Pré-Cálculo, Funções Poligonais e Exponenciais

Prévia do material em texto

Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 13
13 de junho de 2011
Aula 13 Pré-Cálculo 1
Funções Poligonais
Aula 13 Pré-Cálculo 2
Função poligonal
Dizemos quem uma função f : R→ R é uma função poligonal se o seu
gráfico é uma linha poligonal.
x
y
0
t0
t1 t2
Definição
Aula 13 Pré-Cálculo 3
Função poligonal
Dizemos quem uma função f : R→ R é uma função poligonal se o seu
gráfico é uma linha poligonal.
x
y
0
t0
t1 t2
Definição
Aula 13 Pré-Cálculo 4
Observações
Assim, se f : R → R é uma função poligonal se existem t0 < t1 < · · · < tn
tais que, para x ≤ t0, para x ≥ tn e em cada um dos intervalos [ti−1, ti ], f
coincide com uma função afim fi . Para evitar descontinuidades, exige-se
que fi(ti) = fi−1(ti−1).
x
y
0
t0
t1 t2
As funções poligonais surgem naturalmente, tanto na vida cotidiana
(imposto de renda como função da renda líquida, preço de uma mercadoria
que oferece descontos crescentes quando aumenta a quantidade
comprada) como em diversas áreas da matemática (análise, cálculo
numérico, equações diferenciais, topologia, etc.).
Aula 13 Pré-Cálculo 5
Observações
Assim, se f : R → R é uma função poligonal se existem t0 < t1 < · · · < tn
tais que, para x ≤ t0, para x ≥ tn e em cada um dos intervalos [ti−1, ti ], f
coincide com uma função afim fi . Para evitar descontinuidades, exige-se
que fi(ti) = fi−1(ti−1).
x
y
0
t0
t1 t2
As funções poligonais surgem naturalmente, tanto na vida cotidiana
(imposto de renda como função da renda líquida, preço de uma mercadoria
que oferece descontos crescentes quando aumenta a quantidade
comprada) como em diversas áreas da matemática (análise, cálculo
numérico, equações diferenciais, topologia, etc.).
Aula 13 Pré-Cálculo 6
Observações
Assim, se f : R → R é uma função poligonal se existem t0 < t1 < · · · < tn
tais que, para x ≤ t0, para x ≥ tn e em cada um dos intervalos [ti−1, ti ], f
coincide com uma função afim fi . Para evitar descontinuidades, exige-se
que fi(ti) = fi−1(ti−1).
x
y
0
t0
t1 t2
As funções poligonais surgem naturalmente, tanto na vida cotidiana
(imposto de renda como função da renda líquida, preço de uma mercadoria
que oferece descontos crescentes quando aumenta a quantidade
comprada) como em diversas áreas da matemática (análise, cálculo
numérico, equações diferenciais, topologia, etc.).
Aula 13 Pré-Cálculo 7
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a Deduzir
Até R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00
Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função
do rendimento.
Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,
0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,
0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 8
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a Deduzir
Até R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00
Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função
do rendimento.
Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,
0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,
0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 9
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a Deduzir
Até R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00
Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função
do rendimento.
Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,
0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,
0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 10
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a Deduzir
Até R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00
Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função
do rendimento.
Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,
0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,
0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 11
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a Deduzir
Até R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00
Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função
do rendimento.
Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,
0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,
0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 12
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a Deduzir
Até R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00
Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função
do rendimento.
Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,
0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,
0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 13
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a Deduzir
Até R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00
Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função
do rendimento.
Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,
0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,
0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 14
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a Deduzir
Até R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00
Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função
do rendimento.
Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,
0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,
0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 15
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a Deduzir
Até R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00
Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função
do rendimento.
Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,
0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,
0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 16
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a Deduzir
Até R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00
Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função
do rendimento.
Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo dex reais, então
f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,
0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,
0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 17
Exemplo
Os novos valores do IR-fonte são os seguintes:
Base de Cálculo Alíquota Parcela a Deduzir
Até R$ 900,00 Isento –
De R$ 900,00 a R$ 1 800,00 15% R$ 135,00
Acima de R$ 1 800,00 25% R$ 315,00
.
Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função
do rendimento.
Solução. Se f (x) é o imposto a pagar para uma base de cálculo de x reais, então
f (x) =

0, se 0 ≤ x ≤ 900,
0,15 x − 135, se 900 < x ≤ 1800,
0,25 x − 315, se x > 1800.
x
y
0 900 1800 2700
135
360
.
Aula 13 Pré-Cálculo 18
Aplicação: aproximação no cálculo de áreas
(Ir para o GeoGebra)
Aula 13 Pré-Cálculo 19
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x ≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 20
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x ≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 21
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x ≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 22
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x ≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 23
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x ≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 24
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x ≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 25
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x ≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 26
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x ≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 27
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x ≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 28
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x ≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 29
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x ≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 30
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 31
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x ≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 32
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x ≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 33
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x ≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 34
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x ≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 35
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x ≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 36
Exemplo
Desenhe o gráfico da função real f (x) = |x − 1|+ |x − 2|.
Solução. Temos que f (x) = g(x) + h(x), onde g(x) = |x − 1| e h(x) = |x − 2|. Agora, pela
definição de módulo,
g(x) =
{
x − 1, se x ≥ 1,
−x + 1, se x < 1, e h(x) =
{
x − 2, se x ≥ 2,
−x + 2, se x < 2.
Assim,
f (x) = g(x)+h(x) =

( x − 1) + ( x − 2), se x ≥ 2,
( x − 1) + (−x + 2), se 1 ≤ x < 2,
(−x + 1) + (−x + 2), se x < 1
=

2 x − 3, se x ≥ 2,
1, se 1 ≤ x < 2,
−2 x + 3, se x < 1
cujo gráfico é apresentado na figura abaixo.
x
y
0 1 2 3
1
3
.
Aula 13 Pré-Cálculo 37
Exemplo: o gráfico de f (x) = |x − 1|+ |x − 2|
x
y
0 1 2 3
1
3
Aula 13 Pré-Cálculo 38
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
Aula 13 Pré-Cálculo 39
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Propriedades:
(1) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:
xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, (xn)m = xn·m.
Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 40
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Propriedades:
(1) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:
xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, (xn)m = xn·m.
Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 41
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Propriedades:
(1) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:
xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, (xn)m = xn·m.
Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 42
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Propriedades:
(1) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:
xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, (xn)m = xn·m.
Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 43
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Propriedades:
(1) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:
xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, (xn)m = xn·m.
Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 44
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Propriedades:
(1) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:
xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, (xn)m = xn·m.
Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 45
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Propriedades:
(1) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:
xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, (xn)m = xn·m.
Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 46
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Propriedades:
(1) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:
xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, (xn)m = xn·m.
Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 47
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Propriedades:
(1) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:
xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n+m fatores
= xn+m.(2) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, (xn)m = xn·m.
Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 48
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Propriedades:
(1) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:
xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, (xn)m = xn·m.
Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 49
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Propriedades:
(1) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:
xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, (xn)m = xn·m.
Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 50
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Propriedades:
(1) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:
xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, (xn)m = xn·m.
Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 51
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Propriedades:
(1) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:
xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, (xn)m = xn·m.
Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 52
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn
Importante: se n ∈ N, xn é uma notação para x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
.
Propriedades:
(1) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, xn · xm = xn+m.
Prova:
xn · xm = x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n fatores
· x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
m fatores
= x · x · · · · · x︸ ︷︷ ︸
n+m fatores
= xn+m.
(2) ∀x ∈ R, ∀n,m ∈ N, (xn)m = xn·m.
Prova: exercício!
Aula 13 Pré-Cálculo 53
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0,+∞).
Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0,+∞). Prova: será feita na
disciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 54
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0,+∞).
Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0,+∞). Prova: será feita na
disciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 55
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0,+∞).
Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0,+∞). Prova: será feita na
disciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 56
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0,+∞).
Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0,+∞). Prova: será feita na
disciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 57
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0,+∞).
Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0,+∞). Prova: será feita na
disciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 58
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn , com n um número par.
(1) A função f é par.
(2) A função f é crescente em [0,+∞).
Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é o intervalo [0,+∞). Prova: será feita na
disciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 59
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞,+∞).
Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞,+∞). Prova: será feita na
disciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 60
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞,+∞).
Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞,+∞). Prova: será feita na
disciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 61
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞,+∞).
Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞,+∞). Prova: será feita na
disciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 62
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞,+∞).
Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞,+∞). Prova: será feita na
disciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 63
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞,+∞).
Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞,+∞). Prova: será feita na
disciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 64
Funções da forma f (x) = xn, com n ∈ N
f : R → R
x 7→ y = f (x) = xn , com n um número ímpar.
(1) A função f é ímpar.
(2) A função f é crescente em R = (−∞,+∞).
Prova: use a identidade
an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b + · · ·+ abn−2 + bn−1).
(3) A imagem de f é R = (−∞,+∞). Prova: será feita na
disciplina de cálculo.
Aula 13 Pré-Cálculo 65
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.
(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,
0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,
isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímos
que 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). A
parte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 66
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.
(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,
0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,
isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímos
que 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). A
parte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 67
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.
(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,
0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,
isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio,concluímos
que 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). A
parte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 68
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.
(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,
0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,
isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímos
que 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). A
parte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 69
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.
(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,
0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,
isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímos
que 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). A
parte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 70
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.
(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,
0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,
isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímos
que 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). A
parte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 71
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.
(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,
0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,
isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímos
que 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). A
parte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 72
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.
(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,
0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,
isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímos
que 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). A
parte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 73
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.
(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,
0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,
isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímos
que 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). A
parte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 74
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.
(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,
0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,
isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímos
que 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). A
parte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 75
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.
(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,
0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,
isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímos
que 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). A
parte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 76
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.
(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,
0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,
isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímos
que 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). A
parte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 77
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.
(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,
0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,
isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímos
que 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). A
parte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 78
Proposição
Seja f : R→ R definida por
y = f (x) = xn, com n ∈ N.
(a) Se 0 < x < 1, então xn+1 < xn.
(b) Se x > 1, então xn+1 > xn.
Demonstração. Se 0 < x < 1, então 0 · x < x · x < 1 · x , isto é,
0 < x2 < x . Agora, se 0 < x2 < x , então 0 · x < x2 · x < x · x ,
isto é, 0 < x3 < x2. Prosseguindo com este raciocínio, concluímos
que 0 < xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Isto demonstra a parte (a). A
parte (b) fica como exercício.
Aula 13 Pré-Cálculo 79
Revisão: funções da forma x elevado a n
Aula 13 Pré-Cálculo 80
A função raiz n-ésima
Aula 13 Pré-Cálculo 81
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√a é o único número real ≥ 0
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 82
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√a é o único número real ≥ 0
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 83
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√a é o único número real ≥ 0
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 84
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√a é o único número real ≥ 0
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 85
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamosque f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√a é o único número real ≥ 0
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 86
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√a é o único número real ≥ 0
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 87
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√a é o único número real ≥ 0
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 88
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√a é o único número real ≥ 0
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 89
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√a é o único número real ≥ 0
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 90
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√a é o único número real ≥ 0
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 91
A função raiz n-ésima: caso n par
f : [0,+∞) → [0,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n par.
Já demonstramos que f : [0,+∞)→ [0,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0,+∞) → [0,+∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0,+∞)→ [0,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é par e a ≥ 0, então n√a é o único número real ≥ 0
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 92
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞) é sobrejetiva (a prova
deste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√a é o único número real
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 93
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞) é sobrejetiva (a prova
deste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√a é o único número real
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 94
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞) é sobrejetiva (a prova
deste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√a é o único número real
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 95
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞) é sobrejetiva (a prova
deste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√a é o único número real
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 96
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞) é sobrejetiva (a prova
deste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√a é o único número real
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 97
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞) é sobrejetiva (a prova
deste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√a é o único número real
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 98
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞) é sobrejetiva (a prova
deste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√a é o único número real
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 99
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞) é sobrejetiva (a prova
deste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√a é o único número real
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 100
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞) é sobrejetiva (a prova
deste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√a é o único número real
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 101
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞) é sobrejetiva (a prova
deste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√a é o único número real
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 102
A função raiz n-ésima: caso n ímpar
f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞)
x 7→ y = f (x) = xn , com n ímpar.
Já demonstramos que f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : (−∞,+∞) → (−∞,+∞) é sobrejetiva (a prova
deste fato requer ferramentas de análise).
Logo f : (−∞,+∞)→ (−∞,+∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f−1 de f é denominada função raiz n-ésima. Usaremos
as notações
n
√
x e x1/n
para representar
f−1(x).
Note então que, se n é ímpar e a ∈ R, então n√a é o único número real
que, elevado a n, dá o número real a.
Aula 13 Pré-Cálculo 103
A função raiz n-ésima
(Ir para o GeoGebra)
Aula 13 Pré-Cálculo 104
Cuidado!
Se n é par,
o domínio de f (x) = n
√
x = x1/n é [0,+∞).
Se n é ímpar,
o domínio de f (x) = n
√
x = x1/n é R.
Aula 13 Pré-Cálculo 105
Cuidado!
Se n é par,
o domínio de f (x) = n
√
x = x1/n é [0,+∞).
Se n é ímpar,
o domínio de f (x) = n
√
x = x1/n é R.
Aula 13 Pré-Cálculo 106
Cuidado!
Se n é par,
o domínio de f (x) = n
√
x = x1/n é [0,+∞).
Se n é ímpar,
o domínio de f (x) = n
√
x = x1/n é R.
Aula 13 Pré-Cálculo 107
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R, n
√
an = |a|.
Se n é par, ∀a,b ≥ 0, n
√
a · b = n√a · n
√
b e ∀a,b ≤ 0, n
√
a · b = n√−a · n
√
−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
e ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√
a
b
=
n
√−a
n
√−b .
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ n√a < n
√
b.
Se n é par, ∀a,b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n√a+ n
√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 108
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R, n
√
an = |a|.
Se n é par, ∀a,b ≥ 0, n
√
a · b = n√a · n
√
b e ∀a,b ≤ 0, n
√
a · b = n√−a · n
√
−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
e ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√
a
b
=
n
√−a
n
√−b .
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ n√a < n
√
b.
Se n é par, ∀a,b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n√a+ n
√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 109
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R, n
√
an = |a|.
Se n é par, ∀a,b ≥ 0, n
√
a · b = n√a · n
√
b e ∀a,b ≤ 0, n
√
a · b = n√−a · n
√
−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
e ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√
a
b
=
n
√−a
n
√−b .
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ n√a < n
√
b.
Se n é par, ∀a,b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n√a+ n
√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 110
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R, n
√
an = |a|.
Se n é par, ∀a,b ≥ 0, n
√
a · b = n√a · n
√
b e ∀a,b ≤ 0, n
√
a · b = n√−a · n
√
−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
e ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√
a
b
=
n
√−a
n
√−b .
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ n√a < n
√
b.
Se n é par, ∀a,b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n√a+ n
√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 111
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R, n
√
an = |a|.
Se n é par, ∀a,b ≥ 0, n
√
a · b = n√a · n
√
b e ∀a,b ≤ 0, n
√
a · b = n√−a · n
√
−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
e ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√
a
b
=
n
√−a
n
√−b .
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ n√a < n
√
b.
Se n é par, ∀a,b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n√a+ n
√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 112
Propriedades da função raiz n-ésima para n par
Se n é par, ∀a ∈ R, n
√
an = |a|.
Se n é par, ∀a,b ≥ 0, n
√
a · b = n√a · n
√
b e ∀a,b ≤ 0, n
√
a · b = n√−a · n
√
−b.
Se n é par, ∀a ≥ 0,∀b > 0, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
e ∀a ≤ 0,∀b < 0, n
√
a
b
=
n
√−a
n
√−b .
A função raiz n-ésima é crescente (n par): ∀a,b ≥ 0, a < b ⇒ n√a < n
√
b.
Se n é par, ∀a,b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n√a+ n
√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 113
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, n
√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a,b ∈ R, n
√
a · b = n√a · n
√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a,b ∈ R, a < b ⇒ n√a < n
√
b.
Se n é ímpar, ∀a,b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n√a+ n
√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 114
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, n
√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a,b ∈ R, n
√
a · b = n√a · n
√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a,b ∈ R, a < b ⇒ n√a < n
√
b.
Se n é ímpar, ∀a,b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n√a+ n
√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 115
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, n
√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a,b ∈ R, n
√
a · b = n√a · n
√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a,b ∈ R, a < b ⇒ n√a < n
√
b.
Se n é ímpar, ∀a,b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n√a+ n
√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 116
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, n
√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a,b ∈ R, n
√
a · b = n√a · n
√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a,b ∈ R, a < b ⇒ n√a < n
√
b.
Se n é ímpar, ∀a,b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n√a+ n
√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 117
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímpar
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, n
√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a,b ∈ R, n
√
a · b = n√a · n
√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a,b ∈ R, a < b ⇒ n√a < n
√
b.
Se n é ímpar, ∀a,b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n√a+ n
√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 118
Propriedades da função raiz n-ésima para n ímparSe n é ímpar, ∀a ∈ R, n
√
an = a.
Se n é ímpar, ∀a,b ∈ R, n
√
a · b = n√a · n
√
b.
Se n é ímpar, ∀a ∈ R, ∀b ∈ R− {0}, n
√
a
b
=
n
√
a
n
√
b
.
A função raiz n-ésima é crescente (n ímpar): ∀a,b ∈ R, a < b ⇒ n√a < n
√
b.
Se n é ímpar, ∀a,b ≥ 0, n
√
a+ b ≤ n√a+ n
√
b.
Aula 13 Pré-Cálculo 119
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmas
técnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.
Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula do
binômio de Newton pode ser útil:
(a+ b)n =
n∑
i=0
(
n
i
)
an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejam
maiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√
a+ b ≤ n√a + n√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então
3
√−1− 1 = − 3√2 > −2 = 3√−1 + −3√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 120
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmas
técnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.
Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula do
binômio de Newton pode ser útil:
(a+ b)n =
n∑
i=0
(
n
i
)
an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejam
maiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√
a+ b ≤ n√a + n√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então
3
√−1− 1 = − 3√2 > −2 = 3√−1 + −3√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 121
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmas
técnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.
Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula do
binômio de Newton pode ser útil:
(a+ b)n =
n∑
i=0
(
n
i
)
an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejam
maiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√
a+ b ≤ n√a + n√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então
3
√−1− 1 = − 3√2 > −2 = 3√−1 + −3√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 122
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmas
técnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.
Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula do
binômio de Newton pode ser útil:
(a+ b)n =
n∑
i=0
(
n
i
)
an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejam
maiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√
a+ b ≤ n√a + n√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então
3
√−1− 1 = − 3√2 > −2 = 3√−1 + −3√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 123
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmas
técnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.
Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula do
binômio de Newton pode ser útil:
(a+ b)n =
n∑
i=0
(
n
i
)
an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejam
maiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√
a+ b ≤ n√a + n√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então
3
√−1− 1 = − 3√2 > −2 = 3√−1 + −3√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 124
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmas
técnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.
Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula do
binômio de Newton pode ser útil:
(a+ b)n =
n∑
i=0
(
n
i
)
an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejam
maiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√
a+ b ≤ n√a + n√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então
3
√−1− 1 = − 3√2 > −2 = 3√−1 + −3√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 125
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmas
técnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.
Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula do
binômio de Newton pode ser útil:
(a+ b)n =
n∑
i=0
(
n
i
)
an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejam
maiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√
a+ b ≤ n√a + n√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então
3
√−1− 1 = − 3√2 > −2 = 3√−1 + −3√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 126
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmas
técnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.
Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula do
binômio de Newton pode ser útil:
(a+ b)n =
n∑
i=0
(
n
i
)
an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejam
maiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√
a+ b ≤ n√a + n√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então
3
√−1− 1 = − 3√2 > −2 = 3√−1 + −3√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 127
Observações
As demonstrações destas propriedades seguem basicamente as mesmas
técnicas usadas na demonstração das propriedades da função raiz quadrada.
Elas ficam, portanto, como exercícios. Na última propriedade, a fórmula do
binômio de Newton pode ser útil:
(a+ b)n =
n∑
i=0
(
n
i
)
an−ibi .
Mesmo para n ímpar, devemos colocar como hipótese que a e b sejam
maiores do que ou iguais a zero na desigualdade n
√
a+ b ≤ n√a + n√b
da última propriedade. De fato: se a = −1, b = −1 e n = 3, então
3
√−1− 1 = − 3√2 > −2 = 3√−1 + −3√−1.
Aula 13 Pré-Cálculo 128
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√xm = ( n√x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√xm = ( n√x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n
√
m
√
x = n m
√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n
√
m
√
x = n m
√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 129
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√xm = ( n√x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√xm = ( n√x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n
√
m
√
x = n m
√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n
√
m
√
x = n m
√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 130
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√xm = ( n√x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√xm = ( n√x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n
√
m
√
x = n m
√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n
√
m
√
x = n m
√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 131
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√xm = ( n√x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√xm = ( n√x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n
√
m
√
x = n m
√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n
√
m
√
x = n m
√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 132
Mais propriedades
Se n é par e m ∈ N, então ∀x ≥ 0, n√xm = ( n√x)m.
Se n é ímpar e m ∈ N, então ∀x ∈ R, n√xm = ( n√x)m.
Se m é par ou n é par, então ∀x ≥ 0, n
√
m
√
x = n m
√
x .
Se m e n são ímpares, então ∀x ∈ R, n
√
m
√
x = n m
√
x .
Aula 13 Pré-Cálculo 133
	Funções Poligonais
	Funções da forma x elevado a n
	A função raiz n-ésima