Crescimento exponencial e crescimento linear(Elon lages)

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16 SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
 Elon Lages Lima
Dois dos modelos matemáticos mais utilizados para resolver problemas
elementares são o modelo linear, representado por funções do tipo
y ax b= + , e o modelo exponencial, no qual se empregam as funções do
tipo y beax= . O modelo linear ocorre em praticamente todos os
problemas durante os primeiros oito anos da escola e, com menos
exclusividade porém ainda com grande destaque, nos três anos finais. Por
outro lado, o modelo exponencial só aparece nesses três últimos anos,
embora sua importância seja considerável na universidade, bem como nas
aplicações da Matemática em atividades científicas ou profissionais.
Uma vez decidido que o modelo adequado para um determinado
problema é o linear ou o exponencial, a partir daí o tratamento matemático
da questão não oferece maiores dificuldades. No primeiro caso, as
perguntas são respondidas com o emprego das quatro operações
elementares, às quais se somam, para o segundo caso, os logaritmos e -
naturalmente - a própria função exponencial.
As dúvidas que possam surgir acontecem antes, na escolha do
instrumento matemático apropriado para o problema que se estuda. Os
alunos muitas vezes não sabem qual o modelo a empregar; os professores,
freqüentemente, conhecem a resposta por experiência mas nem sempre são
capazes de justificá-la, mesmo no caso linear.
CRESCIMENTO LINEAR E
CRESCIMENTO EXPONENC IAL
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 33, 1997 17
No que se segue, apresentaremos critérios de natureza elementar para
reconhecer se uma dada função é do tipo f x ax b( ) = + ou f x beax( ) = .
Nos problemas concretos, esses critérios admitem interpretações intuitivas
que podem ser de grande ajuda na escolha do modelo matemático a ser
utilizado.
Nesta apresentação não é utilizada a noção de limite, e nenhum outro
conceito de natureza infinitesimal.
O modelo linear
O caso mais simples do modelo linear ocorre na situação clássica da
proporcionalidade. Ali, são dadas duas grandezas, x e y. Diz-se que y
é proporcional a x quando os valores de y dependem dos valores de
x , de tal maneira que ao dobrar, triplicar ou, mais geralmente, tomar n
vezes a grandeza x , o valor correspondente de y fica dobrado,
triplicado ou, mais geralmente, multiplicado por n. Nesse caso, a função
y f x= ( ) que modela o problema tem a propriedade f nx n f x( ) ( )= ×
para todo valor de x . Quando as grandezas x e y podem assumir
valores negativos, a proporcionalidade entre x e y implica a igualdade
f nx n f x( ) ( )= × para todo valor de x e todo número inteiro n.
Os teoremas a seguir estabelecem a Matemática que se aplica a esse tipo
de problema. Os símbolos N Z Q, , , IR e IR+ indicam respectivamente
os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais, reais e reais
positivos.
Lema. Seja f : IR ® IR uma função tal que f nx n f x( ) ( )= × para todo
xÎ IR e todo n ZÎ . Então f r x r f x( ) ( )× = × para todo r QÎ e todo
xÎ IR. Em particular, se a f= ( )1 , tem-se f r ar( ) = para todo r QÎ .
Demonstração: Dado r QÎ , tem-se r m n= / , com m ZÎ e n NÎ .
Então
n f r x f nr x f m x m f x× × = × = × = ×( ) ( ) ( ) ( ) ,
18 SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
logo f r x( )× =
m
n
f x r f x× = ×( ) ( ) para qualquer xÎ IR. Tomando
x = 1, tem-se que f r f r r f r a( ) ( ) ( )= × = × = ×1 1 .
Uma função f diz-se crescente quando x y f x f y< Þ <( ) ( ) e
decrescente quando x y f x f y< Þ >( ) ( ) . Note que, sendo f crescente,
vale também a implicação oposta f x f y x y( ) ( )< Þ < . Observação
análoga para f decrescente.
Teorema 1: Para todo n ZÎ e todos x y, Î IR, são equivalentes as
seguintes afirmações a respeito de uma função crescente f : IR ® IR :
(1) f n x n f x( ) ( )× = × ;
(2) f x a x( ) = × , onde a f= ( )1 ;
(3) f x y f x f y( ) ( ) ( )+ = + .
Demonstração: Pelo Lema, pondo a f= ( )1 , a afirmação (1) implica
f r a r( ) = × para todo r QÎ . Note que, sendo f crescente, a
desigualdade 0 1< implica 0 0 1= < =f f a( ) ( ) . Para provar que
( ) ( )1 2Þ , suponhamos, por absurdo, que exista algum número real x tal
que f x ax( ) < , logo 
f x
a
x
( )
< . Tomemos um número racional r, com
f x
a
r x
( )
< < , donde f x ar ax( ) < < , ou seja, f x f r a x( ) ( ) .< < ×
Sendo f crescente, f x f r( ) ( )< implica x r< , o que contradiz a
escolha de r, pois tomamos r x< . Partindo de (2), temos
f x y a x y ax ay f x f y( ) ( ) ( ) ( )+ = + = + = + , logo ( ) ( )2 3Þ .
Finalmente, supondo (3), vemos imediatamente que f nx n f x( ) ( )= ×
para todo xÎ IR e n NÎ . Além disso, f f f f( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0= + = + ,
logo f ( )0 0= . Daí resulta, para quaisquer n NÎ e xÎ IR, que
0 0= = - + = - + = - + ×f f nx nx f nx f nx f nx n f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,
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logo f nx n f x( ) ( )- = - × . Segue-se que f nx n f x( ) ( )= × para todo
n ZÎ e todo xÎ IR, provando que ( ) ( )3 1Þ .
Observações:
1) Evidentemente o Teorema 1 vale também para f decrescente, só que
nesse caso a f= ( )1 é negativo.
2) Um corolário do Teorema 1 é que, para f crescente ou decrescente,
f nx n f x( ) ( )= × para todo xÎ IR e todo n ZÎ implica f cx( ) =
c f x× ( ) para quaisquer c, x Î IR.
3) O número a chama-se constante de proporcionalidade.
Quando se lida com grandezas cujas medidas são números positivos, tem-
se a seguinte versão do Teorema 1:
Teorema 1+. Para todo n NÎ e todos x y, Î IR+ , são equivalentes as
seguintes afirmações a respeito de uma função f : IR +® IR+ :
(1) f x y f x f y( ) ( ) ( )+ = + ;
(2) f é crescente e f nx n f x( ) ( )= × ;
(3) Tem-se f a( )1 0= > e f x ax( ) = .
Demonstração: A diferença agora é que, sendo positivos os valores de f,
a condição (1) implica imediatamente que f é crescente. As implicações
(1) Þ (2) e (3) Þ (1) são imediatas. A implicação (2) Þ (3) se faz nas
mesmas linhas do Teorema 1 ou então observando que toda f : IR+ ® IR+
que cumpre (2) se estende a uma F:IR ® IR crescente que satisfaz o item
(1) do Teorema 1: basta pôr F(0) = 0 e F x F x( ) ( )- = - , para todo
xÎ IR+.
20 SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Observação: É inútil tentar provar que f nx n f x( ) ( )= × para todo
n NÎ e todo x Î IR+ implica f crescente. Isso não é verdade, muito
embora não seja possível apresentar um contra-exemplo simples.
Os teoremas 1 e 1+ , cada um no seu contexto, determinam condições
mediante as quais cabe utilizar o modelo linear reduzido, f x ax( ) = .
Basta verificar que f é crescente e cumpre f nx n f x( ) ( )= × , para
n NÎ , conforme o caso.
Exemplo 1. Dada uma circunferência de raio r, seja f x( ) o
comprimento do arco que subtende um ângulo central de medida x
(relativamente a uma certa unidade de ângulo). É claro que f é uma
função crescente de x e que f nx n f x( ) ( )= × . Logo, existe uma
constante a tal que f x ax( ) = .
A constante a depende da unidade de ângulo considerada. Se é o grau,
então f
r
a( )90
2
4
90= = ×
p
, logo a
r
=
p
180
. Se a unidade de ângulo for o
radiano, então, por definição, f r( )1 = , logo a r= .
Exemplo 2. Ainda numa circunferência de raio r, podemos considerar
g x( ) como área de um setor circular que subtende um arco de
comprimento x. Vê-se imediatamente que g é uma função crescente de x
e que g nx ng x( ) ( )= . Logo, existe uma constante a tal queg x ax( ) = .
Como o arco de comprimento 2pr (toda a circunferência) corresponde
ao setor de área pr2 (todo o disco circular), tem-se
p p pr g r a r2 2 2= = ×( ) . Segue-se daí que a
r
=
2
, donde g x
r
x( ) =
2
.
A utilização do modelo linear mais geral, y ax b= + , é regida pelos
teoremas seguintes:
Teorema 2. As seguintes afirmações a respeito de uma função crescente
f :IR ® IR são equivalentes:
(1) Para todo hÎ IR+, o acréscimo j( ) ( ) ( )h f x h f x= + - depende
apenas de h, mas não de xÎ IR;
REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 33, 1997 21
(2) Pondo a f f= -( ) ( )1 0 e b f= ( )0 , tem-se f x ax b( ) = + para todo
xÎ IR.
Demonstração: Admitida a hipótese (1), definimos a função j: IR+ ® IR
pondo, para todo hÎ IR+, j( ) ( ) ( )h f x h f x= + - , onde xÎ IR+ é
qualquer. Dados h h1 2, Î IR
+, temos:
j( ) ( ) ( ) ( ) ( )h h f x h h f x f x h h f x h1 2 1 2 1 2 1+ = + + - = + + - + +
+ + - = +f x h f x h h( ) ( ) ( ) ( ).1 2 1j j
Segue-se do Teorema 1+ que se tem j( )h a h= × para todo hÎ IR+,
com a f f= = -j( ) ( ) ( )1 1 0 . Conseqüentemente, para todo xÎ IR vale:
f x f x f f x f ax f ax b( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + - + = + = + = +0 0 0 0 0j
onde a f f= -( ) ( )1 0 e b f= ( )0 . Logo (1) Þ (2).
A implicação (2) Þ (1) é imediata.
Observações:
1. Em particular, vemos que, se f é crescente e o acréscimo
f x h f x( ) ( )+ - depende apenas de h mas não de x, então o
quociente [ ( ) ( )]f x h f x h+ - não depende de x nem de h.
2. O Teorema 2 vale também quando f é decrescente. A única diferença
é que agora se tem f x ax b( ) = + , com a< 0.
3. Quando as grandezas em questão só assumem valores positivos, tem-se
uma função f : IR +® IR+ crescente e a única alteração no enunciado
do Teorema 2 é que, não se tendo a priori o valor f(0), valem
a f f= -( ) ( )2 1 e b f f= -2 1 2( ) ( ) .
4. Às vezes se sabe que uma função f é da forma f x ax b( ) = + mas
não se conhecem os coeficientes a, b nem é possível (ou conveniente)
determinar f ( )0 , f ( )1 ou f ( )2 . Então basta conhecer f x( )1 e
f x( )2 para dois valores x x1 2< . Os coeficientes a e b são as
22 SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
soluções do sistema linear 
ax b f x
ax b f x
1 1
2 2
+ =
+ =
ì
í
î
( )
( )
, nos quais as
quantidades conhecidas são x x f x1 2 1, , ( ) e f x( )2 .
Exemplo 3. Uma partícula se move sobre um eixo E. (Um eixo é uma
reta orientada na qual se fixou uma origem 0. A posição de um ponto do
eixo é determinada por um número real x, chamado abcissa desse ponto.)
Em cada instante t, a abcissa do ponto é x f t= ( ) . Dizemos que se trata
de um movimento uniforme quando o ponto percorre distâncias iguais em
tempos iguais. Isso significa que f t h f t( ) ( )+ - depende somente de h
mas não de t. A função f é crescente ou decrescente, conforme o sentido
do movimento coincida ou não com a orientação do eixo. Segue-se do
Teorema 2 que se tem f t at b( ) = + , onde a f t f t= + -( ) ( )1 (espaço
percorrido na unidade de tempo) é, por definição, a velocidade e b f= ( )0
é a posição do ponto no momento em que começou a contagem do tempo.
Exemplo 4. Sejam X e Y dois eixos que se cortam no ponto 0,
determinando assim um sistema de coordenadas (em geral oblíquas) no
plano X0Y. Seja ainda r uma reta não paralela ao eixo Y, situada nesse
plano. Definamos uma função f : IR ® IR do seguinte modo: para cada
número real x, o valor f x( ) é a ordenada do ponto ( , ( ))x f x ,
interseção de r com a paralela ao eixo Y tirada pelo ponto de abcissa x
do eixo X. Uma igualdade de triângulos evidente mostra que
f x h f x( ) ( )+ - não depende de x.
Portanto a função f é do tipo
f x ax b( ) = + , onde
a f f= - =( ) ( )1 0
= + - =f x f x( ) ( )1
= + -[ ( ) ( )f x h f x h e b f= ( )0 .
A expressão y ax b= + fornece
portanto a ordenada y de um
ponto ( , )x y da reta r em função
da abcissa x desse mesmo ponto.
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Crescimento exponencial
Consideremos uma cultura de bactérias, em condições favoráveis, cuja
população, num instante t, chamamos de f t( ) . O problema é
determinar o tipo da função f : IR ® IR. Ela é crescente. Mas não é
razoável admitir que f t h f t( ) ( )+ - dependa apenas de h, pois, se
t t< ', a população f t( ') é maior do que f t( ) e é natural perceber
que, no mesmo período de tempo h, o acréscimo populacional
f t h f t( ' ) ( ')+ - é maior que f t h f t( ) ( )+ - .
Situação análoga ocorre com um capital aplicado a juros fixos,
capitalizados continuamente. Se g t( ) é a quantia existente no instante t,
para t t< ' o rendimento g t h g t( ' ) ( ')+ - no intervalo de tempo h é
maior do que o rendimento g t h g t( ) ( )+ - , no mesmo intervalo porém
em época anterior, pois o capital acumulado g t( ') é maior do que g t( ) .
Assim, nas duas situações acima não se aplica o modelo linear.
Entretanto, se examinarmos os acréscimos relativos
x( )
( ) ( )
( )
h
f t h f t
f t
=
+ -
 e z( )
( ) ( )
( )
h
g t h g t
g t
=
+ -
,
é natural admitir que eles dependam apenas de h, desde que, em ambas as
situações, ocorra uma certa estabilidade, ou permanência das condições
que cercam o crescimento.
No segundo caso, o fato de que o acréscimo relativo
[ ( ) ( )] ( )g t h g t g t+ - depende apenas de h é a própria definição de
“juros fixos”: quer dizer que, com o passar do tempo, as condições do
negócio continuam as mesmas. Quer dizer também que o lucro obtido
depois de um período de tempo fixado h é proporcional ao capital g t( ) ,
existente no início daquele período: g t h g t h g t( ) ( ) ( ). ( )+ - = z .
No caso das bactérias (ou, mais geralmente, qualquer tipo de
população), o fato de que o crescimento relativo x( )
( ) ( )
( )
h
f t h f t
f t
=
+ -
depende apenas de h, mas não do instante inicial t, significa, por
24 SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
exemplo, que se x( )h = 1, ou seja, se h é o tempo necessário, a partir do
instante t, para que a população duplique, então em qualquer outra
ocasião (antes ou depois) vai ser necessário o mesmo tempo h para que a
população também duplique. Sem dúvida, essa hipótese caracteriza uma
certa estabilidade, uma permanência das condições que cercam o
fenômeno. (Que não há modificações consideráveis no meio ambiente, que
a alimentação continue existindo igualmente, etc.)
Há diversas outras situações, em Matemática e suas aplicações, nas quais
é válida a hipótese de que o crescimento relativo:
x( )h = [ ( ) ( ) ( )]f x h f x f x+ -
da função f no intervalo [ , ]x x h+ depende do comprimento h do
intervalo mas não do ponto inicial x. Nesses casos, a função é
determinada pelo teorema a seguir:
Teorema 3. Seja f : IR ® IR+ uma função crescente, cujo crescimento
relativo x( ) [ ( ) ( )] ( )h f x h f x f x= + - no intervalo [ , ]x x h+ depende
apenas do comprimento h desse intervalo, mas não do ponto inicial.
Então, pondo b f= ( )0 e a f f= ln( ( ) ( ))1 0 , tem-se a> 0 e
f x beax( ) = para todo xÎ IR. Se f é decrescente, tem-se ainda
f x beax( ) = , mas, nesse caso, a< 0.
Demonstração: Como x( ) [ ( ) ( )] ( ) [ ( ) ( )]h f x h f x f x f x h f x= + - = + -1
depende apenas de h, segue-se que j( ) ( ) ( )h f x h f x= + também só
depende de h. Considerando a função g:IR ® IR, definida por
g x f x( ) ln ( )= , vemos que g é crescente e que o acréscimo
g x h g x f x h f x( ) ( ) ln ( ) ln ( )+ - = + - = ln[( ) ( )] ln ( )f x h f x h+ = j
depende apenas de h. Pelo Teorema 2, para todo xÎ IR tem-se
g x ax c( ) = + , onde c g= ( )0 e a g g= -( ) ( )1 0 .
Isso significa que f x beax( ) = , onde b e e fc g= = =( ) ( )0 0 e
a f f= - =ln ( ) ln ( )1 0 ln
( )
( )
f
f
1
0
. É óbvio que, se f é decrescente, g
também é, logo g g( ) ( )1 0< e a g g= - <( ) ( )1 0 0.
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Exemplo 5. Um corpo aquecido, quando colocado num ambiente de
temperatura menor, cede calor, portanto a diferença de temperatura d(t),
num instante t, entre o corpo e o ambiente, é uma função decrescente de t.
Foi observado por Isaac Newton que, num intervalo de tempo [ , ]t t h+ , o
decréscimo relativo [ ( ) ( )] ( )d t h d t d t+ - depende apenas de h. Daí
resulta a “lei do resfriamento, de Newton”, segundo a qual d t beat( ) = .
A constante b d= ( )0 é a diferença de temperatura no instante t = 0 em
que teve início a experiência. Por sua vez a d t b= ln[ ( ) ]1 , onde d t( )1 é
a diferença de temperatura medida num instante t1 0> qualquer.
Para encerrar, usaremos o Teorema 3 a fim de dar uma elegante
caracterização da função y Ax= .
Teorema 4. Seja f : IR ® IR uma função tal que f x y f x f y( ) ( ) ( )+ = ×
para x, y Î IR. Então, ou f é identicamente nula ou assume apenas
valores positivos. Seja A f= ( )1 . Se f é crescente, então A> 1 e
f x Ax( ) = para todo xÎ IR. Se f é decrescente, tem-se ainda
f x Ax( ) = para todo x, mas agora 0 1< <A .
Demonstração: Para todo x Î IR, tem-se f x f
x x
f
x
f
x
( ) ( ) ( ) ( )= + = × ³
2 2 2 2
0.
Se, para algum x0 Î IR, tivermos f x( )0 0= , então, para todo xÎ IR,
temos f x f x x x f x x f x( ) ( ) ( ). ( )= - + = - =0 0 0 0 0, logo f será
identicamente nula. Assim, ou f x( ) = 0 para todo x ou f x( ) > 0 para
todo x. Neste último caso, temos f f f f( ) ( ) ( ). ( )0 0 0 0 0= + = , logo
f ( )0 1= . Seja f crescente. Como 0 1< , temos 1 0 1= < =f f A( ) ( ) .
Além disso,
f x h f x
f x
f x f h f x
f x
f h
( ) ( )
( )
( ). ( ) ( )
( )
( )
+ -
=
-
= - 1
depende apenas de h. Segue-se do Teorema 3 que, para todo x Î IR,
f x e e Aax a x x( ) ( )= = = , pois e f Aa = =( )1 e a constante b do
Teorema 3 é igual a f ( )0 , logo vale 1.
26 SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Corolário. Seja g:IR+ ® IR uma bijeção crescente tal que
g xy g x g y( ) ( ) ( )= + para quaisquer x, y Î IR+. Se g A( ) = 1, então
tem-se g x xA( ) log= para todo x> 0.
Demonstração: Basta aplicar o Teorema 4 à função g-1: IR ® IR+.
Observação: Na realidade, a hipótese de que g seja sobrejetiva é
desnecessária. Basta supor g crescente, com g xy g x g y( ) ( ) ( )= + . (Ver
o livro Logaritmos, do autor, publicado pela Sociedade Brasileira de
Matemática.)
––––––––––––––––
NR: Este artigo foi publicado na Revista del Professor de Matemáticas, no 2, Sociedad
del Matemática de Chile.