Lista 6 - Resposta_em_Frequencia_Graficos_de_Bode

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Engenharia de Controle e Automação – 2013/1 
Sinais e Sistemas Lineares II – Lista de Exercícios 06 
Professor: Ribas 
 
Exercício 01) – Para um sistema LCIT descrito 
pela função de transferência 
45
2
)(
2 


ss
s
sH
 
determine a resposta às seguintes entradas 
exponenciais de duração infinita: 
(a) 
)302cos(5)(  ttx
 
(b) 
)452(sen10)(  ttx
 
(c) 
)403cos(10)(  ttx
 
 
Exercício 02) – Para um sistema LCIT descrito 
pela função de transferência 
2)2(
3
)(



s
s
sH
 
determine a resposta às seguintes entradas 
exponenciais de duração infinita: 
(a) 
)(10)( tutx 
 
(b) 
)()602cos()( tuttx 
 
(c) 
)()453(sen)( tuttx 
 
(d) 
)()( 3 tuetx tj
 
 
Exercício 03) – Para um filtro passa-tudo 
especificado pela função de transferência 
10
)10(
)(



s
s
sH
 
determine a resposta do sistema às seguintes 
entradas (de duração infinita): 
(a) 
tjetx )(
 
(b) 
)cos()(   ttx
 
(c) 
ttx cos)( 
 
(d) 
)2(sen)( ttx 
 
(e) 
)10cos()( ttx 
 
(f) 
)100cos()( ttx 
 
 
Exercício 04) – O gráfico de polos-zeros de um 
sistema de segunda ordem H(s) é mostrado na 
Figura 01. A resposta CC (ganho estático) deste 
sistema é menos um, H(j0) = – 1. 
(a) Assumindo H(s) = k(s
2
 + b1s + b2)/ (s
2
 + a1s 
+ a2), determine as constantes k, b1, b2, a1 e a2. 
(b) Qual é a saída y(t) deste sistema em resposta 
a entrada x(t) = 4 + cos(t/2 + π/3)? 
Figura 01 – Gráficos de polos-zeros do sistema para o 
Exercício 04. 
 
 
Exercício 05) – Esboce o diagrama Bode para 
cada uma das seguintes funções e após utilize o 
MatLab® para verificar suas respostas. 
(a) 
)20)(2(
)100(
)(



ss
ss
sH
 
(b) 
)100(
)20)(10(
)(
2 


ss
ss
sH
 
(c) 
)100(
)20)(10(
)(
2 


ss
ss
sH
 
(d) 
)1000()20(
)200)(10(
)(
2 


ss
ss
sH
 
(e) 
)164)(1(
)(
2
2


sss
s
sH
 
(f) 
)10014,14)(1(
)(
2 

sss
s
sH
 
(g) 
)10014,14(
)10(
)(
2 


sss
s
sH
. 
 
Exercício 06) – Determine H(s) para cada um 
dos gráficos de resposta em amplitude esboçados 
na Figura 02. 
Figura 02 – Respostas em amplitude de sistemas para o 
Exercício 06. 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
 
(d) 
 
(e) 
 
 
Exercício 07) – Para os diagramas de Bode 
mostrados nas Figura03(a) e (b), determine as 
funções de transferência manualmente e verifique 
sua resposta utilizando o MatLab®. 
Figura 03 – Resposta em amplitude e de fase de sistemas 
para o Exercício 07. 
(a) 
 
(b) 
 
 
Exercício 08) – O diagrama de Bode (amplitude e 
fase) da função de transferência de um sistema 
de controle com realimentação unitária é 
mostrado na Figura 04. Sabe-se que a função de 
transferência a malha aberta é de fase mínima. 
Pode-se constatar, a partir deste diagrama, que 
há um par de polos complexos conjugados em ω 
= 2 rad/s. (a) Determine o coeficiente de 
amortecimento relativo ao termo quadrático que 
envolve polos complexos conjugados e (b) 
determine também a função de transferência H(s) 
e verifique sua resposta com o MatLab®. 
Figura 04 – Diagrama de Bode da função de transferência a 
malha aberta de um sistema de controle com realimentação 
unitária. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 09) – Utilizando a menor ordem 
possível, determine a função H(s) do sistema com 
raízes de valor real cuja resposta em frequência é 
mostrada na Figura 05. Verifique sua resposta 
com o MatLab®. 
Figura 05 – Gráfico de Bode e resposta em frequência para 
H(s). 
 
 
Exercício 10) – As Figuras 06(a), (b) e (c) contêm 
alguns circuitos simples com componentes 
passivos, chamados de filtros passivos. (i) 
Determine a função de transferência de cada 
circuito, considerando vF(t) como a tensão de 
entrada e vs(t) como a tensão de saída, (ii) 
esboce a sua resposta em magnitude através do 
diagrama de Bode de sua função de transferência 
e (iii) classifique o filtro quanto à sua passagem 
de frequência em passa-baixas, passa-altas ou 
passa-faixa. 
Figura 02 – Malhas de circuitos elétricos contendo 
componentes passivos. 
(a) 
 
 
(b) 
 
(c) 
 
 
Exercício 11) – As Figuras 07(a), (b), (c), (d), (e) 
e (f) contêm alguns circuitos simples com 
amplificadores operacionais, chamados de filtros 
ativos. (a) Determine a função de transferência de 
cada circuito, considerando vF(t) como a tensão 
de entrada e vs(t) como a tensão de saída, (b) 
esboce a sua resposta em magnitude através do 
diagrama de Bode de sua função de transferência 
e (c) classifique o filtro quanto à sua passagem de 
frequência em passa-baixa, passa-alta ou passa-
banda.(Dica: se necessário, utilize o insight sobre 
filtros ativos no final da lista de exercícios.) 
Figura 07 – Malhas de circuitos elétricos contendo 
componentes ativos. 
(a) 
 
 
(b) 
 
(c) 
 
 
(d) 
 
 
(e) 
 
 
 (f) 
 
 
 
Nota 01 – Insight sobre filtros ativos: Uma 
malha de filtro é geralmente projetada para deixar 
passar sinais com uma faixa específica de 
frequência e rejeitar ou atenuar sinais cujo 
espectro de frequência está fora da banda de 
passagem. Os filtros mais comuns são filtros os 
passa-baixas (low-pass), os quais deixam passar 
baixas frequências e rejeitam altas frequências; 
filtros passa-altas (high-pass), os quais deixam 
passar altas frequências e bloqueiam baixas 
frequências; filtros passa-banda (band-pass) os 
quais deixam passar uma faixa específica de 
frequência e rejeitam todas as frequências fora 
dessa faixa; e os filtros rejeita-faixa (band-
rejection), os quais são projetados para rejeitarem 
uma banda específica de frequências e deixarem 
passar todas as outras frequências. Os filtros 
podem ser classificados como filtros passivos e 
filtros ativos. Os filtros passivos são circuitos 
contendo elementos passivos, os quais são 
resistores, capacitores, e indutores. O uso de 
componentes passivos na realização de filtros 
possui vários inconvenientes, sendo que um deles 
é que alguns componentes de determinadas 
especificações não são facilmente encontrados no 
mercado além de serem caros e imprecisos, como 
os indutores. Já os filtros ativos, são circuitos 
contendo em suas malhas componentes ativos, 
os amplificadores operacionais (AmpOps). O uso 
de AmpOps facilita bastante a realização de 
filtros. Circuitos de filtros construídos com 
AmpOps são chamados de filtros ativos, e 
utilizam, além destes componentes, resistores e 
capacitores. Os circuitos equivalentes para os 
circuitos com AmpOp não inversor e inversor são 
mostrados na Figura 08(a) e (b). As 
características particulares são obtidas 
criteriosamente pela seleção das impedâncias Z1 
e Z2. 
Figura 08 – Circuitos equivalentes para os circuitos dos 
amplificadores operacionais (a) inversor e (b) não inversor. 
 
Conforme mostrado na Figura 08(a), a função de 
transferência para o AmpOp não inversor é 
1
2
Z
Z
V
V

o
s
 
e a função de transferência para o AmpOp 
inversor é 
1
21
Z
Z
V
V

o
s
 
sendo V1 a tensão nos terminais de entrada Vo a 
tensão nos terminais de saída do AmpOp. 
 
Nota 02 – Comentários sobre a frequência de 
ressonância ωr e o pico de ressonância Mr. 
Considere uma função H(s) cujo termo do 
denominador seja um termo de segunda ordem 
com os polos sendo complexos conjugados. 
Utilizando a forma padrão s
2
 + 2ζωns+ ωn
2
, e 
mudando a variável s = jω, H(s) pode ser escrita 
como 
2
21
1
)(














nn
jj
jH





 (1) 
cujo módulo dessa função é 
é 
22
2
2
21
1
)(














nn
jH





 (2) 
e a fase é dada por 



































 
2
1
2
1
2
tg
21
1
n
n
nn
jj








 . (3) 
 
O gráfico exato de |H(jω)| depende do coeficiente 
de amortecimento ζ. Se |H(jω)| apresentar um 
valor de pico em alguma frequência, esta é 
denominada frequência de ressonância, expressa 
aqui por ωr. Se o numerador de |H(jω)| for 
constante, ocorrerá um valor de pico de |H(jω)| 
quando 
22
2
2
21)( 












nn
h




 (4) 
for um mínimo. Como a Equação (4) pode ser 
escrita como: 
)1(4
)21(
)( 22
2
2
222

 




 

n
nh
 (3) 
o valor mínimo de h(ω) ocorre em 
221   n
. 
Portanto, a frequência de ressonância ωr é: 
221   nr
, para 
707,00 
. (5) 
Conforme o coeficiente de amortecimento ζ tende 
a zero, a frequência de ressonância tende a ωn. 
Para 
707,00 
, a frequência de ressonância 
ωr é menor que a frequência natural amortecida 
221   nd
, que é apresentada na resposta 
transitória. Pode-se ver na Equação (5) que, para 
707,0
, não existe pico de ressonância. O valor 
de |H(jω)| decresce monotonicamente com o 
aumento da frequência ω. (A grandeza é menor 
que 0 dB para todos os valores de ω > 0. 
Lembre-se de que, para 
1707,0 
, a resposta 
ao degrau é oscilatória, mas as oscilações são 
bastante amortecidas e dificilmente perceptíveis.) 
Na Figura 09 pode ser visto os gráficos de Bode 
de polos complexos conjugados. 
Figura 09 – Curva de módulo em dB com as assíntotas e as 
curvas de ângulo e fase da função quadrática H(jω) dadas 
pela Equação (1). 
 
 
Para 
707,00 
, o valor de pico de 
ressonância, Mr = |H(jωr)|, pode ser determinado 
substituindo-se a Equação (5) na Equação (2). 
Para 
707,00 
, 
2máx 12
1
)()(   rr jHjHM
. (5) 
Para 
707,0
, 
1rM
. (6) 
À medida que ζ tende a zero, Mr tende ao infinito. 
Isso significa que, se o sistema não amortecido 
for excitado em sua frequência natural, o valor de 
H(jω) se tornará infinito. A Figura ?? mostra a 
relação entre Mr e ζ. 
Figura 10 – Curva Mr versus ζ do sistema de segunda 
ordem 1/[1+2ζ(jω/ωn)+(jω/ωn)
2
]. 
 
 
O ângulo de fase de H(jω) na frequência em que 
ocorre o pico de ressonância pode ser obtido 
substituindo-se a Equação (5) na Equação (3). 
Assim, na frequência de ressonância ωr, 
)1(4
)21(
)( 22
2
2
222 
 




 

n
n
r tgjH
. 
 
Respostas de alguns exercícios: 
 
Exercício 01: 
(a) 
)152cos(2)(  tty
; 
(b) 
)2(sen22)( tty 
; 
(c) 
)12,123(cos28,2)(  tty
. 
Exercício 02: 
(a) 
)(10)( tuty 
; 
(b) 
)()69,32cos(
8
13
)( tutty 
; 
(c) 
)()62,1123(sen
13
18
)( tutty 
; 
(d) 
)(
13
18
)( ]62,673[ tuety tj

. 
Exercício 03: 
(a) 
)]10/(tg2[ 1)( 
 tjety
; 
(b) 
)]10/(tg2cos()( 1   tty ; 
(c) 
)42,11(cos)(  tty
; 
(d) 
)62,222(sen)(  tty
; 
(e) 
)10(sen)9010(cos)( ttty  
; 
(f) 
)58,168100(cos)(  tty
. 
Exercício 04: 
(a) k = – 5/9, b1 = 0, b2 = 9/4, b1 = 2 e b2 = 5/4; 
(b) 
)4034,32/cos(7857,04)(  tty
. 
Exercício 06: 
(a) 



























1
100
1
20
1
50
1
5
5
)(




jj
j
jj
jH
 
(b) 



























1
40
1
25
1
12
1
5
3162,0
)(



jjj
j
jH
 
(c) 
 
  136/12/
12,0
)(
2


 

jjj
j
jH
 
(d) 
 
  4004)900(
100288
)(
2
2


 

jjjj
j
jH
. 
Exercício 07: 
(a) Curva original obtida a partir da função 
)252)(70)(7(
20
70)(
2 


ssss
s
sH
 
(b) Função aproximada 
)5,8(
)23(
23
5,8
*
)1006(
100
)1(*)(
2 









s
s
ss
sKsH
, com K = 
0,32. 
Exercício 08: (a) ζ = 0,1; 
(b) 






















1)(1,0
2
)(
1
5,0
)(
2
2 




j
j
j
j
K
jH 
=
)44,0(
)12(4
)(
22 


sss
s
sH
. 
Exercício 09: 
2)30(
)500(
7,5)(



s
ss
sH
. 
 
Exercício 10: 
(a) 
 
 
(b) 
 
(c) 
 
Exercício 11: 
(a) 
 
(b) 
 
 
. τe )( τcom
,
1τ
1τ
1
1)(
)(
22211
2
1
2
21
RCCCR
j
j
RCj
RCRCj
sH










