PROGRAMAÇÃO LINEAR-CastanhaeCastro,parte1

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Anderson Lopes Belli Castanha
Eduardo Breviglieri Pereira de Castro
Pesquisa OperacionalPesquisa Operacional
Copyright !"2009. Todos os direitos desta edição reservados ao Sistema Universidade Aberta do Brasil. Nenhuma parte deste material
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PRESIDENTE DA REPÚBLICA
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MINISTRO DA EDUCAÇÃO
Fernando Haddad
SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
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SISTEMA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL
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COMISSÃO EDITORIAL DO PROJETO PILOTO UAB/MEC
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DESIGNER INSTRUCIONAL
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PROJETO GRÁFICO
Annye Cristiny Tessaro
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DIAGRAMAÇÃO
Annye Cristiny Tessaro
REVISÃO DE PORTUGUÊS
Claudia Leal Estevão Brites Ramos
ORGANIZAÇÃO DE CONTEÚDO
Anderson Lopes Belli Castanha
Eduardo Breviglieri Pereira de Castro
Sumário
Ap r e s e n t a ç ã o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 7
UNIDADE 1 – Introdução à Pesquisa Operacional
Pesquisa Operacional...........................................................................11
Alguns conceitos iniciais para a Programação Linear............................13
Modelagem de um Problema de Mix de Produção..................................17
Solução gráfica do Problema de Mix de Produção.................................22
Solucionando Problemas de Otimização com o uso de Planilhas Eletrônicas.......29
Solução do Problema de Mix de Produção no Excel.................................31
O Algoritmo Simplex de Otimização......................................................37
Resumo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
Atividades de aprendizagem.....................................................................48
UNIDADE 2 – Problemas de Mistura
O Problema da Dieta...........................................................................51
Solucionando o Problema da Dieta com o uso da Planilha Eletrônica.......56
Problema sugerido........................................................................62
Problema de Composição de Tintas..............................................65
Solucionando o Problema de Composição de Tintas com o uso do Excel.......67
Problema de Mix de Investimentos..............................................................72
O Problema de Mix de Investimentos Solucionado na Planilha Eletrônica......74
Problema Sugerido de Mix de Mídias.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79
Resumo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80
Atividades de aprendizagem.....................................................................81
UNIDADE 3 – Problemas de Capacidade
Produção de Laticínios.....................................................................85
Solucionando o Problema de Produção de Laticínios com o uso da
Planilha Eletrônica....................................................................88
Problema de Produção de Vidros................................................................93
Solucionando o Problema de Produção de Vidros com o uso do Excel.......95
Resumo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
Atividades de aprendizagem.....................................................................100
UNIDADE 4 – Problemas de Transportes
Problemas de Transporte.....................................................................103
Problema de Escoamento da Produção #1................................................105
A resolução do Problema de Transporte através de Planilha Eletrônica.......107
Problema de Escoamento de Produção #2................................................110
Solucionando o Problema de Transporte com o uso do Excel.........................113
Resumo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
Atividades de aprendizagem.....................................................................116
UNIDADE 5 – Outras Aplicações em Pesquisa Operacional
Ampliando o uso da Pesquisa Operacional...............................................121
Programação Inteira.......................................................................122
Programação Não-Linear.......................................................................124
Resumo.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
Atividades de aprendizagem.....................................................................125
Referências.....................................................................................126
Minicurrículos.....................................................................................128
Apresentação
Caríssimo aluno,
Neste momento você inicia seus estudos sobre Pesquisa
Operacional. Em uma definição bastante simples, a Pesquisa
Operacional é um método de tomada de decisão com suporte científi-
co utilizado em problemas nos quais tentamos buscar a melhor solu-
ção possível. Mesmo nesta simplificação, podemos destacar sua prin-
cipal importância nos dias atuais: buscar a melhor solução possível.
Na vida do Administrador, existe uma quase obsessão dentro
das organizações: operar com o menor custo. Paralelo a isso, o Admi-
nistrador também persegue nas empresas o melhor lucro, certo? E por
outro lado, ele se depara em seu cotidiano com questões que envol-
vem limitações de insumos, de capacidade e de tantos outros recursos;
ainda mais em tempos modernos!
Ora, como alcançar o menor custo ou o maior lucro com recur-
sos escassos é um problema típico de Pesquisa Operacional. E, da
mesma forma que este, pode-se imaginar, ou ainda, vivenciar diversas
outras situações similares com impactos consideráveis no campo de
atuação das organizações. Separamos algumas destas situações para
apresentar a você neste curso!
O estudo de Pesquisa Operacional também cresce em importân-
cia nos dias atuais devido à facilidade do contato com ferramentas
informatizadas. Hoje, com a ajuda de um microcomputador e de softwares
cada vez mais interativos e populares, podemos solucionar grande parte
dessas situações problemáticas habituais do mundo dos negócios.
Neste material, procuramos elaborar justamente isso: aplicações
que você – futuro administrador – poderá utilizar em situações profis-
sionais com a ajuda de suporte computacional. Para isso, nós utiliza-
mos como ferramenta nesta apostila a planilha eletrônica do Microsoft®
Excel. Se você se sentir um pouco enferrujado, existem diversos
tutoriais gratuitos simples do Excel na Internet. Entre no Google com
os termos, tutorial e Excel, e vários resultados aparecerão. Um deles,
bastante simples, é o da Fundação Bradesco, disponível em: <http://
www.fundacaobradesco.org.br/vv-apostilas/ex_suma.htm>. Acesso
em: 5 maio 2009. Outra fonte importante é o site da própria Microsoft®
<www.microsoft.com.br>. Acesso em: 5 maio 2009.
Sugerimos ainda que, já no decorrer desta etapa de seus estudos,
você desenvolva grande interação com o seu professor e com o seu
tutor. Não hesite em expor suas dúvidas, seja de forma presencial ou
nos fóruns por meio do ambiente virtual.Esta articulação nos parece
essencial em seu processo de aprendizagem.
O material está dividido em 5 Unidades. Na primeira Unidade,
apresentamos a introdução do tema, com uma abordagem mais teóri-
ca, discorrendo sobre os conceitos básicos de Pesquisa Operacional.
Nas Unidades seguintes focamos em aplicações de Pesquisa
Operacional. Assim, na segunda Unidade, desenvolvemos os chama-
dos Problemas de Mistura. Na terceira Unidade, os Problemas de Ca-
pacidade. E, na quarta Unidade, apresentamos os Problemas de Trans-
porte. Por último, tecemos comentários sobre outros métodos utiliza-
dos em PO.
Aproveite seu estudo!
Introdução à
Pesquisa Operacional
Introdução à
Pesquisa Operacional
UNIDADE
1
10
Curso de Graduação em Administração a Distância
Objetivo
Nesta Unidade de estudo, vamos conhecer as definições e principais
conceitos acerca da Pesquisa Operacional. Estes fundamentos teóricos
nos darão suporte às etapas subsequentes. Veremos também como
escrever um Problema Linear – chamaremos esta ação de modelar – e
como solucioná-lo usando técnicas gráficas e computacionais. Devemos
nos recordar das equações e inequações matemáticas e dos gráficos de
equações, pois estes serão conhecimentos básicos necessários nesta Unidade.
Módulo 7
11
Pesquisa Operacional
Pesquisa Operacional. O que é isso? Embora possa ser definida
de diversas formas, o conceito de Pesquisa Operacional foi apresenta-
do, de forma clara, por Colin (2007) como o uso de métodos matemá-
ticos necessários para resolver problemas nos quais existam o desejo
constante por otimização, ou seja, o melhor resultado possível e, prin-
cipalmente, orientados para aplicações práticas.
O dia-a-dia do Administrador está repleto de problemas que ne-
cessitam de decisões de otimização, tais como maximizar lucro e
minimizar o custo, não é mesmo? Então, nestas aplicações o uso da
Pesquisa Operacional se destaca na construção de soluções melhores
possíveis – as chamadas Soluções Ótimas.
A Pesquisa Operacional, ou somente PO, nasceu na Inglaterra
no esforço de guerra, da tentativa de alocar eficientemente os recursos
escassos, como nos conta Colin (2007). Tais problemas de operações
militares durante a guerra tinham semelhanças suficientes com os en-
contrados nas empresas no pós-guerra para animar seus administrado-
res a investir neste conhecimento. E foi principalmente pelo impacto
financeiro positivo obtido com sua utilização, que a PO alcançou mai-
or aceitação em decisões gerenciais.
Saiba mais...
!"Para conhecer mais sobre o desenvolvimento de Pesquisa
Operacional visite a página da Sociedade Brasileira de Pesquisa
Operacional no site: <http://www.sobrapo.org.br/sitesobrapo.htm>.
Acesso em: 4 maio 2009, e clique em “O que é PO?”
A Pesquisa Operacional abrange diversas técnicas – Programa-
ção Linear, Programação Não Linear, Programação Inteira, Progra-
mação Dinâmica, Programação Hierárquica etc., mas nos concentra-
12
Curso de Graduação em Administração a Distância
Verifique no seu Excel
se o Solver está habili-
tado. Acesse o Excel
do Office 2003, no
menu ferramentas
clique em Suplemen-
tos. Marque o Solver e
Clique Ok. Se for
preciso instalar, clique
na opção sim. Depois,
você encontrará o
Solver no menu ferra-
mentas. Atenção! Nem
todas as instalações do
Office disponibilizam
automaticamente o
Solver. Se este for o
seu caso, será necessá-
rio utilizar o cd de
instalação.
remos aqui na Programação Linear; tradicional e poderosa o suficien-
te para apresentar soluções às diversas questões de otimização na área
gerencial. Grandes empresas utilizam ou já utilizaram esta técnica ge-
rando economias consideráveis.
A definição de Mix de Produção – o que e o quanto produzir de
cada produto, dados os respectivos custos e lucros – é um dos exem-
plos de aplicação de PO. Você já pensou nesta questão? Ou nesta: se
uma empresa tem vários depósitos e atende várias cidades, quantos e
de onde saem os produtos para cada cidade de forma a transportar e
atender todos pelo menor custo? Estas são aplicações típicas de PO.
Basta você transformar estes problemas em um Modelo que represen-
te a realidade, utilizar um software adequado (para facilitar a parte
matemática nós utilizaremos uma planilha de cálculo, tipo Excel atra-
vés da ferramenta Solver) e encontrar uma possível melhor solução.
Em uma orientação prática, a ênfase neste material pretende fa-
miliarizar você aluno, com as aplicações mais usuais de Pesquisa
Operacional. E, principalmente, familiarizar a Modelagem*, ou seja,
como escrever um problema real em uma linguagem matemática. A
intenção é apresentar problemas simples, mas de aplicações práticas.
Aprendendo a modelar os problemas básicos propostos, você poderá
avançar para aplicações mais complicadas.
GLOSSÁRIO
*Modelagem – é o
processo de escre-
ver algum aspecto
da realidade através
de simbologia. No
caso da PO, as
simbologias são as
equações e
inequações mate-
máticas. A Modela-
gem sempre simpli-
fica a realidade.
Fonte: elaborado
pelos autores.
Módulo 7
13
Alguns conceitos iniciais para a
Programação Linear
Como vocês já estudaram em matemática, uma função é chama-
da de linear se ela mantém uma relação linear entre suas variáveis,
assim:
y = f(x1, x2, x3,... xn)
y = c1.x1 + c2.x2 + c3.x3 + ... + cn.xn
Vamos agora imaginar esta situação na prática: quando você re-
aliza uma compra no supermercado, o valor final que você irá pagar –
“y” – no caixa, ou seja, “f(x1, x2, x3,... xn)”, será a quantidade do item
1 (x1) vezes o preço do item 1 (c1) mais a quantidade do item 2 (x2)
vezes o preço do item 2 (c2) e assim por diante... O (c) como preço é a
constante conhecida.
Ou seja, o “y” (valor a pagar) mantém uma relação linear com
seus argumentos itens de compra “x1, x2, x3,... xn”, e com suas cons-
tantes conhecidas “c1, c2 , c3 ... cn”, preços dos itens de compra.
Por outro lado, uma função não-linear seria do tipo:
y = f(x1, x2, x3) = c1.x13 + c2.x22 + c3.x3
Observe que em uma função não-linear você encontra pelo me-
nos uma variável elevada a uma potência não unitária (2, 3 etc.). No
exemplo, x1 está elevado ao cubo (três) e x2 está elevado ao quadrado
(dois), ou seja, está caracterizada a não-linearidade da função.
Assim, um Problema de Programação Linear (PPL) é um pro-
blema no qual todas as equações, por exemplo, (f(x1, x2, x3) = A) e
inequações, por exemplo, (f(x1, x2, x3) > A) são lineares.
Dito isso, alguns conceitos iniciais são necessários para você
compreender melhor a Pesquisa Operacional. Então veja bem: estamos
preocupados com problemas de otimização e para isso vamos formu-
14
Curso de Graduação em Administração a Distância
lar Modelos objetivando a melhor solução possível em processos de
tomada de decisão, alocando de forma otimizada recursos escassos
para produzir/realizar/investir em alguma coisa. Aqui podemos identi-
ficar algumas palavras chaves: um objetivo, um modelo, otimização, a
decisão, os recursos. Vamos ver alguns conceitos (COLIN, 2007;
BRONSON, 1986):
Problema de Otimização: Em um Problema de Otimização,
a pessoa que irá tomar a decisão busca maximizar ou
minimizar uma quantidade especificada, por exemplo,
maximizar lucro ou minimizar custos. Em um problema de
cálculo do quanto produzir de cada item em uma fábrica –
um Problema de Mix de Produção* – o objetivo seria
maximizar o lucro buscando a melhor quantidade de cada
produto a ser produzida.
Modelo: Podemos chamar de Modelo aquilo que representa-
mos em uma situação real, como um problema de gestão, por
exemplo, de modo simplificado por meio de equações e
inequações matemáticas de forma a modelar a realidade. A
Sofisticação do Modelo* dependerá do nível de tomada de
decisão que pretendemos. Por exemplo, em um Problema de
Mix de Produção, o Modelo representaria todos oscustos de
produção: a capacidade de produção de cada item, a sua quan-
tidade disponível, a sua demanda e o seu lucro.
Variáveis de Decisão: São as variáveis utilizadas no Mode-
lo que podem ser escolhidas e controladas pela pessoa que
irá tomar a decisão. A melhor solução possível – a Solução
Ótima – é uma combinação de resultados das Variáveis de
Decisão. No Problema de Mix de Produção, uma variável de
decisão seria a quantidade do produto versus o que eu deve-
ria produzir.
Parâmetros: São as variáveis utilizadas no Modelo que não
podem ser controladas pela pessoa que irá tomar a decisão.
São valores muitas vezes pré-determinados e a solução en-
contrada é considerar fixos estes valores. No Problema de
Mix de Produção, um Parâmetro seria a capacidade máxima
de uma máquina de produzir um determinado produto x –
GLOSSÁRIO
*Mix de Produção –
conjunto dos produ-
tos produzidos por
uma unidade de
operação, fábrica
ou empresa. Fonte:
elaborado pelos au-
tores.
*Sofisticação do
Modelo – é o quan-
to o Modelo simpli-
fica ou se aproxima
da realidade. Quan-
to maior a sofistica-
ção, mais próximo
da realidade, mais
perfeito é um Mode-
lo. Ao contrário,
quanto mais simples
for o Modelo, mai-
or será a probabili-
dade de erro na so-
lução.) Fonte: elabo-
rado pelos autores.
Módulo 7
15
 (Você consegue
pensar em mais coisas
que você poderia
maximizar ou
minimizar?)
este valor é pré-determinado para aquela máquina por ques-
tões técnicas ou de segurança, e não é possível produzir mais
do que aquilo que foi especificado.
Função-Objetivo: É a função que expressa o principal obje-
tivo da pessoa interessada na decisão. Como vimos, procura-
remos maximizar ou minimizar o resultado desta função.
Maximizar quando a função se referir a lucro, receita, ganhos,
bem-estar etc. Minimizar quando a função se referir a custos,
riscos, perdas etc. No nosso exemplo, poderia ser maximizar
lucro.
Restrições: Estamos buscando decisões de como melhor uti-
lizar recursos escassos, não é isso? Pois então, recursos es-
cassos são limitados, e, essas limitações restringem nossas
opções de decisão: são as Restrições do Problema! Como
vimos na conceituação dos Parâmetros, a capacidade máxi-
ma de uma máquina tem que ser respeitada: isto é uma Res-
trição de Capacidade, ou seja, é uma limitação que devemos
obedecer.
Solução Viável: Diz-se que uma solução é viável quando os
valores das Variáveis de Decisão desta solução resolvem o
problema, atendendo as restrições, mas não necessariamente
oferecendo o melhor resultado possível. Por exemplo, em um
Problema de Mix de Produção, uma Solução Viável seria uma
solução que resolve as Restrições de Capacidade, que aten-
de a demanda, mas não fornece o maior lucro possível para a
empresa.
Solução Inviável: Diz-se que uma solução é inviável quan-
do pelo menos um valor das Variáveis de Decisão desta solu-
ção não atende a pelo menos uma Restrição do Problema,
assim, ela não satisfaz as necessidades impostas. Neste caso,
no Problema de Mix de Produção, uma Solução Inviável não
satisfaz as restrições que podem ser de capacidade ou de de-
manda, por exemplo.
Solução Ótima: É a Solução Viável que maximiza ou
minimiza o resultado da Função-Objetivo. Ela, por ser viá-
vel, atende e satisfaz todas as Restrições do Problema e retorna
à empresa o melhor resultado possível.
16
Curso de Graduação em Administração a Distância
(Reflita sobre o assun-
to. Isto seria de se
esperar? Pense como
ficaria se, ao invés de
lucro, fosse o custo?
Pesquise sobre Econo-
mias de Escala.)
Propriedades – divisibilidade, aditividade,
proporcionalidade e certeza: Você se lembra que já comen-
tamos sobre os Problemas de Programação Linear? Pois al-
gumas características são necessárias para estes tipos de pro-
blemas. São elas:
Divisibilidade: indica que as Variáveis de Decisão podem ser
fracionadas, isto é, elas não precisam assumir valores inteiros.
Certeza: presume que todos os Parâmetros são conhecidos
com certeza. Isto nem sempre é verdade, mas podemos utili-
zar Parâmetros fixos e analisar os resultados para conferir o
efeito de alguma incerteza.
Aditividade: indica que a relação entre uma variável e outra
é sempre de adição ou de subtração e nunca de outras opera-
ções: o lucro máximo de uma empresa será o lucro obtido
pela produção da quantidade x1 do produto 1 mais o lucro
obtido pela quantidade x2 do produto 2 mais o lucro obtido
pela quantidade x3 do produto 3 e assim por diante. Nunca
seria assim: o lucro máximo de uma empresa é o lucro obtido
pela produção da quantidade x1 do produto 1 vez o lucro
obtido pela quantidade x2 do produto 2, ok?
Proporcionalidade: diz respeito à contribuição de uma vari-
ável de decisão na Função-Objetivo ou das restrições serem
proporcionais ao valor daquela variável. Exemplificando: se
o lucro associado à produção de uma unidade do produto 1 é
de R$ 1,00; o lucro obtido pela produção de 100 unidades
será de R$ 100,00 e o lucro para 100.000 unidades será de
R$ 100.000,00. Desta forma, o lucro unitário não se altera
conforme a quantidade produzida.
Módulo 7
17
Modelagem de um Problema de
Mix de Produção
Neste momento, vamos tentar modelar matematicamente um pro-
blema real. A chamada Modelagem é um processo de entendimento e
interpretação do problema e requer muita atenção. Vamos ao nosso
exemplo:
A empresa Manufactura Ltda busca o maior lucro possível
fabricando dois tipos de produtos que denominaremos pro-
duto A e produto B. Cada produto A dá um lucro para a fá-
brica de R$ 50,00 reais e cada produto B, um lucro de R$
40,00. Entretanto, o produto A leva 30 minutos para ser mon-
tado, e o produto B, apenas 20 minutos. Depois de monta-
dos, os produtos têm de ser embalados. Devido às dimensões
e outros fatores, o produto A precisa de apenas 5 minutos
para este procedimento, ao passo que o produto B necessita
de 10 minutos para a embalagem. A mão-de-obra utilizada
na empresa é constituída de funcionários que realizam igual-
mente as duas atividades, em uma jornada de 8 horas de tra-
balho. Assim, o tempo dos funcionários é alocado parcial-
mente para a montagem e parcialmente para a embalagem
dos produtos. A empresa estabeleceu que, por dia, a monta-
gem não deveria ocupar mais do que 6 horas (360 minutos,)
e a embalagem não deveria gastar mais do que 2 horas (120
minutos). Outra restrição, obtida pela experiência da empre-
sa, estabeleceu que não mais do que 20 produtos A produzi-
dos por dia são absorvidos pelo mercado consumidor.
Agora se pergunte: o que a empresa deseja? Vamos lá! Maximizar
o lucro? Veja só: A empresa Manufactura Ltda busca o maior lucro
possível fabricando dois tipos de produtos, que denominaremos pro-
duto A e produto B. Como os dados são referentes ao período de um
dia, para simplificar vamos maximizar o lucro diário!
18
Curso de Graduação em Administração a Distância
Quais os produtos que a empresa Manufactura produz? A e B,
não é? Então, como podemos representar o lucro diário da empresa
Manufactura? Seria assim, veja:
Lucro Dia = (Lucro do Produto A x Quantidade diária de A)
 + (Lucro do Produto B x Quantidade diária de B)
Você concorda? Então vamos escrever matematicamente recor-
dando que: cada item A dá um lucro para a fábrica de R$ 50,00 reais e
cada item B, um lucro de R$ 40,00.
Lucro Dia = R$ 50,00 x Quantidade de A + R$ 40,00 x Quantidade de B.
Vamos chamar o lucro dia de “z”; a quantidade diária de A de x1 e
a quantidade diária de B de x2. Substituindo a expressão acima, teremos:
z = 50 x1 + 40 x2
E a empresa objetiva o que mesmo? Maximizar o lucro diário!
Assim, temos a nossa Função-Objetivo:
Max z = 50 x1 + 40 x2
Tudo tranquilo até aqui? Então, quais são as Variáveis de Deci-
são? São as quantidades de A e de B a serem produzidas por dia, ou
seja, x1 e x2. Sãoestas as variáveis que o responsável pela tomada de
decisão pode controlar e alterar para obter o melhor lucro. Mas a
Manufactura pode produzir, em um dia, o quanto quiser de A e de B,
à vontade? Não, não pode. Produzir nesta empresa como nas demais,
está sujeito às restrições. Assim, uma restrição salta aos olhos: a expe-
riência obtida pela empresa estabelece que não mais do que 20 itens A
produzidos por dia são absorvidos pelo mercado consumidor. Ou seja,
a quantidade de A por dia tem que ser menor ou igual a 20! Matema-
ticamente temos:
Restrição 1: x1 # 20
Módulo 7
19
Mas vamos lá, continuemos com a Modelagem identificando mais
restrições.
O dia trabalhado dentro da Manufactura tem 8 horas e a empre-
sa deixa 6 horas para montar e 2 horas para embalar, não é isso?
Relembre: A empresa estabeleceu que, por dia, a montagem deveria
ocupar não mais do que 6 horas (360 minutos), e a embalagem não
deveria gastar mais do que 2 horas (120 minutos).
Mas quantos minutos o item A gasta para ser montado? O item A
leva 30 minutos para ser montado! E o B? O Item B, apenas 20 minutos.
Se a empresa estabelece que, por dia, apenas 6 horas de trabalho
podem ser destinadas à montagem, ou seja, 360 minutos de monta-
gem; quantos itens A e B são possíveis montar em 1 dia?
Para cada A = 30 min., então x1 Unidades de A vão gastar:
30x1 min.
Para cada B = 20 min., então x2 Unidades de B vão gastar:
20x2 min.
Ok? Estes dois tempos somados – o que se gasta montando A e
o que se gasta montando B – não podem ultrapassar 6 horas ou 360
minutos por dia de montagem. Repare que se a empresa quiser montar
mais do A, terá que reduzir o B para dar tempo e vice-versa. Isto é
uma Restrição de Capacidade. E a decisão é justamente tentar otimizar
a relação entre A e B: o quanto eu produzo de A e de B para ocupar o
tempo todo e gerar mais lucro:
Restrição 2: 30x1 + 20 x2 # 360
Para esta restrição, uma Solução Viável seria x1 = 10 Uni-
dades e x2 = 2 Unidades. Assim, teríamos 30 x 10 + 20 x 2 =
340 minutos, respeitando as 6 horas disponíveis. Uma Solu-
ção Inviável seria x1 = 10 Unidades e x2 = 4 Unidades. As-
sim, teríamos 30 x 10 + 20 x 4 = 380 minutos, o que excede
as 6 horas disponíveis.
20
Curso de Graduação em Administração a Distância
Se você repetir o raciocínio para a área de embalagem vai verifi-
car que é muito parecido: o item A precisa de apenas 5 minutos para
este procedimento, enquanto que o Item B necessita de 10 minutos
para a embalagem. Ou seja, na embalagem:
Para cada A = 5 min., então x1 Unidades de A vão gastar: 5x1
min.
Para cada B = 10 min., então x2 Unidades de B vão gastar:
10x2 min.
E como a Manufactura só disponibiliza 120 minutos por dia para
embalar, temos:
Restrição 3: 5x1 + 10 x2 # 120
Uma última restrição é uma condição física inerente ao proble-
ma: os valores de x1 e x2 devem ser positivos. Isto é, não podemos
fabricar uma quantidade negativa de um produto. Esta restrição, cha-
mada de não-negatividade, é bastante comum em problemas de Pro-
gramação Linear. Então temos:
Restrição 4: x1 $ 0; x2 $ 0
Assim, terminamos de modelar nosso problema e resumimos todo
o texto em poucas equações:
Encontrar: z, x1 e x2
Maximizar: z = 50x1 + 40x2
Restrito a: 30x1 + 20x2 # 360
5x1 + 10 x2 # 120
x1 # 20
x1 $ 0 e x2 $ 0
A esta formulação chamamos de Forma Canônica* do problema.
Seguindo uma sequência, proposta por Bronson (1986), resumi-
mos, a seguir, o que fizemos:
GLOSSÁRIO
*Forma Canônica –
tipo de representa-
ção formal de um
Modelo por meio de
um sistema de equa-
ções e inequações.
Fonte: elaborado
pelos autores.
Módulo 7
21
Passo 1: Identifique o objetivo do problema, que pode ser
maximizar (lucro, receita, ganhos, etc.) ou minimizar (cus-
tos, perdas, riscos, etc.). Formule este objetivo em uma equa-
ção com as Variáveis de Decisão:
z = c1x1 + c2x2 + c3x3 + ... + cnxn
Passo 2: Identifique todas as exigências, restrições e limita-
ções estipuladas pelo problema. Formule estas restrições
matematicamente. Geralmente, você irá encontrar equações
e inequações do tipo:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn $ d1 e/ou
b1x1 + b2x2 + b3x3 + ... + bnxn ##### d2 e/ou
b1x1 + b2x2 + b3x3 + ... + bnxn = d2
Passo 3: Expresse as condições implícitas no problema. As
condições de não-negatividade:
x1 $ 0; x2 $ 0; x3 $ 0; ... ; xn $ 0
22
Curso de Graduação em Administração a Distância
Os eixos cartesianos
(horizontal e vertical)
delimitam uma região
no plano para as
soluções de nosso
problema.
(Procure na Internet
mais sobre algoritmos
e Simplex. Pesquise
sobre George Dantzig,
o criador do método
Simplex.)
Solução gráfica do Problema
de Mix de Produção
Um problema de Programação Linear é geralmente solucionado
com a aplicação de algoritmos*, como o Simplex, que será explicado
mais detalhadamente ao final deste capítulo. Entretanto, para uma com-
preensão mais clara do problema e do tipo de solução que pode ser
encontrada, pode-se dar uma interpretação gráfica a ele.
Para tanto, é importante que o problema escolhido como exem-
plo possua apenas duas Variáveis de Decisão, para permitir a
visualização num único plano. Assim, utilizaremos o problema de Mix
de Produção, que possui esta característica (apresentando as variáveis
x1 e x2) e que pode ser descrito, em sua Forma Canônica, como:
Encontrar: z, x1 e x2
Maximizar: z = 50x1 + 40x2
Restrito a: 30x1 + 20x2 # 360
5x1 + 10 x2 # 120
x1 # 20
x1 $ 0 e x2 $ 0
Note bem. A construção da solução começa estabelecendo-se
dois eixos cartesianos, um para cada variável do problema. Neste caso
específico, o eixo horizontal é reservado para a Variável de Decisão x1
e o eixo vertical para a outra Variável de Decisão x2. A região deste
gráfico que contém as soluções possíveis para o problema é denomi-
nada Região Viável. Se não houvesse Restrições, esta região seria todo
o plano infinito cortado pelos eixos x1 e x2. Entretanto, como você já
sabe, o Problema de Programação Linear se caracteriza essencialmen-
te pelas Restrições impostas, e são estas Restrições que diminuirão o
plano para uma região viável com limites bem definidos.
GLOSSÁRIO
*Algoritmo – pro-
cedimentos de lógi-
ca computacional
ou não que descre-
vem os passos para
a resolução de um
problema proposto.
Fonte: elaborado
pelos autores.
Módulo 7
23
Vamos lembrar que a Solução Ótima procurada deve estar ape-
nas na região onde x1 e x2 assumem valores positivos. São as Restri-
ções de não-negatividade do problema, que já foram citadas e são re-
presentadas pelas inequações da última linha do problema:
x1 $ 0 e x2 $ 0
Veja que, graficamente, isto limita o espaço de soluções possí-
veis à região do gráfico mostrada na Figura 1:
Figura 1: O espaço de soluções possíveis
Fonte: elaborada pelos autores
Da mesma forma, podemos introduzir as outras Restrições do
Problema. Assim, a restrição x1 # 20, estabelece que somente são viá-
veis as soluções no gráfico à esquerda da reta definida pela equação
x1 = 20. A Região Viável é assim reduzida para (ver Figura 2):
Figura 2: Região Viável para uma das Restrições
Fonte: elaborada pelos autores
24
Curso de Graduação em Administração a Distância
Agora verifique a última Restrição do problema. Note que a
inequação 5x1 + 10x2 # 120, é semelhante à anterior. Usando a mesma
abordagem, obtemos os dois pontos x1 = 0; x2 = 12 e x2 = 0; x1 = 24.
Traçando a nova reta com este dois pontos, obteremos uma nova Re-
gião Viável para esta outra Restrição, como pode ser observado na
Figura 4.
A restrição 30x1 + 20x2 # 360 é apenas um pouco mais compli-
cada de ser traçada, mas também não apresenta nenhum problema de
determinação. Podemos começar considerando o valor de x1 igual a
zero para descobrirmos em que ponto a reta corta o eixo x2. Fazendo
as contas, verificamos x1 = 0, x2 = 18. Depois,da mesma maneira,
vamos considerar o valor de x2 igual a zero e determinaremos então o
ponto em que a reta corta o eixo x1. Neste caso, veja que x2 = 0, x1 = 12.
Com estes dois pontos, a reta pode ser traçada, obtendo-se o gráfico
da Figura 3. Note que para esta restrição, a Região Viável é o triângu-
lo ressaltado em cinza delimitado pela reta e pelos dois eixos.
Mas o que significa isso? Com a interpretação gráfica podemos
observar que quaisquer dos dois valores de x2 e x1 dentro desta região,
determinam um ponto que é uma solução possível para o problema e sa-
tisfaz a Restrição determinada pela inequação 30x1 + 20x2 # 360.
Figura 3: Região Viável para uma segunda Restrição
Fonte: elaborada pelos autores
Módulo 7
25
Figura 4: Região Viável para a terceira Restrição
Fonte: elaborada pelos autores
Desta forma, é possível obter as Regiões Viáveis para cada uma
das Restrições. Entretanto, é claro que o problema proposto exige que
todas as Restrições sejam satisfeitas ao mesmo tempo, e assim, deve-
mos compor um gráfico que sobreponha cada uma delas e que nos
permita visualizar a região viável global.
A composição das Restrições pode ser vista na Figura 5 e na
Figura 6. A região mais escura do gráfico representa a área que pode
conter soluções que satisfazem a todas as Restrições do Mix de Produ-
ção: é a nossa Região Viável procurada. Lembre-se que o Ponto Óti-
mo de produção, aquele que maximizará o lucro da empresa
Manufactura Ltda, deverá estar contido nesta área.
Figura 5: Composição das Regiões Viáveis para as três Restrições
Fonte: elaborada pelos autores
26
Curso de Graduação em Administração a Distância
Agora que já conhecemos a Região Viável para as soluções do
problema, podemos passar para o próximo passo, que é exatamente
determinar o Ponto Ótimo, ou a Solução Ótima que maximize os lu-
cros da empresa. Observe que a função que fornece o lucro é dada por
z = 50x1 + 40x2. Note que, graficamente, para cada valor de “z” pode-
se traçar uma reta diferente. Mas quais são os aspectos destas diferen-
tes retas? Vamos traçar qualquer uma delas no gráfico e ver o que
podemos concluir.
Considere, por exemplo, a reta que contém o ponto x1 = 0; x2 = 5.
Se substituirmos estes dois valores na equação, obteremos um valor
de z = 200. Veja:
z = (50 x 0) + (40 x 5) = 200
Conhecendo o valor de “z”, podemos então tentar obter as coor-
denadas para x1 e x2 de outro ponto desta mesma reta. Por conveniên-
cia, vamos estabelecer que o novo valor de x2 seja igual a zero. Assim,
só nos restará obter o valor de x1. Substituindo x2 = 0 na equação para
obtermos o novo ponto, teremos:
200 = 50x1 + (40 x 0) % x1 = 4
O novo ponto possui então as coordenadas x1 = 4; x2 = 0.
Agora já é possível traçar esta primeira reta que liga os dois pontos
x1 = 0; x2 = 5 e x1 = 4; x2 = 0. Na Figura 7 você pode ver o seu traçado.
Figura 6: Região Viável para todas as Restrições
Fonte: elaborada pelos autores
Módulo 7
27
Observe que, por estar contida dentro da Região Viável, qual-
quer ponto desta reta representa uma Solução Viável para o problema
com um lucro para a empresa de R$ 200,00 (z = 200). Entretanto,
como você pode claramente inferir, esta ainda não é a Solução Ótima.
Mas já conhecemos, pelo menos, os aspectos que as diversas retas têm
representando os diversos lucros (diferentes valores para “z”).
Figura 7: Reta da função lucro para z = 200
Fonte: elaborada pelos autores
Note que quando o valor de “z” aumenta, por exemplo, quando
z = 400, a reta se move de forma paralela à apresentada na figura.
Desta forma, a reta mais alta que toca na figura em apenas um ponto é
a Solução Ótima.
Seguindo este raciocínio, podemos garantir que para todo e qual-
quer valor de “z”, há uma reta única com a mesma inclinação daquela
primeira reta que acabamos de determinar. Isso porque os coeficientes
de x1 e x2 são sempre constantes e iguais a 50 e 40, respectivamente.
Portanto, todas as retas de “z” serão paralelas umas as outras. Resta
então uma única questão a se responder: quais destas retas indicam o
valor máximo do lucro?
Olhando novamente o gráfico, percebemos que à medida que x1
e x2 aumentam seus valores, a reta da equação de “z” se afasta da
origem. Se continuarmos traçando retas paralelas e lembrando que es-
tas retas devem possuir pelo menos um ponto dentro da Região Viável,
veremos que a reta que procuramos é aquela que passa pelo ponto ex-
tremo representado pela interseção das restrições cujas inequações são:
28
Curso de Graduação em Administração a Distância
30x1 + 20x2 # 360 e 5x1 + 10 x2 # 120
Este ponto, como podemos observar na Figura 8 e na Figura 9,
tem como coordenadas x1 = 6; x2 = 9. Se substituirmos estes dois valo-
res na equação de “z” temos:
z = (50 x 6) + (40 x 9) = 660
Este é o lucro máximo que pode ser obtido para o problema pro-
posto. Assim resolvemos o problema de Mix de Produção. Para
maximizar seus lucros, cada empregado da empresa deve então pro-
duzir lotes de 6 itens de A e 9 itens de B. Cada lote resultará em um
lucro de R$ 660,00.
Figura 8: Reta da função lucro máximo e respectivos valores de x1 e x2
Fonte: elaborada pelos autores
Figura 9: Reta da função lucro máximo para z = 660
Fonte: elaborada pelos autores
Módulo 7
29
(Procure na Internet
por outras ferramentas
computacionais para a
solução de Problemas
de Programação
Linear. Uma dica é o
site da Lindo System:
<www.lindo.com>.
Acesso em: 4 maio
2009.)
Solucionando Problemas
de Otimização com o uso
de Planilhas Eletrônicas
Como você pode imaginar, na prática cotidiana das empresas, o
cálculo de um problema de otimização é realizado com o auxílio de
ferramentas computacionais e, não com o método gráfico visto an-
teriormente.
Existem dois tipos, básicos, de programas desenvolvidos para
esta finalidade. Softwares dedicados, geralmente utilizados quando o
Modelo matemático vai ser usado frequentemente, dentro de uma roti-
na operacional da empresa; e softwares mais flexíveis, que devem ser
usados quando o Modelo será trabalhado poucas vezes. Neste último
caso, uma boa opção é se servir de algoritmos de solução de proble-
mas (Solvers) que fazem parte das ferramentas disponíveis em planilhas
eletrônicas de uso generalizado, como o Lotus123 ou o Microsoft®
Excel. Assim, e considerando a ampla difusão do Excel entre os usuá-
rios brasileiros – você provavelmente já utiliza o Excel –, os exemplos
desta apostila serão baseados no Solver disponível na versão padrão
desta planilha eletrônica.
Para construir uma planilha eletrônica de fácil utilização e com-
preensão você precisará considerar algumas características importantes:
Em primeiro lugar, sugere-se que, antes de partir para a efeti-
va utilização do software, o problema seja bem estudado e os
dados bem organizados. Isto é fundamental para a constru-
ção do Modelo matemático.
Outra sugestão é que se estruture a planilha de forma que
haja uma leitura fácil de quais células contêm as Variáveis de
Decisão, a Função-Objetivo, os coeficientes das Restrições
e assim por diante.
Finalmente, é importante que haja comunicabilidade com o
usuário, na forma de títulos explicativos que exponham cla-
30
Curso de Graduação em Administração a Distância
ramente o que cada região da planilha contém e, qual sua
função no problema.
Seguindo estas diretrizes, podemos passar então à solução de
um primeiro exemplo de Problema de Otimização através do Excel,
ou de Mix de Produção, cuja formulação já foi vista anteriormente.
Módulo 7
31
Solução do Problema de
Mix de Produção no Excel
Novamente, como no item de interpretação gráfica de um Pro-
blema de Programação Linear, antes de partir para a construção da
planilha eletrônica, vamos relembrar o Modelo determinado para o
problema de Mix de Produção, em sua Forma Canônica:
Encontrar: z, x1e x2
Maximizar: z = 50x1 + 40x2
Restrito a: 30x1 + 20x2 # 360
5x1 + 10 x2 # 120
x1 # 20
x1 $ 0 e x2 $ 0
A Figura 10 mostra como uma planilha poderia ser construída
para conter o Modelo matemático deste problema.
Figura 10: Planilha construída para resolução do problema
Fonte: elaborada pelos autores
32
Curso de Graduação em Administração a Distância
Veja que procuramos separar as regiões horizontalmente e
explicitá-las de modo que facilmente se perceba onde se encontram
cada parte do Modelo. A linha 2 foi escolhida para descrever a Fun-
ção-Objetivo do problema. A linha 5 para o número de itens fabrica-
dos. Na linha 8, colocamos o lucro unitário que a empresa obtém para
cada um dos itens. Finalmente, as linhas 12, 13 e 14 são reservadas
para a entrada das Restrições do Problema.
Para facilitar ainda mais a visualização do problema, alguns blo-
cos foram sombreados em cinza claro. Serão estas células que terão
seus conteúdos modificados pelo Solver do Excel. As outras células
utilizadas, em fundo branco, contêm valores numéricos ou fórmulas
que devem ser introduzidas diretamente pelo usuário.
Vamos começar inserindo, na célula D2, a fórmula da função
que desejamos maximizar. No caso, o lucro total da produção, repre-
sentado pela soma dos lucros conseguidos com cada item; estes calcu-
lados pela multiplicação dos seus lucros unitários (células D8 e E8)
pelas respectivas quantidades produzidas (células D5 e E5). Assim,
na célula D2, digitamos:
= (D5*D8) + (E5*E8)
O próximo passo é inserir os valores dos lucros unitários de cada
item produzido pela empresa nas células D8 e E8. No nosso exemplo,
D8 deve conter o valor 50, e E8 o valor 30.
Em seguida, devemos preencher os blocos de células reservados
para os coeficientes das Restrições (lado esquerdo e direito das
inequações). Na planilha, os coeficientes são inseridos nas células D12,
D13, D14, E12, E13 e E14. Os valores para o lado direito das Restri-
ções ficam nas células I12, I13 e I14. Veja um exemplo na Figura 11:
Figura 11: Esquema de alocação das Restrições na planilha
Fonte: elaborada pelos autores
Módulo 7
33
(O Solver faz através
de seu algoritmo o que
foi visto na abordagem
gráfica anteriormente.)
Assim que acabar de digitar os coeficientes, você pode prosse-
guir inserindo as fórmulas do lado esquerdo das Restrições do Modelo
no bloco de células reservado para tal. Em nossa planilha de exemplo,
este bloco de células trata-se das células G12, G13 e G14. Assim,
G12 deve conter:
= (D12*D5)+(E12*E5)
que representa a soma das multiplicações dos coeficientes em D12 e
E12 pelas respectivas quantidades produzidas de cada item, contidas
nas células D5 e E5. Da mesma forma, as outras inequações são
inseridas em G13:
= (D13*D5)+(E13*E5)
e, em seguida, na célula G14:
= D5
Assim, finalizamos a entrada de dados na planilha. Tudo o que
resta agora é recorrer ao Solver do Excel para a realização dos cálcu-
los. Para isso, basta ir até o menu do Excel, escolher ferramentas, e
clicar na opção Solver. Veja a Figura 12:
Figura 12: Localização do Solver no menu do Excel
Fonte: elaborada pelos autores
34
Curso de Graduação em Administração a Distância
Uma janela para entrada de Parâmetros se abrirá. É preciso ago-
ra informar ao Solver em que posições na planilha se encontram as
células contendo a Função-Objetivo, as Variáveis de Decisão (que no
Solver do Excel são chamadas de “células variáveis”) e os lados es-
querdo e direito das Restrições. Veja na Figura 13 a posição de cada um
dos blocos de células e o aspecto final da tela de entrada de dados do
Solver, para o Modelo do problema do Mix de Produção a ser calculado.
Caso você encontre dificuldades no uso do Solver, consul-
te o seu tutor sobre os passos necessários para entrada dos
dados e a execução dos cálculos.
Figura 13: Tela do Solver
Fonte: elaborada pelos autores
Na janela de Parâmetros do Solver existe também o botão op-
ções que dá acesso à janela da figura a seguir. Para os exemplos que
utilizaremos nesta apostila, devemos presumir que o Modelo é linear e
que as soluções deverão ser sempre não negativas. Assim, selecione
essas duas opções de Parâmetros, no local indicado pela seta na Figu-
ra 14. Note que existem outras opções na tela do Solver que não se
aplicam aos problemas que estamos tratando neste curso.
Módulo 7
35
Depois de preencher as opções como indicado, pressione a tecla
ok. A janela se fechará e a tela anterior será mostrada. Agora para
executar o algoritmo de otimização, basta clicar no botão resolver e
instantaneamente o Excel calculará a solução. Se você aceitar o cálcu-
lo, o programa retornará automaticamente para a planilha, onde po-
dem ser observados os resultados.
Note que as células sombreadas em cinza claro tiveram seus va-
lores modificados, como esperado. De principal importância, são as
células D2, que contém a Função-Objetivo a ser maximizada (lucro
máximo que pode ser obtido pela empresa) e as células D5 e E5, mos-
trando a quantidade de itens que devem ser fabricados para que se
obtenha este lucro máximo. Além disso, as células (G12 a G14) mos-
tram agora os valores obtidos com a solução para cada uma das Res-
trições. Veja na Figura 15 que todos estes valores se encontram dentro
dos limites desejados.
Como vimos anteriormente, o lucro máximo para este Problema
de Mix de Produção é de R$ 660,00, obtido com a fabricação diária de
6 itens A e 9 itens B por cada funcionário da empresa.
Figura 14: Tela de opções do Solver
Fonte: elaborada pelos autores
36
Curso de Graduação em Administração a Distância
Figura 15: Planilha resolvida para o problema de Mix de Produção
Fonte: elaborada pelos autores
Módulo 7
37
O Algoritmo Simplex de Otimização
Vimos no item anterior como um Problema de Programação Li-
near pode ser resolvido com o uso de uma planilha eletrônica. Mas
você pode ter curiosidade em saber como o programa acha a Solução
Ótima. Para isso, ele utiliza um algoritmo numérico mais antigo e mais
conhecido como Simplex.
Saiba mais...
!"Para obter mais informações sobre o método Simplex escolha
um dos livros indicados em nossa bibliografia para consultá-lo.
O Simplex pode ser divido, de maneira bastante simplificada,
em três passos distintos, são eles:
Inicialização: preparação dos dados de entrada.
Iteração: repetição dos procedimentos de busca de uma solução.
Regra de Parada: verificação se a solução obtida é a Solução
Ótima.
Vejamos agora como o algoritmo funciona, descrevendo
detalhadamente o processo para o exemplo de Mix de Produção. A
solução manual que propomos é feita utilizando um quadro, ou
tableau*, do Simplex. Este quadro tem como única função auxiliar a
realização dos cálculos e das iterações de forma mais amigável.
Começamos por transformar o Problema de Programação Line-
ar, dado em sua forma padrão, numa disposição que seja mais adequa-
da à entrada dos valores no quadro do Simplex. É o primeiro passo do
Simplex: a Inicialização. Para isso, tomamos todas as equações e
inequações do problema e movemos os termos de tal forma que eles se
apresentam como uma série de equações cujos termos à direita sejam
GLOSSÁRIO
*Tableau – termo
em francês para
quadro, ou ainda ta-
bela, tradicional-
mente utilizado em
PO para denominar
as tabelas do méto-
do Simplex. Fonte:
elaborado pelos au-
tores.
38
Curso de Graduação em Administração a Distância
apenas constantes positivas. Veja a seguir. O problema de Mix de Pro-
dução, que é dado por:
Maximizar: z = 50x1 + 40x2
Restrito a: 30x1 + 20x2 # 360
5x1 + 10 x2 # 120
x1 # 20
x1 $ 0 e x2 $ 0
se transforma em:
z – 50 x1 – 40 x2 = 0
0 + 30 x1 + 20 x2 + f1 = 360
0 + 5 x1 + 10 x2 + f2 = 120
0 + 1 x1 + 0 x2 + f3 = 20
Note que as Restrições x1 $ 0 e x2 $ 0 (Restrições de não-
negatividade) foram excluídasdo problema pois são consideradas pa-
drão pelo método. Além disso, foram criadas novas variáveis f1, f2 e f3,
denominadas Variáveis de Folga, para transformar as desigualdades
das Restrições em igualdades. Estas variáveis são somadas ou subtra-
ídas conforme as desigualdades originais sejam elas do tipo “maior ou
igual” ou do tipo “menor ou igual”: Assim:
Desigualdades do tipo “#” % soma % + f
n
Desigualdades do tipo “$” % subtração % – f
n
Transformado o sistema de equações, passa-se ao preenchimen-
to do tableau do Simplex. Os coeficientes das variáveis do sistema são
colocados de forma matricial, um em cada célula da tabela (tableau).
Do lado de fora da tabela, devemos numerar cada linha inserindo uma
coluna com um índice para indicar cada linha; e inserindo outra colu-
na à direita, para indicar a qual variável o lado direito da equação
(LD) está associado. Veja o modelo no Quadro 1 abaixo:
Módulo 7
39
A primeira linha (sem numeração) indica a variável cujos coefi-
cientes estão dispostos no quadro e o valor do lado esquerdo das equa-
ções. A numeração das linhas está à esquerda, fora da tabela. A linha
“0” representa a equação da Função-Objetivo. As linhas 1, 2 e 3 re-
presentam as equações das Restrições. O quadro reserva ainda uma
coluna denominada Quociente, cuja função será demonstrada ao lon-
go da resolução do problema. À direita, fora da tabela, escrevemos a
indicação da variável associada ao valor do lado direito das equações.
Montado o quadro, você pode passar ao segundo passo do mé-
todo Simplex: a Iteração.
Primeira iteração: Inicie o processo verificando, na linha
“0”, qual é o menor coeficiente que pode ser encontrado.
Veja o Quadro 2 a seguir. É o coeficiente de x1, igual a –50.
Quadro 1: Tableau # 1 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Quadro 2: Tableau # 2 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
A coluna que possui este coeficiente passa a ser denominada
coluna-pivô, e é definida como a coluna cujo coeficiente da linha “0”
é o menor de todos. Veja o Quadro 3 a seguir:
40
Curso de Graduação em Administração a Distância
O próximo passo é calcular os Quocientes em que os coeficien-
tes forem estritamente positivos, ou seja, vamos calcular as razões en-
tre os valores do Lado Direito (LD) das equações e cada respectivo
coeficiente da coluna-pivô. Por exemplo, para a linha “1”, o valor do
Quociente é igual a 360 divididos por 30, o que dá como resultado um
valor igual a 120. Fazendo o mesmo cálculo para as linhas “2” e “3”,
obtemos o Quadro 4:
Quadro 3: Tableau # 3 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Quadro 4: Tableau # 4 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Os valores dos quocientes calculados vão indicar agora uma li-
nha que é denominada linha-pivô. O critério de escolha desta linha é:
aquela que apresentar o menor Quociente calculado. No nosso exem-
plo, é a linha “1”, pois o menor Quociente é igual a 12. Veja o Quadro
5 abaixo:
Quadro 5: Tableau # 5 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Módulo 7
41
Determinada a coluna-pivô e a linha-pivô, encontramos o coefi-
ciente-pivô, que está na interseção entre a linha-pivô e a coluna-pivô.
No Quadro 6, podemos visualizar que o coeficiente-pivô é igual a 30.
Quadro 6: Tableau # 6 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores.
Aplicamos, então, um algoritmo para modificação das linhas,
utilizando o coeficiente-pivô encontrado. Este algoritmo é, na verda-
de, uma maneira simples de utilizar o método de eliminação na resolu-
ção de sistemas de equação.
Veja na Figura 16 o procedimento:
Figura 16: Algoritmo para modificação da linhas no Simplex
Fonte: elaborada pelos autores.
Veja que aparece no algoritmo uma linha-pivô modificada.
Esta linha é obtida modificando-se a linha-pivô através da
divisão de seus valores pelo valor do coeficiente-pivô. Veja o
caminho para obtê-la no nosso exemplo e o aspecto do
tableau (Quadro 7) após a modificação:
Linha-Pivô Modificada
[0 30 20 1 0 0 360] / 30 = [0 1 0,666 0,033 0 0 12]
Note que pegamos a linha 1 e dividimos todos os seus valores
por 30 e reescrevemos esta linha com os novos valores calculados
(resultados da divisão por 30).
42
Curso de Graduação em Administração a Distância
Obtida a nova linha-pivô, continuamos então, aplicando o resto
do algoritmo. Veja o que acontece com a linha “0”:
Nova Linha “0”
[1 –50 –40 0 0 0 0] – (–50) [ 0 1 0,666 0,033 0 0 12 ]
Nova Linha “0”
[1 –50 –40 0 0 0 0] + [0 50 33,333 1,666 0 0 600]
Nova Linha “0”
[1 0 –6,666 1,666 0 0 600]
Perceba que para obtermos a nova linha “0” multiplicamos a
linha “1” por “–50” e a somamos com a linha “0” original.
Da mesma forma, a linha “2” se transforma, ao aplicarmos o
algoritmo:
Nova Linha “2”
[0 5 10 0 1 0 120] – (5) [0 1 0,666 0,033 0 0 12]
Nova Linha “2”
[0 5 10 0 1 0 120] – [0 5 3,333 0,166 0 0 60]
Nova Linha “2”
[0 0 6,666 –0,166 1 0 60]
E, para a linha “3”:
Quadro 7: Tableau # 7 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Módulo 7
43
Nova Linha “3”
[0 1 0 0 0 1 20] – (1) [0 1 0,666 0,033 0 0 12]
Nova Linha “3”
[0 1 0 0 0 1 20] – [0 1 0,666 0,033 0 0 12]
Nova Linha “3”
[0 0 –0,666 –0,033 0 1 8]
O tableau assume o aspecto apresentado no Quadro 8:
Quadro 8: Tableau # 8 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Atenção! Veja que o coeficiente-pivô pertence à coluna da vari-
ável x1 e à linha da variável de folga f1. No algoritmo Simplex, quan-
do escolhemos o coeficiente-pivô, verificamos a variável relacionada
à coluna-pivô e denominamos essa variável como Variável-Entrante.
A variável relacionada à linha-pivô é, por sua vez, denominada como
Variável-Sainte. O que fazemos então é substituir no quadro, a Variá-
vel-Sainte pela Variável-Entrante:
Figura 17: Substituição da Variável-Sainte pela Variável-Entrante
Fonte: elaborada pelos autores
Finalmente, podemos preencher o quadro do Simplex com as
novas linhas calculadas e com a nova Variável-Entrante. Veja no Qua-
dro 9 o seu novo aspecto:
44
Curso de Graduação em Administração a Distância
Neste ponto, devemos aplicar o terceiro passo do Simplex: a Regra
de Parada.
No quadro, ela se traduz pela existência ou não de um coeficien-
te negativo da linha “0”. Se tal coeficiente existir, significa que a Fun-
ção-Objetivo ainda pode ser melhorada, ou seja, a solução ainda não
representa a Solução Ótima. Neste caso, outra iteração deve ser calcu-
lada. Olhando o quadro anterior, você pode observar que na linha “0”
o novo coeficiente de x2 é negativo, igual a –6,666. Então, no nosso
exemplo, devemos realizar outra iteração. Vamos a ela.
Segunda iteração: Seguindo o mesmo processo visto ante-
riormente, olhe a linha (0), e procure o menor coeficiente do
novo quadro do Simplex que acabamos de obter. Agora, o
menor coeficiente é igual a –6,666, estabelecendo a coluna de
x2 como a nova coluna-pivô. Lembre-se que isto transforma
x2 na nova Variável-Entrante. Veja o Quadro 10 a seguir:
Quadro 9: Tableau # 9 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Quadro 10: Tableau # 10 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Seguindo o algoritmo, verifica-se que esta coluna apresenta dois
coeficientes positivos, então calculamos os Quocientes para cada uma
destas duas linhas. Assim, obtemos:
Módulo 7
45
Lembra-se do próximo passo? A linha-pivô é a que apresenta o
menor Quociente.
Neste caso é a linha “2”, para o Quociente igual a 9. A escolha
desta linha determina também qual a Variável-Sainte. Neste caso, f2.
Veja o Quadro 12:
Quadro 11: Tableau # 11 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Quadro 12: Tableau # 12 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Continuando, determinamos o novo coeficiente-pivô de valor
igual a 6,666, interseção da linha-pivô com a coluna-pivô.
Procede-se então à modificação da linha-pivô, dividindo-se os
seus valorespelo valor do coeficiente-pivô, igual a 6,666. Assim, ob-
temos o Quadro 14 a seguir:
Quadro 13: Tableau # 13 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
46
Curso de Graduação em Administração a Distância
Finalmente, aplicando o algoritmo do método de eliminação, ob-
teremos o novo tableau do Simplex, mostrado a seguir no Quadro
15. A Variável-Sainte f2 já está substituída pela Variável-Entrante x2.
Perceba que agora não há mais nenhum coeficiente negativo na linha
“0”. Isto indica que a Função-Objetivo não pode ser melhorada e esta
nova solução representa a Solução Ótima.
Quadro 14: Tableau # 14 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores.
Quadro 15: Tableau # 15 do Simplex
Fonte: elaborado pelos autores
Os resultados da solução podem ser obtidos diretamente do
tableau. Fica clara agora a função da coluna mais à direita do quadro.
Ela facilita a associação dos valores constantes na coluna LD às Vari-
áveis de Decisão. Veja a figura a seguir. O valor de x1 é igual a 6, o de
x2 é igual a 9, e a Função-Objetivo (o lucro máximo da empresa)
assume o valor de 660. Resultados já encontrados na solução gráfica e
pelo Solver do Excel.
Figura 18: Resultados encontrados para z, x1 e x2
Fonte: elaborada pelos autores
Módulo 7
47
RESUMO
Nesta Unidade, estudamos as definições e principais con-
ceitos acerca da Pesquisa Operacional, que é um método de
tomada de decisão com suporte científico utilizada em proble-
mas nos quais tentamos buscar a melhor solução possível. En-
tre as diversas técnicas que a PO utiliza, nós nos concentramos
na Programação Linear – lembrando que uma função é chamada
de linear se ela mantém uma relação linear entre suas variáveis.
Em seguida, vimos que um Modelo de Programação Li-
near é uma representação de um problema real em termos de
equações e inequações lineares, ou seja, em linguagem mate-
mática. Neste Modelo, existem Variáveis de Decisão, Restri-
ções e uma Função-Objetivo, que é o que tentamos otimizar.
Logo depois, apresentamos a você um exemplo de Mo-
delagem de um problema típico em Administração, o Mix de
Produção. Você teve que interpretar o problema, identificar a
Função-Objetivo e identificar as Restrições deste problema, entre
outros passos.
Passamos então a uma solução não computacional, a so-
lução gráfica. Traçamos em um gráfico as retas corresponden-
tes a cada uma das Restrições e você pôde visualizar a área do
gráfico representando o espaço onde as soluções possíveis para
o problema se encontram. Traçando em seguida a reta da Fun-
ção-Objetivo sobre a área delimitada pelas Restrições, você
obteve a melhor solução para o problema.
Entendido o processo gráfico, apresentamos o método
Simplex, que é a base da maioria dos algoritmos utilizados em
PO. Este é um método matemático para a solução de sistemas
de equações através de operações com matrizes, os chamados
48
Curso de Graduação em Administração a Distância
tableaux. Como na prática existem softwares para realizar auto-
maticamente o que o método Simplex indica, apresentamos na
sequência a ferramenta Solver do Excel, com um exemplo que
você foi trabalhando desde a Modelagem do problema. Mostra-
mos ainda as telas da planilha nas quais tivemos que reproduzir
o problema proposto com as equações, Restrições e assim por
diante, dando entrada de dados no software, passo a passo.
Atividades de aprendizagem
1. Apresente três possíveis problemas de otimização que possam
ser resolvidos pela Programação Linear. Formule as Funções-Ob-
jetivo e as possíveis Restrições.
Módulo 7
49
Problemas de MisturaProblemas de Mistura
UNIDADE
2
50
Curso de Graduação em Administração a Distância
Objetivo
Nesta Unidade, apresentaremos os chamados Problemas de Mistura que
é quando, em termos simples, precisamos lidar com composições a
partir de escolhas de ingredientes. Veremos também algumas aplicações
e como modelá-las. Você utilizará os conhecimentos da primeira
Unidade e solucionará os problemas computacionalmente. Por fim,
algumas atividades serão sugeridas para você tomar boas decisões.
Módulo 7
51
O Problema da Dieta
Na Unidade anterior, estudamos como modelar e resolver um
Problema de Programação Linear com o uso da Pesquisa Operacional.
Nesta Unidade aprofundaremos os conhecimentos com os Problemas
de Mistura: situações em que o Administrador pode determinar a me-
lhor quantidade de ingredientes, respeitando, por exemplo, restrições
acerca da disponibilidade destes e otimizando o seu objetivo final.
Um exemplo clássico de Problema de Mistura é o Problema da
Dieta. Neste situação, o objetivo é determinar a quantidade ideal de
alimentos que deve ser ingerida para satisfazer as necessidades
nutricionais, com o menor custo possível.
Imaginemos, por exemplo, que um município queira estabelecer o
mix ideal de alimentos para compor o cardápio da merenda oferecida nas
escolas. Vamos supor que, nutricionalmente, o cardápio deva fornecer
certa quantidade mínima de calorias, de vitaminas A e C, de ferro e de
cálcio. Entretanto, para o município é importante minimizar o custo da
refeição, pois assim, um número maior de crianças poderá ser atendido.
Consideremos, para fins didáticos, que o município tenha dispo-
níveis para aquisição os seguintes alimentos: carne, arroz, feijão, cou-
ve e banana. Além disso, deseja-se manter certa quantidade mínima de
cada um dos produtos na dieta. Afinal, mesmo que os cálculos indi-
quem, por exemplo, que apenas o arroz satisfaz as necessidades
nutricionais, não é verossímil que crianças possam comer apenas ar-
roz em uma única refeição. Desta forma, foram consideradas as se-
guintes porções mínimas para cada item:
Carne: 50g
Arroz: 100g
Feijão: 80g
Couve: 20g
Banana: 50g
52
Curso de Graduação em Administração a Distância
O preço para cada um desses itens é, respectivamente:
Carne: R$ 8,00 / kg
Arroz: R$ 2,00 / kg
Feijão: R$ 2,00 / kg
Couve: R$ 1,00 / kg
Banana: R$ 4,00 / kg
Para facilitar a entrada de dados, consideremos o preço dos ali-
mentos para porções de 100g, pois a maior parte das tabelas nutricionais
é apresentada contendo porções dessa quantidade. Assim, os valores
monetários são:
Carne: R$ 0,8 / 100g
Arroz: R$ 0,2 / 100g
Feijão: R$ 0,2 / 100g
Couve: R$ 0,1 / 100g
Banana: R$ 0,4 / 100g
Da mesma forma, com relação as quantidades mínimas de cada
alimento, todos os cálculos serão realizados para porções de 100 g.
Assim, devemos proceder a uma normalização dos valores, conside-
rando a porção, ou seja,
Quantidade mínima de Carne: 50g / 100g = 0,5 porção
Quantidade mínima de Arroz: 100g / 100g = 1 porção
Quantidade mínima de Feijão: 80g / 100g = 0,8 porção
Quantidade mínima de Couve: 20g / 100g = 0,2 porção
Quantidade mínima de Banana: 50g / 100g = 0,5 porção
As restrições neste problema referem-se às quantidades míni-
mas de nutrientes a serem ingeridas e às quantidades mínimas estipu-
ladas para cada um dos itens. As necessidades são dados conhecidos,
Módulo 7
53
obtidos, por exemplo, da Organização Mundial da Saúde. Desta for-
ma, estabelecemos as seguintes Restrições:
Consumo diário mínimo de Energia: 2000cal
Consumo diário mínimo de Vitamina A: 750mcg
Consumo diário mínimo de Vitamina C: 70mg
Consumo diário mínimo de Ferro: 10mg
Consumo diário mínimo de Cálcio: 650mg
A Tabela 1 organiza todos estes valores para facilitar a
visualização:
Em termos de formulação matemática, as restrições tomam a for-
ma das seguintes inequações:
225 x
carne
 + 360 x
arroz
 + 325 xfeijão + 30 xcouve + 90 xbanana $ 2000
7 x
carne
 + 5 xfeijão + 150 xcouve $ 750
5 xfeijão + 145 xcouve + 4 xbanana $ 70
3 x
carne
 + 1,5 x
arroz
 + 7,5 xfeijão + 2 xcouve + 0,5 xbanana $ 10
10 x
carne
 + 10 x
arroz
 + 85 xfeijão + 235 xcouve + 10 xbanana $ 650
x
carne
 $ 0,5
x
arroz
 $1
Tabela 1: Dados do Problema da Dieta
Fonte: elaborada pelos autores
Propriedade
Energia
Vitamina A
Vitamina C
Ferro
Cálcio
Porção Mínima
Unidade
cal
mcg
mg
mg
mg
100g
Valor
Diário
2000
750
70
10
650
–
Carne
225
7
0
3
10
0,5
Arroz
360
0
0
1,5
10
1
Feijão
325
5
5
7,5
85
0,8
Couve
30
150
145
2
235
0,2
Banana
90
0
4
0,5
10
0,5
54
Curso de Graduação em Administração a Distância
xfeijão $ 0,8
x
couve
 $ 0,2
xbanana $ 0,5
em que:
x
carne
 = quantidade de carne
x
arroz
 = quantidade de arroz
xfeijão = quantidade de feijão
x
couve
 = quantidade de couve
xbanana = quantidade de banana
A Modelagem do problema prossegue com a determinação da
Função-Objetivo. Nesse problema, ela é representada por “z”, custo
da merenda, calculado pela quantidade de cada alimento multiplicado
pelo seu valor.
z = 0,8 x
carne
 + 0,2 x
arroz
 + 0,2 xfeijão + 0,1 xcouve + 0,4 xbanana
Sintetizando, o Modelo matemático completo para descrição do
Problema da dieta é escrito como:
Encontrar: z, x
carne
, x
arroz
, xfeijão, xcouve, xbanana
Minimizar: z = 0,8 x
carne
 + 0,2 x
arroz
 + 0,2 xfeijão + 0,1 xcouve + 0,4 xbanana
Restrito a: 225 x
carne
 + 360 x
arroz
 + 325 xfeijão + 30 xcouve + 90 xbanana $ 2000
7 x
carne
 + 5 xfeijão + 150 xcouve $ 750
5 xfeijão + 145 xcouve + 4 xbanana $ 70
3 x
carne
 + 1,5 x
arroz
 + 7,5 xfeijão + 2 xcouve + 0,5 xbanana $ 10
10 x
carne
 + 10 x
arroz
 + 85 xfeijão + 235 xcouve + 10 xbanana $ 650
x
carne
 $ 50
x
arroz
 $ 100
xfeijão $ 80
x
couve
 $ 20
xbanana $ 50
Módulo 7
55
cujas Restrições abaixo representam:
Energia: 225 x
carne
 + 360 x
arroz
 + 325 xfeijão + 30 xcouve + 90 xbanana $ 2000
Vitamina A: 7 x
carne
 + 5 xfeijão + 150 xcouve $ 750
Vitamina C: 5 xfeijão + 145 xcouve + 4 xbanana $ 70
Ferro: 3 x
carne
 + 1,5 x
arroz
 + 7,5 xfeijão + 2 xcouve + 0,5 xbanana $ 10
Cálcio: 10 x
carne
 + 10 x
arroz
 + 85 xfeijão + 235 xcouve + 10 xbanana $ 650
Porção mínima de carne: x
carne
 $ 50
Porção mínima de arroz: x
arroz
 $ 100
Porção mínima de feijão: xfeijão $ 80
Porção mínima de couve: x
couve
 $ 20
Porção mínima de banana: xbanana $ 50
Lembre-se de que, as Variáveis de Decisão representadas pelas
quantidades de alimentos ingeridos devem ser não-negativas. Entre-
tanto, note que para este exemplo, os valores já são positivos, pois as
Restrições de quantidade mínima para cada item já implicam nesta
não-negatividade.
56
Curso de Graduação em Administração a Distância
Solucionando o Problema da Dieta
com o uso da Planilha Eletrônica
Com as fórmulas determinadas anteriormente, podemos partir
para a construção da planilha eletrônica. A Figura 19 mostra uma op-
ção de como ela poderia ser elaborada para conter o Modelo matemá-
tico para o Problema da Dieta.
Perceba que o aspecto geral da planilha é idêntico ao do proble-
ma de Mix de Produção visto no Capítulo I. A linha 2 permanece como
a escolhida para descrever a Função-Objetivo do problema. A linha 5
agora é reservada para a quantidade de porções de 100 g a ser incluída
no cardápio e, a linha 8, o custo unitário da porção de cada um dos
itens alimentícios. Em relação à planilha de Mix de Produção, acres-
centamos mais sete linhas para as Restrições, porque agora elas são
em número de 10. Assim, as linhas 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 e 20
são reservadas para a entrada destas Restrições.
Figura 19: Planilha para resolução do Problema da dieta
Fonte: elaborada pelos autores
Módulo 7
57
Iniciamos a entrada de dados inserindo, na célula D2, a fórmula
da Função-Objetivo, que neste problema, desejamos minimizar. Em
outros termos, trata-se do custo total da refeição, representado pela
soma dos custos com cada item alimentício (carne, arroz, feijão, cou-
ve e banana). Estes custos por item, por sua vez, são calculados pela
multiplicação dos seus custos unitários (contidos nas células D8 a H8)
pelas respectivas quantidades de porções de 100 g (presentes nas cé-
lulas D5 a H5). Assim, na célula D2, devemos digitar:
= (D5*D8)+(E5*E8)+(F5*F8)+(G5*G8)+(H5*H8)
O próximo passo é inserir os valores dos custos unitários de cada
item alimentício nas células (D8 a H8). Neste caso, a célula D8 deve
conter o valor 0,8 (referindo-se ao preço de R$ 0,8 pela porção de
100g de carne) e assim por diante:
Célula D8 % 0,8
Célula E8 % 0,2
Célula F8 % 0,2
Célula G8 % 0,1
Célula H8 % 0,4
Seguindo com a entrada de dados, vamos preencher os blocos
de células reservados para os coeficientes das Restrições (lado esquer-
do e direito das inequações). Na nossa planilha, os coeficientes são
inseridos nas células que formam o bloco que se inicia na célula D12
e vai até a célula H21. Os valores para o lado direito das Restrições
ficam nas células da coluna L, indo de (L12 a L21). Veja na Figura 20
o esquema do preenchimento utilizado, estando indicado pelas setas a
entrada de dados da Restrição referente à quantidade de Vitamina A:
58
Curso de Graduação em Administração a Distância
Ao acabar de digitar os coeficientes e os valores do lado direito
das Restrições, o próximo passo é inserir as fórmulas do lado esquer-
do das Restrições do problema, no bloco de células reservado para tal.
Veja que na planilha são as células da coluna J, ou seja, de (J12 a J21).
Assim:
J12 % = (D12*D5)+(E12*E5)+(F12*F5)+(G12*G5)+(H12*H5)
J13 % = (D13*D5)+(E13*E5)+(F13*F5)+(G13*G5)+(H13*H5)
J14 % = (D14*D5)+(E14*E5)+(F14*F5)+(G14*G5)+(H14*H5)
J15 % = (D15*D5)+(E15*E5)+(F15*F5)+(G15*G5)+(H15*H5)
J16% = (D16*D5)+(E16*E5)+(F16*F5)+(G16*G5)+(H16*H5)
J17 % = (D17*D5)+(E17*E5)+(F17*F5)+(G17*G5)+(H17*H5)
J18 % = (D18*D5)+(E18*E5)+(F18*F5)+(G18*G5)+(H18*H5)
J19 % = (D19*D5)+(E19*E5)+(F19*F5)+(G19*G5)+(H19*H5)
J20 % = (D20*D5)+(E20*E5)+(F20*F5)+(G20*G5)+(H20*H5)
J21 % = (D21*D5)+(E21*E5)+(F21*F5)+(G21*G5)+(H21*H5)
As células contêm a soma das multiplicações dos coeficientes
da coluna D, pelas respectivas quantidades totais de cada item alimen-
tício, contidas nas células (D5 a H5).
Tudo isso é necessário ser digitado na planilha. O passo seguin-
te, se você se lembrar bem, é recorrer ao Solver do Excel para a reali-
zação dos cálculos. Então, acesse o menu do Excel, escolha Ferra-
mentas, e clique na opção Solver.
Figura 20: Esquema de entrada dos dados na Planilha da Dieta
Fonte: elaborada pelos autores
Módulo 7
59
Ao abrir a janela do Solver, vamos informar em que posições na
planilha se encontram as células contendo a Função-Objetivo, as Vari-
áveis de Decisão e os lados esquerdo e direito das Restrições. A Figu-
ra 21 mostra como deve ficar a entrada desses dados para o Modelo do
Problema da Dieta. Essa entrada deve ser feita em blocos, ou seja, as
regiões da planilha que são as entradas dos Parâmetros do Solver são
selecionadas arrastando o mouse da célula inicial até a célula final
desejada.
Caso tenha dúvidas de como utilizar a seleção em blocos, peça
ajuda ao seu tutor para maiores explicações.
Você precisa se certificar de escolher a opção Min para que o
Solver resolva o problema como uma minimização da Função-Objeti-
vo. Isto porque, como você deve se lembrar, queremos minimizar o custo
da merenda. Veja na figura anterior onde deve ser escolhida esta opção.
Para executar a otimização, basta clicar no botão resolver e ins-
tantaneamente o Excel calculará a solução.
Se você seguiu as instruções corretamente, observe que as célu-
las sombreadas em cinza claro que indicam a quantidade total de ali-
mento tiveram seus valores modificados da mesma forma que a célula
D2, que contém o custo mínimo da merenda. Outras células que tive-
Figura 21: Regiões da planilha utilizadascomo entradas no Solver
Fonte: elaborada pelos autores
60
Curso de Graduação em Administração a Distância
ram seus conteúdos alterados foram as células de (J12 a J21), conten-
do os valores obtidos com a solução para cada uma das Restrições.
Veja na Figura 22 o aspecto final da planilha, após a execução dos
cálculos pelo Solver.
Figura 22: Aspecto final da planilha do Problema da Dieta
Fonte: elaborada pelos autores
Vamos agora à análise dos resultados dos cálculos. Qual seria a
merenda ideal a ser adotada pelo município? A resposta está contida
nas células (D5 a H5). Note que os valores ali presentes representam o
número de porções de 100g de cada um dos alimentos disponíveis.
Assim:
Carne % 0,5 x 100g = 50g
Arroz % 3,98 x 100g = 398g & 400g
Feijão % 0,8 x 100g = 80g
Couve % 4,95 x 100g = 495g
Banana % 0,5 x 100g = 50g
Módulo 7
61
Discuta essa distorção
com seu Professor /
Tutor: quais seriam
suas implicações em
termos gerenciais?
O preço total desta refeição seria de R$ 2,05 (resultado da Fun-
ção-Objetivo na célula D2), representando o menor valor possível para
as Restrições utilizadas na Modelagem do problema.
Note que o total de alimentos (as soma das quantidades de car-
ne, arroz, feijão, couve e banana) para a merenda seria de aproxima-
damente 1,1 kg, o que, na prática, é uma quantidade irreal para crian-
ças em idade escolar. É difícil acreditar, principalmente, que uma cri-
ança comeria 495g de couve, um valor excessivamente grande a ser
ingerido numa única refeição. Isto demonstra que o problema de
otimização também serve para indicar distorções no problema original
proposto. Neste caso, a nutricionista poderia sugerir um outro alimen-
to complementar para substituir parte da couve e tornar a refeição mais
balanceada. Então, uma nova Variável de Decisão e novas Restrições
seriam acrescidas ao problema, havendo a necessidade de outros cál-
culos para buscar a Solução Ótima.
62
Curso de Graduação em Administração a Distância
Problema sugerido
Na resolução do problema da dieta anterior, você verificou que
apesar de termos encontrado uma Solução Ótima, os valores encon-
trados não eram verossímeis, pois um excesso de couve foi indicado.
Como sugestão podemos incluir entre os alimentos disponíveis outros
ingredientes, como a cenoura ou então o tomate. Isto acrescenta uma
nova Variável de Decisão ao problema. Como restrição adicional, con-
sidere que a porção mínima de cenoura ou tomate a ser consumida é
de 70 g. Considere ainda, que o preço da porção de 100g de ambos os
produtos é igual a R$ 0,40. Perguntamos: Qual a melhor opção para
um novo mix de alimentos da merenda: incluir a cenoura ou o tomate?
Qual o novo custo da refeição? A Tabela 2 fornece os valores
nutricionais dos dois vegetais a serem incluídos nos cálculos.
Tabela 2: Dados do Problema da Dieta sugerido
Fonte: elaborada pelos autores
Propriedade
Energia
Vitamina A
Vitamina C
Ferro
Cálcio
Unidade
cal
mcg
mg
mg
mg
Cenoura
40
540
5
1
40
Tomate
40
75
20
1
25
Para auxiliá-lo, descrevemos logo a seguir a Forma Canônica
do novo problema, considerando a inclusão da cenoura como Variável
de Decisão:
Módulo 7
63
Encontrar: z, x
carne
, x
arroz
, xfeijão, xcouve, xbanana, xcenoura
Maximizar: z = 0,8x
carne
 + 0,2x
arroz
 + 0,2xfeijão + 0,1xcouve + xbanana + 0,4xcenoura
Restrito a: 225x
carne
 + 360x
arroz
 + 325xfeijão + 30xcouve + 90xbanana + 40xcenoura $ 2000
7x
carne
 + 5xfeijão + 150xcouve + 540xcenoura $ 750
5xfeijão + 145xcouve + 4xbanana + 5xcenoura $ 70
3x
carne
 + 1,5x
arroz
 + 7,5xfeijão + 2xcouve + 0,5xbanana + 1xcenoura $ 10
10 x
carne
 + 10 x
arroz
 + 85 xfeijão + 235 xcouve + 10 xbanana + 40xcenoura $ 650
x
carne
 $ 50
x
arroz
 $ 100
xfeijão $ 80
x
couve
 $ 20
xbanana $ 50
x
cenoura
 $ 70
Não se esqueça de que, ao calcular o problema considerando a
inclusão do tomate no lugar da cenoura, devemos substituir, nas equa-
ções acima, a variável x
cenoura
 pela variável xtomate e modificar os coefi-
cientes das Restrições para os valores nutricionais referentes ao toma-
te da tabela.
Veja na Figura 23 o aspecto final da planilha que você deverá
montar para o tomate. Na Figura 24, por sua vez, veja o aspecto da
planilha para a cenoura. Os cálculos já foram realizados e os resulta-
dos aparecem nas células D2 (Função-Objetivo). Deveremos concluir
que é mais interessante do ponto de vista financeiro, incluir a cenoura
no cardápio – uma diferença maior de R$ 0,18 por refeição.
64
Curso de Graduação em Administração a Distância
Figura 23: Planilha para resolução do Problema da Dieta sugerido
(tomate)
Fonte: elaborada pelos autores
Figura 24: Planilha para resolução do Problema da Dieta sugerido
(cenoura)
Fonte: elaborada pelos autores
Módulo 7
65
Problema de Composição de Tintas
Na resolução do problema anterior, encontramos a melhor com-
posição para uma dieta verossímil, calculando a melhor composição
do prato a partir de ingredientes disponíveis. Podemos trazer esta mes-
ma ideia para o campo industrial. Imagine que ao invés de ingredien-
tes de alimentação, vamos trabalhar com componentes utilizados na
fabricação de tintas. Vamos ao caso da empresa Cobremuros.
A Cobremuros Tintas Ltda. produz dois tipos de tintas: uma de
secagem normal (SN) e outra de secagem rápida (SR). Ambas utili-
zam os mesmos componentes em sua constituição, variando apenas as
quantidades percentuais de cada um. A empresa Cobremuros não pro-
duz os insumos básicos para a produção das tintas, tendo de ir ao mer-
cado para comprá-los na forma de soluções concentradas. Duas solu-
ções estão disponíveis: a primeira fórmula, denominada solução A
(SOL-A) contém 30% do componente responsável pela secagem (SEC)
e 70% de outros componentes químicos (OUT) como espessante, pig-
mento etc; outro fornecedor oferece uma segunda solução (SOL-B)
que apresenta 60% de secante e 40% dos outros componentes. Sabe-
se que os preços das soluções são: R$ 1,50 o litro para a SOL-A, e R$
1,00 por litro para a SOL-B.
Além disso, o litro do componente secante (SEC) custa R$ 4,00
e a mistura dos outros componentes químicos (OUT), R$ 6,00 o litro.
Uma limitação das formulações das tintas é que cada litro de tinta (SR)
exige pelo menos 25% de secante em sua fórmula e 50% dos outros
componentes. A tinta (SN), por sua vez, exige no mínimo 20% de
secante e no máximo 50% dos outros componentes. Perguntamos: qual
a quantidade mínima de produtos a serem comprados para que se pro-
duzam 1000 litros de (SR) e 250 litros de (SN)? E quantos litros de
cada solução devem ser comprados dos fornecedores?
66
Curso de Graduação em Administração a Distância
Assim, o Modelo pode ser apresentado a partir das seguintes
variáveis e equações:
xA-SR: quantidade em litros de solução A usada na produção
de tinta se secagem rápida (SR).
xB-SR: quantidade em litros de solução B usada na produção
de tinta se secagem rápida (SR).
xA-SN: quantidade em litros de solução A usada na produção
de tinta se secagem normal (SN).
xB-SN: quantidade em litros de solução B usada na produção
de tinta se secagem normal (SN).
xSEC-SR: quantidade em litros de secante (SEC) usada na pro-
dução de tinta se secagem rápida (SR).
xOUT-SR: quantidade em litros de outros componentes (OUT)
usada na produção de tinta se secagem rápida (SR).
xSEC-SN: quantidade em litros de secante (SEC) usada na pro-
dução de tinta se secagem normal (SN).
xOUT-SN: quantidade em litros de outros componentes (OUT)
usada na produção de tinta se secagem normal (SN).
Função-Objetivo
1,5 (xA-SR + xA-SN ) + 1 (xB-SR + xB-SN ) + 4 (xSEC-SR + xSEC-SN ) + 6 (xOUT-SR + xOUT-SN )
Restrições:
xA-SR + xB-SR + xSEC-SR + xOUT-SR = 1000
xA-SN + xB-SN + xSEC-SN + xOUT-SN= 250
0,3 xA-SR + 0,6 xB-SR + xSEC-SR $ 0,25 (xA-SR + xB-SR + xSEC-SR + xOUT-SR)
0,7 xA-SR + 0,4 xB-SR + xOUT-SR $ 0,5 (xA-SR + xB-SR + xSEC-SR + xOUT-SR)
0,3 xA-SN + 0,6 xB-SN + xSEC-SN $ 0,2 (xA-SN + xB-SN + xSEC-SN + xOUT-SN)
0,7 xA-SN + 0,4 xB-SN + xOUT-SN $ 0,5 (xA-SN + xB-SN + xSEC-SN + xOUT-SN)
xA-SR $ 0 ; xB-SR $ 0 ; xA-SN $ 0 ; xB-SN $ 0 ;
xSEC-SR $ 0 ; xOUT-SR $ 0 ; xSEC-SN $ 0 ; xOUT-SN $ 0
Módulo 7
67
Solucionando o Problema
de Composição de Tintas
com o uso do Excel®
Vamos construir agora a planilha eletrônica para a obtenção da
solução deste problema. Veja na Figura 25 uma sugestão do seu as-
pecto final. Note que podemos manter o mesmo layout básico utiliza-
do nos exercícios anteriores.
Para facilitar sua tarefa, abra o arquivo da planilha anteriormen-
te construída (Problema da Dieta) e utilize a função salvar como dis-
ponível no menu de arquivos do Excel. Então, basta editar a planilha,
gravando-a com outro nome e fazendo as modificações necessárias ao
novo problema, como demonstraremos a seguir.
Figura 25: Planilha para resolução do Problema da Composição de
Tintas
Fonte: elaborada pelos autores
Uma diferença com relação ao problema de Mix de Produção é
que as Variáveis de Decisão – as quantidades a serem adquiridas de
Solução A, Solução B, de Secante e de Outros Componentes – agora
tomam duas linhas, porque temos dois tipos de produtos diferentes, a
68
Curso de Graduação em Administração a Distância
(Verifique a função
soma no recurso de
ajuda do Excel. )
tinta (SR) e a tinta (SN). Outra diferença são as Restrições que agora
não são de um único tipo, ou seja, apenas “$” ou “#”. Temos inequações
de ambos os tipos e também equações de igualdade – as quantidades a
serem produzidas de cada tinta.
A célula D2 continua sendo escolhida para descrever a Função-
Objetivo do problema. Assim, como seu conteúdo, devemos digitar:
=(D5*D9)+(E5*E9)+(F5*F9)+(G5*G9)+
+(D6*D9)+(E6*E9)+(F6*F9)+(G6*G9)
Essa fórmula fornece o custo total dos insumos, pois é a multi-
plicação de cada quantidade de um item (células (D5 a G5) para a
tinta (SR) e células (D6 a G6) para a tinta (SN)) pelos preços unitários
dos insumos (células D9 a G9).
Como já dissemos, as Variáveis de Decisão são as quantidades a
serem adquiridas de Solução A, Solução B, de Secante e de Outros
Componentes. Na planilha, devemos reservar para elas duas linhas di-
ferentes, uma para as quantidades considerando a tinta (SR) e outra para
a tinta (SN). Para tal, estabelecemos as células (D5 a G5) e (D6 a G6).
A linha 9, entre as colunas D e G, conterá o custo unitário, por
litro, de cada um dos insumos para a produção das tintas. Veja na figura:
Célula D9 % 1,5 % preço do litro da Solução A
Célula E9 % 1 % preço do litro da Solução B
Célula F9 % 4 % preço do litro do Secante
Célula G9 % 6 % preço do litro dos Outros componentes
O próximo passo é inserir os coeficientes das fórmulas das res-
trições do nosso problema. Na planilha, eles são digitados no bloco de
células que vão de (D13 a G18).
Em seguida, entramos com as fórmulas das Restrições. Primeiro
o lado esquerdo:
Célula I13 %"=SOMA(D5:G5)
Célula I14 %"=SOMA(D6:G6)
Módulo 7
69
Célula I15 %"=(D15*D5)+(E15*E5)+(F15*F5)+(G15*G5)
Célula I16 % =(D16*D5)+(E16*E5)+(F16*F5)+(G16*G5)
Célula I17 % =(D17*D6)+(E17*E6)+(F17*F6)+(G17*G6)
Célula I18 % =(D18*D6)+(E18*E6)+(F18*F6)+(G18*G6)
Depois, o lado direito:
Célula K13 % =1000 % o total de tinta SR
Célula K14 % =250 % o total de tinta SN
Célula K15 % =0,25*(SOMA(D5:G5))
Célula K16 % =0,5*(SOMA(D5:G5))
Célula K17 % =0,2*(SOMA(D6:G6))
Célula K18 % =0,5*(SOMA(D6:G6))
Note que diferentemente dos exercícios resolvidos anteriormen-
te, as células (K15 a K18) não possuem limites numéricos pré-defini-
dos, e sim fórmulas associadas às próprias Variáveis de Decisão conti-
das nas células (D5 a G6). Isso não representa uma dificuldade para o
Excel, que consegue solucionar o problema da mesma forma.
Finalmente, podemos entrar com as restrições no Solver. Veja na Fi-
gura 26 o aspecto da janela, como os campos que devem ser selecionados.
Importante! Tenha bastante atenção ao selecionar a opção
de minimização da função e de entrar com os operadores
corretos para cada um dos blocos de Restrições: “$”, “#”
ou “=” (setas mais grossas na Figura 26). Não se esqueça
também de selecionar na janela de Parâmetros do “Solver”
as opções que estabelecem que o Modelo é linear e que as
soluções deverão ser sempre não-negativas.
70
Curso de Graduação em Administração a Distância
Novamente, a entrada deve ser feita em blocos, ou seja, as regi-
ões da planilha devem ser selecionadas em blocos, arrastando o mouse
da célula inicial até a célula final desejada. Observe que neste caso, as
Restrições são descritas por três blocos distintos.
Após entrar com todos os dados na janela do Solver, mande cal-
cular a solução e aceite o resultado oferecido pelo programa. A planilha
então deverá apresentar os resultados como mostrado na Figura 27.
Figura 26: Campos que devem ser selecionados como Parâmetros no
Solver
Fonte: elaborada pelos autores
Figura 27: Planilha final com resultados do Problema da Composição
de Tintas.
Fonte: elaborada pelos autores
Módulo 7
71
Confira os valores finais resultantes do processo de otimização.
Para obter o custo mínimo da produção de 1000 litros da tinta (SR) e
250 litros da tinta (SN), que é de R$ 1.416,70, deverão ser adquiridos
dos fornecedores 333,3 litros da Solução A e 916,7 litros da Solução
B (esta última, R$ 666,67 + R$ 250,00, é a soma das células E5 e E6).
Não há necessidade de se adquirir Secante ou Outros Componentes
separadamente, o que é evidenciado pelo valor igual a zero das célu-
las (F5 a G6).
72
Curso de Graduação em Administração a Distância
Problema de Mix de Investimentos
Outra aplicação interessante cuja abordagem é parecida com os
exemplos vistos até este momento, é o problema de Mix de Investi-
mentos.
Imagine que uma empresa denominada Productoring Ltda. está
pensando em construir um pequeno prédio que será sua nova sede
administrativa. O custo da construção está estimado em R$ 900.000.
O cronograma de pagamento à construtora está previsto em três parce-
las: a primeira depois do segundo mês de início das obras, a segunda
depois do quinto mês e uma última depois da conclusão do oitavo
mês. Os valores são respectivamente R$ 200.000, R$ 300.000 e R$
400.000. O problema da empresa é determinar qual o Portifólio* ide-
al de investimentos a ser utilizado para gerar um caixa a fim de honrar
seus compromissos com a construtora.
Existem três opções de aplicações disponíveis de janeiro a agos-
to (meses 1 a 8), sendo que o dinheiro deverá sempre ser aplicado no
início de certos meses, conforme a opção escolhida. São estas as apli-
cações:
GLOSSÁRIO
*Portifólio – no
contexto utilizado,
representa a compo-
sição de uma cartei-
ra de investimentos.
Fonte: elaborado
pelos autores.
Aplicação
A
B
C
Disponível no
Inicio dos Meses
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
1, 3, 5, 7
1
Duração
1
2
8
Rendimento ao Final
do Período
1,5 %
3,5 %
10,5 %
Tabela 3: Dados do Problema de Mix de Investimentos
Fonte: elaborada pelos autores
Módulo 7
73
As Variáveis de Decisão são as possibilidades de investimento,
segundo o tipo de aplicação e os respectivos meses disponíveis. Assim:
XA1, XA2, XA3, XA4, XA5, XA6, XA7, XA8: valores aplicados no
início de cada mês da construção na aplicação “A”.
XB1, XB2, XB3, XB4: valores aplicados no início de cada
bimestre da construção na aplicação “B”, dado que esta apli-
cação restringe o investimento a cada 2 meses.
XC1: valores aplicados no início do primeiro mês da constru-
ção na aplicação “C”.
Atividades de aprendizagem
2. Como exercício de fixação, monte matematicamenteeste proble-
ma de mix de investimentos, desenvolvido acima, antes de resolver-
mos, na sequência, este mesmo problema na planilha eletrônica.
74
Curso de Graduação em Administração a Distância
O Problema de Mix de Investimentos
Solucionado na Planilha Eletrônica
Da mesma maneira que nos exemplos anteriores, vamos mostrar
como usar o Excel para solucionar o Problema de Mix de Investimen-
tos. Com relação aos exercícios até aqui estudados, a planilha que
vamos construir apresenta algumas modificações. Na verdade, pode-
ríamos manter exatamente o mesmo esquema já utilizado, mas para
fins didáticos, resolvemos mostrar uma outra opção de layout. Basi-
camente, devido ao fato do problema ser atrelado a um cronograma de
investimentos, toda a planilha será construída em torno da matriz, re-
lacionando as diversas aplicações aos meses previstos da construção
do prédio.
Veja na Figura 28 o aspecto geral que foi utilizado.
Figura 28: Planilha para resolução do problema de Mix de Investimentos.
Fonte: elaborada pelos autores
Módulo 7
75
Note que verticalmente, na coluna “C”, enumeramos todas as
diversas aplicações disponíveis. Na linha “4”, por outro lado, incluí-
mos os meses previstos no nosso problema. Na verdade, inserimos um
mês a mais no cronograma, porque consideramos que os pagamentos
previstos à construtora serão realizados nos primeiros dias do mês se-
guinte à conclusão das etapas da construção. Em outras palavras, os
valores que vamos digitar no quadro serão correspondentes àqueles
do início de cada mês enumerado. Perceba que isso está de acordo
com a formulação das Restrições do problema visto anteriormente.
Na coluna “M” ficarão as células relativas às Variáveis de Deci-
são (os valores aplicados em cada mês para cada tipo de aplicação) e,
especificamente na célula M2, a nossa Função-Objetivo.
O grande quadro representado pelo bloco que contém as células
de (D5 a L17) será reservado para a entrada dos coeficientes das fór-
mulas das Restrições.
Por sua vez, as Restrições propriamente ditas estão nesta planilha
nas linhas “21” e “23”. Respectivamente, na primeira ficarão as fór-
mulas do Lado Esquerdo (LE) das equações e na outra linha os valo-
res do Lado Direito (LD). Note que neste problema, o LE, o LD e os
sinais das Restrições estão dispostos em linha, diferentemente dos pro-
blemas vistos anteriormente. Isto em nada altera a sua resolução.
Estas são as regiões da planilha que serão utilizadas e nas quais
mantivemos o critério de escurecer as células que terão seus valores
modificados pelo Solver (M2, M5 a M17, e D21 a L21). Podemos
passar então ao preenchimento dos dados e fórmulas. Inicialmente, a
Função-Objetivo.
Lembre-se de que na Modelagem do problema resolvemos
minimizar o total a ser alocado para investimento na data inicial. As-
sim, em M2 devemos digitar:
=M5+M13+M17
que é a soma dos investimentos nas aplicações A1, B1 e C1, respecti-
vamente.
76
Curso de Graduação em Administração a Distância
Somar Produto é um
recurso do Excel, você
pode obter auxílio no
menu de ajuda do
programa. Comente o
uso desta função com
seu tutor.
Atenção! Neste momento, estamos somando os resultados de
todos os investimentos realizados desde o mês 1: A1, B1 e
C1. A célula M5 retorna o total da aplicação A1 com seus
rendimentos ao longo de todo o período. Da mesma forma,
M13 retorna o valor da aplicação B1 e a célula M17, o total
aplicado em C1.
Em seguida, vamos preencher o quadro principal com os coefi-
cientes das Restrições. Coloque nas células (E5, F6, G7, H8, I9, J10,
K11 e L12) o valor de 1,015. Este valor representa o multiplicador
aplicado ao investimento de cada mês na aplicação do tipo “A” para
obter o valor do capital mais o rendimento de 1,5% do referido mês.
Da mesma forma, nas células (F13, H14, J15 e L16), entre com o
valor de 1,035; que será utilizado no cálculo para a aplicação do tipo
“B”. Finalmente, na célula L17 entre com o valor de 1,105 para o
cálculo referente à aplicação do tipo “C”.
Em seguida, entre com o valor “–1” nas células (D5, E6, F7,
G8, H9, I10, J11, K12, D13, F14, H15, J16 e D17). A razão destes
coeficientes negativos é simples: ela representa a saída de caixa. Veja
que da maneira como o Modelo foi criado, as equações das Restrições
apresentam uma subtração dos valores a serem investidos em cada mês.
Esses coeficientes permitem, assim, o cálculo destas subtrações.
O passo seguinte é a entrada das equações das Restrições nas
células (D21 a L21). Da maneira como foi construída a planilha, ela
permite que estas equações sejam calculadas de maneira bastante sim-
ples, pois correspondem às somas dos produtos do valor de cada apli-
cação (células M5 a M17) pelos respectivos coeficientes presentes na
coluna referente a cada mês (veja o esquema na Figura 29). Por exem-
plo, para a célula D21, devemos digitar:
=SOMARPRODUTO($M5:$M17;D5:D17).
Módulo 7
77
Para as outras células (E21 a L21):
E21 % =SOMARPRODUTO($M5:$M17;E5:E17)
F21 % =SOMARPRODUTO($M5:$M17;F5:F17)
G21 %"=SOMARPRODUTO($M5:$M17;G5:G17)
H21 %"=SOMARPRODUTO($M5:$M17;H5:H17)
I21 %"=SOMARPRODUTO($M5:$M17;I5:I17)
J21 %"=SOMARPRODUTO($M5:$M17;J5:J17)
K21 %"=SOMARPRODUTO($M5:$M17;K5:K17)
L21 %"=SOMARPRODUTO($M5:$M17;L5:L17)
Finalmente, devemos fornecer os valores para o Lado Direito
das Restrições. No nosso caso, eles serão inseridos na linha “23”, re-
presentando os valores dos pagamentos a serem efetuados no início
do 3º, 6º e 9º meses. Assim:
F23 %"=200
I23 %"=300
L23 %"=400
Figura 29: Esquema de entrada das equações das Restrições na planilha
Fonte: elaborada pelos autores
78
Curso de Graduação em Administração a Distância
Desta forma, tudo o que deveríamos digitar na planilha foi reali-
zado. Basta apenas entrarmos com os blocos de células no Solver do
Excel, como já fizemos nos outros exercícios. Na Figura 30 mostra-
mos o aspecto da janela para que você possa visualizar os dados a
serem inseridos. Mas lembre-se de selecionar na outra janela de op-
ções do Solver que o Modelo é linear e que as soluções deverão ser
sempre não-negativas.
Figura 30: Tela do Solver para o problema de Mix de Investimentos
Fonte: elaborada pelos autores
Realizados os cálculos pelo Solver, obtemos a solução desejada.
Na Figura 31 você pode conferir os resultados que devem ter apareci-
do na sua planilha.
Figura 31: Planilha final com os cálculos do problema de Mix de Inves-
timentos
Fonte: elaborada pelos autores
Módulo 7
79
A análise da solução é bem simples. Para o pagamento das pres-
tações à construtora, a empresa Productoring Ltda precisará dispor de
R$ 817.730,00 no primeiro mês (que é o mínimo possível a ser alocado
no primeiro mês), que deverão ser aplicados na Aplicação “B”. As
outras aplicações ao longo do tempo seriam:
R$ 646.350,00 no terceiro mês (aplicação “B”)
R$ 295.570,00 e R$ 373.400,00 no quinto mês (aplicações
“A” e “B” respectivamente)
R$ 386.470,00 no sétimo mês (aplicação “B”)
Problema Sugerido de Mix de Mídias
Outra aplicação típica de Problema de Mix é o planejamento da
composição de mídias a ser empregada em uma campanha publicitária
na área de marketing.
80
Curso de Graduação em Administração a Distância
RESUMO
Nesta Unidade, estudamos os denominados Problemas de
Mistura, ou seja, situações em que o Administrador pode deter-
minar a melhor composição de ingredientes, respeitando as
Restrições acerca da disponibilidade destes e otimizando o seu
objetivo final.
Em seguida, vimos um problema real que chamamos de
Problema da Dieta. Você seguiu os passos da Modelagem deste
problema, com a construção da planilha representando o Mo-
delo matemático para a sua solução, e, a sequência de comandos
para a obtenção da Solução Ótima na ferramenta Solver do Excel.
Como outra aplicação, sugerimos a você outro problema,
o da Composição deTintas. Repare que é a mesma situação do
Problema da Dieta, mas com outras Restrições e outra Função-
Objetivo. Da mesma forma, apresentamos um terceiro exem-
plo, o Mix de Investimentos. Você pôde então perceber que ba-
sicamente, problemas deste tipo são sempre modelados da mes-
ma maneira. Assim, concluímos que guardando apenas as pe-
culiaridades de cada situação, buscaremos sempre otimizar a
composição a partir dos ingredientes da mistura.
Finalmente, ao longo da Unidade, vários exercícios foram
propostos para que você pudesse aplicar melhor o conteúdo.
Módulo 7
81
Atividade de aprendizagem
3. Leia o exemplo a seguir e monte um Modelo para a solução do
problema proposto.
Para facilitar, apresentamos depois da exposição textual, o proble-
ma com as equações em sua Forma Canônica e o aspecto geral de
exemplo da planilha com os resultados finais.
Considere que uma empresa do ramo automobilístico está interes-
sada em avaliar algumas alternativas de investimento em mídia im-
pressa, com o intuito de fixar sua marca perante o público consumi-
dor. Algumas revistas e jornais foram pré-selecionados para fazer
parte do Mix de Mídias devido à sua presença no mercado. O de-
partamento de marketing da empresa estabeleceu ainda como con-
dição desejável, que haja um número mínimo de exposições do
anúncio conforme a classe social do público alvo. O que pergunta-
mos é: qual o investimento mínimo que a empresa deve fazer para
atingir o número mínimo de leitores estabelecidos pelo departamento
de marketing? Os dados – número de exposições para cada real
(R$) gasto no veículo – os diversos veículos de comunicação estão
na Tabela 4 a seguir.
MÍDIA
Jornal da Nação
Diário do País
Revista Olhar
Revista Hoje
Revista AutoFan
Exposição Mínima
A
6
4
2
3
7
15
CLASSE SOCIAL
B
6
4
2
3
7
15
C
11
13
3
6
1
20
D
2
3
2
2
0
5
Fonte: elaborada pelos autores
Tabela 4: Dados do Problema de Mix de Mídias
82
Curso de Graduação em Administração a Distância
Variáveis de Decisão a serem consideradas:
XJN, XJP, XRO, XRH, XRA: valores em reais (R$) investidos
nas mídias: Jornal da Nação (JN), Diário do País (JP), Re-
vista Olhar (RO), Revista Hoje (RH) e Revista AutoFan
(RA).
Função-Objetivo:
Minimizar: XJN + XJP + XRO + XRH + XRA
Restrições: 6 XJN + 4 XJP + 2 XRO + 3 XRH + 9 XRA $ 15
13 XJN + 19 XJP + 18 XRO + 11 XRH + 7 XRA $ 35
11 XJN + 17 XJP + 3 XRO + 6 XRH + 1 XRA $ 20
2 XJN + 3 XJP + 2 XRO + 2 XRH $ 5
XJN $ 0 ; XJP $ 0 ; XRO $ 0 ; XRH $ 0 ; XRA $ 0
A Figura 32 mostra uma sugestão do aspecto da planilha e os resul-
tados encontrados pelo Solver do Excel.
Figura 32: Planilha para resolução do Problema de Mix de Mídias
Fonte: elaborada pelos autores