Aula 3 Sistemas Lineares Método da Eliminação de Gauss - calculo numerico

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Solução de Sistemas Lineares 
Equação linear (EL) 
 
 
 
 
Uma E.L. com 2 ou mais incógnitas possui sempre infinitas soluções. A solução sera um 
conjunto de valores para as incógnitas que satisfaz a igualdade. 
Ex: 
 
-10 22 (-10,22) 
-2 6 (-2,6) 
0 2 (0,2) 
1 0 (1,0) 
3 -4 (3,-4) 
 
Estas soluções (pares ordenados) podem ser representadas no gráfico gerado pela equação 
(convertida em função do primeiro grau f(x1) ). 
 
 
 
Gráfico 01 
 
 
 
 
 
 
 x y 
 -10 22 
 -2 6 
 5 -8 
 7 -12 
 
 
 
 
Um conjunto de E.L. forma um Sistema de Equações Lineares (S.E.L.). 
A solução de um S.E.L. são os valores das incógnitas que satisfazem simultaneamente todas 
as equações. 
Os S.E.L. podem ser classificados em: (resolveremos pelo método da eliminação de Gauss). 
 
1º caso: sistema possível e determinado (SPD) 
 -> 
 
Substituir o valor de X2 = -3 em alguma equação: 
 
Solução: 
O sistema tem um única solução. 
 
Equações independentes 
SPD 
Solução gráfica 
Reta 1: 
 
Par ordenado 
0 1 (0,1) 
0,5 0 (0,5 ; 0) 
 
Reta 2: 
 
Par ordenado 
0 -3,667 (0 ; -3,667) 
11 0 (11,0) 
 
Gráfico 02 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º caso: sistema possível e indeterminado (SPI) 
 
 -> 3A,2B 
 
 
O sistema possui infinitas soluções 
 
Equações não são independentes (SPI) 
Solução: 
 
 
 
Solução gráfica: 
Reta 1: 
 
Par ordenado 
0 1,5 (0;1.5) 
-3 0 (-3,0) 
 
Reta 2: 
 
Par ordenado 
0 1,5 (0;1.5) 
-3 0 (-3,0) 
 
Gráfico 03 
 
 
 
 
 
 
3º caso: sistema impossível (SI) 
 
 
Sistema impossível 
 
O sistema não tem solução, equações incompatíveis. 
Solução gráfica 
Reta 1: 
 
Par ordenado 
0 3 (0,3) 
3 0 (3,0) 
 
Reta 2: 
 
Par ordenado 
0 -1 (0,-1) 
-1 0 (-1,0) 
 
Gráfico 04 
 
Exercícios: resolva algebricamente os sistemas abaixo: 
 
 
x2 = -1 substituindo na 1ª.equação x1 = 5 
 
Resolva e classifique os sistemas: 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
resolução: 
b) 
 
 
 
c) 
 
Sistema possível e determinado: 
 
d) 
 
e) 
 
 
f) 
 
Sistema possível e determinado: 
 
 
 
Resolvendo sistemas de equações lineares com 3 ou mais 
incógnitas pelo método de eliminação de Gauss. 
 
 
 
1º reordenando as equações: (colocar sempre que possível uma incógnita com o coeficiente “1” 
em primeiro lugar) 
 
 
2º montar a matriz completa associada ao sistema 
 
 
3º triangular o sistema, eliminando incógnitas (zerar coeficientes). 
 
 
 
 
 
4º resolver os valores de x, y e z. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolva os sistemas 
 
a) 
 
 
1º Reordenando 
 
 
2º montando a matriz 
 
 
3º triangulando o sistema 
 
 
 
4º Calculando X, Y, Z 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
1º Reordenando 
 
 
2º Montando a matriz 
 
 
3º Triangulando o sistema 
 
 
 
4º Calculando X, Y, Z 
 
 
 
 
 
Extra: 
 
Resolução: