 
Divergente diferente de 0 Divergente igual a 0
vr
S
vrS
9
17
• Seja 
v(x, y, z) = vx(x,y,z)i + vy(x,y,z)j + vz(x,y,z)k
• Rotacional de v:
• Significado físico:
– produto vetorial de ∇ e v
– o rotacional é um vetor;
– outros significados após vermos o teorema de Stokes
Rotacional
k
y
v
x
v
j
x
v
z
vi
z
v
y
v
vvv
zyx
kji
vx xyzxyz
zyx




∂
∂−∂
∂+


∂
∂−∂
∂+



∂
∂−∂
∂=∂∂∂∂∂∂=∇
r
18
Teorema de Stokes
==∇=∇ ∫∫∫
CSS
ldvdSnvxSdvx
rrrrrr ...
dl
10
19
• Circulação 0 Circulação diferente de zero
Rotacional: interpretação física
• Suponha que vamos reduzindo S até que ela se torne um 
ponto 
Rotacional igual a 0 Rotacional diferente de 0
vr
C
vrC
==∇=∇ ∫∫∫
CSS
ldvdSnvxSdvx
rrrrrr ...
20
Operadores de segunda ordem
2
2
2
2
2
2
2.
z
f
y
f
x
fff ∂
∂+∂
∂+∂
∂=∇=∇∇ Laplaciano








∇
∇
∇
=∇=∇∇
z
y
x
v
v
v
vv
2
2
2
2. rr Laplaciano vetorial
0=∇∇ fx Rotacional de um gradiente é nulo
Se 0=∇ Ex r VE ∇=r
11
21
Operadores de segunda ordem
0. =∇∇ vxr Divergente de um rotacional é nulo
Se 0. =∇ Br AxB rr ∇=
Outros operadores de segunda ordem:
vxx r∇∇ rot-rot
vr.∇∇ grad-div
Relação entre eles:
vvvxx rrr 2. ∇−∇∇=∇∇
22
Grandezas: Equações de Maxwell
• Capítulo 2, Annita Macedo
• Grandezas envolvidas: 
– Campo elétrico, E (V/m)
− Densidade de fluxo elétrico ou indução elétrica, D (C/m2)
− Campo magnético, H (A/m)
− Indução magnética, ou densidade de fluxo magnético, B (T, ou 
Wb/m2)
− Densidade de corrente elétrica, J (A/m2)
− Densidade volumétrica de carga, ρ (C/m3)
12
23
Grandezas: Equações de Maxwell
• Características de materiais (propriedades 
constitutivas):
– Permeabilidade magnética, µ (H/m)
– Permissividade elétrica, ε (F/m)
– Condutividade elétrica, σ (1/(Ω.m))
24
Grandezas: Equações de Maxwell
• Carga:
• Corrente:
CdVQ
V
∫= ρ
A
dt
dQI =
13
25
Grandezas: Equações de Maxwell
• Outras relações:
2/ mAvJ r
r ρ=
∫=
S
ASdJI
rr
.
∫=Φ
S
WbSdB
rr
.
26
Equações de Maxwell
ρ=∇ Drr .
0. =∇ BrrtDJHx ∂∂+=∇
rrrr
t
BEx ∂∂−=∇
rrr
14
27
Equações constitutivas
[ ]ED rr ε= [ ]HB rr µ=
[ ]EJ rr σ=
• Os tensores se reduzem a escalares em meios 
isotrópicos. 
• As propriedades constitutivas podem ser dependentes 
dos campos
28
Interpretação física das equações de Maxwell
+ ρρ=∇ Drr .
QSdD
dVdVD
S
VV
=
=∇
∫
∫∫
rr
r
.
. ρ
Lei de Gauss
15
29
Interpretação física das equações de Maxwell
+ ρm=00. =∇ Brr
0.
0.
=
=∇
∫
∫
S
V
SdB
dVB
rr
r
Lei de Gauss do Magnetismo
B é um vetor solenoidal: suas linhas de campo são fechadas
30
Interpretação física das equações de Maxwell
t
DJHx ∂∂+=∇
rrrr
t
DJ ∂∂+
rr
H
r
Sdt
DJSdHx
SS
rrrrrr ∫∫  ∂∂+=∇
Lei de AmpéreIldH
C
=∫ rr .
H
16
31
Interpretação física das equações de Maxwell
t
BEx ∂∂−=∇
rrr
t
B∂∂−
r
E
r
Sdt
BSdEx
SS
rrrrr ∫∫  ∂∂−=∇
N S
Lei de Faraday
dt
dldE
C
Φ−=∫ rr.
32
Condições de interface
• Equações de Maxwell são válidas nos "pontos 
ordinários" do domínio.
• Um ponto ordinário é aquele em que as 
características físicas dos materiais são contínuas.
• Nos pontos nãoordinários 
• Componentes normais de B, D e J, contínuos
• Componentes tangenciais de H e E contínuos
17
33
Problemas que podem ser resolvidos com 
as equações de Maxwell
• Problema direto: dadas as fontes do campo e as 
características dos materiais em todos os pontos e em 
todos os instantes, determinar os campos originados; 
• Problema inverso: dado o campo em todo o espaço e 
todo o tempo, determinar as fontes; 
• Problema de pós-processamento: dado o campo 
eletromagnético em todo espaço e tempo e dadas certas 
distribuições de carga e correntes, encontrar parâmetros 
integrais (forças, conjugados, indutâncias, fluxos 
magnéticos, tensões, etc.).
34
Uma visão do método de elementos 
finitos, “do ponto de vista do usuário”
• Um programa baseado no método de elementos finitos 
obtém uma aproximação para a solução das equações de 
Maxwell em uma região do espaço;
• No programa FEMM, ao invés de solucionar as 
equações diretamente em termos dos campos, elas são 
escritas em termos do potencial vetorial magnético:
ABB
rrrrr ×∇=⇒=∇ 0.
18
35
Potencial vetorial - Problema 
magnetostático
JA
rrrr =

 ×∇×∇ µ
1
t
DJHx ∂∂+=∇
rrrr
Problema estático
AB
rrr ×∇= HB rr µ= AxH rr ∇= µ
1
36
Problema magnetostático - 2-D
JA
rrrr =

 ×∇×∇ µ
1
kJJ
rr =
x
y
jHiHH
jBiBB
yx
yx rrr
rrr
+=
+=
kJJ z
rr =
kAA z
rr =
19
37
Magnetostática 2D
• Após substituições (desenvolvidas em aula):
• Equação de Poisson da Magnetostática 2-D
• Qual a interpretação física do potencial vetorial 
em 2-D?
z
zz J
y
A
yx
A
x
−=


∂
∂
∂
∂+


∂
∂
∂
∂ νν
38
Vetor potencial : interpretação física
• Linhas equipotenciais = “tubos de fluxo 
magnético”;
• A2-A1= Φ / Lz , , onde Lz é o comprimento em z.
• Traçado das linhas equipotenciais fornece uma 
idéia da distribuição do fluxo magnético.
20
39
Vetor potencial : interpretação física
• Linhas equipotenciais = “tubos de fluxo magnético”;
40
Condições de contorno
• Condições de contorno:
– Dirichlet. A = A0 ==> “Tubo de fluxo”
• ==> Bn = 0 . 
– Neumann. . Geralmente
• ==> H perpendicular à fronteira (fronteira com um material 
de alta permeabilidade magnética, ou simetria ...)
• No FEMM, se nenhuma condição de contorno é
explicitada, a condição de Neumann homogênea 
é imposta por default.
c
n
A =∂
∂ 0=∂
∂
n
A
21
41
O método de elementos finitos
• Apesar das equações que descrevem o problema serem 
simples (uma equação diferencial parcial de segunda 
ordem, mais condições de contorno), sua solução para o 
caso genérico não é ==> método de elementos finitos.
• A idéia do método o dividir o problema em um grande 
número de regiões com geometria simples
42
O método de elementos finitos
• Nestas regiões, a solução para A é aproximada por uma 
função simples. 
• Se um número suficiente de regiões for utilizado, o valor 
aproximado vai ser quase igual ao valor exato. 
• Esta é uma visão bastante simplificada do processo de 
aproximação, que vai ser detalhado posteriormente.
22
43
Passos para resolver o problema 
no FEMM
• Entrar com a geometria;
• Entrar com as propriedades dos materiais;
• Entrar com as condições de contorno (obs: 
default = condições de contorno de 
Neumann);
• Gerar a malha de Elementos finitos;
• Resolver o problema;
• Explorar os resultados
44
1.3.Exemplos de cálculo no FEMM
• 1 - Eletroímã
J=1MA/m2
Permeabilidade
= 1
Ferro . Permeabilidade 1000 Simetria
Ht=0
==> Neumann
“Tubo de fluxo”
A=const=0
==> Calcular somente a metade de cima c/ as cond. contorno indicadas
Ar: Permeabilidade 1
23
45
1.3. Exemplos de cálculos no FEMM
Permeabilidade = 1000
Simetria
Ht=0
Neumann
A = constante= 0
==> 1/4 do problema pode ser simulado no FEMM.
J=+1MA/m2
Permeabilidade=1
x 
J=-1MA/m2
Permeabilidade=1
46
Problemas eletrostáticos
t
BEx ∂∂−=∇
rrr Estático ...
VEEx ∇−=⇒=∇ rrrr 0
EDD
rrrr ερ ==∇. ( ) ρε −=∇∇ Vrr .
ρεε −=



∂
∂
∂
∂+


∂
∂
∂
∂
y
V
yx
V
x
2D
24
47
Condições de contorno - eletrostática
• Condições de contorno:
– Dirichlet. V = V0 ==> E perpendicular à fronteira 
– Neumann. . Geralmente
• ==> E tangente à fronteira (simetria ...)
• No FEMM, se nenhuma condição de contorno é
explicitada, a condição de Neumann homogênea 
é imposta por default.
c
n
V =∂
∂ 0=∂
∂
n
V
48
Exemplo: Capacitor quadrado 
1 V
0 V
0 V
0 V
0 V
Ar
25
49
Podemos reduzir o domínio de 
cálculo ==> simetria 
1 V
0 V
0 V
0 V
0 V
Ar
1/4 do problema!
50
Problema a ser simulado 
V = 1V
(Dirichlet)
V = 0V
(Dirichlet)
Simetria Neumann: Campo tangente!
Neumann: Campo tangente!
26
51
Problema a ser simulado 
V = 1V
(Dirichlet)
V = 0V
(Dirichlet)
Simetria
Neumann: Campo tangente!
Neumann: Campo tangente!
1 cm 1 cm 
Ar
52
Resolução por elementos finitos 
Malha de elementos finitos
Pode-se calcular com 
1/4 da geometria
27
53
Distribuição de Potencial 
54
Distribuição de campo Elétrico 
28
55
Exercícios
• Busque o FEMM e instale-o em seu computador: 
www.ead.eee.ufmg.br/~renato/femm40bin.exe
• Entre e calcule os exemplos dados e faça os exercícios 
das páginas seguintes;
• Estude o manual: Help -> Help Topics;
– Outras formulações, como o caso harmônico no tempo 
(quase estático);
– Outras condições de contorno e seu significado;
– Os métodos numéricos utilizados (item 6)
56
Exercício no FEMM
Capacitor cilíndrico com dois dielétricos
Teflon -> εr=2.1. Nylon -> εr=3.8
1 cm2 cm
3 cm
Teflon
Nylon
•Considere a simetria
•Varie a densidade da malha
•Troque o Teflon por ar
V = 0 V
V = 100 V
29
57
Exercício no FEMM (2)
Ar
Germânio
1 mm
5 mm
5 mm
10 V
0 V
Neumann