Probabilidade-Novo

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Prof. Luciano Melo 
 ESTATÍSTICA
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE
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Probabilidades
 “No século XVI os matemático Cardano escreveu um completo estudo através do livro “libar de ludo aleal” (livro sobre os jogos de azar). Os estudos de probabilidades tem origens sistêmicas no século XVII, com os matemáticos Fermat, Pascal e La Place que enuciou pela primeira vez a definição clássica de probabilidades. O matemático Gauss (1777-1855) cria a teoria para erros de observação. No século XX, Kolmogorov desenvolveu uma axiomática completa e consistente sobre probabilidades.
 
 “Ao estudar fenômenos coletivos, sempre nos deparamos com possibilidades e ocorrência de casualidade, para tal é necessário descrever um modelo matemático que possa explicar da melhor forma estes acontecimentos. 
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“A probabilidade é uma ramo da matemática que visa a formulação de modelos teóricos, abstratos que podem ser usados no tratamento da informação quando o acaso ou incerteza estão presentes”.
 “Quando se trata de empresas, negócios, produção, finanças, investimentos... A incerteza se faz presente, por estes motivos, fazer previsões futuras é uma tarefa que envolve riscos, mas, se apoiada em decisões gerências e levantamentos pode ser minimizada”.
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Probabilidade - é uma constatação baseada em cálculos (inferência) sobre a possibilidade de que algo ocorra. Quantifica o grau de incerteza dos eventos, variando de evento impossível 0% até 100% evento certo.
Espaço Amostral – É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento probabilístico.
Evento – Consiste em um ou mais resultados do espaço amsotral, é um subconjunto deste espaço.
O que é Probabilidade?
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Experimentos
Experimento: lançar um dado não viciado de seis faces. 
Espaço Amostral (S) : {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Eventos (E): sair um número par {2, 4, 6}
 sair um número menor que 3: {1, 2}
 sair um número 4:{4}
Experimento: Retirar uma carta de um baralho.
S = {52 cartas de 4 naipes distintos}
E= {retirar um ás de copas}.
Experimento: Na fabricação de chips de computador, verificar a possibilidade de que em uma caixa com 1000 unidades, haja peças defeituosas. 
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Espaços Amostrais
Um dado é lançado descreva o espaço amostral.
E para dois dados lançados?
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Probabilidade Clássica: eventos equiprováveis.
Ex. Um dado de seis faces é jogado. Obtenha a probabilidade de ocorrência dos seguintes eventos.
Evento A: obter um 3. R=1/6
Evento B: obter um 7. R=0/6
Evento C: obter um número menor do que 5. R=4/6
Probabilidade empírica: possibilidade de que a pressão sanguínea diminua após a medicação; possibilidade de que haja chuva após nuvens escuras…
 À medida que um experimento é repetido muitas vezes seguidas, a probabilidade empírica de um evento tende à sua probabilidade teórica (real).
Probabilidades
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 O gráfico de dispersão abaixo mostra o resultado de simular a jogada da moeda 3000 vezes. Observe que, à medida que o número de jogadas cresce, a probabilidade de obter cara fica cada vez mais perto da probabilidade teórica, que é de 0,5.
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Cálculo de Probabilidades
 Considerando um experimento aleatório, sendo S seu espaço amostral e admitindo que todos os elementos de S, representados por A (evento) tenham a mesma chance de ocorrer, temos: S é equiprovável.
Temos: P(A) = P(E) / P(S)
P(E): número de elementos de A, possibilidade de ocorrer;
P(S): Todos os elementos de S.
Ex: Ao lançar uma dado, observar a possibilidade de obter um número par na face superior.
S={1,2,3,4,5,6}
E={2,4,6}
Logo, P(A) = P(E) / P(S) 
 P(A) = 3/6 = 1/2 = 50%
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Qual a probabilidade de soma 4? 
3/36 = 1/12 = 0,083 ou 8,3% 
Qual a possibilidade de soma 11? 
2/36 = 1/18 = 0,056 ou 5,6%
Qual a chance de que a soma seja 4 ou 11? 
3/36+2/36 = 5/36 = 0,139 ou 13,9%
 Dois dados são lançados e sua soma é anotada. Verifique as seguintes 
possibilidades nas faces voltadas para cima:
Exemplos:
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Eventos Mutuamente Exclusivos: “A e B” / “A ou B”
 O evento composto “A e B” significa que tanto A quanto B ocorreram na mesma tentativa. 
 O evento composto “A ou B” significa que A pode ocorrer sem B, assim como, B pode ocorrer sem A, ou ainda, tanto A quanto B podem ocorrer. 
Mutuamente exclusivos
Não mutuamente exclusivos
P(A ou B), usa-se a “regra da adição”
P(A e B), “regra do produto”
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Exemplos: 
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização dos(s) outro(s).
P(E) = P1 + P2 ou P1 U P2
Exemplo: 
Ao lançar um dado, qual a probabilidade de tirar 1 ou 5?
P1=1/6 sair face 1 ; P2=1/6 sair face 5.
P(E) = 1/6+1/6 = 2/6 = 1/3 0u 0,333... Ou 33,33%
Exemplo: Qual a probabilidade de retirar de um baralho de 52 cartas, uma figura? 
Obs: Dama, Rei, Valete
PD=1/13 ; PR=1/13 ; PV=1/13 
P(E)= 1/13+1/13+1/13=3/13
Ou ainda, 12/52=3/13 (quant. de figuras sobre o total de cartas).
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 Dois eventos são independentes quando a realização de um deles, não afeta a probabilidade de ocorrência do outro e vice -versa. 
P(E) = P1 . P2 
Exemplo1: Dois dados são lançados. Qual a probabilidade de sair 1 no primeiro lançamento e 5 no segundo lançamento. 
P(E) = P1 . P2 →1/6 . 1/6 = 1/36
Exemplo2: De dois baralhos de 52 cartas, retiramos ao mesmo tempo duas cartas, uma do 1º e uma do 2º. Qual a probabilidade de sair dama ou rei não necessariamente nessa ordem. 
P1= 1/13 . 1/13 = 1/169 
P2= 1/13 . 1/13 = 1/169
P = 1/169+1/169= 2/169 (neste caso, os eventos são mutuamente exclusivos). 
Eventos Independentes
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Exemplo 
Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas e 2 verdes. Uma urna B, contém: 5 bolas brancas, 2 pretas e 1 verde e outra urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de as 3 bolas retiradas das urnas A, B e C serem, respectivamente: branca, preta e verde? 
Sendo os três eventos independents e simultâneos, temos:
P(A).P(B).P(C) = 
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Eventos Complementares
 O complemento do evento E é o evento E´. E´ consiste na possibilidade que ele não ocorra, ou seja, que haja insucesso.
 
P(E´ ) + P(E) = 1 ou P(E´ ) = 1 – P(E)
 A produção diária de uma fábrica é de 120 automóveis, 5 dos quais apresentam algum defeito. Se um automóvel for selecionado ao acaso, qual a probabilidade de que ele não seja defeituoso?
P (defeituoso) = 5/120
P (não defeituoso) = 1 – 5/120 = 115/120 = 0,958 ou 95,8%.
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Eventos Complementares
 Se a probabilidade de realizar um evento é 1/5 então, a probabilidade de que ele não ocorra é: 
P(E´) = 1 – P(E)
P(E´) = 1 – 1/5 = 4/5
Ex: Sabe-se que a probabilidade de tirar 3 no lançamento de um dado é 1/6. Então, qual a probabilidade de não tirar 4 no lançamento de um dado.
P(E´) = 1 – 1/6 = 5/6
Ex. Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Ao retirar uma peça ao acaso, qual a chance da peça ser defeituosa? 
P(E´) = 1 – 1/3 = 2/3 
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 A probabilidade condicional trata da probabilidade de ocorrer um evento A, tendo ocorrido um evento B, ambos do espaço amostral S, ou seja, ela é calculada sobre o evento B e não em função o espaço amostral S. 
Exemplo: Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores, registrou que 650 deles trabalham com cartões de crédito MasterCard, que 550 trabalham com cartões VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito das duas bandeiras. Qual a probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também um dos consumidores que utilizam cartões de crédito da bandeira MasterCard?
Probabilidade Condicional
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Solução:
O número de pessoas que utilizam as duas bandeiras, ou seja, a quantidade de elementos da intersecção é igual a 200, já o número de consumidores que utilizam ao menos a bandeira VISA
é 550, portanto:
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Considerações Finais 
“As decisões envolvendo probabilidades podem ser aplicadas em qualquer ramo de atividades seja ele comercial, administrativo, financeiro, econômico, etc. Para tal, é necessário atentar para o uso de informações, dados numéricos e cálculos nas tomadas de decisões gerenciais. Decisões estas, que devem ser mais precisas possíveis quando fenômenos suscetíveis a fatos aleatórios ou imprevisíveis façam parte de análises que envolvem tanto os riscos como os acertos nas organizações”.