1ª Lista

Prévia do material em texto

Primeira Lista de Exercícios - Engenharia Civil
Disciplina Cálculo II - IFSP
2o sem. - 2014
Prof. José Renato
. Primitivas. Integrais indefinidas.
Exercício 1: Seja f : IR → IR derivável e tal que, para todo x, f(x) = k eαx, com α e k
constantes não nulas. Mostre que f ′(x) = α f(x) para todo x.
Exercício 2: Seja y = f(x), x ∈ IR, derivável até a segunda ordem (admite duas derivadas ou
derivada segunda) e tal que, para todo x, f ′′(x)+f(x) = 0. Seja g dada por g(x) = f ′(x)sen(x)−
f(x)cos(x). Prove que g é constante. (Dica: Pense no teorema: g′(x) = 0⇒ g(x) = k)
Exercício 3: Seja f : IR → IR derivável até a segunda ordem e tal que, para todo x,
f ′′(x) = −f(x).
a) Mostre que, para todo x,
d
dx
[
(f ′(x))2 + (f(x))2
]
= 0;
b) Conclua que existe uma constante E tal que, para todo x,
(f ′(x))2 + (f(x))2 = E.
Exercício 4: Calcule as integrais das funções abaixo.
a)
∫
x 5 dx b)
∫
x 12 dx c)
∫
x 22 dx
d)
∫
x 54 dx e)
∫
ex dx f)
∫
x 18 dx
g)
∫
cos(x) dx h)
∫
sen(x) dx i)
∫
x4 dx
j)
∫
x−4 dx l)
∫
x−2 dx m)
∫
x
1
2 dx
n)
∫
x−14 dx o)
∫
x
1
3 dx p)
∫
x
2
3 dx
1
Exercício 5: Calcule as integrais.
a)
∫
e 2x dx b)
∫
1
x 5
dx c)
∫
1
x
dx
d)
∫
cos(5x) dx e)
∫
e−x dx f)
∫
sen(
x
2
) dx
g)
∫
sen(2x) dx h)
∫
e 11x dx i)
∫
cos(2x) dx
Exercício 6: Calcule as integrais.
a)
∫
2x dx b)
∫
sec2(x) dx c)
∫
1
x+ 1
dx
Exercício 7: Mostre que
∫
2x
x2 + 3
dx = ln(x2 + 3) + k
Exercício 8: Pesquise em livros e verifique que
∫
1
1 + x2
dx = arc tg(x) + k.
(Dica: Verifique nos livros qual é a derivada de arc tg(x))
Exercício 9: Verifique que
∫
x cos(x) dx = x sen(x) + cos(x) + k.
Exercício 10: Calcule.
a)
∫
ex + 5x dx b)
∫
1
x 5
+ x 2 dx c)
∫
1
x
dx
d)
∫
cos(4x) + x 2 dx e)
∫
x 3 + 2x2 + x dx f)
∫
sen(8x) + cos(x) dx
g)
∫
sen(2x)+ex dx h)
∫
e 8x+
1
x
dx i)
∫
cos(4x)+x 4+3x2 dx
j)
∫
x 5 + 4x2 dx l)
∫
x 6 +
1
x
dx m)
∫
x 4 + 3x2 +
1
x2
dx
Exercício 11: Calcule
∫
x2 − 3x+ 5
x2
dx, x > 0. (Resp.: x− 3 ln(x)− 5/x+ k)
Exercício 12: Calcule a integral
∫
t
√
t+
√
t
t2
dt . (Resp.: 2
√
t− 2√
t
+ k)
2
Exercício 13: Verifique a fórmula de integral diferenciando:∫
(7x− 2)3 dx = (7x− 2)
4
28
+ k.
Exercício 14: Diga se cada uma das fórmulas está certa ou errada, e justifique sucintamente
as respostas.
a)
∫
x sen(x) dx =
x2
2
sen(x) + k;
b)
∫
x sen(x) dx = −x cos(x) + k.
Exercício 15: Uma partícula desloca-se sobre o eixo x e sabe-se que no instante t, t ≤ 0, a
velocidade é v(t) = 2t+1. Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição
x = 1. Determine a posição x = x(t) da partícula no instante t. (Resp.: x(t) = t2 + t+ 1)
3