Econometria Básica - AULA 2

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1
Aula 2 
ECONOMETRIA
Profa. Dra. Margarida Garcia de Figueiredo
margaridagf@ufmt.br
mgfiguei@gmail.com
24/04/2014
2
ECONOMETRIA - INTRODUÇÃO
 Ferramenta de análise.
 Utilizada em todos os campos da economia
aplicada para testar e validar empiricamente
informações contidas na teoria econômica.
 Baseada no desenvolvimento de métodos
estatísticos para analisar conjuntos de dados
econômicos.
3
BASE DE DADOS
ECONOMETRIA ESTATÍSTICA MATEMÁTICAx
Dados não-
experimentais
(Dados 
Observacionais)
Dados experimentais
ESTRUTURA DOS DADOS 
ECONÔMICOS
• Dados de corte transversal (cross-section): dados
sobre diferentes entidades (trabalhadores, consumidores,
empresas, etc.) coletados em um único período de tempo.
• Dados de séries temporais: dados para uma única
entidade coletados em diferentes períodos de tempo (diários,
semanais, mensais, anuais, etc.).
• Dados de painel: também chamados de dados
longitudinais, são dados de diversas entidades em que cada
uma delas é observada em dois ou mais períodos de tempo.
Tabela 1: Dados de corte transversal sobre características individuais
No Obs salário educ exper
1 500 4 10
2 380 2 12
3 420 4 3
4 670 5 20
5 890 7 15
.
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500 240 0 2
ESTRUTURA DOS DADOS 
ECONÔMICOS
Tabela 2. Dados de séries temporais para o Brasil
No
obs
Ano PIB
(R$ bilhões)
FBCF
(R$ bilhões)
POP
(milhões hab)
EXPORT.
(R$ bilhões)
1 1995 705,64 127,21 158,87 51,21 
2 1996 843,96 143,81 161,32 55,42 
3 1997 939,14 163,66 163,77 64,06 
4 1998 979,27 166,75 166,25 67,89 
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19 2013 4.103,51 871,98 201,032 608,21 
ESTRUTURA DOS DADOS 
ECONÔMICOS
Tabela 3. Dados de painel para indústrias
No Obs Fábrica Ano Faturam. Prod No func.
1 1 2000 258.000 354 120
2 1 2001 300.000 409 202
3 1 2002 427.150 543 318
4 2 2000 1.400.000 2.325 450
5 2 2001 1.562.000 2.514 523
6 2 2002 1.680.000 2.590 612
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58 20 2000 558.000 437 229
59 20 2001 648.500 529 352
60 20 2002 728.250 673 418
ESTRUTURA DOS DADOS 
ECONÔMICOS
8
MODELOS DE REGRESSÃO
MODELOS DE 
REGRESSÃO
IMPORTANTE INSTRUMENTO 
DE ANÁLISE DA 
ECONOMETRIA
MODELOS DE REGRESSÃO
• Regressão Linear Simples
• Regressão Linear Múltipla
• Regressão Não-Linear
 iXY  110
 iXXXY  3322110
  ieXXY  53 4110 2 2
10
MODELOS DE REGRESSÃO
EXEMPLO HIPOTÉTICO: POPULAÇÃO COM 60
FAMÍLIAS
• Estimar o nível médio de consumo semanal (Y)
destas famílias.
• Em função de suas rendas semanais
disponíveis (X).
• 10 grupos com o mesmo nível de renda.
• Estudaremos o consumo médio dentro de cada
grupo.
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EXEMPLO HIPOTÉTICO: População com 60 famílias
Renda familiar semanal em US$ (X)
Y ↓ X → 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Consumo
Familiar 
Semanal
em 
US$(Y)
55 65 79 80 102 110 120 135 137 150
60 70 84 93 107 115 136 137 145 152
65 74 90 95 110 120 140 140 155 175
70 80 94 103 116 130 144 152 165 178
75 85 98 108 118 135 145 157 175 180
- 88 - 113 125 140 - 160 189 185
- - - 115 - - - 162 191
Média do 
Consumo
65 77 89 101 113 125 137 149 161 173
12
Figura 1. Consumo semanal em função da
renda semanal disponível
Para cada uma das classes de renda (Xi) é possível calcular o 
consumo médio ou expectativa condicional do consumo, representado 
por E (Y/X = Xi)
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO POPULACIONAL (FRP)
Para cada Xi, existe
uma população de
valores Y, que se supõe
estarem distribuídos
normalmente ao redor
da média.
A função de regressão
populacional (FRP)
nada mais é do que a
reta que passa através
dessas médias.
Y
X
Y = Consumo semanal
X = Renda familiar semanal
FRP
14
FUNÇÃO DE REGRESSÃO POPULACIONAL (FRP)
• O valor médio de Y, para cada valor observado de Xi, 
pode ser representado por uma função linear do tipo:
• 𝛼 e 𝛽 são os parâmetros desconhecidos da FRP. 
• O objetivo da análise de regressão é justamente
estimar os valores destes parâmetros com base nas
observações de Y e X.
 
  XXYE ii  
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ESPECIFICAÇÃO ESTOCÁSTICA DA FRP
• Para cada nível de renda fixado Xi, o consumo semanal 
das famílias oscila ao redor de um valor médio, ou seja, 
varia de família para família
Y
X
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ESPECIFICAÇÃO ESTOCÁSTICA DA FRP
• O consumo semanal de cada família individualmente 
não é explicado somente por sua renda
• Considerar um desvio aleatório de cada Yi individual ao 
redor de seu valor esperado
• A FRP pode ser reescrita da seguinte maneira:
• Em que 𝜀𝑖 representa o erro aleatório da regressão
𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑖 + 𝜀𝑖
ECONOMETRIA: INFERÊNCIAS
POPULAÇÃO
“conjunto de indivíduos
com caraterísticas comuns”
AMOSTRA ALEATÓRIA
“subconjunto da população
selecionado ao acaso”
ECONOMETRIA FAZ INFERÊNCIAS SOBRE O 
COMPORTAMENTO DA POPULAÇÃO COM BASE 
NA OBSERVAÇÃO DE DADOS AMOSTRAIS
Na prática, dificilmente temos acesso às 
informações da população como um todo
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO AMOSTRAL
• Amostras da população
• Estimar a FRP com base em informações amostrais
• Função de regressão amostral (FRA)
𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑖 + 𝜀𝑖
ESTIMADOR: fórmula desenvolvida para estimar o
valor de um parâmetro da população a partir de
valores observados em uma amostra.
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FUNÇÃO DE REGRESSÃO POPULACIONAL - FRP 
FRP
FRA
Parâmetros
Estimadores
FUNÇÃO DE REGRESSÃO AMOSTRAL - FRA
Estimativas: valores 
numéricos obtidos a 
partir dos estimadores
𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑖 + 𝜀𝑖
𝑌𝑖 = 𝛼 + 𝛽𝑋𝑖 + 𝜀𝑖
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Após estimar os valores dos parâmetros da
regressão, é necessário verificar se o 
modelo tem suporte estatístico.
Isto é feito através da realização do teste t, 
do teste F e da qualidade do ajustamento
da regressão (R2) 
UTILIZAÇÃO DE DADOS 
AMOSTRAIS
21
PROPRIEDADES DESEJÁVEIS DOS 
ESTIMADORES
1. Ausência de tendenciosidade
2. Eficiência
3. Consistência
22
PROPRIEDADES DESEJÁVEIS DOS 
ESTIMADORES
1. AUSÊNCIA DE TENDENCIOSIDADE (ou de 
viés): dizemos que 𝛽 é um estimador não-
tendencioso quando o seu valor esperado, for 
igual ao verdadeiro parâmetro da população:
 




 ^
E
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PROPRIEDADES DESEJÁVEIS DOS 
ESTIMADORES
2. EFICIÊNCIA: dizemos que 𝛽 é um estimador 
não-tendencioso eficiente quando, dentre 
todos os estimadores lineares não-
tendenciosos, este apresente a menor 
variância.
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PROPRIEDADES DESEJÁVEIS DOS 
ESTIMADORES
3. CONSISTÊNCIA: Gostaríamos que o 
estimador 𝛽 se aproximasse do verdadeiro 
𝛽 conforme o tamanho da amostra 
aumentasse. Especificamente, esperamos 
que à medida que a amostra se torne muito 
grande, a probabilidade de que 𝛽 seja 
diferente de 𝛽 se torne muito pequena.
25
Escolha do Método dos MQO para a obtenção
das estimativas dos parâmetros
• Existe mais de um método disponível para estimar os
parâmetros de uma regressão.
• Estimador de MQO: amplamente utilizado.
• VANTAGEM: sob determinadas hipóteses
(pressupostos), dentre todos os estimadores lineares
não-tendenciosos, as estimativas resultantes dos
estimadores de MQO são as que apresentam a menor
variância - PROPRIEDADES.
• Melhores Estimadores Lineares Não-Tendenciosos
(MELNT), também chamados de estimadores BLUE (Best
Linear Unbiased Estimate)
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GENERALIZANDO...
 iikkiii XXXY  22110
Variável
Dependente Parâmetros
Variáveis
IndependentesErro Aleatório
MODELO ECONOMÉTRICO
REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA
...
𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛
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i =1,2, ... n
𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖1 + 𝛽2𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑖𝑘 + 𝜀𝑖
𝑌1
𝑌2
⋮
𝑌𝑛
=
1 𝑋11 ⋯ 𝑋1𝑘
1 𝑋21 ⋯ 𝑋2𝑘
⋮
1
⋮
𝑋𝑛1
⋱ ⋮
⋯ 𝑋𝑛𝑘
𝛽0
𝛽1
⋮
𝛽𝑘
+
𝜀0
𝜀1
⋮
𝜀𝑛
NOTAÇÃO MATRICIAL
𝑌𝑛𝑥1 = 𝑋𝑛𝑥(𝑘+1)𝛽 𝑘+1 𝑥1 + 𝜀𝑛𝑥1
Modelo escrito em notação matricial:
𝑌 = 𝑋𝛽 + 𝜀
28
PRESSUPOSTOS BÁSICOS DO MODELO 
CLÁSSICO DE REGRESSÃO LINEAR
• Pressuposição 1: Y é uma função linear (nos parâmetros)
de X
• Pressuposição 2: O erro aleatório tem média zero
• Pressuposição 3: A variância do erro aleatório é constante
(homocedasticia)
• Pressuposição 4: Os erros aleatórios são independentes ou
não correlacionados
• Pressuposição 5: As variáveis explicativas são fixas (não
estocásticas)
• Pressuposição 6: O erro tem distribuição normal com média
zero e variância constante
• Pressuposição 7: Ausência de relação linear entre as
variáveis explicativas
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PRESSUPOSTOS BÁSICOS DO MODELO 
CLÁSSICO DE REGRESSÃO LINEAR
• Pressuposição 1: Y é uma função linear (nos parâmetros)
de X
• Pressuposição 2: O erro aleatório tem média zero
• Pressuposição 3: A variância do erro aleatório é constante
(homocedasticia)
• Pressuposição 4: Os erros aleatórios são independentes ou
não correlacionados
• Pressuposição 5: As variáveis explicativas são fixas (não
estocásticas)
• Pressuposição 6: O erro tem distribuição normal com média
zero e variância constante
• Pressuposição 7: Ausência de relação linear entre as
variáveis explicativas
30
Pressuposição 1: Y é uma função linear 
(nos parâmetros) de X
Existem dois tipos de linearidade:
1. Linearidade nas variáveis: a expectativa condicional
de Y deve ser uma função linear de X nas variáveis
2. Linearidade nos parâmetros: a expectativa
condicional de Y deve ser uma função linear de X nos
parâmetros
  XXY 2211
31
Pressuposição 1: Y é uma função linear 
(nos parâmetros) de X
• Modelos considerados “intrinsecamente lineares”, ou 
que podem se tornar lineares por transformação das 
variáveis
• Exemplo clássico em economia: função do tipo Cobb-
Douglas 
𝑌 = 𝐴𝑋1
𝛽1𝑋2
𝛽2 𝑋3
𝛽3𝑒𝜀
32
PRESSUPOSTOS BÁSICOS DO MODELO 
CLÁSSICO DE REGRESSÃO LINEAR
• Pressuposição 1: Y é uma função linear (nos parâmetros)
de X
• Pressuposição 2: O erro aleatório tem média zero
• Pressuposição 3: A variância do erro aleatório é constante
(homocedasticia)
• Pressuposição 4: Os erros aleatórios são independentes ou
não correlacionados
• Pressuposição 5: As variáveis explicativas são fixas (não
estocásticas)
• Pressuposição 6: O erro tem distribuição normal com média
zero e variância constante
• Pressuposição 7: Ausência de relação linear entre as
variáveis explicativas
33
Pressuposição 2: O erro aleatório tem 
média zero
• Para um determinado valor de X, o valor médio ou
esperado do erro aleatório é zero, ou seja, o erro tem
uma distribuição de probabilidades ao redor de zero.
Erro é o efeito de 
todas as variáveis 
não incluídas no 
modelo
Variações das mesmas não 
afetam sistematicamente o 
valor esperado de Y
  0 iE
  0E
Forma 
matricial
Consequência da violação
Estimadores de MQO serão
tendenciosos
𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑛
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PRESSUPOSTOS BÁSICOS DO MODELO 
CLÁSSICO DE REGRESSÃO LINEAR
• Pressuposição 1: Y é uma função linear (nos parâmetros)
de X
• Pressuposição 2: O erro aleatório tem média zero
• Pressuposição 3: A variância do erro aleatório é constante
(homocedasticia)
• Pressuposição 4: Os erros aleatórios são independentes ou
não correlacionados
• Pressuposição 5: As variáveis explicativas são fixas (não
estocásticas)
• Pressuposição 6: O erro tem distribuição normal com média
zero e variância constante
• Pressuposição 7: Ausência de relação linear entre as
variáveis explicativas
35
Pressuposição 3: A variância do erro 
aleatório é constante (homocedasticia)
Definição estatística da variância:
• Em que é a variância populacional do erro comum a 
todas as observações (homocedasticia)
    eiEeiEeV i 
2
       2220   eee iii EEV

2
36
Pressuposição 3: A variância do erro 
aleatório é constante (homocedasticia)
HOMOCEDASTICIA

2

2

2
37
Pressuposição 3: A variância do erro 
aleatório é constante (homocedasticia)
• Na presença de heterocedasticia, tem-se:
     22 iii ee EV 
Em que seria a variância dos 
resíduos, diferenciada para cada 
observação de X, ou seja, cada 
grupo de resíduos (ei) teria uma 
variância diferente na presença de 
heterocedasticia.

2
i
38
Pressuposição 3: A variância do erro 
aleatório é constante (homocedasticia)
HETEROCEDASTICIA

2
1

2
2

2
3
39
Consequências da Violação:
1. Os estimadores de MQO ainda serão não-
tendenciosos e consistentes
2. Porém, os estimadores não serão eficientes, ou
seja, não apresentarão a menor variância, quando
comparados com outros esimadores lineares não-
tendenciosos
Heterocedasticia: trata-se de um problema comum
quando trabalhamos com dados em corte transversal. 
Pressuposição 3: A variância do erro 
aleatório é constante (homocedasticia)
40
PRESSUPOSTOS BÁSICOS DO MODELO 
CLÁSSICO DE REGRESSÃO LINEAR
• Pressuposição 1: Y é uma função linear (nos parâmetros)
de X
• Pressuposição 2: O erro aleatório tem média zero
• Pressuposição 3: A variância do erro aleatório é constante
(homocedasticia)
• Pressuposição 4: Os erros aleatórios são independentes ou
não correlacionados
• Pressuposição 5: As variáveis explicativas são fixas (não
estocásticas)
• Pressuposição 6: O erro tem distribuição normal com média
zero e variância constante
• Pressuposição 7: Ausência de relação linear entre as
variáveis explicativas
41
Pressuposição 4: Os erros aleatórios são 
independentes ou não correlacionados
• Esta pressuposição implica que os erros associados à
uma observação Xi não afetam ou não estão
correlacionados aos erros associados à uma outra
observação Xj
  0, eeCov ji
ji 
       eEeeEeEeeCov jjiiji ,
42
Pressuposição 4: Os erros aleatórios são 
independentes ou não correlacionados
Violação Autocorrelação
Comum no ajustamento de séries temporais 
Séries temporais (preços, salários, produção) têm no 
seu comportamento o reflexo de movimentos cíclicos 
e/ou sazonais 
A principal consequência da violação
ineficiência dos estimadores de MQO, porém, estes 
continuam não-tendenciosos e consistentes
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PRESSUPOSTOS BÁSICOS DO MODELO 
CLÁSSICO DE REGRESSÃO LINEAR
• Pressuposição 1: Y é uma função linear (nos parâmetros)
de X
• Pressuposição 2: O erro aleatório tem média zero
• Pressuposição 3: A variância do erro aleatório é constante
(homocedasticia)
• Pressuposição 4: Os erros aleatórios são independentes ou
não correlacionados
• Pressuposição 5: As variáveis explicativas são fixas (não
estocásticas)
• Pressuposição 6: O erro tem distribuição normal com média
zero e variância constante
• Pressuposição 7: Ausência de relação linear entre as
variáveis explicativas
48
Pressuposição 5: As variáveis explicativas 
são fixas (não estocásticas)
• Esta pressuposição implica que os valores da variável
explicativa X são considerados fixos e não estão
correlacionados com o erro.
• A variável X é considerada exógena no modelo.
CONSEQUÊNCIA DA VIOLAÇÃO
haverá inconsistência dos 
estimadores de MQO 
49
PRESSUPOSTOS BÁSICOS DO MODELO 
CLÁSSICO DE REGRESSÃO LINEAR
• Pressuposição1: Y é uma função linear (nos parâmetros)
de X
• Pressuposição 2: O erro aleatório tem média zero
• Pressuposição 3: A variância do erro aleatório é constante
(homocedasticia)
• Pressuposição 4: Os erros aleatórios são independentes ou
não correlacionados
• Pressuposição 5: As variáveis explicativas são fixas (não
estocásticas)
• Pressuposição 6: O erro tem distribuição normal com média
zero e variância constante
• Pressuposição 7: Ausência de relação linear entre as
variáveis explicativas
50
Pressuposição 6: O erro tem distribuição 
normal com média zero e variância 
constante
Esta pressuposição pode ser especificada da seguinte forma:
𝜀𝑖~𝑁 0, 𝜎
2 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
𝜇 = 0
𝜇 = 0
𝜇 = 0
51
Pressuposição 6: O erro tem distribuição 
normal com média zero e variância 
constante
CONSEQUÊNCIA DA VIOLAÇÃO
Os parâmetros estimados não seguem a distribuição normal de 
probabilidades. 
Não é possível realizar os testes de hipóteses com 
distribuições baseadas na normal, tais como os usuais testes 
(“t” e “F”) para avaliar a qualidade dos ajustamentos (dos 
parâmetros e da regressão) 
Os estimadores de MQO continuam sendo os 
Melhores Estimadores Lineares Não-Tendenciosos 
(MELNT) 
52
PRESSUPOSTOS BÁSICOS DO MODELO 
CLÁSSICO DE REGRESSÃO LINEAR
• Pressuposição 1: Y é uma função linear (nos parâmetros)
de X
• Pressuposição 2: O erro aleatório tem média zero
• Pressuposição 3: A variância do erro aleatório é constante
(homocedasticia)
• Pressuposição 4: Os erros aleatórios são independentes ou
não correlacionados
• Pressuposição 5: As variáveis explicativas são fixas (não
estocásticas)
• Pressuposição 6: O erro tem distribuição normal com média
zero e variância constante
• Pressuposição 7: Ausência de relação linear entre as
variáveis explicativas
53
Pressuposição 7: Ausência de relação linear 
entre as variáveis explicativas (ausência de 
multicolinearidade)
• Considerando a notação matricial:
• Esta pressuposição prevê a não existência de qualquer 
relação linear entre as colunas das variáveis X1, X2, ..., Xk. 
𝑌1
𝑌2
⋮
𝑌𝑛
=
1 𝑋11 ⋯ 𝑋1𝑘
1 𝑋21 ⋯ 𝑋2𝑘
⋮
1
⋮
𝑋𝑛1
⋱ ⋮
⋯ 𝑋𝑛𝑘
𝛽0
𝛽1
⋮
𝛽𝑘
+
𝜀0
𝜀1
⋮
𝜀𝑛
54
Pressuposição 7: Ausência de relação linear 
entre as variáveis explicativas (ausência de 
multicolinearidade)
EXEMPLO:
• Suponha que queiramos estimar as médias de notas dos alunos de 
uma universidade (Y) em função de três variáveis explicativas: X1
(renda familiar), X2 (horas de estudo por dia) e X3 (horas de estudo por 
semana)
• Variáveis X2 e X3 perfeitamente colineares (X3 = 7X2)
Quando 
ambas 
entrarem 
no 
modelo
Matriz 
(X’X) será 
singular
Não é 
possível 
invertê-la
Não é 
possível 
estimar os 
parâmetros 
desta 
regressão
55
Pressuposição 7: Ausência de relação linear 
entre as variáveis explicativas (ausência de 
multicolinearidade)
O problema de correlação pode ocorrer de duas formas:
1. Correlação perfeita ou multicolinearidade perfeita:
quando ocorre uma relação linear perfeita entre as 
variáveis X não consigo estimar os parâmetros 
pelo MQO
2. Alto grau de correlação entre as variáveis X ou 
multicolinearidade imperfeita: neste caso é possível 
estimar o vetor de parâmetros da regressão, porém, 
com algumas conseqüências indesejáveis.
56
Pressuposição 7: Ausência de relação linear 
entre as variáveis explicativas (ausência de 
multicolinearidade)
Consequências da multicolinearidade:
1. Aumenta a variância dos parâmetros estimados.
2. Aumenta o desvio-padrão. 
3. Reduz o valor da estatística t, induzindo a não 
significância do parâmetro estimado para a variável 
em questão.
4. Estimativas muito sensíveis: tirando uma ou duas 
observações, as estimativas dos parâmetros do 
modelo se alteram bastante.
57
ESTIMADORES DE MQO DEIXAM DE 
SER BLUE QUANDO
1. VIOLAÇÃO DE UMA OU MAIS DAS
PREMISSAS BÁSICAS INERENTES
AO MCRL
2. ERRO DE ESPECIFICAÇÃO