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Aula 6 - ECONOMETRIA
Profa. Dra. Margarida Garcia de Figueiredo
margaridagf@ufmt.br
mgfiguei@gmail.com
05/06/2014
2
DIFERENTES 
FORMAS 
FUNCIONAIS 
DOS MODELOS 
DE REGRESSÃO
3
FORMAS FUNCIONAIS DOS MODELOS DE 
REGRESSÃO
• Para que possamos utilizar o método dos MQO para
estimativa dos parâmetros da regressão, o modelo deve
ser necessariamente linear nos parâmetros.
• Porém, não necessariamente linear nas variáveis.
• Trataremos agora de alguns modelos de regressão
bastante utilizados nas análises econômicas, que
podem não ser lineares nas variáveis, mas o são nos
parâmetros, ou que podem ser tornados lineares por
meio de transformações das variáveis.
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FORMAS FUNCIONAIS DOS MODELOS DE 
REGRESSÃO
Alguns modelos comumente utilizados nas 
análises econômicas:
1) Modelo log-linear ou log-log
2) Modelos semilogarítmicos
3) Modelos recíprocos
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FORMAS FUNCIONAIS DOS MODELOS DE 
REGRESSÃO
Alguns modelos comumente utilizados nas 
análises econômicas:
1) Modelo log-linear ou log-log
2) Modelos semilogarítmicos
3) Modelos recíprocos
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1. MODELO LOG-LOG, DUPLO-LOG OU 
LOG-LINEAR
eXY iii  21
 iii XY  lnlnln 21
 iii XY  lnln 2

1
ln
7
1. MODELO LOG-LOG, DUPLO-LOG OU 
LOG-LINEAR
Representação Gráfica
Y
X
eXY iii  21
0
2
Se
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1. MODELO LOG-LOG, DUPLO-LOG OU 
LOG-LINEAR
Representação Gráfica
Y
X
eXY iii  21
0
2
Se
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1. MODELO LOG-LOG, DUPLO-LOG OU 
LOG-LINEAR
Um aspecto atraente do modelo log-log, 
que o tornou muito difundido nos trabalhos 
aplicados, é que o coeficiente angular
mede a elasticidade de Y em relação a X, 
isto é, a variação percentual de Y, dada 
uma variação percentual unitária de X
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1. MODELO LOG-LOG, DUPLO-LOG OU 
LOG-LINEAR
Exemplo Ilustrativo:
lnQcerv = 18,2 – 1,61lnPcerv + 1,86lnR + Erro
Qcerv = quantidade demandada de cerveja em litros
Pcerv = preço da cerveja em R$
R = renda média da população em R$
Coeficientes representam a elasticidade-preço
e a elasticidade-renda da demanda por cerveja
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FORMAS FUNCIONAIS DOS MODELOS DE 
REGRESSÃO
Alguns modelos comumente utilizados nas 
análises econômicas:
1) Modelo log-linear ou log-log
2) Modelos semilogarítmicos
3) Modelos recíprocos
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2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LOG-LIN
• Modelo log-lin:
É amplamente utilizado para medir taxas de crescimento de 
algumas variáveis econômicas, a exemplo de taxas de 
crescimento da população, do PNB, do PIB, da oferta de 
moeda, do emprego, da produtividade, do déficit comercial, etc.
Exemplo: desejamos conhecer a taxa média de
crescimento anual do consumo das famílias no Brasil
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2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LOG-LIN
Ano Consumo em R$ milhões de 2007 
1994 1.317 
1995 117.251 
1996 333.725 
1997 680.233 
1998 2.235.648 
1999 451.762 
2000 735.882 
2001 630.628 
2002 432.866 
2003 662.936 
2004 900.154 
2005 1.349.587 
2006 2.657.460 
2007 2.060.853 
 
Tabela 01. Consumo das famílias no Brasil, em R$ milhões de 2007
(valores deflacionados de acordo com o IPC-A)
Fonte: IBGE
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2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LOG-LIN
Exemplo: Consumo das famílias no Brasil
• Denotemos por Yt, o consumo das famílias no período t 
e por Y0 o consumo destas famílias no período inicial da 
análise.
)1(0 rYY
t
t 
onde r é a taxa de crescimento composta ou geométrica de Y
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2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LOG-LIN
Exemplo: Consumo das famílias no Brasil
)1(lnlnln 0 rtYY t 

1

2
tY t  21ln 
 tt tY  21ln
Incluindo o termo de 
erro aleatório
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2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LOG-LIN
 tt tY  21ln
Este modelo se assemelha a qualquer outro 
modelo de regressão linear, já que os 
parâmetros são lineares. A única diferença é 
que o regressando é o log de Y e o regressor é 
o tempo, que assumirá valores 1, 2, 3,..., n.
Modelos como este são 
chamados de 
semilogarítimicos, 
porque apenas uma das 
variáveis está em forma 
logarítmica
Um modelo em que 
apenas o regressando 
aparece na forma 
logarítmica é chamado 
de modelo log-lin
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2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LOG-LIN
 tt tY  21ln
Estimar os 
parâmetros da 
função de 
regressão linear 
simples, de 
ln(consumo) em 
função de t
Y X
Ano ln consumo t
1994 7,18 1
1995 11,67 2
1996 12,72 3
1997 13,43 4
1998 14,62 5
1999 13,02 6
2000 13,51 7
2001 13,35 8
2002 12,98 9
2003 13,40 10
2004 13,71 11
2005 14,12 12
2006 14,79 13
2007 14,54 14
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2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LOG-LIN
Sabendo-se que:
para encontrar o valor de r, devemos tomar o anti-logaritmo
𝛽2 = 𝑙𝑛 1 + 𝑟 → 0,3035 = 𝑙𝑛 1 + 𝑟
𝑒𝑥𝑝 0,3035 = 1 + 𝑟
𝑒𝑥𝑝 0,3035 − 1 = 𝑟 𝑟 = 1,3546 − 1 = 0,3546
𝑙𝑛𝑌 = 10,8 + 0,3035𝑡 + 𝜀
𝑙𝑛𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝜀
𝒓 = 𝟑𝟓, 𝟒𝟔%
20
2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LOG-LIN
O produto de 𝜷𝟐 por 100 é conhecido na literatura 
como a semi-elasticidade de Y em relação a X
𝒍𝒏𝒀 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝒕 + 𝜺
Para encontrar a variação exata:
∆𝒀% = 𝒆𝒙𝒑 𝜷𝟐 − 𝟏 × 𝟏𝟎𝟎
21
2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LIN-LOG
• Modelo lin-log:
(Conhecer a variação absoluta de Y dada uma variação percentual de X)
 tit XY  ln21
XX
Y



2
)(
2
XXY  
Assim, se varia 1% (ou 0,01 unidade), a variação absoluta de Y será:
XX
)01,0(
2
Y
Para interpretar corretamente o significado do parâmetro Beta 2, 
é necessário dividi-lo por 100
22
2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LIN-LOG
Representação Gráfica
23
2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LIN-LOG
Aplicação prática “modelos de despesas de Engel”
“o total das despesas com alimentação tende a 
aumentar em progressão aritmética enquanto as 
despesas totais aumentam em progressão 
geométrica”
Exemplo: modelo de regressão para as despesas com alimentação 
na Índia, em função das despesas totais:
DespAlim = -1.283,9 + 257,27lnDespTotal + Erro
um aumento de 1% nas despesas totais dos indianos, 
corresponde a um aumento de 2,57 rupias nas 
despesas com alimentação
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FORMAS FUNCIONAIS DOS MODELOS DE 
REGRESSÃO
Alguns modelos comumente utilizados nas 
análises econômicas:
1) Modelo log-linear ou log-log
2) Modelos semilogarítmicos
3) Modelos recíprocos
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3. MODELOS RECÍPROCOS
 t
i
t
X
Y 






1
21
quando X aumenta 
indefinidamente
o termo se 
aproxima de zero e Y se 
aproxima do valor limite ou 
assintótico 
)/1(
2
X

1
Portanto, modelos recíprocos trazem embutido um valor assíntota 
ou limite, o qual a variável dependente assumirá, quando a variável 
independente X aumentar indefinidamente.
26
3. MODELOS RECÍPROCOS
Formas Prováveis 
27
3. MODELOS RECÍPROCOS
• Exemplo: mortalidade infantil em função do PNB per capita







PNBpc
MI
1
17,273.2779,81
Verifica-se que, na medida em que o PNB per capita aumenta 
indefinidamente, a mortalidade infantil se aproxima do seu 
valor assintótico de cerca de 82 óbitos por mil 
28
Variáveis binárias ou
Dummy
Incorporando fatores 
qualitativos nos 
modelos de regressão 
29
Variáveis binárias ou Dummy
• Até o presente momento: todas as variáveis tinham
significado quantitativo
• Análises empíricas: incorporar fatores qualitativos nos
modelos de regressão
• Exemplos: o sexo ou a raça de um indivíduo, o ramo
de atividade de umaempresa (fabricante, varejista,
etc.), a região onde uma cidade está localizada (norte,
sul, leste e oeste), etc.
• A incorporação de atributos qualitativos nos modelos
de regressão poderá ser feita utilizando-se algumas
variáveis binárias ou variáveis do tipo zero-um
(variáveis dummy)
30
Variáveis binárias ou Dummy
• Criamos variáveis dummy para representar diferentes
categorias qualitativas em um modelo de regressão.
• A variável dummy assume valor 1 na presença da
categoria e valor zero na ausência da categoria.
• Exemplos:
1. Sexo feminino ou masculino;
2. Alguém possui ou não um computador
pessoal;
3. Uma empresa oferece ou não certo tipo de
benefício aos funcionários;
4. As quatro estações do ano, etc.
31
Variáveis binárias ou Dummy
• Exemplo: para representar o sexo no modelo
• Definir a binária feminino, a qual assumirá valor 1
quando a pessoa for mulher e valor 0 quando for
homem
• Neste caso, o nome indica o evento cujo valor seja 1
• Poderíamos fazer ao contrário: binária masculino,
assumindo valor 1 para homem e 0 para mulher
• Variável sexo: não é interessante
32
Variáveis binárias ou Dummy
• Exemplo: para representar o sexo no modelo
Obs Média Renda Horas de 
estudo
Feminino
1 7,5 2.000 2 0
2 9,0 3.500 4 1
... ... ... ... ...
99 6,0 2.800 1,5 1
100 5,5 1.900 1 0
Amostra com 100 alunos da UFMT para avaliar o 
desempenho escolar em função da renda familiar, das 
horas diárias de estudo e do sexo
33
Variáveis binárias ou Dummy
  educinofeSalárioh 100 min
Exemplo: Estudar o salário por hora em função do nível 
educacional e do sexo.
Amostra aleatória com 526 observações.
Obs Salário Educ Feminino
1 3,1 11 1
2 3,24 12 1
3 3,0 11 0
... ... ... ...
526 3,5 14 1
35
Variáveis binárias ou Dummy
 educinofeSalárioh 51,0min27,262,3
Exemplo: Estudar o salário por hora em função do nível 
educacional e do sexo
0,51educ: para cada ano adicional de estudo, uma pessoa 
ganha US$0.51 a mais por hora de trabalho
-2,27feminino: considerando o mesmo nível educacional, 
uma mulher ganha em média US$ 2.27 a menos por hora 
de trabalho, do que um homem
36
Variáveis binárias ou Dummy
𝑯𝒐𝒎𝒆𝒏𝒔: 𝑌 = 𝜷𝟎 + 𝛽1𝐸𝑑𝑢𝑐 + 𝜀
𝑴𝒖𝒍𝒉𝒆𝒓𝒆𝒔: 𝑌 = 𝜷𝟎 + 𝜹𝟎 + 𝛽1𝐸𝑑𝑢𝑐 + 𝜀
𝑆𝑎𝑙𝑎𝑟𝑖𝑜
𝐸𝑑𝑢𝑐
𝜷𝟎
𝜷𝟎 + 𝜹𝟎(𝟑, 𝟔𝟐) (𝟑, 𝟔𝟐 − 𝟐, 𝟐𝟕)
Homem: grupo base ou referência
37
Variáveis binárias ou Dummy
• Como existem apenas dois grupos, precisamos de
apenas dois interceptos diferentes, então utilizamos
apenas 1 binária
• Inclusão de duas binárias, uma para cada sexo:
multicolinearidade perfeita – armadilha da variável
dummy
• Alguns pesquisadores: omissão do intercepto
• Não existe maneira consensual de se estimar o R2 em
modelos sem intercepto
38
Variáveis binárias ou Dummy
Obs Cte Educ Feminino Masculino
1 1 11 1 0
2 1 12 1 0
3 1 11 0 1
... ... ... ...
526 1 14 1 0
“Armadilha da variável Dummy”
Matriz X de variáveis explicativas
(526 x 5)
39
Variáveis binárias ou Dummy
• Nada muda na mecânica do MQO quando incluímos
variáveis binárias nos modelos
• Estimamos os parâmetros, relizamos o teste-t para
verificar significância estatística, inclusive dos
parâmetros das variáveis dummy, etc.
• Diferença: interpretação dos coeficientes das variáveis
dummy
• Testar se realmente existe discriminação salarial?
0: 00 H
0: 0 H A
40
Variáveis binárias ou Dummy
• Exemplo: suponha que estejamos interessados em
estudar os salários em função do nível educacional, da
experiência no mercado, do sexo e do estado civil.
Pessoa Salário/h Educ Exper Feminino Casado
1 3,1 11 2 1 0
2 3,24 12 22 1 1
3 3 11 2 0 0
4 6 8 44 0 1
5 5,3 12 7 0 1
… … … … … …
525 11,56 16 5 0 1
526 3,5 14 5 1 0
Amostra com 526 observações
41
Variáveis binárias ou Dummy
Preparar a 
planilha no Excel 
para exportar 
para o Eviews e 
estimar o modelo 
normalmente
42
Variáveis binárias ou Dummy
De acordo com os 
resultados para o teste t, 
todas as variáveis foram 
estatisticamente 
significativas a 1% de 
probabilidade
De acordo com o 
resultado do teste F, o 
modelo foi 
estatisticamente 
significativo de maneira 
global a 1% de 
probabilidade
43
Variáveis binárias ou Dummy
Logaritmo Para cada ano adicional de estudo, o 
salário aumenta em média 8,7%
Para cada ano adicional 
de experiência, o salário 
aumenta em média 0,76%
Para um mesmo nível 
educacional e a mesma 
experiência no mercado de 
trabalho, uma pessoa casada 
ganha em média 13,8% a mais 
do que uma pessoa não casada
Para um mesmo nível 
educacional e a mesma 
experiência no mercado de 
trabalho, uma mulher ganha em 
média 32,5% a menos do que 
um homem
44
Variáveis binárias ou Dummy
Modelo Log-lin
   casadoinofeSaláriohLn educ
000
min21)( exp
 casadoinofeeducSaláriohLn 138,0min3251,0exp0076,0087,0469,0)(
Para os mesmos níveis educacionais e de experiência no mercado, as 
mulheres ganham em média 32,5% a menos do que os homens
De forma geral, se 𝜹𝟎 for o coeficiente de uma variável dummy, quando
ln(Y) é a variável dependente, a diferença percentual exata entre o grupo
que apresenta determinada característica ou não, pode ser calculada:
DIFERENÇA
EXATA
100 × 𝑒𝑥𝑝 𝛿0 − 1
45
Uso de variáveis Dummy para categorias
múltiplas
Objetivamos estudar a diferença salarial entre 4 grupos
distintos de pessoas:
1. Mulheres casadas
2. Mulheres solteiras
3. Homens casados
4. Homens solteiros
Quantas variáveis
dummy devemos
incluir no modelo?
Eleger um grupo
base (referência) e 
criar três variáveis
dummy
Referência
46
Uso de variáveis Dummy para categorias
múltiplas
Exemplo da equação de salários/hora para 4 grupos de pessoas
Pessoa Salário/h Educ Exper Mcasada Msolteira Hcasado 
1 3,10 11 2 0 1 0 
2 3,24 12 22 0 0 1 
3 3,00 11 2 1 0 0 
4 6,00 8 44 0 0 1 
5 5,30 12 7 0 0 1 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
 . 
. 
. 
. 
. 
. 
525 11,56 16 5 1 0 0 
526 3,50 14 5 0 1 0 
 
0
47
Uso de variáveis Dummy para categorias
múltiplas
 exp027,0079,0110,0198,0213,032,0)( educmsoltmcashcasSaláriohLn
Grupo base (referência) = homens solteiros
Todas as categorias deverão ser comparadas em relação ao grupo
dos homens solteiros.
Exemplo: os homens casados ganham em média 23,7% a mais do que os
homens solteiros, mantendo-se as demais característcas constantes.
É importante realizar o teste t, para verificar se de fato existe diferença
salarial entre as categorias de pessoas.
Exemplo da equação de salários/hora para 4 grupos de pessoas
48
Uso de variáveis Dummy para categorias
múltiplas
Embora o grupo base escolhido seja o de homens solteiros, 
podemos realizar comparações entre os demais grupos? Sim, 
porém, não temos como calcular o valor da estatística t, para
verificar se a diferença é estatísticamente significativa.
Exemplo: diferença salarial entre mulheres solteiras e mulheres
casadas
= – 0,110 – (– 0,198) = 0,088 , ou seja, as mulheres solteiras ganham
em média 8,8% a mais do que as mulheres casadas
Para a realização do teste-t, devemos reestimar o modelo considerando 
uma destas variáveis como o grupo base (referência)
Exemplo da equação de salários/hora para 4 grupos de pessoas
49
Variáveis binárias ou Dummy
EXEMPLO: Preço do imóvel em função do tamanho do
terreno, da área construída, da quantidade de dormitórios e
de uma dummy colonial
Obs Preço
(R$ 1000)
Tamterr
(m2)Arquad
(m2)
Qtdorm
(núm.)
Colonial
1 320 480 200 3 0
2 180 360 160 2 1
... ... ... ... ... ...
200 550 520 450 4 1
Amostra com 200 observações
50
Variáveis binárias ou Dummy
Preços de imóveis: 
Interpretando os parâmetros…
ln(preço) = 5,56 + 0,168ln(tamterr) + 0,707ln(arquad) + 0,027qtdorm
+ 0,054colonial
Colonial é uma variável binária, referente ao imóvel ter estilo colonial (ou não)
O coeficiente 0,054 para colonial significa que, considerando-se os
demais fatores fixos, um imóvel no estilo colonial custa em média
5,55% a mais do que imóveis de outros estilos
51
Incorporação de informações ordinais com o uso de 
variáveis Dummy
Suponha que queiramos verificar qual a diferença entre o salário
inicial de pessoas formadas em diferentes faculdades de economia, 
as quais foram rankeadas quanto à qualidade do ensino
Mais de 50 faculdades de economia foram rankeadas
Analisaremos as diferenças entre 6 grupos:
Top5 = as 5 melhores
R6_10 = posições entre 6 e 10
R11_15 = posições entre 11 e 15
R16_20 = posições entre 16 e 20
R21_25 = posições entre 21 e 25
R25+ = posições acima de 25
Exemplo: efeito da classificação das faculdades de economia sobre
o salário inicial
52
Incorporação de informações ordinais com o 
uso de variáveis Dummy
Pessoa Salário Top5 R6_10 R11_15 R16_20 R21_25 Outros 
1 3,10 0 0 0 1 0 12 
2 3,24 0 0 0 0 1 3 
3 3,00 1 0 0 0 0 18 
4 6,00 0 1 0 0 0 5 
5 5,30 0 0 0 0 1 6 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
525 11,56 0 0 1 0 0 21 
526 3,50 0 0 0 1 0 14 
 
Exemplo: efeito da classificação das faculdades de economia sobre
o salário inicial
53
Incorporação de informações ordinais com o 
uso de variáveis Dummy
Grupo base (referência) = alunos que estudaram em
universidades classificadas numa posição acima de 25 no rank
Não criamos uma variável dummy para este grupo
Os coeficientes associados a cada uma das categorias, serão 
todos comparados com este grupo
Exemplo: efeito da classificação das faculdades de economia sobre
o salário inicial
54
Incorporação de informações ordinais com o 
uso de variáveis Dummy
15_11375,010_6594,057,017,9)( RRtopSalárioLn 
 outrosRR 25_21132,020_16263,0
O salário inicial de um profissional formado em uma escola que ocupa uma
posição entre 21 e 25 no rank das universidades é, em média, 14,11% maior do 
que o salário inicial de um profissional formado em uma escola que ocupa uma
posição acima de 25 no rank
(exp(0,7)-1).100 = 101,4%
Diferença salarial entre um 
profissional formado entre as Top5 e 
em escolas acima de 25
Exemplo: efeito da classificação das faculdades de economia sobre
o salário inicial
55
Interações envolvendo variáveis Dummy
Queremos saber se existe diferença salarial entre 4 grupos
distintos de pessoas:
1) Usam computador apenas em casa
2) Usam computador apenas no trabalho
3) Usam computador tanto em casa quanto no trabalho
4) Não usam computador
Podemos criar apenas duas variáveis
dummy e trabalhar com a interação entre 
elas
Exemplo: efeito do uso de computador em casa e no trabalho sobre
o salário
56
Interações envolvendo variáveis Dummy
Pessoa Salário/h Ccasa Ctrab Ccasa.Ctrab outras 
1 3,10 0 0 0 12 
2 3,24 0 1 0 1 
3 3,00 1 1 1 14 
4 6,00 1 0 0 5 
5 5,30 1 1 1 3 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
. 
525 11,56 0 1 0 6 
526 3,50 1 0 0 17 
 
Grupo base: pessoas que não utilizam computador
Exemplo: efeito do uso de computador em casa e no trabalho sobre
o salário
57
Interações envolvendo variáveis Dummy
CcasaCtrabSalárioLog 07,0177,017,9)( 
 outrosCcasaCtrab.017,0
Uma pessoa que usa computador apenas no trabalho ganha em média
19,36% a mais do que uma pessoa que não usa computador
Uma pessoa que usa computador apenas em casa ganha em média
7,25% a mais do que uma pessoa que não usa computador
Uma pessoa que usa computador tanto no trabalho quanto em casa
ganha em média 1,71% a mais do que uma pessoa que não usa
computador
Exemplo: efeito do uso de computador em casa e no trabalho sobre
o salário