Econometria Básica - AULA 4

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1
Aula 4 - ECONOMETRIA
Profa. Dra. Margarida Garcia de Figueiredo
margaridagf@ufmt.br
mgfiguei@gmail.com
15/05/2014
2
Etapas da pesquisa econométrica:
1. Especificação do modelo teórico: fundamentado na
teoria estabelecer uma hipótese para o problema
científico a ser pesquisado. Nesta etapa formula-se o
modelo econométrico a ser utilizado, definindo-se as
variáveis, a forma funcional e o método de estimação.
2. Estimação do modelo econométrico: através da
análise de regressão estima-se o modelo de
ajustamento dos dados amostrais (no nosso caso,
utilizando-se o método MQO – regressão linear)
3
3. Avaliação do modelo estimado: verificar se o
modelo tem suporte estatístico, através da realização
dos testes estatísticos (teste t, teste F e estimação do
R2 e R2 ajustado). Verificar ainda se o modelo
estimado atende aos critérios de especificação
correta.
4. Interpretação dos resultados: após constatar que o
modelo possa ser consideado um bom ajuste, analisar
os resultados encontrados, para verificar se a teoria
intuitiva pré-estabelecida é, de fato, confirmada
empiricamente através da análise dos dados.
Etapas da pesquisa econométrica:
4
Exemplo da demanda de frango
Implementação no Eviews
5
Exemplo Numérico – Equação de Demanda de 
Frango
• Estimar a equação de demanda de carne de frango no Brasil (quantidade
demandada em função do preço do frango e da renda), de acordo com os
dados da Tabela abaixo:
Obs Ano Qf Pf R
1 1989 12,4 0,92 2893
2 1990 13,4 0,88 3042
3 1991 15 0,66 2617
4 1992 16 0,6 2526
5 1993 17 0,55 2892
6 1994 18,5 0,52 3675
7 1995 22,5 0,5 4602
8 1996 22 0,6 4738
9 1997 23 0,5 4739
Fonte: Santana (2003)
6
Exemplo da demanda de frango
Implementação no Eviews
O primeiro passo para implementação no Eviews é 
montar uma planilha com os dados em Excel, a 
qual será posteriormente importada para o Eviews. 
Esta planilha deve ser salva em Office 2003 (“Pasta 
de Trabalho do Excel 97-2003”), com um nome 
curto e simples, e deve conter apenas os dados a 
serem importados, conforme exemplificado a 
seguir
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Exemplo da demanda de frango – planilha em 
Excel
Variável dependente
quantidade demandada
de frango
Variável independente
renda da população
Variável independente
preço do frango
Salva e fecha a planilha, lembrando o nome e o local que salvou
8
Exemplo da demanda de frango - Eviews
Ao dar um duplo click 
no ícone do Eviews, 
abrirá esta tela inicial
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Exemplo da demanda de frango - Eviews
Clicar em
File
New
Workfile
10
Exemplo da demanda de frango - Eviews
Especificar a 
frequência dos dados 
(ex: Anual), marcar o 
período inicial (Start 
date) e o período final 
(End date).
Feito isto, 
clicar em
OK
11
Exemplo da demanda de frango - Eviews
Ao clicar em
OK, aparecerá
esta tela. 
O próximo
passo será
importar os
dados do 
Excel.
12
Exemplo da demanda de frango - Eviews
Clicar em
File
Import
Read Text-Lotus-Excel
13
Exemplo da demanda de frango - Eviews
Após localizar, 
aparecerá esta
tela. 
Marcar os nomes
das séries de 
dados ou o 
número de séries.
Marcamos o 
número 3, pois
temos 3 séries
de dados: qf, 
pf e re
Clicar em OK
O programa vai
pedir para você
localizar aquele
arquivo em Excel 
com os dados, 
entre as suas
pastas.
14
Exemplo da demanda de frango - Eviews
Ao clicar em
OK, aparecerá
esta tela, 
incluindo os
nomes das 
séries.
Séries de 
dados: uma 
variável 
dependente e 
duas 
independentes
15
Exemplo da demanda de frango - Eviews
Para estimar a equação clicar em
Quick
Estimate Equation
16
Exemplo da demanda de frango - Eviews
Digitar a equação no 
espaço reservado.
Incluir a variável 
dependente, a 
constante e as 
variáveis 
independentes, 
sempre colocando 
um espaço entre elas.
Escolher o Método dos Mínimos Quadrados Ordinários
Clicar em OK
17
Exemplo da demanda de frango - Eviews
Aparecerá
esta tela, 
que
corresponde
à janela da
equação
estimada.
18
Exemplo da demanda de frango - Eviews
Em primeiro lugar, verificar se o modelo tem 
suporte estatístico, através dos resultados
para o teste t, teste F e qualidade do 
ajustamento da regressão (R2).
Comece analisando os resultados para o 
teste t, depois para o teste F e por fim 
analise o R2.
19
Exemplo da demanda de frango - Eviews
Estatística t calculada, mas 
não há necessidade de pegar 
a tabela, vá direto à 
probabilidade. Parâmetro PF
0,0001*100 = 0,01%
Estatísticam. significativo a 1%
Parâmetro RE
0,0000*100 = 0,0%
Estatísticam. 
significativo a 1%
20
Teste t – saída dos programas
1. Para testar a significância estatística individual de cada
parâmetro: teste de hipóteses do tipo t-Student
𝐻0: 𝑜 𝑝𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑛ã𝑜 é 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝐻𝐴: 𝑜 𝑝𝑎𝑟â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 é 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
Na saída dos programas, olhar o valor p e multiplicar por 100
𝑆𝑒 𝟎 < 𝒑 × 𝟏𝟎𝟎 ≤ 𝟏: 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎 1%
𝑆𝑒 𝟏 < 𝒑 × 𝟏𝟎𝟎 ≤ 𝟓: 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎 5%
𝑆𝑒 𝟓 < 𝒑 × 𝟏𝟎𝟎 ≤ 𝟏𝟎: 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎 10%
21
Exemplo da demanda de frango - Eviews
0,000003*100 = 0,0003
De acordo com o teste F, o modelo é 
estatisticamente significativo de 
maneira global a 1%
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2. Para testar a significância estatística global do modelo: teste
de hipóteses do tipo F
𝐻0: 𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 𝑛ã𝑜 é 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝐻𝐴: 𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜 é 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
Na saída dos programas, olhar o valor p e multiplicar por 100
𝑆𝑒 𝟎 < 𝒑 × 𝟏𝟎𝟎 ≤ 𝟏: 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎 1%
𝑆𝑒 𝟏 < 𝒑 × 𝟏𝟎𝟎 ≤ 𝟓: 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎 5%
𝑆𝑒 𝟓 < 𝒑 × 𝟏𝟎𝟎 ≤ 𝟏𝟎: 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑎 10%
Teste F – saída dos programas
23
Exemplo da demanda de frango - Eviews
R2 = 98,6%
R2ajustado = 98,14%
De acordo com o R2ajustado, o 
modelo explica 98,14% da 
variação em Y (na quantidade 
demandada de frango)
24
Exemplo da demanda de frango - Eviews
AGORA QUE VERIFICAMOS QUE O 
MODELO TEM SUPORTE 
ESTATÍSTICO, O PRÓXIMO PASSO É 
INTERPRETAR O SIGNIFICADO DOS 
PARÂMETROS ESTIMADOS
25
Exemplo da demanda de frango - Eviews
Variável dependente Y: Qde demandada de frango
Vetor dos parâmetros estimados
26
Exemplo da demanda de frango - Eviews
Se o preço do frango 
aumentar em R$1,00 a 
quantidade demandada cai 
em 12,03 kg
Se a renda 
aumentar em 
R$1,00 a 
quantidade 
demandada 
aumenta em 
0,0028 kg
ESTIMANDO MODELO 
ECONOMÉTRICO NO 
GRETL
27
http://ricardo.ecn.wfu.edu/pub/gretl/gretl_install.exe
28
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICO NO GRETL
Estimar a demanda por alimentos no Pará, com base nos dados da Tabela 1 
Y X1 X2 X3 X4
Obs DALIM PPX PARZ PFJ RENDA
1 450 5 2 2,5 1300
2 200 4 2 3 700
3 250 4 1,5 2,35 1400
... ... ... ... ... ...
52 700 10 2 3 3000
Fonte: Santana (2003)
Tabela 1 – Demanda por alimentos no Pará, em
função do preço do peixe, do arroz, do
feijão e da renda familiar
EXEMPLO:
29
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICONO GRETL
Preparar a planilha no 
Excel somente com os 
dados, desde a 
primeira linha e 
coluna, e salvar em 
Office 2003 
30
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICO NO GRETL
Tela inicial do GretL
31
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICO NO GRETL
Clicar em Arquivo
Abrir Dados
Importar
Excel...
32
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICO NO GRETL
O GretL automaticamente abre uma janela 
para você localizar a planilha nas suas 
pastas...
33
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICO NO GRETL
Ao localizar (e dar um 
duplo click no nome) 
aparecerá esta janela 
para você especificar 
coluna e linha iniciais, 
e também a planilha 
dentro do arquivo.
Dê um OK
34
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICO NO GRETL
No caso deste exemplo que estamos utilizando, os 
dados não são datados, trata-se de dados em secção 
cruzada. Então, clicar em Não.
APARECERÁ ESTA JANELA...
35
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICO NO GRETL
Esta é a janela 
com os dados já 
importados para o 
GretL
Ícones Úteis
Vista de sessão em ícones
Para estimativa 
dos parâmetros
Clicar neste 
Beta
36
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICO NO GRETL
Ao clicar naquele 
ícone Beta, aparecerá 
esta janela, para 
especificação do 
modelo
Clicar na variável 
dependente e depois 
em escolher
Acrescentar 
cada uma das 
variáveis 
independentes
37
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICO NO GRETL
Após 
acrescentar 
todas as 
variáveis, clicar 
em OK
38
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICO NO GRETL
Janela da Equação 
Estimada
39
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICO NO GRETL
Para guardar a equação estimada como 
um dos ícones na sessão de ícones, 
clicar em:
Arquivo
Guardar para sessão como ícone (i)
40
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICO NO GRETL
Clicar aqui para abrir a 
sessão de ícones
41
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICO NO GRETL
Sessão de ícones
O GretL chamou o modelo estimado de Modelo 1
Podemos alterar o nome do modelo...
42
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICO NO GRETL
Basta clicar com a direita sobre o ícone 
para mudar o nome do modelo
43
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICO NO GRETL
Interpretando os 
resultados...
Teste t
R2
Teste F
Parâmetros
44
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICO NO GRETL
Ao fechar a janela o programa pergunta se deseja gravar (salvar) a sessão
Clicar em “Sim” e localizar a pasta para salvar
45
ESTIMANDO MODELO ECONOMÉTRICO NO GRETL
Salvei a sessão com o nome “alimentos”
46
Exemplo: Equação de salários no Brasil
Versão Modificada da Curva de Phillips
Ano Wt IGPt PNBt Ut
Obs (US$ milhões)
1 1980 64,26 8,33E-10 242155 7,20
2 1981 65,10 1,75E-09 256184 8,04
3 1982 69,20 3,43E-09 255930 6,42
4 1983 60,83 8,70E-09 176797 6,70
5 1984 62,65 2,97E-08 176215 7,12
6 1985 76,94 9,08E-08 198973 5,25
7 1986 96,33 2,20E-07 244583 3,59
8 1987 91,51 7,14E-07 271294 3,73
9 1988 97,27 5,61E-06 294114 3,85
10 1989 105,93 7,96E-05 398232 3,35
11 1990 91,21 2,26E-03 427875 4,28
12 1991 80,17 1,16E-02 374187 4,83
13 1992 86,74 1,27E-01 367823 5,97
14 1993 92,64 2,80E+00 426159 5,32
15 1994 98,48 7,02E+01 554355 5,06
16 1995 105,50 1,17E+02 704972 4,64
17 1996 101,60 1,31E+02 762006 5,42
18 1997 102,90 1,41E+02 788266 5,66
19 1998 102,30 146,33 776442 5,43
Fonte: Conjuntura Econômica (1999)
47
Exemplo: Equação de salários no Brasil
Versão Modificada da Curva de Phillips
eePNBIGPW
U
t
ttt
 321
0

W = Y
IGP = X1
PNB = X2
U = X3
Índice de salários
Índice de preços
Produto Nacional Bruto
Taxa de desemprego
MQO? Função linear nos parâmetros
48
Exemplo: Equação de salários no Brasil
Versão Modificada da Curva de Phillips
eeXXY
X
t
ttt
 3 322110
  XXXY tttt 3322110 )ln()(ln)ln()ln(
  XXXY tttt 33*22*11*0*
Variáveis transformadas nos logaritmos
49
Exemplo: Equação de salários no Brasil
Versão Modificada da Curva de Phillips
Cte ln (IGP) ln (PNB) U
Matriz X = 1 -20,91 12,40 7,20
1 -20,16 12,45 8,04
1 -19,49 12,45 6,42
1 -18,56 12,08 6,70
1 -17,33 12,08 7,12
1 -16,21 12,20 5,25
1 -15,33 12,41 3,59
1 -14,15 12,51 3,73
1 -12,09 12,59 3,85
1 -9,44 12,89 3,35
1 -6,09 12,97 4,28
1 -4,46 12,83 4,83
1 -2,06 12,82 5,97
1 1,03 12,96 5,32
1 4,25 13,23 5,06
1 4,77 13,47 4,64
1 4,87 13,54 5,42
1 4,95 13,58 5,66
1 4,99 13,56 5,43
19 X 1
19 X 4
ln (W)
Vetor Y = 4,163
4,176
4,237
4,108
4,138
4,343
4,568
4,516
4,577
4,663
4,513
4,384
4,463
4,529
4,590
4,659
4,621
4,634
4,628
50
Exemplo: Equação de salários no Brasil
Versão Modificada da Curva de Phillips
Usar o log na hora de 
escrever a equação
Eviews
51
Exemplo: Equação de salários no Brasil
Versão Modificada da Curva de Phillips
O primeiro 
passo é 
verificar se o 
modelo tem 
suporte 
estatístico
Teste t
Teste F
R2
R2 ajustado
52
Exemplo: Equação de salários no Brasil
Versão Modificada da Curva de Phillips
0,6629*100 = 66,29
0,0059*100 = 0,59
0,00*100 = 0,00
Teste t
53
Exemplo: Equação de salários no Brasil
Versão Modificada da Curva de Phillips
54
Exemplo: Equação de salários no Brasil
Versão Modificada da Curva de Phillips
IGPt : não é estatísticamente
significativo
PNBt : se o PNB aumentar em 
1%, o índice de salários 
aumenta em 0,21%
Ut : se o U aumentar em 1 
unidade, o índice de salários 
diminui em 8,77%
55
Exemplo: Equação de salários no Brasil
Versão Modificada da Curva de Phillips
 UPNBIGPY tttt 088,0)ln(211,0)ln(001,023,2)ln(
Beta = 2,227
0,001
0,211
-0,088 4 X 1
Vetor dos 
parâmetros 
estimados
Modelo Estimado
56
clicar em Sim
Por exemplo: Se a série for de 1980 a 1998
QUANDO OS DADOS FOREM UMA SÉRIE TEMPORAL...
Se for estimar no GretL
Exemplo: Equação de salários no Brasil
Versão Modificada da Curva de Phillips
57
QUANDO OS DADOS FOREM UMA SÉRIE TEMPORAL...
Marcar
Série Temporal 
e
Avançar
Se for estimar no GretL
58
QUANDO OS DADOS FOREM UMA SÉRIE TEMPORAL...
Marcar
a frequência
e
Avançar
Se for estimar no GretL
59
QUANDO OS DADOS FOREM UMA SÉRIE TEMPORAL...
Especificar a data da observação inicial e Avançar
Se for estimar no GretL
60
QUANDO OS DADOS FOREM UMA SÉRIE TEMPORAL...
Clicar em OK
Se for estimar no GretL
Se for estimar no GretL
61
Variáveis
62
Marcar as variáveis que aparecerão em Log
(Segura o “ctrl” e clica sobre a variável) 
Se for estimar no GretL
63
Se for estimar no GretL
Clicar em “Acrescentar”
“Logaritmos das variáveis selecionadas” 
64
Se for estimar no GretL
Após criar o Log das 
variáveis, estimar o 
modelo normalmente
65
Se for estimar no GretL
Ln do índice de 
salários
Ln do IGP e do 
PNB
Taxa de 
desemprego
66
Se for estimar no GretL
67
FORMAS DE 
INTERPRETAÇÃO
DOS PARÂMETROS
ESTIMADOS
68
Interpretação dos parâmetros da regressão
Exemplo hipotético - Relação linear X não linear
 XXXY 321 058,0)ln(356,0)ln(4,156,14)ln(
Relação linear de Y com as variáveis X1, X2 e X3?
1% em X1 1,4% em Y
1% em X2 0,356% em Y
1 un em X3 5,8% em Y
69
 XXXY 321 006,0)ln(42,9)ln(82,242,8
Relação linear de Y com as variáveis X1, X2 e X3?
1% em X1 0,028 un em Y
1% em X2 0,0942 un em Y
1 un em X3 0,006 un em Y
Interpretação dos parâmetros da regressão
Exemplo hipotético - Relação linear X não linear
70
Interpretação dos parâmetros daregressão
Regras Práticas
Ln(Y) Ln(X) Y X 
Variação
em
unidade
Variação
em
unidade
Variação
em % 
Variação
em % 
Ln(Y) X Y Ln(X) 
Variação
em
unidade
Variação
em
unidade
Variação
em % 
Variação
em % 
× 𝟏𝟎𝟎 ÷ 𝟏𝟎𝟎
71
Aula 4 – Econometria
Parte II
Profa. Dra. Margarida Garcia de Figueiredo
margaridagf@ufmt.br
mgfiguei@gmail.com
15/05/2014
72
DIFERENTES 
FORMAS 
FUNCIONAIS 
DOS MODELOS 
DE REGRESSÃO
73
FORMAS FUNCIONAIS DOS MODELOS DE 
REGRESSÃO
• Para que possamos utilizar o método dos MQO para
estimativa dos parâmetros da regressão, o modelo deve
ser necessariamente linear nos parâmetros.
• Porém, não necessariamente linear nas variáveis.
• Trataremos agora de alguns modelos de regressão
bastante utilizados nas análises econômicas, que
podem não ser lineares nas variáveis, mas o são nos
parâmetros, ou que podem ser tornados lineares por
meio de transformações das variáveis.
74
FORMAS FUNCIONAIS DOS MODELOS DE 
REGRESSÃO
Alguns modelos comumente utilizados nas 
análises econômicas:
1) Modelo log-linear ou log-log
2) Modelos semilogarítmicos
3) Modelos recíprocos
75
FORMAS FUNCIONAIS DOS MODELOS DE 
REGRESSÃO
Alguns modelos comumente utilizados nas 
análises econômicas:
1) Modelo log-linear ou log-log
2) Modelos semilogarítmicos
3) Modelos recíprocos
76
1. MODELO LOG-LOG, DUPLO-LOG OU 
LOG-LINEAR
eXY iii  21
 iii XY  lnlnln 21
 iii XY  lnln 2

1
ln
77
1. MODELO LOG-LOG, DUPLO-LOG OU 
LOG-LINEAR
Representação Gráfica
Y
X
eXY iii  21
0
2
Se
78
1. MODELO LOG-LOG, DUPLO-LOG OU 
LOG-LINEAR
Representação Gráfica
Y
X
eXY iii  21
0
2
Se
79
1. MODELO LOG-LOG, DUPLO-LOG OU 
LOG-LINEAR
Um aspecto atraente do modelo log-log, 
que o tornou muito difundido nos trabalhos 
aplicados, é que o coeficiente angular
mede a elasticidade de Y em relação a X, 
isto é, a variação percentual de Y, dada 
uma variação percentual unitária de X
80
1. MODELO LOG-LOG, DUPLO-LOG OU 
LOG-LINEAR
Exemplo Ilustrativo:
lnQcerv = 18,2 – 1,61lnPcerv + 1,86lnR + Erro
Qcerv = quantidade demandada de cerveja em litros
Pcerv = preço da cerveja em R$
R = renda média da população em R$
Coeficientes representam a elasticidade-preço
e a elasticidade-renda da demanda por cerveja
81
FORMAS FUNCIONAIS DOS MODELOS DE 
REGRESSÃO
Alguns modelos comumente utilizados nas 
análises econômicas:
1) Modelo log-linear ou log-log
2) Modelos semilogarítmicos
3) Modelos recíprocos
82
2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LOG-LIN
• Modelo log-lin:
É amplamente utilizado para medir taxas de crescimento de 
algumas variáveis econômicas, a exemplo de taxas de 
crescimento da população, do PNB, do PIB, da oferta de 
moeda, do emprego, da produtividade, do déficit comercial, etc.
Exemplo: desejamos conhecer a taxa média de
crescimento anual do consumo das famílias no Brasil
83
2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LOG-LIN
Ano Consumo em R$ milhões de 2007 
1994 1.317 
1995 117.251 
1996 333.725 
1997 680.233 
1998 2.235.648 
1999 451.762 
2000 735.882 
2001 630.628 
2002 432.866 
2003 662.936 
2004 900.154 
2005 1.349.587 
2006 2.657.460 
2007 2.060.853 
 
Tabela 01. Consumo das famílias no Brasil, em R$ milhões de 2007
(valores deflacionados de acordo com o IPC-A)
Fonte: IBGE
84
2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LOG-LIN
Exemplo: Consumo das famílias no Brasil
• Denotemos por Yt, o consumo das famílias no período t 
e por Y0 o consumo destas famílias no período inicial da 
análise.
)1(0 rYY
t
t 
onde r é a taxa de crescimento composta ou geométrica de Y
85
2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LOG-LIN
Exemplo: Consumo das famílias no Brasil
)1(lnlnln 0 rtYY t 

1

2
tY t  21ln 
 tt tY  21ln
Incluindo o termo de 
erro aleatório
86
2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LOG-LIN
 tt tY  21ln
Este modelo se assemelha a qualquer outro 
modelo de regressão linear, já que os 
parâmetros são lineares. A única diferença é 
que o regressando é o log de Y e o regressor é 
o tempo, que assumirá valores 1, 2, 3,..., n.
Modelos como este são 
chamados de 
semilogarítimicos, 
porque apenas uma das 
variáveis está em forma 
logarítmica
Um modelo em que 
apenas o regressando 
aparece na forma 
logarítmica é chamado 
de modelo log-lin
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2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LOG-LIN
 tt tY  21ln
Estimar os 
parâmetros da 
função de 
regressão linear 
simples, de 
ln(consumo) em 
função de t
Y X
Ano ln consumo t
1994 7,18 1
1995 11,67 2
1996 12,72 3
1997 13,43 4
1998 14,62 5
1999 13,02 6
2000 13,51 7
2001 13,35 8
2002 12,98 9
2003 13,40 10
2004 13,71 11
2005 14,12 12
2006 14,79 13
2007 14,54 14
88
2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LOG-LIN
Sabendo-se que:
para encontrar o valor de r, devemos tomar o anti-logaritmo
𝛽2 = 𝑙𝑛 1 + 𝑟 → 0,3035 = 𝑙𝑛 1 + 𝑟
𝑒𝑥𝑝 0,3035 = 1 + 𝑟
𝑒𝑥𝑝 0,3035 − 1 = 𝑟 𝑟 = 1,3546 − 1 = 0,3546
𝑙𝑛𝑌 = 10,8 + 0,3035𝑡 + 𝜀
𝑙𝑛𝑌 = 𝛽1 + 𝛽2𝑡 + 𝜀
𝒓 = 𝟑𝟓, 𝟒𝟔%
90
2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LOG-LIN
O produto de 𝜷𝟐 por 100 é conhecido na literatura 
como a semi-elasticidade de Y em relação a X
𝒍𝒏𝒀 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝒕 + 𝜺
Para encontrar a variação exata:
∆𝒀% = 𝒆𝒙𝒑 𝜷𝟐 − 𝟏 × 𝟏𝟎𝟎
91
2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LIN-LOG
• Modelo lin-log:
(Conhecer a variação absoluta de Y dada uma variação percentual de X)
 tit XY  ln21
XX
Y



2
)(
2
XXY  
Assim, se varia 1% (ou 0,01 unidade), a variação absoluta de Y será:
XX
)01,0(
2
Y
Para interpretar corretamente o significado do parâmetro Beta 2, 
é necessário dividi-lo por 100
92
2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LIN-LOG
Representação Gráfica
93
2. MODELOS SEMILOGARÍTMICOS: 
LIN-LOG
Aplicação prática “modelos de despesas de Engel”
“o total das despesas com alimentação tende a 
aumentar em progressão aritmética enquanto as 
despesas totais aumentam em progressão 
geométrica”
Exemplo: modelo de regressão para as despesas com alimentação 
na Índia, em função das despesas totais:
DespAlim = -1.283,9 + 257,27lnDespTotal + Erro
um aumento de 1% nas despesas totais dos indianos, 
corresponde a um aumento de 2,57 rupias nas 
despesas com alimentação
94
FORMAS FUNCIONAIS DOS MODELOS DE 
REGRESSÃO
Alguns modelos comumente utilizados nas 
análises econômicas:
1) Modelo log-linear ou log-log
2) Modelos semilogarítmicos
3) Modelos recíprocos
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3. MODELOS RECÍPROCOS
 t
i
t
X
Y 






1
21
quando X aumenta 
indefinidamente
o termo se 
aproxima de zero e Y se 
aproxima do valor limite ou 
assintótico 
)/1(
2
X

1
Portanto, modelos recíprocos trazem embutido um valor assíntota 
ou limite, o qual a variável dependente assumirá, quando a variável 
independente X aumentar indefinidamente.
96
3. MODELOS RECÍPROCOS
Formas Prováveis 
97
3. MODELOS RECÍPROCOS
• Exemplo: mortalidade infantil em função do PNB per capita







PNBpc
MI
1
17,273.2779,81
Verifica-se que, na medida em que o PNB per capita aumenta 
indefinidamente, a mortalidade infantil se aproxima do seu 
valor assintótico de cerca de 82 óbitos por mil