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RESUMO
ÂNGULO ENTRE RETAS
 onde 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
ÂNGULO ENTRE PLANOS
 onde 
�� EMBED Equation.3 
DISTÂNCIA DE UM PONTO A UM PLANO
 onde 
�� EMBED Equation.3 
DISTÂNCIA DE UMA RETA A UM PLANO
 onde 
�� EMBED Equation.3 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PLANOS
 onde 
�� EMBED Equation.3 
DISTÂNCIA DE UM PONTO A RETA
 onde 
�� EMBED Equation.3 
DISTÂNCIA DE UM PONTO A RETA NO PLANO!
DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS
Sejam 
a) 
b) 
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
Sejam 
�� EMBED Equation.3 
a) 
As retas são paralelas ou coincidentes. 
b) 
As retas são reversas ou concorrentes
OBS: Para obter um vetor perpendicular as retas 
, basta determinar dois pontos 
, tais que 
POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS
 Considere os planos 
�� EMBED Equation.3 Normais : 
a) 
 não é paralelo a 
Os planos são concorrentes
b) 
 é paralelo a 
Se 
, então os planos são coincidentes.
Se 
, então os planos são paralelos.
POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E PLANO
Seja V- vetor diretor da reta r, e N- vetor normal ao plano 
V é ortogonal a N (V.N=0) 
Então a reta e plano são paralelos
(
)
V não é ortogonal a N
 	
Reta é concorrente ao plano
POSIÇÃO RELATIVA DE TRÊS PLANOS
Considere os planos 
�� EMBED Equation.3 Normais : 
a) 
 não são coplanares
	O produto misto [
	onde A é a matriz dos coeficientes do sistema acima. Assim o sistema acima tem um única solução, daí, os três planos inteceptam num único ponto.
b) 
 são coplanares
b1) 
 são paralelos
	
	os planos são paralelos
b11) Se exatamente, duas equações são proporcionais, então exatamente dois planos são coincidentes e o sistema não tem solução
b12) Três equações são proporcionais, então os planos são coincidentes e o sistema tem infinitas soluções
b2) As normais, são dois a dois paralelos (exatamente dois!)
	exatamente dois planos são paralelos
b21) Dois planos são coincidentes e o terceiro plano corta os dois planos. Sistema possui infinitas soluções.
b22) Caso contrário, dois planos são paralelos distintos, e o terceiro plano corta os dois planos, e o sistema não tem solução.
b3) As normais não são dois a dois paralelos ( mas, coplanares!, 
det A=0)
 b31) os três se interceptam, segundo uma reta, logo o sistema possui infinitas soluções
b32) os planos se interceptam dois a dois, logo sistema não tem solução. 
EQUAÇÃO DA ELÍPSE
a) FOCOS 
 
b) FOCOS 
 
EQUAÇÃO DA HIPÉRBOLE
a) FOCOS 
 
�� EMBED Equation.3 
b) FOCOS 
 
 
EQUAÇÃO DA PARÁBOLA
a) FOCO 
 dist (P,F)= dist (P,r) reta diretriz 
b) FOCO 
 dist (P,F)= dist (P,r) reta diretriz 
COORDENADAS POLARES
 
Foco no polo : F=(0,0) d=dist(F,s) , s: reta, dist(P,F)= r
reta diretriz s: 
 (perpendicular ao eixo polar)
a1) s está à direita do pólo
 Vértices faça 
a2) s está à esquerda do pólo
 Vértices faça 
reta diretriz s: 
 (paralelo ao eixo polar)
 b1) s está acima do pólo
 Vértices faça 
b2) s está abaixo do pólo
 Vértices faça 
OBS: e<1 :elípse, e>1 :hipérbole, e=1 :parábola
CIRCUNFERÊNCIA EM COORD POLARES
	
Foco no polo : F=(0,0) , raio r >0 
Centro C, (centro no eixo polar)
a1) centro está à direita do pólo
 
 
a2) centro está à esquerda do pólo
 
Centro C, ( centro na reta perpendicular ao eixo Polar, passando pelo Polo)
 b1) centro está acima do pólo
 
b2) centro está abaixo do pólo
 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
Um gráfico y=f(x), 
 
Parametrização: x=t, y=f(t), 
Um gráfico em coordenadas polares 
Parametrização: 
�� EMBED Equation.3 
Um segmento de reta AB:
Parametrização A+t(B-A)
Circunferência de raio r
Parametrização 
Duas voltas 
 semi-circulo: 
Elípse
Parametrização 
hipérbole
Parametrização 
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