[---]_manual_de_fórmulas_técnicas_(kurt_gieck)_01

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Unidades A 
Áreas 8 
Volumes C 
Aritmética O 
Funções circulares E · 
Geometria analítica F 
Estatística G 
Cálculo diferencial H 
Cálculo integral I 
Equações diferenciais J 
Estática K 
Cinemática L 
Dinâmica M 
Hidráulica N 
Calor O 
Resistência dos materiais P 
Elementos de máquinas Q 
Engenharia de produção R 
Eletrotécnica S 
Física ondulatória T 
Química U 
Tabelas Z 
I 
l 
Manual de 
fórmulas técnicas 
de K. + R. Gieck 
nova tradução 
edição 
revista e ampliada 
no total de 76 edições 
·Tradução: 
Carlos Antonio Lauand 
(Eng. Civil-Eletricista) 
Revisão: 
Equipe Técnica Hemus 
Título do original alemão: 
TECHNISCHE FORMELSAMMLUNG 
© Copyright 2001 by Gieck Verlag, D-8034 Germering 
West Germany 
© Copyright by Hemus 
Nenhu~a part~ deste livro poderá ser reproduzida, 
seJam qua1s forem os meios empregados, 
sem a permissão por escrito da Editora 
Todos os direitos adquiridos para·a língua portuguesa 
e reservada a propriedade literária desta publicação pela 
a 
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Impresso no Brasil I Printed in Brazil 
Prefácio 
Este formulário contém as fórmulas matemáticas e técnicas 
mais importantes, numa apresentação clara, concisa e ordena-
da. Nele, o engenheiro encontrará rapidamente as fórmulas 
fundamentais de sua especialidade e saberá utilizar aquelas 
que lhe são menos familiares, graças às explicações sucintas. 
Cada assunto está designado por uma letra maiúscula, confor-
me a lista no frontispício do livro. A seqüência das páginas 
!ralando de um mesmo assunto está indicada por um número 
acompanhado da letra característica. A numeração das fórmu-
las é contínua para um mesmo assunto e é representada pela 
letra minúscula correspondente, o que permite a localização 
fácil das fórmulas utilizadas nos cálculos. 
Prefácio 
à 29!! edição ampliada 
Na nova seção J, foi incluída uma matéria também nova sobre 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS; o CÁLCULO INTEGRAL é trata-
do na seção I ampliada. 
A seção GEOMETRIA ANAlÍTICA foi aumentada com o Cál-
culo Vetorial, a seção ELETROTÉCNICA foi ampliada com 
. Rede e Instalação e a seção MÁQUINAS FERRAMENTAS foi 
totalmente remodelada. 
As seções TERMODINÂMICA e ELEMENTOS DE MÁQUINAS 
juntamente com suas respectivas TABELAS foram revisadas e 
atualizadas. 
Meus agradecimentos aos senhores professores J . Drãger, W. 
Kaspar-Sickenmann e 8. Maring que colaboraram na atualiza-
ção desta obra. 
K. Gieck 
EXPLICAÇÕES 
para a util ização deste manual 
Conteúdo de uma fórmula 
I Ir flnlç o das grandezas: número e unidade 
I J oilllllllrO que exprime a grandeza é a relação entre esta e a unidade 
' o 11:1 Jlhli.Jo. O número é pois o algarismo pelo qual é preciso multiplicar 
11 lllliclode para obter a grandeza. 
grandeza = número x unidade 
O número torna-se n vezes menor se se escolhe uma grandeza n 
vouos maior. O produto do número pela unidade é constante; a 
1rnndeza não varia quando se muda a unidade; por exemplo: 
1 m = 103 mm = 10·3 km 
O valor da grandeza é o produto do número pela unidade; por 
nxomplo: 
l= 12 mm. 
Recomenda-se diferenciar bem o símbolo da grandeza do símbolo 
da unidade. Somente o símbolo da grandeza a caracteriza. O 
número e a unidade exprimem unicamente o valor da grandeza. A 
unidade não deve conter indicações especiais referentes à grandeza. 
Exemplos: 
errado 
p = 2,7 atü 
U= 220 Vef 
correto 
Pü = 2,7 bar 
Uef = 220 V 
Unldodos: ata, Nm3 = mn 3, BW = Wb, AWdg, V 5 8 • 
xooçOos: °C, Var, rad. 
As diferentes espécies de equação 
Equações de grandezas 
Os símbolos de grandezas representam as grandezas nas fórmulas. 
Estas são independentes da escolha das unidades. Elas traduzem 
fenômenos físicos. Os símbolos são substituídos pelo produto de um 
número por uma unidade quando se calcula numericamente a gran-
deza. Neste caso, pode-se introduzir como se quiser os valores e as 
unidades; por exemplo, fórmula I 23: 
t=~=2 · 80m 
v 8~ 
2·80ms 
= 20 S. 8m 
s 
Equações de grandezas com unidades 
Numa equação de grandezas com unidades, os símbolos das gran-
dezas são divididos pela unidade correspondente: por exemplo, 
fórmula s 73: 
Fm = 40(~)2 ~ = 40(0,9 T)2 5 cm2 = 
N T cm2 T cm 2 162 
ou: 
Fm = 40(~)2 ~ N = 40(0·9 T)2 5 cm2 N = 162 N. T cm2 T cm2 
Nestas equações, as relações entre as grandezas e as unidades 
correspondentes indicam o valor numérico (número) da grandeza 
pela unidade escolhida. Estas fórmulas são muitas vezes utilizadas 
nos cálculos freqüentes com uso de tabelas. 
Equações de unidades 
As equações de unidades exprimem relações entre as unidades. 
Elas contêm somente unidades e fatores numéricos, por exemplo: 
1 m = 100 em ; 1 N = 1 kg m/s2• 
Elas podem ser escritas, com vantagem, colocando-se a unidade à 
esquerda do sinal de igualdade; por exemplo: 
1 m 1 00 om 1 kg m 1 
= 100cm = ~; 1 = T1'fS2 
Uma grandeza ou uma parte da equação pode sempre ser multipli -
cada por 1 sem mudar seu valor, o número 1 representando um 
quociente de unidades (ver a página anterior) . 
I lu 1: tl<:ulo pormite exprimir uma grandeza em uma outra unidade. 
I '1 li IIXIIIIIJliO: lórmula m 1: . 
F= ma 
::lO kg 4 em = 30 k 1 N s2 . 4 ~. ~ -
s2 g 1 kgm s2 100cm - 1·2 N. 
quoções de valores numéricos 
Not lo caso. os símbolos indicam valores numéricos. Este formulário 
n o contém tais equações, a fim de evitar as confusões. 
Grandezas e unidades de base do 
Sistema Internacional de Unidades 
Grandezas de base Unidades de base 
Símbolo Símbolo 
Nome (em tipo Nome (em tipo 
itálico) normal) 
comprimento metro m 
m assa llt quilograma kg 
tempo t segundo s 
c orrente 
elétrica I ampere A 
temperatura 
aosoluta T kelvin K 
quant. matéria n moi moi 
int. luminosa I v candeia cd 
Exemplos de unidades 
N 1 tabelas, as palavras "exemplos de unidades" são abreviadas 
p Ir I U. 
A l lll tldndes indicadas neste formulário são dadas como exemplos. 
A ptlmolr untdade é a do Sistema Internacional. O leitor deve utilizar 
1h prnf• r ncia, estas unidades, o que simplifica os cálculos. A~ 
''' 'li" unld des indicadas são, tanto múltiplos decimais das unida-
"' '11, r.orno unidades prescritas, toleradas ou não pela lei, mas 
til 11 I c ullllmtln [unidades entre colchetes]. 
I ' 11th1'"'" ' 10 leitor que todas as fórmulas deste manual são equa-
\·' • do lll' "uhl/ 1 nas quais é necessário introduzir unidades ade-
'JII II It pu t Clllculor o valor da grandeza. 
Símbolos utilizados 
(em grande parte conforme DIN 1304) 
.Espaço e Tempo Mecânica 
a, /3. y .. . ângulos m massa 
Q ângulo sólido (> densidade 
I comprimento v volume específico 
b largura p impulso 
h altura J mom. de inércia de massa 
r, raio, raio vetor F força 
G peso próprio 
d, diâmetro M momento fletor 
espaço percorrido MR momento de atrito 
espessura T momento de torção 
u, circunferência p pressão (força pela área) 
A área, seção transversal a tensão normal de tração ou 
Am área lateral de um corpo de compressão 
r tensão tangencial ou de 
A o área externa de um corpo cisalhamento 
E alongamento específico 
v volume y deslizamento 
tempo E módulo de elasticidade 
w velocidade angular G módulo de cisalhamento 
a aceleração angular I momento de inércia 
v velocidade de área 
a aceleração w momento resistente 
g aceleração da gravidade H momento estático de uma 
Fenômenos periódicos 
superfície 
I" coeficiente de atrito de des-
e afins lizamento 
T período /.lo coeficiente de atrito estático 
f freqüência 
n número de revoluções (Ire- /.lq coeficiente de atrito radial 
qüência de rotação) I" I coeficiente de atrito de rola-
w freqüência angular mento longitudinal 
À comprimento de onda ., viscosidade dinâmica 
rp ângulo de avanço ou recuo,ângulo de defasagem y viscosidade cinemática 
w trabalho, energia 
p potência H campo magnético 
7J rendimento e fluxo elétrico 
Calor v tensão magnética Rm resistência magnética 
T temperatura absoluta 11. condutância magnética 
Unidades 
I A1 
Prefixos e seus Símbolos 
temperatura em oc 6 comprimento do entreferro 
a coeficiente de dilatação linear a coeficiente de temperatura 
da resistência elétrica 
y coeficiente de dilatação vo- y condutibilidade elétrica 
lumétrica (! resistência elétrica específica 
<1> corrente térmica 
q; densid. de corrente térmica E constante dielétrica 
Q quantidade de calor Eo const. de campo elétrico 
da = Deca = 10' d = Deci = 10-1 
h = Hecto = 102 c = Centi = to-2 
k = Kilo = 103 m = Mili = 10-3 
M = Mega = t06 !1 =Micro = 10-s 
G = Giga = t09 n = Nano = 10-9 
T = Tera = 1012 p = Pico = 10-12 
p = Peta = to15 f = Femto = to-15 
E = Hexa = 1018 a =Ato = 1o- 1a 
Cp calor específico a pressão E r constante di.elétrica relativa 
constante N número de espiras 
C v calor específico a volume 11 permeabilidade 
Unidades de Comprimento 
constante l1o const. de indução magnética 
q qu~nt. de calor específico l1r coei. de permeabilidade 
À condutividade térmica p número de pares de pólo a 1 
X relação entre os calores es- z número de condutores a 2 
pecíficos (cp/cv) Q fator de qualidade a 3 
R constante dos gases 6 ângulo de perdas a 4 
/d calor l evaporação y admitância aparente a 5 
e~pe- fusão z impedância aparente a 6 
Ir ClfiCO J X reatância 
I, de sublimação P, potência aparente 
Vn volume normal Q potência reativa 
v volume específico eM constante de momento 
m 1-lm mm em dm km 
1m = t to• 103 t02 to 10-3 
t 1-lm = 10-6 1 10-3 10-4 10-S 10-9 
1 mm = to·3 t03 t 10-1 10-2 to-• 
tem ·- 10-2 t04 tO t 10-1 10-s 
t dm = to-• 105 102 tO t 10-4 
t km = t03 to• to• 105 104 t 
Unidades de Comprimento (Continuação) 
mm 1-lm nm (Â) 1) pm (mÂ)'' 
Eletricidade e magnetismo Radiações ópticas e a 7 
I corrente elétrica eletromagnéticas a 8 
f densid.de corrente elétrica I e intensidade energética 
a 9 
u tensão elétrica f v intensidade luminosa 
a 10 
a 11 
Uq tensão da fonte <I> e potência irradiante a 12 
R resistência elétrica, resis- <I> v fluxo luminoso 
1 mm = t t03 to• t07 to• t010 
t !lm = to-3 t t03 tO' to• 107 
t nm = 10-6 10-3 t 10 t03 t o• 
(t Â) = 10-7 to·• to-• t t02 t03 
t pm = to-• 10-6 10-3 to-2 t tO 
(t mÂ) = 10-10 10-7 10- 4 to- 3 to- • t 
tência ativa O e energia irradiante 
c condutância elétrica, con- Qv quantidade de luz Unidades de Área 
dutãncia ativa E c irradiância 
() quantidade de eletricidade, E v aclaramento 
carga H e exposição irradiante a 13 
(' cnpacldade elétrica H v exposição luminosa a 14 
/) don:;idade de fluxo elétrico L e radiância a 15 
I• . unpo elétrico L v luminãncia a 16 
,,, fluxo magnético c velocidade da luz a 17 
/{ don ld do de fluxo magné- n índice de refração a t8 
tu;o, in<luçõo f distância focal 
lntJut, nciu D poder refringente 
m' ~tm2 mm2 cm2 dm2 km2 
t m' = t t012 to• tO' 102 to-• 
t 1-lm' = 10-1; t 10- 6 10-8 10-10 to-•s 
t mm2 = 10-· to• 1 10-2 10-· 10-12 
t cm2 = 10-' tOS t02 t t o- 2 10-10 
t dm2 = 10-2 t010 tO' t02 t t o·• 
t km2 = to• t018 t012 t010 108 1 
11 Â = Ân strom l) 1 ux Unidade X ou Ront cn) g 
A2 Unidades 
-
Unidades de Volume 
m' mm3 em3 dm3 1) km3 
1 m' = t to• 106 t03 10-9 
t mm3 = 10-9 t 10- 3 10-6 10-18 
t em3 = 10-6 t03 t 10-3 10-15 
t dm3 = 10-3 106 t03 t 10- 12 
t km3 = to• t018 1015 1012 1 
Unidades de Massa 
kg mg g dt 1 = Mg 
1 kg = 1 106 103 10-2 10-3 
1 mg = 10-6 1 10-3 ,o-• 10-9 
1 g = 10-J 103 t 10- s 10- 6 
t dt = 102 108 lOS 1 10-1 
1 t = 1 Mg = t03 109 106 10 t 
Unidades de Tempo 
s ns !lS ms min 
1 s = t 109 106 103 t6,66·10 - 3 
1 ns = 10"9 1 10- 3 10-6 16,66. 10- 12 
t flS = lo- • 103 1 10-J 16,66 ·10-
9 
1 ms = 10-3 106 103 1 16.66·10- 6 
1 min = 60 60·t09 60·106 60·t03 1 
t h = 3600 3,6·10'2 3.6·109 3,6·t06 60 
1 d = 86,4·103 86,4 · 1012 86,4 · 109 86,4·106 1440 
Unidades de Força ou de Peso 
N 21 kN MN (kp) (dyn) 
1 N 1 10-3 10-6 0,102 10s 
I kN 103 t 10-3 0,102·t03 108 
I MN 106 103 1 O, 102·106 1011 
I) I <1111:! li t Litro I 2l1 N = 1 kg m/s2 = 1 Newton 
a 19 
a 20 
a 21 
a 22 
a 23 
a 24 
a 25 
a 26 
a 27 
a 28 
a 29 
a 30 
a 31 
a 32 
a 33 
a 34 
a 
a 
a 
a 
35 
36 
37 
38 
a 39 
a 40 
a 41 
a 42 
a 43 
a 44 
a 45 
a 46 
a 47 
a 48 
a 49 
a 50 
a 51 
a 52 
a 53 
a 54 
a 55 
a 56 
a 57 
a 58 
a 59 
a 60 
Unidades 
Unidades de Pressão 
Pa N/mm2 bar 
1 Pa = N/m 2 = 1 1 o-• 1 o-s 1 ,02 ·1 o-s 
1 N/mm 2 = 106 1 10 10,2 
1 bar = 10s 0,1 1 1,02 
(1 kp/cm2= 1 at)= 98100 9,81·10-2 0,981 1 
(1 Torr) 1) = 133 0,133·10-3 1,33·10-3M,36 ·10-3 
Unidades de Trabalho 
(Torr) 
0,0075 
7,5. 103 
750 
736 
1 
J kW h (kgl m) (kcal) (CV h) 
1 J 2) 
1 kW h 
(1 kgf m) 
(1 kcal) 
(1 CV h) 
1 W 3l 
1 kW 
(1 kgf mls) 
(1 keaVh) 
(1 CV) 
= 1 0,278·10"6 0,102 0,239·10-3p,378·10- 6 
= 3,60·106 1 367·103 860 1 ,36 
= 9,81 2,72·10-6 1 ?,345·10-3 3,70·10-6 
= 4186,8 1,16·10"3 426,9 1 1,58·10-3 
=2,65·1 06 0,736 0,27·106 632 1 
Unidades de Potência 
W kW (kgl m/s) (keaVh) (CV) 
= 1 10"3 0,102 0,860 1,36 ·10"3 
;:: 1000 1 102 860 1 ,36 
= 9,81 9,81·10"3 1 8,43 13,3·10-3 
= 1,16 1,16·10- 3 0,1 19 1 1,58·10-3 
= 736 O, 736 75 632 1 
Unidades de Massa para Pedras Preciosas 
1 Quilate Métrico (QM) = 200 mg = 0,2 · 10- 3 kg = 1/5000 kg 
Unidade de Pureza de Metais Preciosos 
·24 quilates ~ 1 OOO,OO%o I 18 quilates A 750,00%o 
14 quilates ~ 583,33%o 8 quilates A 333,33%o 
Unidades de Temperatura 
T = ( o1C + 273, 1s) K =~· R:~ K Ponoo<!" •""'""' m.'~ ·,~o •F Rank 111 &71. 67 
(Agua) 
TA = (-iL + 459,67\ Rank = ~·I. Rank Ponoooo '""'• 27l1S o -- -- ·- 32 49\67 
F ) 5 K ooG<Oo • 
t = H~- 32)•c =(f- 273,15tc 
IF = ( ~ · _L + 32) °F = (...Ia... - 459,67) 0 f 
5 °C Rank 
TK, TR, te e fF são as temperaturas ~o 0 - 213•15 -~o ')!) 61 0 
nas escalas Kelvin, Rankine, Celsius e Fahrenheit 
1l 1 Torr = 1/760 atm = 1,33322 mbar B. 1 mm Hg (mm OS) para I - O"f 
2l 1 J = 1 N m = 1 W s = 1 Joule 31 1 W = 1 J/s = 1 N mls f ,._. , . 
A4j Unidades 
Comparação entre 
unidades anglo-americanas e métr icas 
Unidades de Comprimento 
pol pé jarda 
1 pol = 1 0,08333 0,02778 
1 pé = 12 1 0,3333 
1 jarda= 36 3 1 
1 mm = 0,03937 3281 ·10-6 1094 ·10- 6 
1 m = 39,37 3,281 1,094 
1 km = 39370 3281 1094 
Unidades de Área 
pol2 pé2 jarda2 
1 pol2 = 1 6,944·10-3 0,772·10- 3 
1 pé2 = 144 1 0,1111 
1 jarda2 = 1296 9 1 
1 cm2 = 0,155 1 ,076·10-3 1,197 ·10- 4 
1m2 = 15,5 0,1076 0,01196 
1m2 = 1550 10,76 1,196 
Unidades de Volume 
pol3 pé3 jarda3 
1 pol3 = 1 5,786·10' 4 2,144 ·10_, 
1 pé3 = 1728 1 0,037 
1 jarda3 = 46656 27 1 
1 cm3 = 0,06102 3532 ·10-a 1,31 ·10-6 
1m3 = 61 ,02 0,03532 0,00131 
1m3 = 61023 35,32 1,307 
Unidades de Massa 
dracma onça lb 
dracma = 1 0,0625 0,003906 
onça = 16 .1 0,0625 
lb = 256 16 1 
9 = 0,5643 0,03527 0,002205 
k9 = 564,3 35,27 2,205 
M9 = 564,3103 35270 2205 
mm 
25,4 
304,8 
914,4 
1 
1000 
106 
cm2 
6,452 
929 
8361 
1 
100 
10000 
cm3 
16,39 
28316 
764555 
1 
1000 
106 
9 
1,772 
28,35 
453,6 
1 
1000 
106 
m 
0,0254 
0,3048 
0,9144 
0,001 
1 
1000 
dm2 
0,06452 
9,29 
83,61 
0.01 
1 
100 
dm3 
0,01639 
28,32 
764,55 
0,001 
1 
1000 
k9 
0,00177 
0,02832 
0,4531 
0,001 
1 
1000 
km 
-
-
-
10-6 
0,001 
1 
m2 
64,5·10- ' 
0,0929 
0,8361 
0,0001 
0,001 
1 
m3 
1 ,64·10- ' 
0,0283 
0,7646 
10- 6 
0,001 
1 
M9 
a 61 
a 62 
a 63 
a 64 
a 65 
a 66 
a 67 
a 68 
a 69 
a 70 
a 71 
a72 
a 73 
a 74 
a 75 
a 76 
a 77a 78 
1,77·10- 6 a 79 
ao 
81 
28,3·10- 6 
4,53·10-' 
10- 6 
0,001 
1 
a 
a 
a 
a 
a 
82 
83 
84 
Continua em A 5 
5 
6 
7 
a8 
a8 
a8 
a8 
a8 
a 9 
8 
9 
o 
1 
2 
a 9 
a9 
a 93 
a 94 
a 95 
a 96 
1 
2 
3 
4 
a 97 
a 98 
a 99 
a100 
a10 
alO 
alO 
a10 
atOS 
a106 
a107 
a108 
a109 
a110 
a111 
a112 
a113 
a114 
a115 
a116 
Unidades 
I As 
Continuação de A4 
Unidades de Trabalho e Energia 
lb pé kp m J=W kW h kcal Btu 
1 lb pé - 1 0,1383 1,356 376,8·10-9 324·10-6 1 ,286·10- 3 
1 lb pé - 7,233 1 9,807 2,725·10-6 2,344·10- 9,301·10- 3 
1J =1Ws= 0,7376 0,102 1 277,8·10-9 239·10-6 948,4·10- 6 
1 kW h 2,655·106 367.1·103 3,6·106 1 860 3413 
1 kcal - 3,087·1oJ 426,9 4187 1 '163·10-3 1 3, 968 
1 Btu - 778,6 107,6 1055 293·10-6 0,252 1 
Unidades de Potência 
hp kp m/s Jls=W kW kcalls Btu/s 
1 hp : 1 76,04 745,7 0,7457 0,1782 0,7073 
1 kpm/s - 13,15·10'3 1 9,807 9,807·10-3 2,344·10-~ 9,296·10- 3 
1 J/s= 1W= 1,341 ·10·3 0,102 1 10-3 239·10-6 948,4·10- 6 
1 kW = 1,341 102 1000 1 0,239 0,9484 
1 kcalls = 5,614 426,9 4187 4,187 1 3,968 
1 Btu/s = 1,415 107,6 1055 1,055 0,252 1 
Outras Unidades 
1 mil= 10·3 pol = 0,0254 m 
1 sq mil = 1 o·6 pol2 = 645,2 )l 
1 milha inglesa = 1609 
1 milha marítima irternacional = 1852 
1 milha geográfica = 7420 
1 légua brasileira (3000 braças) = 6600 
1 milha brasileira (1000 braças) = 2200 
1 galão Imperial (lngl.) = 4,546 d 
1 galão Americano (EUA) = 3,785 d 
1 braça (2 varas) = 2.20 
1 vara (5 palmos) = 1,1 o 
1 passo geométrico (5 pés) = 1,65 
1 alqueire paulista = 24200 
1 alqueire mineiro = 48400 
1 ton curta (EUA) = 0,9072 M 
1 ton longa (GB, EUA) = 1,0160 M 
1 Btu/pé3 = 9,547 kcallm3 = 39964 N m/ 
1 Btu/lb = 0.556 kcal/k~ = 2327 N m/ 
1 lb/pé2 = 4,882 kp/m2 = 47,8924 N/ 
1 lb/pol2 ( = 1 psi) = 0,0703 kp/cm2 = 0,6896 N/c 
~ li 
:I 
I 
I 
I 
i ;: 
,i 
I 
!I 
b A 
b 2 a 
b 3 d 
b 4 A 
b 5 d 
b 6 A 
b dt 
b 6 d, 
b 9 A 
b 10 m 
b 11 A 
b 12 
b 13 s 
Áreas 
a·b 
a·h a·b · sina 
V< a + h· cot a) 2 + h2 
V ( a - h · c o t a ) 2 + h2 
~h m · h 
2 
a + b 
-2-
a·h 
-2- = ~ · S 
V s( s-a) ( s-b) (s-e ) 1 
a + b + c 
2 
I j 
Quadrado 
/ 
/ 
o" '/ 
/ 
/ 
/' 
/' 
Retângulo 
Paralelogramo 
Trapézio 
Triângulo 
Triângulo eqüilátero 
Pentágono regular 
Hexágono regular 
~ 
Octógono regular 
Polígono qualquer 
Áreas 
A 
h 
A {r2 V10+2(5' 
a -}ry1o- 2}'5 
~ +rY6+2'{5 
Construção: 
AB ; 0,5 r, BC ; BD, CD = CE 
A t i'{3 
d 
1 '1 55 s 
s 0,866d 
A 2as 0,83s2 
2 s Vd'- s 2 ' 
a s·tan22,5°~ 0,415s 
s d ·cos22,5°"' 0,924d 
d s 1 ,083 s 
cos 22,5° 
b 14 
b 15 
b 16 
b17 
b 18 
b 19 
b 20 
b 21 
b 22 
b 23 
b 24 
b 25 
b 26 
b 27 
b 28 
b 29 
b 30 A 
b 31 
b 32 u 
b 33 A 
b 34 
b 35 b 
b 36 A 
b 37 
b 38 b 
b 39 ã 
b 40 s 
b 41 A 
b 42 r 
b 43 h 
b 44 â 
b 45 A 
b 46 u 
b 47 
Áreas 
2" r "d 
.!:.. (D 2 - d 2) 
4 
" (d + b)b 
D - d 
2 
" 2 3 60o r a 
b r 
2 
" 1 aoo r a 
" (ã 180° a 
2r · sin~ 
a , 
2r 
a em radianos) 
Círculo 
Coroa circular 
~ 
Setor circular 
Segmento circular 
h 2 
6S (3 h2 + 4 s 2 ) r2 - . = 2 (a-slna) 
h s 
2 + 8h 
a 
r(1-cos 2 ) 
veja fórmula b 39 
..!!_Dd = Jta b 
4 
~ t an~ 2 4 
Volumes 
Cubo 
c 1 v al 
c 2 Ao 6 a2 
c 3 d = Y3·a 
c 4 v a b c 
c 5 Ao 2{a b + a c + b c) 
c 6 d V az + b2 + c2 
Paralelepípedo oblíquo 
c 7 V = A, h 
li 
I 
(principio de Cavalieri) 
Pirâmide 
c o v 
"' 
A, h 
-,-
A, 
Tronco de pirâmide 
~,, 9 v h yA, ·A,') c 3{A1 +A2+ 
c10 h A1 + A2 {se A1 = A2) -
-2-
A, 
c 2 Volumes Volumes C3 
Cilindro Segmento de esfera 
v ~ d 1 h c 11 c 26 ih ( 3 a2 + 3 b2 + h2 ) 4 y 
A'" 2~rrh c 12 c 27 A'" 2Jt r h (zona esférica) 
Ao 2/Cr(r+h) c 13 c 28 Ao ~t(2 r h + a2 + b2 ) 
Casca cilíndrica c 29 v .!!.... h ( ls2 + h2 ) Calota esférica 6 4 
v ~h (D 1 d 1 ) 
n h2 (r- T) m 4 - c 14 /q:r,,, c 30 A'" 2 n r h (capa da esfera) c 31 ~(s' + 4 h2 ) --~ .S -· ....... ..., 4 
Setor esférico 
.!!.... r 1 h v c 15 c 32 v 1_ n r 2 h 3 3 
A'" nrM c 16 
c 33 /[ + s) Ao "r (r+ 17!) c17 Ao 2 r (4 h 
"' 
vh~ + r2 c 18 
AI 
A, : A1 ~ :? : h' c 19 
Esfera seccionada por cilindro 
Tronco de cone 
1"2 h ( D 
1 + Dd t d 2 ) ~ v c 20 c 34 v !!_h) 6 lt } 3 Am 2 m(D+d) 2 "pm c 21 c 35 Ao 2nh(R +r) " Lo ,/ V<D; d )' +h' m c 22 
---.:_,-' Esfera seccionada por cone 
4 
. rl 1 1_" r 2 h v 3" 6" ·d) c 23 c 36 v 3 
"' 
4 1 189 r 1 c 24 c 37 Ao 2n(n + M) 
Ao 4 n r 1 ~ n d 2 c 25 
C41 Volumes Aritmética 
I D Potências, Raízes I 1 
Cálculo das potências e das raízes 
Toróide regras gerais exemplos numéricos 
~ v ~Dd
2 
o38 4 d 1 
Ao c 112 D d c 39 d 2 
d 3 
d 4 
p. an ± q · a n = (p :: q)a" 3a"+ 4a' = ?a' 
'------
am-a n = am· n a•. a' = a" 
amlan = a m-n a
8/a2 = 08-2 = a• 
(am )" 
= 
(a")m 
= a 
mn ( a• )' = (a' )• = 0 z·J = a• 
Tronco de cilindro d 5 
-fi 
= 1/an a-• 1/a' a = 
~ v c 2:._ d 2 h c 40 4 d 6 ' d 7 d-/ d 8 a n (tr a• (f r - = - = b" b. PVa :': qVa = (p :': q)Vo 4-y; + ?Vx = ltYx v;-;; = Va·~ ~ = if~G · llm 
Segmento de cilindro 
v ~ r 2 h c 41 
IN 3 d 9 Am 2 r h c 42 Ao 11 2 " r Vrz+ h2 Am+2 r +2 c 43 d10 d11 ~ 1ft 
.1 E 
= = (%)" = V4 = 2 Yb V2 
"Va" í'Çm Va' ~ mx • a = = 
Vcr (Va'f m iW (Va'Y = at n +) = = a = 
Barril 
LW 
d12 
v " ( 2 ' J2h2D +d) c 44 
d13 
Prismóíde h 
d14 
~:' v c 6(A, + Az + 4 A) c 45 d15 Esta fórmula pode ser usada nos ' cálculos envolvendo os sólidos 
mostrados nas páginas C 1 ... C 3, 
d16 
AI bem como a esfera e suas partes. 
v:; = ira V-9 =i V9 = 1 3 
+) Não aplicável nos casos, p. ex. V<=2)' = V4 c +2; <v-2>' c -2 
Os expoentes das potências e das raizes devem ser números puros. 
Equação quadrática (Equação do 22 grau) 
Forma normal x' + px + q c o V~'- q Soluções x, ; x, c -R± 2 
Teorema de Vieta p c - (x, + x,); q c Xt•X2 
Cálculo iterativo de uma raíz n-ésíma qualquer 
Se X c VA' então x c _!_ [ ( n-1 )x0 + --,h 1 ll X 0 
em que x0 é o valor inicialmente estimado para x. A precisão de x aume 
substituindo várias vezes x or x. 
nta 
oP 
d 17 
d 18 
d 19 
d 20 . (o 
d 21 (a 
d 22 
d 23 
d 24 
d 25 
Aritmética 
Potências, Raízes - Binômio 
Transformação de expressões algébricas 
(a :t b)' a' ± 2ab + b' 
(a ± b) 3 a ' ± 3a' b + 3ab1 :t b3 
(a .,. b )" a" +~a" -' b +. n(n-1) an-> b' + 
, , . 2 
+ o + c)' 
- b + c)' 
a' - b 1 
a' + o' 
o
3 
- o' 
an - bn 
n(n- 1) ( n-2) n- J J 
+ 1 . 2 . 3 a b + . . . b" 
a' + 2ab + 2ac + b' + 2bc + c' 
a' - 2ab + 2ac + b1 - 2bc + c' 
(a + b)(a - b) 
(a + b)(a2 - ab + b1 ) 
(a- b)(a' + ab + b1 ) 
(a- b)(a"-' +a"·' b + an-J b 1 + . .. 
. . . + abn-> + b"- 1 ) 
Binômio de Newton 
d 26 (a+ b)" (;)a"+(~)an -< ·b+(;)an-l.b'•(;)an-J ·b'+ " 1 
d 27 (") n(n-t )(n-2) .. . (n-1\+t) "' 
) k = t· 2 ·3 . .. 1< 
• em que n é um número inteiro. 
d 28 (a+ b) 4 1a 1 + ~a'-'·b+ ~ a'-'·o' + 
t 1 ·2 
4 . 3·2 4-) J ' mo ·b + b 
o' + 4o 3 • b + 6o 2 • b 1 + 4a . b3 + o' 
Esquema de cálculo 
d 29 Cálculo dos coeficientes pelo triângulo de Pascal 
(a + b) 0 t 
d 30 
d 3t 
d 32 
(o + b)' 
( a + b) 1 
(o + b) 3 
(a + o) 1 
(a + o)' 
(a + o) 6 6 
2 
3 
4 16 
'"'l5~7t --,-t O"'J 
15 20 
3 
4) 
t O 5 
, 5 6 
Lei de formação: cada linha começa e termina por 1 . O segundo e o 
penúltimo números devem ser os expoentes, e os demais a soma dos da 
direita e da esquerda imediatamente acima deles. 
Expoentes: A somi'l dos expoentes de a e de bem cada termo é igual ao 
expoente do binômio n. Se os expoentesde a decrescem, os de b 
crescem. 
Sinais: Para (a + b) sinais sempre positivos. Para (a - b) inicialmente simll 
positivo, e em seguida alternadamente negativo e positivo. 
Exemplos: 
(o + o)' 
(a - o)' 
o 5 + 5o4 b + 10o3 b 1 + t 0o 1 o3 + 5ob4 + b' 
+a' - 5o' o + tOa' b1 - t 0o 1 b 3 + 5ob'- b' 
', 
d 33 
d 34 
d 35 
d 36 
Aritmética 
Função racional- Decomposição em frações parciais 03 
Função racional fracionada 
() P(x) a , +a,x+a,x
2 + .. . +am;rm n>m 
~ x = QTXT b, + b, x + b, xl + . . . + b, x' n, m inteiro e positivo 
Os coeficientes a, b" podem ser reais ou complexos. Se n, forem as raizes 
de O(x), obtém-se um produto de fatores. 
P(x) P(x) ~(x) = QlxT = a(x -n,)" · (x-n1)'' ... (x-n,)'• 
k1, k2 ... kq são as raizes múltiplas reais ou complexas de O(x); a é um 
fator constante. 
Decomposição em frações parciais 
Para simplificar o estudo de y(x), por exemplo a integração, é aconselhável 
decompor y(x) em frações parciais . 
P(x) A,. A,, 
y(x) = QTXT = x-n, + rr.:;:lJl +. · .+ 
+ ~+ _A_,_,_ + ... + 
x-nz (x-n,)l 
A,, Ao> Ao'' 
+ x-n, + (x-n,)1 +. · . + (x-n,)'' 
Q(x)contém coeficientes reais e raizes complexas (conjugadas complexas). 
Para a decomposição, esses pares de valores são agrupados em frações 
parciais reais. Se, em d 33 as raizes forem m = n1 (conjugadas complexas 
de nt), e se as designarmos por kt = k2 = k devido ao aparecimento em 
pares, pode-se decompor d 34 em frações parciais com as constantes Att 
... A21<2: 
B,, x + c,, + B12 x + cfl n.k x+ c,k 
x 1 +BX+b (x 1 +ax+b)' + .. . + (x1 +ax+b)' 
As constantes A11 até Aqkq e, respectivamente, 811, Ctt a Btk, Ctk se 
calculam igualando os coeficientes de mesma potência em x das partes 
direita e esquerda da equação, desde que o denominador da parte esquerda 
das frações parciais seja novamente O(x). 
Exemplo: 
x) = 2x -1 = 2x-1= B11x+C11 +~+~ 
y( (r+1-2iJ(r+1+2i)(r+1)1 Q(x) x1+2.r+5 X+1 (X+1)2 
2x-1 B11 x (X+ 1)' +C11 (X+ 1)' +A01 ( H 1) ( x-J+2.r+5) +A, 1( x2+2X+5) 
QTX} Q X 
2x-1= (A,,+ B 11 )x3 + (3A, , +A,,+ 28, + C,)x2 + 
+ (7 A,,+ 2A,1 + B,. + 2C,)x + 5A,, + 5A,, +C,. 
Igualando os coeficientes da parte esquerda com os da direita: 
8 11 = -1/2; C11 = 1/4; A, ,= 1/2 ; A,,= -3/4 . 
Se as raízes 1'11 forem simples, as constantes A11, A21 ... Aq1 da equação d 
34 podem ser obtidas por: 
A,.= P(n,)/O'(n,): A,= P(n,)/O'(n,): . . . A.= P(n.)/O'(n.) 
d 37 
d 38 
d 39 
d 40 
d 41 
d 42 
d 43 
d 44 
d 45 
d 46 
d 47 
d 48 
d 49 
d 50 
d 51 
d 52 
d 53 
d 54 
Aritmética 04 Logaritmos 
Generalidades 
sistema logaritmo 
na base 
designação 
log
0 
a logaritmo na base a 
l o g
10 
lg 10 logaritmo decimal 
loge ln logaritmo natural 
l og , lb 2 logaritmo na base 2 
log
0 " lj 
log
0 
x" 
log 0 1tx 
Equação exponencial 
0 x ::: b e~ tn a 
donde: 
" 
log b 0 = 'y'b 
= log a 
lg " 
ln x 
lb " 
Conversão de logaritmos 
lg e . ln x 0 ,434 294 · ln x 
lg " 
Tge 
1,442 695 · ln X 
2,302 585. lg " 
3 , 321928 ·lgx 
Base dos logaritmos naturais e= 2,71828183 ... 
Características dos logaritmos decimais de um número 
lg 0,01 - 2 ou 8 .. . . -1 0 
lg 0 ,1 -1 ou 9 . ... - 10 
lg 1 o 
lg 10 1 
lg 100 2 
etc 
Observação: o antilogarilmo deve ser sempre uma quantidade adimen-
sional. 
Aritmética 
Permutações, Combinações, Arranjos 
Permutações 
Número de permutações de n elementos: 
Ds 
d 55 P0 n 1 1 · 2 · 3 . .. n 
•J 
d 56 
d 57 
d 58 
Exemplo: os n = 3 elementos a, b, c podem ser permutados de 6 maneiras · 
diferentes: 
abc bac cab 
acb bca cba 
3! 1 . 2 . 3 6 permutações 
Caso especial: Se, entre os n elementos houver n1 elementos de 11 
espécie, m elementos de 2' espécie etc., e~ elementos de k1 espécie, 
o número de permutações diferentes vale: 
Pfl,k ::: 
'I! permutações 
n.lt ! 
Exemplo: os n =3 elementos a, a, b podem ser permutados de 3 maneiras 
diferentes: 
aab aba bao 
Donde: 
" 
= 3, n, 2, , 2::: 1, portanto 
Pl,2 
3! ~ = 3 permutações ~ 1· 2 ·1 
Combinações e arranjos 
Uma "combinação" de n elementos é o número das diferentes maneiras de 
escolher n elementos entre k elementos dados, sem levar em conta sua 
ordem. Assim, distinguem-se combinações com elementos diferentes ou 
grupos de elementos iguais. 
Num "arranjo" de n elementos entre k elementos dados, lalla-se em conta a 
ordem. 
As tabelas da página D 6 contêm as fórmulas das combinações e dos 
arranjos com ou sem repetição dos elementos. 
x) n! pronuncia-se "n fatoria l". 
~---'=-'=-
a. 
"' 
"' 
a. 
~ 
Número de combinações 
sem 1 com 
repetição e .sem consideração 
de ordem 
a. 
"' o 
Número de arranjos 
a. 
"' <O 
sem 1 com 
repetição e = consideração 
de ordem 
n n n! V =C ·P =---
Fórmulas 
c"- 11! -( 11 )1wc" - (n+k-t)! k-1\!(n-k)!-n-k k-1\!(n-t)! 
= ( ~ t = ("·~-r 
k k k ( n-1\)! wv; :: nk 
(") •) = }\ }\1 ('") 
~ o 
Explicações 
dos símbolos 
C número de combinações possíveis v número de arranjos possíveis 
11 número de elementos dados 
1\ número de elementos escolhidos entre k elementos dados 
<1> 3 ~ C'" 
~ :r 
VJ 
o 
n. 
E 
"' X w 
11 = 3 elementos a, b, c 
Dados k = 2 elementos escolhidos entre os 3 elementos acima 
Possibi· 
lidades 
ob oc 
bc 
aa ab ac 
bb bc 
CC 
Cálculo 
do núme· 
rode 
possibili· 
dades 
c' = l 
3! 
2!~= 3lwCl=(3+2- 1) ! _ l 2 ! ( 3- 1) I- 6 
=(3)=.2=3 3- 2 1 
= (3) =.l.:_g_ = 3 2 , ·2 
=e.~- ,) 
=(4)- 4·3 2 -~= 6 
Observa· j ab e ba correspondem a uma mesma com· 
ção binação 
ob oc 
bo bc 
co cb 
v; = ~3_!_ = 2!_ _ ( 3- 2)! 1 I - 6 
= U) 2!. 
1.:1.2! =6 1. 2 
aa ab ac 
bo bb bc 
CO Cb CC 
wv 3 = 3, 
' 
= 9 
ab e ba correspondem a arranjos 
diferentes 
"' "' .,.., -o O I Q t 
<1> <1> 
!!' UI 
< (1) 
.!!!. I» 
I» .... 
O iU 
Ol ::J 
~õ· 
UI 
• > Cálculo segundo d 27 
('") 
o 
~ s· 
c 
"' (!) 
3 
o 
CXl 
a. 
"' CX> 
<1>0 
C. <I> 
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k -g ~ 
-· < rt>o 
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"'"' C)!~~ g 
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8~ 
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(1) 
I» 
iii (j) 
c 
"""" 
d 69 
(J 10 
Da Aritmética Determinantes e sistemas de equações lineares 
Determinantes de ordem superior à 21 
(Pode-se calcular também os determinantes de 31 ordem pela regra de 
Sarrus, conforme as fórmulas O 7). 
Formar os determinantes e pesquisar os valores nulos por adição ou 
subtração de duas ou mais linhas multiplicadas ou divididas cada uma 
por um coeficiente apropriado. 
Desenvolver o determinante segundo a linha ou a coluna tendo maior 
número de zeros, alternando os sinais (sinal+ para a 11 ) . 
Exemplo: 
+ 
a,. a,, o 
·azz ··········: a23·· 
:. 
··· ç24··· · · 
'' 0.»'' ' ' 
O o 
Desenvolvimento segundo a 4° coluna: 
I 
. - . I 01( · - ---o12· -· ---o,J 
-ol4 o 21 a 22 aZJ 
0 11 Ocz Oa I 
+ - + 1 o 11 - -- • · OU: -----·ou 
024 031 032: 0.33 
o 4, acz a<l 
Desenvolver em seguida, por exemplo, segundo a 11 linha de d 70, 
se não se encontrar os zeros: 
0 = 024 (a.,, a:sz a, I -a12l oa,, a, I +a,l a,, a., I) -o,.( .. ·) O .cz 04J 41 Oa Ott Ocz 
Introduzir a coluna r segundo a página O 7, para os doterminantos Ot. 
Dz ... e desenvolver como para o determinante O. 
Cálculo das n incógnitas Ut...n segundo as fórmulas: 
u - !!..!... 
' - D 
O, Dn 
Uz = O ' , .. un ::: O 
Observação: Prosseguir o desenvolvimento de um determinante de 
nes•m•ordem até que se obtenham pelo monos determinantes de 3' 
ordem. 
Aritmética 
Progressões 
Progressão aritmética 
A soma de uma progressão aritmética é a soma dos termos de uma série 
aritmética. (A diferença de dois termos consecutivos é constante, por 
exemplo, 1.4,7,1 0 ... ). 
d 7t -"n =f (a 1 +a.) = a1 n +nln; 1 )d com d = a.-a,_1 
d 72 0 0 = a 1 + ( n - 1 ) d 
d 73 
d 74 
d 75 
d 76 
d77 
d 78 
d 79 
Média aritmética: cada termo de uma progressão aritmética é a média 
aritmética am entre dois termos adjacentes am-1 e am + 1. 
Para o mésimo termo tem-se: Om-• + 0 m ., 
=--2--
(p. ex.: na progressão acima: = ~ = 7) 
2 
Progress.ão geométrica 
para 1 < m < 11 
A soma de uma progressão geométrica é a soma dos termos da série 
geométrica. (O quociente de 2 termos consecutivos é constante, por exem-
plo 1.2.4,8 ... ). 
q" - 1 -"n=a,~ 
a/) := a,-qn·l 
Q-0 11 - o 1 
q - 1 
O o 
com q = --
al'l-1 
Para uma progressão geométrica infinita (11--+ "': jqj < 1) tem-se 
a,. = 11m On o ; lim Sn 1 a,T-=-Q 
Média geométrica: cada termo de uma progressão geométrica é a média 
geométrica am de seus dois termos adjacentes am-1 e am+1-
Para o mésimo termo tem-se: Om = Vom- , · Om t 1 para 1 < m < n 
(p. ex. na progressão acima: al = ~ = 4) 
Progressão geométrica decimal 
Aplicação para o cálculo de séries de números padronizados 
O quociente entre dois termos consecutivos chama-se "razão progressiva <p". 
rp = iJ1õ. b 2: 1. inteiro. 
b determina o número de termos ou número de números padronizados de 
uma série numa década. Os valores dos termos que devem ser arredonda-
dos para cima são calculadol, de acordo com d 77: 
an = o1(Vi0)"-1 = on(to1/b)n-1 n = 1 . . . b 
Começando com a1 1 ou o1 = 10 ou a 1 = 100 ou ... 
Exemplos: b Designação Observação 
6. 12. 24. E 6, E 12. E 24, . . série E intern. veja z 22 
5, 1 O. 20.. .. R 5, R 1 O, R 20.. .. série OIN veja R 1 
a 1 primeiro termo 
an : último terrno 
número de termos 
soma dos termos 
d : diferença entre dois termos 
consecutivos 
quociente entre dois termos 
consecutivos 
d 60 
d 61 
d 62 
d 63 
d 64 
d 85 
d 86 
! 
·', d 87 h :I 
d 88 
d 89 
d 90 
f(x) 
(~) = 
Exemplos: 
__ 1_ 
1 : X 
~ 
1 
y1 :t x' 
f( x ) = 
Aritmética 
Séries 
Série binomial 
+ 
em que a é qualquer, positivo ou negativo, inteiro ou 
fracionário. 
Cálculo dos coeficientes do binõmio: 
a(a - 1) (a - 2) ( a - 3) ( a - n + 1) 
1 2 . 3 ·n 
para 
-1 
+ x2 x' lx I <1 
= (1 :t :r) = 1 :;: X :;: + 
!.. 1 1 2 1 l lxl <1 
= (1 :': X )2 = 1 :': 2x - ãx :': 16x -... 
i 1 
+ ~x• Íx' I x1<1 (1 :t x)' = 1 - -x + + ... = + 2 16 
Série de Taylor 
f( a) f' (a} (x a) f"(a) (x - a )2 + . .. +-1-!- - +-2-!-
fazendo a= O tem-se a série de Mac Laurin: 
!(X) -- /(0} !'(O} J"(O) x2 + + -,-! -x + _2_! __ 
Exemplos. para 
X x2 x' todo X 
e = 1 +1T +2! +-3! + .. X 
(x·lna) 2 (x · lna)' todo x·ln a 
. +. a• = 1 + ---rr- + 2! + 3! .. X 
ln x = [x-
1 1(x-~j' 1(x-Bs 2 
-:r+1 + 3 X+i" + 5 X+i" + ... ] x>O 
x• x' x' x' -1< X ln(1+X)= X - 2 + 3- 4 +5 - .. x;;:; +1 
ln 2 
Continua em D 11 
Exemplos: 
d 91 sin X X 
d 92 c os X I 
d 93 tan X X 
d 94 cot X x 
d 95 ares in X X 
r. 
Aritmética 
Séries 
Série de Taylor 
(Continuação) 
z' x' z7 
- 31 .. 5T -71 
x• x' x' 
- 2i + 41 -6! t 
I ' 2 x' 17 7 + 3 I . --X 1 5 31 5 
1 1 l 2 > 
- 3 X -X - "§45 X 45 
1 x' I · 3 x' 1 . 3 . 5 
.. 23 + r 5+ m 
d 96 arccos x = 2 - a rc s in x 
x' x' x' x9 
X -3•5-7+9-d 97 a rctan x 
d 96 arccot x " 2 - a rct an x 
z' x' X? x9 
X +3' +51 +- +v + 7 ' d 99 s inh x 
x2 x' x• X e 
= 1 + 2T + 4T + 61 ·- + 8' d100 cosh x 
d101 tanh X = X 
d102 1 1 coth x =x+TX 
d103 arsinh x 
x' x' x' x' 
d105 artan h X X + 3 +5 +7 +9 + 
1 1 1 
d106 arcot h X - + X 37 + "5"?'" + 7 x 7 · + 
para 
todo 
X 
todo 
X 
lxl<~ 
O<l:r l 
lxl<" 
x1 
?"'·· lxl"' 1 
- t-----
lxl "' 1 
lxl"' 1 
lxl ~ 1 
todo 
X 
todo 
X 
lxl <} 
O<lxl 
lxl<" 
/XI<I 
+ ... lxl> 1 
lxl< 1 
lxl> 1 
d107 
d108 
d109 
d110 
d111 
d112 
d113 
d114 
d115 
d116 
d117 
Aritmética 
Série de Fourier 
Série de Fourier 
r 
Generalidades: toda função perió-
dica f(x), que pode ser decomposta 
em vários intervalos no intervalo de 
periodicidade -" S x s " pode ser 
representada neste intervalo por 
uma série convergente de forma 
(x = wt): 
"' 
f(x) =f'+ E[ancos(nx) + bn sin{nrl) 
Os coeficientes se calculam com as fórmulas: 
ak = ~If(x) cos (i<r)dr I bk = *I'f(x) sin (i<r)dx 
Se k =O. 1, 2 ... 
Simplificação do cálculo de coeficientes por simetria: 
funçãopar: 
2 
f• /(d • /(-•)~ 
ak =~ f~) cos(llr)dr 
para k - O, 1, 2, . . . _ 
bk = 0 - Jt 0 lt 2/t llt X 
função impar: f(r) = -f(-r) 
ak = O " 
bk = ~ J f ( x ) si n ( i<x) dr 
o 
para k = O, 1, 2, 
Simetria par completa 
Se f(x) = f(-r) c 
f{1+ x) = -t<1- x) então 
ak = ~ J~~r) cos (llr)dr 
0 para k = 1, 3, 5, . . 
ak O para k = O, 2, 4, . .. 
bk O para k = 1. 2, 3 .. 
Simetria impar completa 
Se f{x) = -f{-r) e 
f(.'!.+x)=-f{!!.. - .r) então 
2 2 
J
"lz 
bk = ! f(.r) sin (i<r)dr 
o para k = 1, 3, 5, ... 
"k O para k = O, 1, 2 .. 
bk O para k = 2. 4 , 6 .. . . 
d118 y = a 
d119 y =-a 
d120 !I 
d121 y = a 
d122 y =-a 
d123 !I 
d124 y a 
Aritmética 
Série de Fourier 
Tabela dos desenvolvimentos de Fourier 
para O <r <" 
para " <.r < 2" 
.!!.E..[sinr + sin{3r) + 
/( 3 
para a < r < "-a 
para 1t+a<x<2Jt-a 
y~-~~r---; 
: tJ : I 
0 1J't 121( j)Jl 
I I I 
L......-1 '--
sin (5x) J 5 + . '. 
I )(. Jt: 
I I T I I 
4a [ 1 L....J L....J 
" cosa sin x + 3cos (3a) sin (3x) 
+ fcos (5a) sin (5r) + . . ·] 
para a <r < 2~t-a y 
f(2Jt +r) 
., 
d125 y . 
d126 y ~["-a sin ( Jt-a) sin 2(K-a) 
" 2 1 
COS X + 2 
CO& 
sin 3( n-a) c os (3x) + "' J 3 
d127 y ax/b para Ofxfb 
d128 !I a para bfrf1t - b 
d129 y a(K- x) l b para x-b f x f x 
d130 
X 
X 
X 
{2x) 
X 
Y = .!±_ ~[_!_ sin b sin :r + 1 1 (3 ) ( ) 
"b 1' y s n b sin 3:r 
+ 5~ sin (5b) sin (5x) + . , .] 
d131 a :r !I 2n" para 
d132 IJ f(21C +r) 
d133 a IJ 2 
O <r < 2x 
E_[sin r 
I( 1 + 
sin (2r) + 
2 
s1\(3:r) + .. ·] 
Continua em D 14 
d134 IJ = 2ax/x 
Aritmética 
Série de Fourier 
Continuação de O 13 
para O ~ x ~ "/2 
para x/2 f x ~ x d135 V = 20(}(-X)/}( 
d136 IJ =-f(K+X) --~~~~~~~~--~X 
d137 
d138 " 
d139 v 
d140 " 
8 [ . 1J=7as1nx 
sin (3x) 
31 
ax/x 
a(2x-x)/x 
f(2,.+x) 
para O ~ x f x 
para " f x ~ 2>< 
IJ 
= ~ _ 4a[~ co• (3x) 
d141 2 }[1 1' + 31 
d142 v = a sin x para O ~ x f" 
d143 v =-a sin x para x f x f 2K 
d144 1J f(x + x) }(0 
-, 
d145 
4a rcos (2x) + cos (4x) + 
" - , . 3 3· 5 
cos (6x) 
5 ·7 
d146 " 
d150 " 
d151 !J 
d152 
o 
x1 
f(-x) 
para -11 f x ~" 
f(2x+x) 
para O~ x ~ x dt53 !J • ax/" 
tJ154 v !(2" + x) 
a I? o r c os ){ + cos (3x) 
d t ~~. Jl . 
•' ---;r- 31 
(I I' \" x_ - sin (2x) 11 2 
+ 
cos (5x) 
+ 51 
+ 
sin (3x) 
-
3 
X 
+ . . . 
X 
... ] 
. . '] 
d 156 
d 157 
d 158 
d 159 
d 160 
d 161 
d 162 
d 163 
d 164 
d 165 
d 166 
d 167 
d 168 
Aritmética 
Transformação de Fourier 
Generalidades 
Na transfonnação de Fourier F{s{l)}, a função s(t) é transformada po1 
meio da integral de Fourier numa função espectral contfnua S(w) 
(densidade espectral), em que a freqüência w corresponde à densi· 
dade do espectro. A função s(t) tem as seguintes propriedades: 
a) é decomponível em inteiValos finitos em que s(t) é contínuo e monóto· 
no; 
b) tem valores definidos nos pontos de descontinuidade s(t +O) e s(t - 0). 
iguais a: 
s(t) = 1/2 [s(t-0) + s(t+O)] 
c) é concebida de modo que a integral f- I s{f) I · dt seja convergente. 
Inversamente, a transfonnada inversa F 1 [S(w)J é a função s((J. 
Definições 
+ CO -í~t F{s( t)} S(w) = f s( t) e . dt; i =P 
-co 
+CO 
f., r 
F-'{S(w)} = s( t) =f Js(w) · dw; i =P 
Energia } 
espectral 
"-«> 
e 
Regras de cálculo 
Defasagem de tempo F{s( t- r)} 
Convolução s 1( t) "s.( t) 
F{s 1(t) * s 2 (t)} 
F {s( t)} 
F{s(at J} 
F { s 1( t) + s2 ( t)} 
+CO 
= Js,(<)·s2(t- <)·d< 
+CO 
= fs,(<)·s,(t -d · d< 
-co 
= S1(w) ·S2 (w) 
= S(w) 
1 S(w) 
=Jãi a a real> O 
=· s.(w) + s.(w) 
Continua em D 16 
d 169 
Aritmética 
Transformação de Fourier 
Continuação de D 15 
Abaixo são apresentadas funções espectrais, calculadas conforme d 159, 
para algumas funções de tempo importantes . Correspondências entre a 
função de tempo e espectral: 
1 <X> • • 
s(t) =-
2 
Js(w) · e'"'1 ·dw 
"-oo 
S(w) = js( t )· e-iw r · dt 
-a> 
Função do tempos(~ Densidade espectral S(w) 
d 170 Função retangular A· R r ( t l 2 AT·sin(wT)I(wT) 
!
slr! AR,Itl 
~( 
Slwl 
w 
r r 
d 171 Impulso de Dirac A· 6 ( t) 
~· A6111 d 172 
d 173 Função retangular! A ·Rm ( t-T/2)-
com va:::.de pola· -A ·Rm ( t+T /2) 
slll 
d 174 
siri 
d 175 
S(w) 
S(w) = A 
(densidade espectral 
constante em w) 
-j2AT · 
2 w T 
sin - 2-
wT 
2 
sin(wT) 
S(w) = 4AT·cos(2wT)---;;;r--
A-R.;(w) 
Slwl 
( Função) retangular 
}" w 
"'o::.T 
Continua em D 17 
Aritmética 
Transformação de Fourier 
Continuação de D 16 
Função do tempo s(t): Densidade espectral S(w) 
d 1 79 S ( ) _ si n ( Tw 2 ) d 178 Função triangular A· o, ( t) ( 1 )' 
w - Tw/2 . A T 
·I~ ~ri\"' -r~r t )"~~ '" 
-y--, r r w 
Retângulo modulado 2 2 
d 180 
d 181 
A-R 7 .(t) ·c os (w0 t) com w0 = ; = a''r 
17\"" slr I 0 Ú "l / \ .f ··· '·(\····· (V;Rr'" S(w)= A·sinT(w+w0 ) + w + wo 
-r v v MJJ r r 
d 182 
d 183 
Impulso de Gauss , 1,1 
«/~ 
d 184 
d 185 
tmpu!so 2 , ' 2n 
+ A sin T(w -w0 ) 
w- W'o 
-.. • 
S(w) = ..i .y;r .e ~ 
a 
A·T cos(~w) 
- · 
" 1-(J"w)' 
A · T sin(w~) 
-4-· 
( w-f) 
X 
1 
----:rcy 
1-"1"67 
d 186 co-seno A"·cos'(w0 t)comw0 =r 
'"' ~ S(w)o 
_,,1, '''- , 
d 188 
d 189 S(w) = ___ A_ 
J w +a 
X 
d 190 
d 191 
1921193 
d 194 
d 195 
d 196 
d 197 
d 198 
d 199 
d 200 
d 201 
d 202 
d 203 
d 204 
Aritmética 
Transformação de Laplace 
Generalidades: Na transformação de Laplace L { f(t)), a fun_ção de tempo f(t) 
é transformada numa função-imagem por melo da funçao mtegral: 
J
CI';l -pt 
F(p)" f(C)·e ·dt 
o 
se f(l) "o para t < o e inteiramente definida para I ~ O . <? termo e·o• é um 
fator de amortecimento utilizado para garantir a converg~nc1a de d1versas 
funções de tempo em que p =a+ iw, com a~ O é uma vanavel ope~ac1onal 
complexa. As equações diferenciais e até mesmo al~uns fenomenos 
únicos não-periódicos (por exemplo engat1lha~ento) sao resolv1dos no 
domínio da imagem; a função f(t) no domfmo I e defm1da pela transforma-
ção inversa (ver a tabela D 20). 
Definições c;0 .;co 
L {f (c)} = r(P) ~{t(t) e-ptdll L -'{F(P)} = /(1) = 2 !a~l:(P) e"'·dp 
representação simplificada: 
f( t) F(p) 
Regras (ou operações) de cálculo 
Linearidade L{f, ( t) + J,( t l} 
Lei de trans-
lação 
L{c ·f,(t)} 
L{r(t -a)} 
representação simplificada: 
r(p) t(tl 
Fr (p) + F,(p) 
c·F1 (p) 
e -•P · F(p) 
Teorema de 
convolução f 1 ( t) *f,( t) = jt1(t-r)·[2(T)·dr 
= jt1(r)·f2 (t-r) ·dr 
f,(t) ·• J,(t)~ F1 (p) · F,(p) 
Transf. de 
variáveis 
Diferen-
ciação 
Integração 
L{ f'( t)} 
L {f"( t )} 
L{f"(t )} 
L { J f( t) · d t} 
F(a ·p) 
p-F(p)- f( O') 
p'-F(p)- p·f(O')- f'( O') 
p"· F(p)-"f f(k)(O' )pn·k-1 
= 2._ F(p) 
p 
.. , 
d 205 
d 206 
d 207 
d 208 
d 209 
Aritmética 
Transformação de Laplace 
I 
I r--c=---,--,---,--.,--, 
: Resultado das soluções 
veja regras de 
diferenciação 
1 das eq. dife renciais 1 
I_---- - --- - --.-- -_I transf. inversa conforme O 20 
A dificuldade de resolução das equações diferenciais desaparece na 
transformação inversa. Esta é simplificada decompondo Y(p) em frações 
parciais (v. D 3) ou em funções parciais, cuja transformação inversa no 
domínio t é dada em D 20. 
Exemplo: 2r/ + y = f( t); f( t l é·função da excitação J y(O') "2 ~condição inicial 
ê ld 201 } 2p·r(p)-2y(O')+Y(p) "r( p) 
] ~ ~~~ ( t )~ Y( ) = F(p)+2y(O') = 1/p+2y(O') 
C) y p 1 + 2p 1 + 2p 
obtém-se outra solução para y(t). Aqui a hipótese f(t) =função de escalão. 
Conforme d 213: F(p) = 1/p: 
aplicando } Y( ) = 1 + 2y( O')=]_ __ 2_ + 2y( O') 
03 lp p(1+2p) 1+2p p 1+2p 1+2p 
1 - Y, 1 -!.-, -i, 
conformeD20y(t)=T-2;;e +2 · 2 2 e =1+e 
Aplicação da lei de convolução da transform.-L para as redes lineares 
Numa rede, uma função de excitação f, (t) é transformada numa resposta 
y(t). A rede é caracterizada pela função de transferência F2(p) que possui 
uma transformada inversa f2 (t). 
domínio- t domínio- p 
f,(t)~ y(tj 
~ 
F,(p~~ Y(p_) 
~ 
A resposta y(t) depende de fr(t) para uma dada malha. y(t) se calcula de 
acordo com d 205, iniciando na linha d 2Ó6 para determinar Y{p). - A 
transformação inversa no domínio t é possível se Fz(p) for uma função 
racional em p e a transformada L {Fr(p) lida em O 20. 
d 210 
d 211 
d 212 
d 213 
d 214 
d 215 
d 216 
7 
8 
9 
d 21 
d 21 
d 21 
d 22 
d 22 
d 22 
d 22 
d 22 
o 
1 
2 
3 
4 
5 d 22 
d 22 6 
d 22 
d 22 
7 
8 
d 229 
d 23 o 
d 23 
d 23 
d 23 
d 23 
d 23 
d 23 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
d 237/2 38 
Aritmética D2o Transformação de Laplace 
Tabela de correspondência 
G0 •ioo 00 
-pr 
= -
1
-. J F(p) · e pr F( p ) = J f( tl ·e . dt; f(t) 2Jrl. . dp 
o G0 -ioo 
· com p = i w = i 2" f; i = y:T 
~unç.imagel Função tempo Funç. imagem Função tempo 
F(p) f(l) F(p) f (t) 
1 6 ( t) ~ Dirac El 
....!_ · sin(l<t) + (p' + x' )' 21< 
1/p 1 para D O~g~ t 
O para t < O .2 li: + 2 -cos(l<t) 
rl cos(l<t) 
1/p• t (p2+1<2) 2 
_!:_t · sin(l<t) 
tn - 1 2 1 l p" (n- 1)! 1 com b *a: 
1 /(p- a) exp(at) (p- a) (p- b) ebr _ ecH 
b-a 
1/(p-a)2 t · exp(at) 1 1 _., 
· si n(l<t) (p+a)'+l<~ ke 
-a exp(at)- 1 1 _...!._ p(p- a) 
'(P y;r:t 
__ 1 __ 1 
2lfi 
Texp( - t/T) 1 1 + T · p PFP 
a 
sinh(at) yp -1/ ( 2VX'· t 111) T7 
p'(P 3/( 4Y'!·t'r.) p 
~ cosh(at) l n P + b 1 (' _., -bt) 
p+a 1 e -e 
__ )<_ 
sin(l<t) arctan(a/p) 1/t·sin(a t ) p• + x• 
p coma> 0: 
-•' 
--;;r;/1 cos(l<t) e -•yP _ a __ <;T 
2ty;<Te 
1 
-iJ;y sin(l<t ) -(p'+k2)2 coma~ 0: 
1 1 -•IP a 
- n • t ·c os ( k t ) -e erfc z)'T p 
2
11< sin(kt) 
1 { Função p YP' + x' J0 (k t ) <P' + 1<2 ) 2 I de Bessel 
d 239 
d 240 
d 241 
d 242 
d 243 
d 244 
d 245 
d 246 
d 247 
d 248 
d 249 
d 250 
d 251 
Aritmética 
Números complexos 
Números complexos 
Generalidades 
z = 
a = 
rei<p 
parte real de z 
b 
r = 
parte imaginária de z 
módulo dez 
'P argumento de z 
a e b são reais 
i 
i' +i 
i 2 
-I 
il 
-i 
i' + I 
i' +i 
r.:~ 
·-· 
]. 
r2 
i-3 
i'' 
i-s 
ele. 
z 
real 
- 1 
- I 
+i 
+1 
- i 
Observação: em eletrotécnica, substitui-se i por j para evitar 
confusões. 
Num sistema de coordenadas cartesianas: 
z a + i b 
z , + z, (a, + a, ) + i ( b, + b, ) 
z , z, ( a,- a,) + i ( b, - b, ) 
z, z, ( a, a,- b, b, ) + i (a 1 b2 + a, b, ) 
~ a i Oz .. b , b-z + . - a , bl: + 0? b • 
Z2 a/ b/ 1 o/ + b,' 
a' + b' ( a + ib) (a - ib) 
V a :': ib N'·b· 2 j v-a + r<_•b'' 
Continua em D 22 
I 
lil 
't 
Aritmética 
Números complexos 
Números complexos 
(Continuação) 
Num sistema de coordenadas polares: 
d 252 z r ( c os 1' • i · si nrp ) o + ib 
d 253 r 
d 254 rp 
d 255 sin rp 
d 256 z, z, 
d 257 ~ 
z, 
d 258 zn 
d 259 Vz 
d 260 
n 
V1 
d 261 i 'I' e 
d 262 -i f e 
d 263 Je -i 'f I= 
d 264 c os 11' 
d 265 1n z 
se r, 
= 
~~ 
arctan ~ 
a 
b ~ I tan rp ~ c os rp r r a 
r; . r2 [ cos(rp
1 +\1'2 ) + i· si n( 11', +11'2 ) l 
_s_ (cos(rp-9'2 )+i · sin(9'1 -rp2 )j (z,*O) r, ' 
r 0 [cos(ll\P) + i·sin(nll'l] (n>O,inteiro) 
rp + 2nk 
n 
cos~+ i · sin~ 
n n 
+ i · sin 11' + Znk) ll 
(nésima raiz inteira) 
nas fórmulas d 259 e d 260: k =O, 1, 2, .. , n.:. 1 
cos 11' + i· sin 11' 
- i ·s in rp cos 11' cos 11' + i· sin 11' 
Vcos 2 rp + sin 2 11' 
ei'f + e -i!" eiY' - e -i 'I' 
2 
sin 11' 2i 
lnlrl-> i(rp + 2nk) (k = o, ~1, ±2, . . . ) 
r, e tpi :;::; (/12 + 2nk, então, tem-se z, = z, 
d 266 
d 267 
d 268 
d 269 
d 270 
d 271 
d 272 
d 273 
Aritmética 
Aplicação da progressão geométrica 
Juros compostos 
!<.n = i<o . qn 
1 !<.n 9-
n 
!to 
T'Ç'Q 
VF q o 
Cálculo dos rendimentos 
r 
n q"- 1 i<o·q -r·q~ 
(i<o· Q0 - l<n)(q - 1) 
(Q"- 1 )q 
1 9 r . q - k.n( q - 1 ) 
r · q - !<.0 ( q - 1 ) 
19 q 
Se kn = O, obtém-se as "fórmulas de amortização" . 
Cálculo das anuidades 
(Fórmula dos bancos de poupança) 
r 
ko . qn + r . q qn- 1 
q -1 
( l<n - !to · q")( q - 1 ) 
(q"- 1 )q 
1 110 ( q - 1 ) + r · q 9 !to( q - 1 ) + r · q 
lg q 
Explicação dos símbolos 
1< 0 : capital inicial 11 
ltn : capital depois de n anos q 
r : renda anual (retirada ou renda pa· p 
gável no começo do ano) 
número de anos 
1+p 
juro (por exemplo 
0,06 para 6%) 
!I 
I 
d 274 
d 275 
d 276 
d277 
d 278 
d 279 
d 280 
.d 281 
d 282 
d 283 
d 204 
d 285 
Aritmética 
Solução geométrica de expressões algébricas 
b ·C 
a 
:l : b c : X 
x : 4• proporcional 
b' ~ X a a : b b : X x : 3ª proporcional O X 
X VN 
a : X X : b 
x: média proporcional 
ou :t ~ 
x : hipotenusa de um triângulo retân- 'r""=-------'--+--'-
gulo 
x : altura de um triângulo equilátero 
X f(ys'-1) 
~ 0 · 0,6 18 
a : x x : ( a-x) 
x : parte maior de um segmento divi-
dido ao meio e extrema razão (se- . 
ç5o áurea) 
e 1 
e. 2 
e 3 
e 4 
e 5 
e 6 
Funções circulares 
Noções fundamentais 
Grau e radiano de um ângulo plano 
Representação detalhada 
Um ângulo é expresso tanto em graus a 
como em radianos â. Existe a relação seguin-
te entre essas duas medidas: 
rad 
57,2958° a 
~ 0 
Unidades de medidas em graus: 1 °; 1'; 1" 
Unidades de medidas em radianos: -; rad; mim 
1 radia'no (rad) é o ângulo no centro de um 
círculo de 1 m de raio se o arco interceptado 
também valer 1 m. Donde: 
1 rad 1m ~ 
Assim, o radiano é expresso por um número puro, como no quadro 
seguinte; a notação rad pode ser suprimida. 
a ao 30° 45° 60° 75° 
o lt lt lt 5 6 4 3 1211 â 
o 0,52 0,79 1 '05 1 '31 
'Representação simplificada usual 
(utilizada neste formulário) 
Legalmente ficou estabelecido que: 
n rad 
= --;ao-
90° 
" 2 
1,57 
Assim, impõe-se a igualdade entre a e â, 
poupando-se a grandeza básica "Ângulo pla-
no" (veja Prefácio). Então: 
a= â e 1 rad = 57,2958° 
Unidades: 1°; - ; rad; mim 
180° 270° 360° 
3" 2" I! - 2-
3,14 4,71 6,28 
~ rad/90 = ~ rad 
2 180 
= 1 grau= 1° 
Funções circulares 
Noções fundamentais 
Comprime~to de um arco 
O ~prim•oto do •= b do "" d1rulo '' ~ '~ 
raio r e de ângulo a no centro vale: ~~~ 
e 7 b r â 
e 8 
e 9 
e 10 
e 11 
e 13 
e 14 
e 15 
O triângulo retângulo 
cateto oposto 11 ~ sina hipotenusa c cosa cateto adjacente _Ê_ hipotenusa c c 
tan a = 
cateto oposto ~ I cota = cateto adjacente =_Ê_ cateto adjacente cateto oposto 11 
Valores das funções de ângulos importantes 
ângulo a O' 30' 45° 60' 75' 90' 180' 
sina o 0,500 0,707 0,8ô6 0,966 1 o 
cosa 1 0,866 0,707 0,500 0.259 o -1 
tan a o 0,577 1,000 1,732 3,732 00 o. 
cota 00 1,732 1,000 0,577 0,268 o 00 
Relação entre as 
funções senoidais e co-senoidais 
Equações fundamentais 
Função senoidal y 
Função co-senoidal y 
y 
·"""· 
Asin(ka-9') 
A c os ( k a - 9') 
A= 1 
A= 1,5 
A= 1 
e 
e 
e 
270' 360' 
-1 
o 
00 
o 
nr éi. 
k = 1 
k=2 
o 
1 
o 
00 
k = 1 
'I'= -n/2 
e 15 
e 16 
e 17 
e 18 
e 19 
e 20 
e 21 
e 22 
e 23 
e 24 
e 25 
e 26 
e 27 
e 28 
e 29 
e 30 
e 31 
e 32 
e 33 
e 34 
Funções circulares 
Quadrantes 
sin( 90° -
c os( 
tan( 
cot( 
sin( 180 
cos( 
tan( 
cot( 
sin(270° -
c os( 
tan( 
cot( 
sin (360° -
c os( 
tan( 
cot( 
sin( 
cos( 
tan( 
cot( 
- a 
I 
a) 
) 
) 
) 
a) 
) 
) 
) 
a) 
) 
) 
) 
a) 
) 
) 
) 
\ c:~·: 
\ .'?: 
+y 
+ cos a 
+ sin a 
+ cot a 
+ tan a 
+ sin a 
- cos a 
- tan a 
- cot a 
- cos a 
- sin a 
+ cot a 
+ tan a 
sin a 
+ cos a 
- tan a 
- cot a 
- sin a 
+ cos a 
- tan a 
- cot a 
sin( 90° + a) 
cos( ) 
tan( ) 
cot( ) 
sin( 180 + a) 
cos( ) 
tan( ) 
cot( ) 
sin(270° + a) 
cos( ) 
tan( ) 
cot ( ) 
sin(360° + a) 
cos( ) 
tan( ) 
cot( ) 
sin(a± n·360°) 
cos( " 
0
) 
tan(aj: n ·180 ) 
cot( 
I 
I 
\ 
\/ 
) 
+ cos a 
sin a 
cot a 
- tan a 
sin a 
cos a 
+ tan a 
+ cat a 
- cos a 
+ sin a 
cot a 
tan a 
+ sin a 
+ cos a 
+ tan a 
+ cot a 
+ sin a 
+ cos a 
+ tan a 
+ cot a 
:'\ ~o,..-
or:-~/ '{o_... c.,O.,'" 
' 
' 
' 
90° ~ 
2 
~ . 
. , . \ _, 
.· ,_ 
:"\_ 
':·· .,Q ,' 
.·· ·, " a 
â 
e 35 
e 36 
Funções circulares 
Relações trigonométricas 
Relações fundamentais 
1 I t a n a cot a 
co: a 1 + cot
2
a 
Funções de soma ou diferença de ângulos 
e37 sin(a:tp) sina·cosP:!: cosa·s in {J 
e 38 cos(a :t p) cosa· cos P :;: sin a· sin P 
e 39 tan(a :!:p) tan a :t tanP. cot(a :tp) = cot a·c .otP + 1 1+tana·tanf3' !:cota +cotP 
Soma e diferença de funções trigonométricas 
e 40 sin,. a + sin p 2·s1n ~ 2 ·cos~ 2 
e 41 si n a - sin {J 2· cos !!~ 2 · s 1 n E...::......f!_2 
e 42 cos a + c os p 2· 
a + p 
. cos .!!_.:::.__P_ cos --2- 2 
e 43 
-
{J -2 · a+P a - p cos a c os sin --2- · sin --2--
e 44 tan a ± tan p 
sin(a ± P ) 
cos a · cos P 
e 45 cot a t cot p 
s in (p ± a) 
sin a · sin p 
1 + p) 1 - f3 ) e 46 s in a c os fJ. 2 sin(a + 2 sin(a 
1 
+ p) 1 - f3) e 47 c os a c os {J 2 cos(a + 2 cos(a 
e 48 sin a sin p 1 2 cos(a - f3) - _!_ cos(a 2 + f3) 
tan a + tan f3 tan a - tan f3 
e 49 tan a tan p 
cot a + cot f3 cot a - cot f3 
e 50 cot cot fJ 
cot a + cot p cot a - cot !!. 
a tan (1 + tan p tan a - tan p 
cot tan p cot a + tan !!. cot a - tan !!. e 51 a tan a + cot p tan a - cot p 
Soma de 2 oscilações harmônicas de mesrha freqüência 
e 52 a sin(wt + 'Pll + b cos(wt + ll'>l = ~ si n(wt + <p) 
com c = a sintp 1 + 
c 
tp = arctand e 
b COS<p 2 ; d = B COS<p1 - b sin<p2 
~='c==,... { ambas devem 
'P = arcsin Vc 2 + d2' ser satisfeitas 
e 53 
e 54 
Funções circulares 
Relações trigonométricas 
Relações entre 
!Es 
ângulo simples, ângulo duplo e semi-ângulos 
sin a = cos (l = tan a = cot a = 
cos(90°- a) sin(90°- a) co t(90°- a) tan(90°- a) 
Y1 - cos 2 a tan a 
e 55 2s in ~·cos ~ cos 2E- sin 2 E 2 2 2 2 
sin a 
;.os a 
~ 
sin a 
e 56 
e 57 
e 58 
e 59 
e 60 
e 61 
e 62 
e 63 
o 64 
e 65 
o 66 
tao a 
Y1 + tan 2 a 
IVcos 2 a-cos 2a 
v 1 - c~s 2a' 
1 
Y1 + cot 2 a 
2·tan E.. 
2 
1 + tan 2% 
sin 2a = 
2·sina· cosa 
sin E_ = 2 
v1 - cós a 2 
·cot a 
Y1 + cot' a 
1 - 2sin2~ 2 
Y1 + tan 2a 
1 - tan 2 .E.. 2 
1 + tan 2 1 
cos 2a = 
cos 2 a-sin2 a 
2cos2 a - 1 
1 - 2sin 2 a 
a 
cos 2 = 
v1 
' + c os a 
2 
sio a 
V! - sin 2 a 
v~-~ 
V1 - cos 2 a ' 
cos a 
2 · tan ~ 2 
1 - tan 2 E.. 2 
tan 2a = 
:1 ·tan a 
1 - tan2 a 
2 
cos a 
V 1 ' ~-1 
V! - sin2 a 
sin a 
2·cot!!.. 2 
cot 2a = 
cot 2 a - 1 
2·cot a 
cot a- tan 
lcota- ltana 
a 2 2 
tan E.. = cot ~ = 2 2 
sin a sin a 
1 + c os a 1 - c os a 
1 
-
c os a 1 + c os a 
sin a sin a 
y; - c os a v; + c os a + -c os a c os a 
), 
.li lj 
i 
e 67 
e 68 
e 69 
e 70 
e 71 
e 72 
e 73 
e 74 
e 75 
e 76 
e 77 
e 78 
e 79 
e 80 
Funções circulares 
Triângulo qualquer 
O triângulo qualquer 
Lei do seno 
sin a : sin {3 : sin r a : b : 
a b 
·sin {3 sin a 
c 
sin r sin a 
b 
__ a_ 
\in {3 __ c_ sin {3 
sin a sin r 
a b 
c 
sin a sin r sin {3 sin r 
Lei do co-seno 
a' b' + c' - 2 b c . c os a 
b' c' + a' 2 a c . c os {3 
c' a' + b' - 2ab · COS r 
Es 
c 
(O co-seno é negativo se o ângulo for obtuso) 
Lei das tangentes 
a + b 
~ 
t a+/3 an -
2
- tan~ 
_a_+_c __ ---=2- b + c t
!!..=.J. an 2 
a-{3 
tan2 a - c tan~ 2 b-:c tan f!..::.l 2 
Teorema da bissetriz 
tan !!_ ; --~-
2 s - a tan L ; ~ 2 ~ I tan -2r ; --~­s - c 
Área, raio do círculo inscrito e circunscrito 
1 1 1 
A 2bcs1na ; 2acs1n{3 Tab sin r 
A Vs(s-a)(s-b)(s-c)' ~s 
v (s-a)(s~b)(s-c)' 
r 
s 
1 a 
2 ·sina 
a + b + c 
2 
1 b 
2' sin {3 
e 81 
e 82 
e 83 
e 84 
e 85 
e 86 
e 87 
e 88 
e 89 
e 90 
e 91 
e 92 
e 93 
Funções circulares 
Funções inversas 
Funções circulares inversas 
Definição 
Função y = 
arcsin x arccos x arctan .r arccot x 
idêntica a x ; sin y x ; cos y x ; tan y x ; cot y 
Domínio de 
-1 ;i X l> +1 -1~rf+1 -oo <X <+OO -oo <.r<+ 00 definição 
Valor principal n n n ~ y~ O n n n > y >O 
no domínio -2~y~+2 -2<-y<+2 
Relações fundamentais 
n . 
arccos .r = 2- arcs1n x arccot .r = .!. - are tan .r 2 
Relações entre as funções circulares inversas l) 
Ares in x ; Arccos r ; 
• • Ar ecos Yt-x' ' Ares in Y1-x' 
ArctanVJ7 • Y1=7 Arctan---
X 
• V\:7" 
Arccot R Arccot -x-- 1-x 
Arct~n x ; 
___.!.:_ Arcsin~ 
• 1 
Ar ecos y1 +x• 
'" Arccot + 
Arccot x = 
• ,__1_ 
Ares in~ 
Arccosp 
. . 
Arctan.f. 
Para valores de x definidos em e 82, tem-se: 
arcsin(-x) ; -arcsin x 
arctan(-x) ; -arctan x 
Teoremas da adição 
arcsin a ± arcsin b = 
arccos a ~ arccos b = 
arctan a :!: arctan b = 
arccot ·a :!:: arccot b ' = 
I arccos(-r) ; arccot(-x) = n- arccos .r n- arccot :c 
arcsin (aYJ7 :!: b~) 
ar ecos (a b +VJ7 -~) 
a :!: b 
a rc tan ~ 
a b + 1 
arccot ~ 
1l As fórmulas marcadas com • aplicam-se para x 2! O. 
f 1 
f 2 
f 3 
f 4 
t 5 
6 
7 
f 8 
f 9 
Geometria analítica 
Reta, Triângulo 
Reta 
y=mx+b 
m = Y1 - Vt 
y 
+) tan a 
Função 
Inclinação 
Equação dos 
segmentos a '* O; b * O 
~+..!L- 1 
a b 
Inclinação m, da normal AB 
- 1 
m4 = --::;-
Reta definida por 2 pontos P1{x1.y1) e P2{X2,y.2) 
~=~ 
x - .r1 x2- x1 
Reta definida por 1 ponto P1{X1 ,y1) e pela inclinação m 
!I - y, = m( r - x , ) 
+) 
Distância entre dois pontos d = V<x2 -x, )2 +(Y2 -y, )2 
Ponto médio de um segmento 
I ·· =~ >m 2 
Ponto de interseção de duas retas {v. fig. do triângulo) 
x, = ~ I y3 m,x 3 + b, = m,.r,+ b2 m, - ITt2 
110 Ângulodeinterseçãode2retas: tan<p m2 - m, +l ( v. lig. do ) 1 + m2·m1 triângulo 
111 
112 
113 
Centro 
de gravi-
.r, 
dade S 
Ys 
Área 
A 
Triângulo 
.r, + X2 ~ .r, 
3 
y, + Y2 + !IJ 
3 
( x, y2 -x, y,) + ( x, y, - x, y,) + (.r, y, -x, y 3 ) 
2 
)( 
+>condição: x e y expressos nas mesmas unidades e mesmas escalas 
(veja também h 1) 
I' 
Geometria Analítica 
Círculo, Parábola 
Círculo 
Equação do círculo 
centro 
na origem em outro local 
f 14 ~ + y2 = r 2 (x-x 0 ) 2 +(y-y0 ) 2 = 
Equação fundamental 
f 15 ~ + y2 + ax + by + c o 
f 16 
f 17 
f 18 
f 19 
f 20 
f 21 
f 22 
f 23 
f 24 
Raio do círculo 
r Vrxo-::-,-+-Y-o',-----~c 
Coordenadas do centro M 
a b 
"o = - 2 Yo = - 2 
Tangente Tpeloponto P1(X1 ,Y1) 
y r' - (x-x 0 ) (x, -x0 ) + y,· - Yo Yo 
Parábola 
Equação da parábola (Sob esta forma, podem-se ler as coordenadas 
do vértice e o parâmetro p) 
vértice 
na origem em outro local 
abert.da 
parábola 
F: foco 
L: diretriz 
~ 2py 
~ = -2py 
( x-x0 ) 2 = 2p(y-y0 superior S: tangente (x-x 0 ) 2 =-2p(y-y0 inferior no vértice 
Equação fundamental 
y a~ + bx + c 
Raio no vértice 
Propriedade 
fundamental 
r p 
PF' c PQ 
Tangente Tpcir P1(x1 ,Y1) 
'I 
2(y, -y0 )(x-x1 ) + y, 
Geometria analítica 
Hipérbole 
Hipérbole 
Equação da hipérbole 
Ponto de interseção das assíntotas 
na origem em outro local 
f 25 ~ y' o (x - r o r· (y - Yo )' Q2 -t:;'-1 a' í)2 
Equação fundamental y 
f 26 A~+ 8y2 + Cx + Dy + E O 
f 27 
f 28 
f 29 
Propriedade fundamental 
F'2 P - r; P = 2a 
Distância do foco 
+) 
.Inclinação das assíntotas 
b +) 
tan a = m. :;: ~a 
Raio de curvatura P 
nci vértice 
b' 
=-
a 
I F3 
- 1 
f 30 Tangente T 
por P1(X1,y1) 
b2 ( r 1 - x0 ) (X - X, ) + Y, 
Y = Q2. '1, - 'lo 
f 31 
f 3~ 
Hipérbole eqüilátera 
Explicação: no caso da hipérbole equilátera 
a= b, donde 
Inclinação das assíntotas 
tan a+\. m = !l (a 45°) 
Equação (Se as assíntotas forem 
paralelas aos eixos x e y): 
Ponto de interseção das assíntotas 
na origem em outro local 
X·IJ c' (x-x 0 )(y-y0 )= c' 
Raio nos vértices 
f 33 p a (parâmetro) 
•>Condições: veja nota em F 1 
o 
f 34 
f 35 
f 36 
f 37 
f 38 
f 39 
Geometria analítica 
Elipse, Função exponencial 
Elipse 
Equação da elipse 
Ponto de interseção dos eixos 
Raio nos vértices 
r=.!!_lr.=a2 
N a H b 
Distância do foco 
e~ 
Propriedade fundamental 
F;'? + !'2 P 2 a 
Tangente Tpor Pt(X1.Yt) 
qualquer 
+ (y - v.) 
b2 
b2 (x,-x.)(x-x,) 
v =-ar· v.-v. + y, 
Observação: Ft e F2 são os focos. 
Função exponencial 
Equação fundamental 
!I ax 
emque a é uma cons-
tante positiva ex um nú-
mero. 
Observação: 
Todas as curvas exponenciais 
passam pelo ponto X=Oe 
Y= 1 
A curva que neste ponto teW 
uma inclinação de 45°(tan a • 
y 
7 
o 
,_0 
0~ <:-~ e' 
''li '\. /"e~ 
I ,..{ 
I / ,. 
I/ ,_ 
h 
"' 
o 
- 1 o 
X 
= 1) é igual à sua derivada. A constante a é, neste caso e (número de 
Euler), base dos logaritmos naturais. 
e= 2,718281828459 ... 
•I Condições, veja nota em F 1 
f 40 
f 41 
f 42 
f 43 
f 44 
f 45 
f 46 
f 47 
f 48 
f 49 
f 50 
f 51 
f 52 
f 53 
f 54 
f 55 
Geometria Analítica 
Funções fundamentais hiperbólicas 
Funções fundamentais 
Definição 
< -x +) y 
e - e 
2 sinh x = 
cosh r = ex +- e-x 
2 
• -x e - e 
~ 
e2x- 1 
~ tanh x = -) 
ex+ e-x 
~ coth x = 
e2x + 1 
~ 
Relações fundamentais 
c osh 2 x sinh2 x 
-----
..,, \_, 
f! \ ~I . 
;;/ \ 
tanh x coth x 
Fs 
tanh x = sinh x 11-tanh 2 x 
cosh x --:--r-h
1 
11-coth2 x CO$ X 
- 1 
sinh2 x 
Relações entre as funções hiperbólicas 
sinh X = cosh X = tanh X = coth X = 
:! }fosh2 x-1 Ysi nh2 x sinh X Ysinh
2 x t 1 
t 1 Ysinh 2 r + 1 sinh r 
• 
1 + Yéosb~ x-1 • cosh • !anb r + X 
-
- tanh 2 x Y1 - tanh 2 x cosh X 
1 • I co~ b ,I _1 __ + 
- ltoth2 x-1 ltoth x - 1 c oth 
Para os valores definidos de xtem-se: 
sinh(-x) = -sinh xlcosh(-x) 
tanh(-x) = -tanh x coth(-x) 
Teoremas da adição 
sinh(a :!: b) sinh a · cosh b ± 
cosh(a :!: b) cosh a - cosh b ± 
tanh(a :t b) 
coth(a ± b) 
tanh a ± tanh b 
± tanh a · tanh b 
coth a · coth b ± 1 
coth a ± coth b 
-+)O expoente x é sempre um número puro 
• Sinal + para x > O; - para x < O 
X 
- Ycosh2 x -1 
1 
tanh 
'*-cosh x 
-coth x 
X 
cosh a - sinh b 
sinh a - sinh b 
15 6 
f 57 
f 58 
f 59 
f 60 
f 61 
f 62 
f 63 
f 64 
f 65 
f 66 
f 67 
f68 
Geometria analítica 
I Fs Funções hiperbólicas inversas 
Funções hiperbólicas inversas 
Definição 
Função y= 
arsinh :r arcosh :r artanh x arcoth x 
Idêntica a x=sinhy x=coshy r=tanhy r=cothy 
Relarno com ln(x+yY:;.1) kln(x+Y?="ll = .!_ ln..!.::.! 1 r+1 nx =-ln--2 1-r 2 r-1 
Domínio de 
-oo <:r<+oo definição 1;>;r<+oo lrl < 1 lrl > 1 
Valor princi-
-oo < y<+ oo -oo <y<+oo 
- oo<y<+OO IYI >o pai 
Relações entre as funções hiperbólicas Inversas 
arsinh r = arcos h r = artanh:r = arcoth r = 
!arc os h y;-+? :':arsinhy;z::1 :r 1 
• • I 
arsinh y1_:r:z arsinhyx~ 1 
:r Y?=1 + 1 + :r 
artanhyt+? :':artanh-- ;arcoshy1-? ;arcoshyx•- 1 
• 
X 
V1+r' X 1 1 
arcoth-r- ;arcothyrz_ 1 arcoth x artanh x 
Para os valores definidos de x tem-se: 
arsinh(-x) = -arsinh r I artanh(-x) = -artanh r arcoth(-r) = -arcoth x 
Teoremas de adição 
arsinh a ± arsinh b = arsinh (a y;>;1' ± b ~) 
arcosh a ± arcosh b = arcos h [ab± J!ta2 -1 )(b2-1)) 
artanh a ± artanh b = a ± b artanh 1 ± ab 
arcoth a ± arcoth b = ab ± 1 arcotk~ 
• Sinal + para x > O; - para x < O 
f 69 
f 70 
f 71 
f72 
f 73 
f 74 
f 75 
f 76 
f77 
f 78 
Geometria analítica 
Vetores 
Componentes, grandeza, co-senos de direção de vetores 
Vetor: Grandezas físicas com unidade e direção. 
Coordenadas da origem do A do vetor a: x 1, y1, z1 
Coordenadas da extremidade 8 do vetor a: X2, Yz· Zz 
Vetores unitários sobre OX, OY, OZ; "t J! K 
Componentes com sinal 
e unidade 
a1 = Y> - y, 
llz = Z2- z 1 
a = 
->equações 
vetoriais / 
'x 
lil = 1]1 lkl = 1 
Grandeza ou valor do vetor: 111 ou a em notação técnica. 
(lã' I sempre~ O) 
Co-senos de direção de vetores: cos a, cos ~. cos y 
·-l!QY 
a, ~. y, ângulos entre o vetor ã' e os eixos OX, OY e OZ. (a, ~. y, 
= 0° ... 180°). 
cosa=~; 
iãi 
com cos2 a + 
cos p = f-!í; 
cos2 P + cos2 r 
cos r - 8z 
- , .... , 
Cálculo dos componentes quando I ã\ a, ~. y, são conhecidos: 
a, = lãl·cos a ; a1 = lal·cos p ; a, =la!· c os r 
Nota: Com os componentes de um vetor sobre OX. OY, OZ podem-se 
determinar a grandeza, os co-senos de direção. a soma e o produto 
dos vetores . 
f 79 
f 80 
f 81 
f 82 
f 83 
f 84 
f 85 
f 86 
f 87 
. f 88 
f 89 
Geometria analítica 
Vetores 
Soma (diferença) vetorial de vetores 
Soma vetorial stde dois vetores Fe "& 
..;>-
F a 
~ 
s 
S = B + b = St· i + Sy·J + Sz · k -------.ii"í 
_,.-- I 
s, = Bx + b, Sy = By + Cy Sz = Bz + bz 
lsl= Vs/ +s/+ s! 
_, ..- I 
' 
I 
I 
Diferença vetorial stde dois vetores Fe "& 
-I! 
s = ;;+ <-bi <-"bl H b" •> 
' I 
' I S.x = B..t - b;r; Sy = By - by j Sz = Bz - bz 
' I 
' I 
I si= Vs; + ,;y2 +s/ ' _, - '$1 
-b --------~I 
Casos 
especiais de 
I s'l para 2 
vetores 
tp 
lãltlb"l 
l;j=lb/ 
0°; 360° 
lãl+lb/ 
21";1 
90° 
Viã1'+iíil2 • 
la/V2 
Soma vetorial stde vetores a?"&.~etc . : 
180° 270° 
lãl-ltil Viãi,+ibl,' 
o /aiV2 
-; = -; + b - -; + ... = s.-i+ s 1 -j + s 2 ·k (Equações vetoriais) 
s.~. = ax+ b.x- c .. + ... ; Sy = a1 + br- Cy + ... Sz = Bz + bz- Cz+ ... 
I si= Vs: +s/+ si' 
Produto de um escalar por um vetor 
Escalar: Grandeza física com unidade. 
O produto de um escalar k por um vetor Fé o vetor c? 
f 90 c = k . -; ( k ~ O) (equação vetorial) 
c .. ;::;. k ·a,; Cy = k · By j Cz = k · Bz c =k·lã'l (c < 0) 5 f 91 
-
-+-
Se k > c ti ã c " o então ou 
c H ã c 8 k < o então ou 
Exemplo: Força F a = massa vezes a aceleração a. 
f92 nt>O; F;;"lt;; F.,=m·a; P.=nt·a 
')O simbolo iÀ significa que os vetores (-li} e (li) são paralelos mas de 
sentidos opostos. 
f 93 
f 94 
f 95 
f 96 
f 97 
f 98 
f 99 
f 100 
f 101 
f 102 
f .103 
f 104 
f 105 
f 106 
f 107 
Geometria analítica 
Vetores 
Produto vetorial de 2 vetores 
O produto escalar de 2 vetores livres Fe "&é o escalar k. 
Símbolo do produto escalar: (Ponto) "." 
- / 
k â-b=b·â=a·b costp=l"âl ·lbl·costp b/. 
k = a,·b,+a1 · by+az•bz (k;: O) ~ < .... 
tp = arccos a,·b,+ -'y·by+ -'z·bz b - costp ã 
1':J.it1 
Casos 
especiais 
270° 
o 
Exemplo: Trabalho W. de uma força F na distãncia~s 
W = força · distância = F'-s+ · ..., 
W=F·s-cosrp (WfO; F,s~O) ~ 
< S•COStp F 
O produto vetorial de 2 vetores livres Fe TYé o vetor c? 
Símbolo do produto vetorial: "x'' 
-; = -;X b : -( b X-;) 
/CJ = a·bsintp=/;1./b"/-sintp (c 
c.l:..a e 7".l:..b 
- ~-
41 b 1 C constituem uma base 
c, = l!y · bz - l!z · by 
c1 = Bz · b;r a.r · bz 
Cz = "• . by - "r . b • 
17"1 = Vc! + c/+ ez2 ' 
t~•Oo ... 180ob 
~ O) . 
. .e a 
tp >180° ... < 360° -
a 
Casos I 'P 270° 
especiais fj;jT b-::-/-s_i_n _,'P r-----1,_.....,..,:::::-c=-+----+-_:-:::1 ;.-,_-:-::1 "b:::-1 
Exemplo: Momento M de uma força F em 
1t = r·F'·sintp (lf f O; r, F ~ 
g 
g 2 
g 3 
g 4 
g 5 
9 6 
g 7 
9 8 
9 9 
9 10 
9 11 
Estatística 
Elementos do cálculo das probabilidades 
Axiomas do cálculo das probabilidades 
P{A) = probabilidade de uma ocorrência A 
h(A) número de ocorrências em gue A a~arece 
número de ocorrências possíveis 
freqüência relativa 
P(A) 2: O, a ocorrência A tem a probabilidade P(A) 
7 n4J 1, a soma das probabilidades de todas as ocorrências 
possíveis A; é igual a 1. 
P(AuB)*) P(A) + P(B) - P(AnB)*) 
Caso especial de ocorrências incompatíveis: 
P(A) + P(B) 
P(AIB) • P (A u 8)/P(B) é uma probabilidade condicional (proba-
bil idade de A com a condição 8) . 
. Caso especial para ocorrências independentes, em que 
P(8) respect. P(A)"' O; 
P(AIB) P(A) 
P(B!Ai = P(B) 
P(AnB) P(A}-P(B) para ocorrências independentes 
P(AnÃ) P(A)·P(Ã) = O, visto que incompatível. 
•loiagramas de Venn de representação das ocorrências 
O retângulo representa a totalidade das ocorrências A;. 
Círculo maior: ocorrência A~ (A1) 
Circulo menor:ocorrência 8 ~ (A2) 
A área hachurada indica a combinação dada: 
à 
("não" A) 
AvB 
(A "ou" 8) 
A nB 
(A "e" 8) 
ÃnB 
("não" A "e" 8) 
9 12 
9 13 
14/15 
9 16 
g 17 
Estatística 
Noções gerais 
Variável aleatória A 
A variável aleatória A é dada por dilerentes valores x;; todo valor x, é 
uma ocorrência provável. Distinguem-se os valores discretos ou con-
tfnuos de uma variável aleatória. 
Função de distribuição F{x) 
A função de distribuição F(x) indica a probabilidade para que o valor 
da variável aleatória A seja inferior ao valor da abscissa correspon-
dente x. A função F(x) é monótona crescente com: 
11m F(x) F( co) 1 
FlxJ 
o,s 
F(-oo) 
F(x) para valores discre-
tos da variável aleatória 
---------~­
.--
0 1 l 3 I. S o 1 8 X 
Função de distribuição p, resp. f(x) 
f7t para valores discretos 
P; 
0,3 
0,2 
0,1 
da variável aleatória 
0 1 l 1 lo S 6 7 8 X 
O; F(x)crescede0a1 
F(x) para valores conlinuos da 
variável alealória 
l(x) para valores conlínuos da 
variável aleatória 
f(xJ 
X 
A função de densidade da variável aleatória A é definida respectiva-
mente por p, e f(x); a relação com a função de distribuição é: 
X 
F(x) = L P; F(x) =f f(x) · dx 
-oc 
A área hachurada da curva de distribuição caracleriza a probabilidade 
para que o valor da variável aleatória A se encontre no intervalo Xt a 
x2 (sem x2). 
,, 
P(x1 ~ A <x,) =f f(x) · dx 
,, 
= F(x2 ) - F(x,) P(A <x,) -P(A <x 1 ) 
9 18 
9 19 
g 20 
g 21 
g 22 
g 23 
9 24 
g 25 
g 26 
g 27 
g 28 
g 29 
g 30 
Estatística 
Noções gerais 
Valor médio x e valor esperado ~ 
Valores discretos da variável A Valores continues da variável A 
•CO 
1J = f X· f( X) • dX 
-o:> 
n L x;·p; 
em que p, e f(x) designam os valores discretos ou contfnuos da 
distribuição. 
Variãncia c? 
Valores discretos da variável A 
v'= (x,-x)'. p, + (x, -x)' ·P' + 
+. ·. +(xo -r)' · Pn 
fcx, -x)'· P; 
Valores contínuos da variável A 
v'= .]{x -IJ)' ·t(x) ·dx 
--co 
. ., 
= f x2 · f( x) · dx - IJ2 ,. .. , n 
L x;' · p;- x' _., 
;~ 1 
em que p, e f(x) designam os valores discretos ou contfnuos da 
distribuição. 
o= ,,variãncia é chamada desvio padrão ou dispersão. 
Teorema central do limite (lei de adição) 
Se A; designam variáveis aleatórias independentes do valor espe-
rado~;. de média x; e de variãncias cr;,2 calcula-se: 
a variável aleatória A f A; 
i.::1 
o valor esperado e o médio IJ f lli (r fx;) 
i.:: I jz.J 
a variãncia v' i v;' 
;~ 1 
se A tiver uma distribuição aproximadamente nomnal (veja g 48 e g 54), 
isto é: ) ,r. (x - ll) P(A~x =y-c:-
Exemplo: Uma pilha de 1 O calibradores, tendo cada um desvio padrão de 
o=± 0,03 Jlm, apresentam, juntos, um desvio padrão total 
o, de: 
v,' = 10 v' ; c, = !.v(lO "' !0,095 1-1m 
Tipo Densidade-pro-de 
dist. vável 
cl ~ Eq. de f( x) contín. 
- defini-
~ ção P; discreto 
"' 
Função de dis- · Valor espe-
rado ).L tribuição média x 
F'(x) ~1 f(x)·d:r "' J x-f(x)·d:r 
. ., 
n 
F'(x)= L P, Lx, .. p; 
Variãncia 
a' 
"' 
_Jx'f(x)·d:r - J,J 2 
i:r.-'·P:-x' 
_ -:;:::____ .. ....::..::.~-----
Forma da função I Observações 
densidade Campo de aplica-
ção 
k_- número de erros 
,,_. núm. de amostras 
x;: valor discreto dava-
riável aleatória 
I ~A. ir! I ·-• I •,--_. . ;~:!:;.:_:;;:;~,::.....;u ~o;:; i <A. ; ,.., ; c 1 
( pN)fN(l-p)\ (pN)fll(l-p)) P!k! l erro 
co }( \n-11 j }( \ n-k N-n '-' ~· 0· 0 ' N: Tam. do lote 
w hiper- P( k )= (N) L (N) n · p n·p~(l-p) o.l p•o.1 pN: 'Peçasdefeit. 
w geo# n.· k<A n . o.l: .\\P c o.z em N. 
métrico 0.1 • 1 ••• N=ioo Cálculo exa-P(k) é a probabilidade que em n amostras num total de N, i \-.. n • >o to, porém 
existam k erros. o 5 10 , k trabalhoso. 
"' 
'::I bino-· 
miai 
!P(k)=·(")pk(t-p)"" ' l L(")p•(t-p)"··l n . p 
}( '" X I n·p(l-p) 
P(k) é a probabilidade de que em n amostras encontrem-se k 
erros. 
Pfk} 
n•ZO 
o 5 10 15 lc 
Condição: lote in-
finit. grande. Por 
tentativas, o con-
-unto fica mantido. 
w P(k)= (n~) -e·np L~-e-np n·p n·p númerodeamos-
o 
~-
6' 
c 
..()' 
O• 
co (f) 
<1> 
(f) 
'O 
co (') 
õi' 
Vi' 
m 
cn 
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"' I k I )' 1 -~ P!kJ Condição: grande 
"' k · '" k! · . . ~,. tras e pequeno 
loisson P(k) é a probabilidade de que em n amostras haja k e~ros. . ,~.,. o. número de defei· 
Aplicação: curvas de avaliação de amostragem aleatona (veja ' \·<> tuosas 
G11) . ···' ·· ... . n -p=const. 
C) 
TJ'eo 
dist. 
"' w 
.::: 
"' wl expo-
"' nencial 
~ 
Continua em G 5 o 5 •• •s n ~ ~: p ~ O. 
, Valores-
Densidade prová-~ Função d~ distn·j pera do ).L 
vel bUiçao média x 
Variância 
a' 
P; 
!(x) contrn. F(x) = Íf(x)·dx J'xf(x)·dx J'x'·J(x)·d:r-J.J2 
~ -~ '::'· -------+·~='---,------l 
discreto F(:r) =L p; f.x;·p; f.x; 2 ·p; -x' 
/<z. •=' ; .. , 
I 
Observações 
Fomna da função campo de aplica-
densidade ção 
"' núm. de amostras 
x;: valor discreto dava-
riável aleatória 
p: probabilidade de g 
erro ~ 
_ , . I 2 l!sJ Caso especial 5' 
f( x) = 8 ' e • I I 1 1 da distribuição ç;_ 1 -e-" - > de Po1sson para -o 
B > 0 B 8 X = 0. Dá a pro- g• 
x ~ O 0 babil. sem erro C/l Usado em cálculos de confiabilidade. Substituição de a · x pela · n ~ ~; p ~ o. co 
taxa de erros 1.. vezes o tempo de ensaio t (ver G 12). .gJ 
• Caso especial da ~ 
"' 1 _1'_ ·!I · • J' _,,. ~·I. 
"'' nomnall oV2Jf .i c; V2Ji' e ·d t w /(x)=--e 1'' 1 '2;T c;' 
distribuição bino- õi' 
miai. Vi ' )' 
Aplicação freqüente na prática onde os valores se distribuem 
em fomna de sino em tomo de um valor médio. 
f(x) = - 1- paraiF(x) = O para 
b-a _ - cc<X <a 
n-+oo 
p = 0.5 = contín. 
I """'-,--L-i---+--~ 
-2 -1 o 1 2 Jl 
ti<! A variável aleató-
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co 
"' OI unifor-
me 
a + b I ( b - a )2 ria x admite so-
- x- a r -2- --t 2-- mente valores do 
=O para x I -b- a pa ai intervalo a, b. To-a:!x~b C) 
externo a , x ~ b dos os valores 
Aplicação em que se deseja saber apenas os valores máximo ~~1r;J ~ual proba-
e mfriir'no, sem informação sobre a distribuição. o • J1 b • 11 a e. 
C11 
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I 
9 4i 
g 42 
Estatística 
Determinação do desvio-padrão a 
Determinação de cr para valores discretos 
Método analítico 
Pela equação g 23: 
0 2 = _f(x; -'i) 2 ·p; 
,., 
n 
com x L r; · p; 
i• I 
= f r/· p;- x 2 
,-., 
onde: x;: valores medidos da variável aleatória A 
p,: probabilidade correspondente à sua ocorrência 
Método gráfico 
O desvio padrão o é obtido simplesmente utilizando papel especial 
milimetrado aritmético, se se admitir que os valores medidos x; da 
variável aleatória tenham uma distribuição nomnal. 
A divisão da abscissa desse papel é tal que o resultado é uma reta, 
no caso de uma distribuição nomnal. 
Solução: A totalidade dos valores medidos da variável aleatória é igual 
a 100% . Calcula-se para cada valor i dos diferentes valores x, a 
freqüência em %. Escolhe-se entre esses i valores, por exemplo, 4 
valores, no desenho X4, X6, xr, Xg, sendo 2 nas bordas da direita e 2 
no meio do espectro. Em seguida, calcula-se para esses 4 valores o 
número em % dos valores inferiores ao valor escolhido que é levado 
ao gráfico (a X4 corresponde 10% , a xs 38% etc.). Traça-se uma reta 
passando por esses pontos e que corta as freqüências 16% e 84% . 
A diferença de ordenada vale 2o. O valor médio é lido em 50% . 
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> l s 10 16 10 10 1,0 50 60 10 ao SI. 9il 9S on 
Soma da distribuição em % < x, ---
Estatística 
Distribuição normal de Gauss 
Distribuição normal de Gauss {densidade de probabilidade) 
A equação g 39 dá, para c? = 1 e I'= O ~(A)