ENEM Exercício - Matemática

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Aula 01 
POLINÔMIOS E EQUAÇÕES 
POLINOMIAIS 
 
Soma dos coeficientes do polinômio: 
 
 
 
Exemplo 1 
3 x4 – 7x3 - 4x2 + 10x + 5 
Soma dos Coeficientes: 3 – 7 – 4 + 10 + 5 = 7 
 
Exemplo 2 
 
 
Soma dos Coeficientes: 16 + 40 + 25 = 81 
E no caso do expoente do binômio ser um valor 
maior podemos determinar a soma dos coeficientes 
do desenvolvimento do polinômio calculando o 
valor numérico P(1), ou seja, substituímos o “x” por 
1 e resolvemos: 
 
 
Exemplo 3 
 
 
 
 
Raízes de um polinômio: 
Raiz ou zero de um polinômio é o valor (ou valores) 
que anula esse polinômio. 
P(raiz) = 0 
São os "k" valores para os quais o polinômio 
assume o valor ZERO, ou seja, P(k)=0. 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Raiz Igual A “1”: 
 
Exemplos: 
 
 
Pesquisa de raízes racionais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) O valor de k para que o polinômio 
3( ) 2 5 1P x x kx x= − + − seja divisível por x 
– 1 é 
 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 6 
e) 7 
 
 
2) O polinômio 
4 3 2( ) 6P x x ax bx cx= + + + + não pode ter 
como uma de suas raízes 
 
a) 1 
b) – 3 
c) 2 
d) – 3 
e) 4 
 
 
3) Sabendo que o polinômio 
4 3 2( ) 8 7 5P x x x mx x= − + − + possui 1 
como uma das suas raízes, conclui-se que o valor de 
m é 
 
a) 9 
b) 8 
c) 7 
d) 6 
e) 5 
 
 
 
4) Considerando o polinômio 
3 2( ) 8P x x ax bx= + + + , qual das 
alternativas pode representar o seu conjunto solução 
 
a) S = { -4, -2, -1 } 
b) S = { -4, -3, 2 } 
c) S = { -2, -1, 3 } 
d) S = { -1, -2, -5 } 
e) S = { 2, 4, 6 } 
 
 
5) A soma dos coeficientes do polinômio 
4 10( ) (5 7)P x x= − é igual a 
 
a) – 2048 
b) – 1024 
c) 1024 
d) 512 
e) 2048 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
1- D 2- E 3- A 4- A 5- C 
 
 
Aula 02 
Polinômios 
 
 
 
 
Dispositivo prático de Briot-ruffini: 
 
 
 
 
 
 
Termo independente 
 
Todo polinômio que apresentar termo independente 
diferente de zero não terá raízes nulas. Porém se o 
termo independente for nulo (zero) então podemos 
dizer que o ZERO é raiz deste polinômio, e sua 
multiplicidade será igual ao menor valor do 
expoente da variável "x". 
 
 
 
 
 
 
Raízes reais e raízes imaginárias 
 
Todo polinômio tem um número par de raízes 
complexas, pois as raízes complexas são aos pares 
(o número complexo e seu conjugado). Portanto um 
polinômio de grau ímpar terá no mínimo uma raiz 
real! 
Raízes reais: a quantidade de raízes reais tem a 
mesma qualidade do grau do polinômio: 
 
 
 
Polinômio com grau ímpar possui quantidade ímpar 
de raízes reais. 
Polinômio com grau par possui quantidade par de 
raízes reais. 
 
 
 
Teorema do resto 
 “O resto da divisão de um polinômio P(x) por um 
binômio do tipo (x – a) é o valor numérico para 
P(a)” 
Ou seja, para determinar o resto da divisão de um 
polinômio por um binômio do primeiro grau 
devemos substituir o “x” pela raiz do divisor. 
(igualar a zero e isolar o “x”) 
Obs: Se este resto for igual a zero, ou seja, P(a) = 0 
então dizemos que o polinômio P(x) é DIVISÍVEL 
pelo binômio (x – a), e, portanto "a" é uma raiz do 
polinômio P(x). 
Ex1: O resto da divisão de 
P(x) = 2x3 + 5x2 – 4x – 3 por x +2 é 9 
 
x + 2 = 0 2. (-2)3 + 5 . (-2)2 – 4 . (-2) – 3 
x = -2 2.(-8) + 5 . 4 + 8 – 3 
 -16 +20 + 8 – 3 = 9 
 
Ex2: O resto da divisão de P (x) = 2x2 – x – 1 por 
P (x)= x – 1 é ZERO, pois fazendo-se 
x – 1 = 0, temos que x = 1 e como a soma dos 
coeficientes de P(x) resulta zero, “1” também é raiz 
desse polinômio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) (UFPR PR) O resto da divisão de P(x)= x4 – 2x3 
+ 2x2 + 5x +1 por x-2 é: 
a) 1 
b) 20 
c) 0 
d) 19 
e) 2 
 
2) (UFRN RN) Seja P (x)= x3+ 6x2 – x – 30 . Se 
P(2) = 0, então o conjunto solução de P(x) = 0 é: 
a) {-2, -3, -5} 
b) {2, -3, -5} 
c) {2, -2, -2} 
d) {2, 3, 5} 
e) {2, 6, 30} 
 
3) (PUC SP) Sabe-se que -1 é raiz do polinômio f= 
x3 + x2 – 2x – 2. As demais raízes desse polinômio 
são os números: 
a) irracionais. 
b) não reais. 
c) racionais não inteiros. 
d) inteiros positivos. 
e) inteiros e opostos entre si. 
 
4) (UFMA MA) Sabendo que 2 é raiz da equação 
algébrica x3 + 4x2 – 4x – 16 = 0 , então o produto 
das outras duas raízes desta equação é: 
a) 2 
b) 8 
c) 10 
d) -6 
e) -4 
 
5) (FAFI MG) O resto da divisão de P(x)= x5 – 3x4 
+ 2x3 – x2 + x – 1 por q(x)= x – 3 é: 
a) um múltiplo de 7. 
b) um número primo. 
c) um múltiplo de 12. 
d) um divisor de 100. 
e) maior que 50. 
 
 
 
 
Gabarito 
1 - D 2 - B 3 - A 4 - B 5 – B 
 
 
Aula 03 
Funções do 2º grau 
 
 
 
 
 
Forma geral 
 
Onde “a”,” b” e “c” pertencem ao conjunto de 
números reais e a ≠0 
 
 
 
Estudo dos Coeficientes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Podemos afirmar que os coeficientes da 
função f(x) = ax2 + bx + c de gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
Estudo do Vértice 
O vértice de uma função de 2º grau é o ponto de 
MÁXIMO ou de MÍNIMO da função. Então o 
vértice V (xv , yv) é dado por: 
 
a
bxv 2
−=
2
''' xxxv
+=ou 
 
 
 
Forma fatorada da função 
 
1º) Elabora-se a forma f(x) = ( ).( ).( )... 
O número de fatores é igual ao número de raízes. 
2º) Em cada parêntese coloca-se “x” acompanhado 
de uma raiz com o sinal trocado. 
3º) Resolve-se o produto entre os parênteses. 
O termo independente deve coincidir com o corte 
no eixo vertical. 
Exemplo: 
 
f(X)= (X+2).(X-1) 
f(X)= X2 – X + 2X – 2 
f(X)= X2 + X – 2 
 
 
O termo independente “- 2” está de acordo com o 
gráfico? E se não coincidir? 
Deve-se multiplicar toda a função pelo fator 
adequado de forma que o termo independente 
coincida com o “corte” no eixo “y”. 
 
Exercícios 
1) (UFRGS RS) O movimento de um projétil, 
lançado para cima verticalmente, é descrito pela 
equação y= - 40x + 200x onde y é a altura, em 
metros, atingida pelo projétil x segundos após o 
lançamento. A altura máxima atingida e o tempo 
que esse projétil permanece no ar correspondem, 
respectivamente, a: 
 
a) 6,25 m, 5s 
b) 250 m, 0 s 
c) 250 m, 5 s 
d) 250 m, 200 s 
e) 10.000 m, 5 s 
 
2) (UM SP) O vértice da parábola y = x2 + bx + 6 
está no ponto (2, k). O valor de k é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
3) (UFES ES) O vértice da parábola de equação y = 
2x2 – 4x + t será um ponto do eixo das abscissas se 
o valor de t for igual a: 
a) 2 
b) 1 
c) – 1 
d) – 2 
e) – 3 
 
4) (FAFI MG) O gráfico de uma função 
f(x) = a2 + bx + c está representado abaixo. 
Podemos afirmar que: 
 
 
a) a<0; b<0; e c<0 
b) a<0; b<0; e c>0 
c) a<0; b>0; e c <0 
d) a<0; b>0; e c >0 
e) a>0; b<0; e c<0 
 
)(
4 vv
xf
a
y =∆−= cbxaxy vvv ++= 2ou 
 
 
5) (UFPA PA) A parábola de equação 
y = x2 – 5x – 14 é simétrica em relação à reta: 
 
a) y = x 
b) x = - 2 
c) x = 7 
d) x = 52 
e) y = - x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
1 – C 2 – B 3 – A 4 – D 5 –D 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 04 
Geometria analítica I 
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS: 
Quando as coordenadas dos pontos apresentam as 
abscissas (x) iguais ou as ordenadas (y) iguais, 
realizamos a operação entre os diferentes: 
 
 
 
dAB = 7-2 dCD = 12 + 3 
 
 
 
dAB = 8+3 dCD = 12 -5 
 
Quando as coordenadas dos pontos apresentam as 
abscissas (x) e ordenadas (y) diferentes, realizamos 
a operação entre eles: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto Médio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO 
DE TRÊS PONTOS: 
 
Para que três pontos quaisquer A (XA;YA), B 
(XB;YB) e C (XC;YC) sejam colineares o 
determinante correspondente a esses pontos deve 
ser nulo: 
 
 
 
Exemplo: 
Verifique se os pontos A (-1, 3), B(-4, -3) e C(2, 9) 
são colineares. 
 
1 3 1
4 3 1
2 9 1
6 3
9 36
12 6
27 27
det 27 27
det 0
�
� �
�
� �
�
� �
 � �
 
 
 
Como o determinante resultou zero, significa que os 
pontos A, B e C estão alinhados. 
A, B e C são colineares. 
A, B e C pertencem à mesma reta. 
 
*Quando três pontos não estão alinhados formam 
um triângulo. 
 
 
 
Área de um triângulo dados os seus vértices: dados 
três pontos A (XA;YA), B (XB;YB) e C (XC;YC) 
não colineares, podemos encontrar a área do 
triângulo com vértices nos pontos A, B e C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
Calcule a área do triângulo com vértices em A(3, 
2), B(3, 8) e C(11, 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
(OSEC SP) Considere o triângulo ABC, onde A(-1, 
1), B(5, 0) e C(1, 2). Então, o comprimento da 
mediana relativa ao vértice A é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
(UM SP) Sejam os pontos A(2, 3), B(3, 4), C(4, 6), 
D(2, 4), E(3, 8) e F(k, 1). Se os triângulos ABC e 
DEF têm a mesma área, então um dos valores de k 
é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 
 
 
(FEI SP) Os pontos X, Y e Z possuem as seguintes 
coordenadas no plano cartesiano: 
(0, 0), (m, 8), (n, m + 3). 
Se Z é o ponto médio do segmento XY, então: 
a) m = 2 
b) m = 1 
c) n = 3 
d) m = 3 
e) n = 2 
 
(UFRGS RS) Se um ponto P do eixo das abcissas é 
equidistante dos pontos A(1, 4) e B(-6, 3), a abcissa 
de P vale: 
a) – 2 
b) – 1 
c) 0 
d) 1 
e) 3 
 
(FEI SP) Os vértices de um triângulo são A(5, -3), 
B(x, 2) e C(-1, 3), e sua área mede 12 cm2. O valor 
de x pode ser: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 4 
e) 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1 – D 2 – B 3 – A 4 – A 5 – D 
 
3 2 1
3 8 1
11 2 1
88 24
6 6
6 22
100 52
det 52 100
det 48
 �
 �
det 48 48A
2 2 2
A 24
'
'
�
 
 
 
Aula 05 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1.( UEPI) A equação da reta perpendicular à reta y 
= –x + 1 e que passa pela intersecção das retas 2x – 
3y – 1 = 0 e 3x – y – 2 = 0 é: 
 
a) 2x + 2y + 7 = 0 
b) 5x – 5y + 1 = 0 
c) 7x – 7y – 4 = 0 
d) 7x + 7y – 6 = 0 
e) –2x + 2y – 5 = 0 
 
2. (UESC-BA) Considerando-se duas retas, r e s, e 
um plano a do espaço, pode-se afirmar: 
 
a) Se r e s não possuem pontos em comum, então 
são paralelas. 
b) Se r e s são ambas paralelas a “a”, então são 
paralelas entre si. 
c) Se r e s são ambas perpendiculares a “a”, então 
são paralelas entre si. 
d) Se r é paralela a “a” e s está contida em a, então r 
é paralela a s. 
e) Se r é perpendicular a “a” e s está contida em a, 
então r é perpendicular a s. 
 
3. (PUC-RJ) O valor de x para que os pontos (1, 3), 
(–2, 4) e (x, 0) do plano sejam colineares é: 
 
a) 8 
b) 9 
c) 11 
d) 10 
e) 5 
 
4. (Unifor-CE) Os gráficos das retas de equações 3x 
+ 2y – 3 = 0, 5x + 2y – 7 = 0, x = 2 e 
y = 3 
 2 
 
a) não se interceptam. 
b) interceptam-se em mais de três pontos. 
c) interceptam-se em apenas três pontos. 
d) interceptam-se em apenas dois pontos. 
e) interceptam-se em um único ponto. 
 
 
5. (F. M. Itajubá-MG) As equações das retas que 
passam pelo ponto (1, –1) e são uma paralela e 
outra perpendicular à reta 
2x + y – 3 = 0, são respectivamente: 
 
a) y – 2x – 1 = 0 e 2y + x – 3 = 0 
b) y + 2x – 1 = 0 e 2y – x + 3 = 0 
c) –y – 2x + 1 = 0 e 2y + x – 3 = 0 
d) –y + 2x + 1 = 0 e 2y – x + 3 = 0 
e) Nenhuma das respostas anteriores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
 
1 – C 2 – C 3 – D 4 – E 5 – B 
 
 
Aula 06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Arranjos simples ou 
Combinações Simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ver resolução no vídeo 
 
 
 
Ver resolução no vídeo 
 
 
Ver resolução no vídeo 
 
 
Exercícios 
(MACK) Cada um dos círculos da figura ao lado 
deverá ser pintado com uma única cor, escolhida 
dentre quatro disponíveis. Sabendo-se que dois 
círculos consecutivos nunca serão pintados com a 
mesma cor, então o número de formas de se pintar 
os círculos é: 
 
a) 100 
b) 240 
c) 729 
d) 2916 
e) 5040 
 
 
02. Do cardápio de uma festa constavam dez 
diferentes tipos de salgadinhos dos quais só quatro 
seriam servidos quentes. O garçom encarregado de 
arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a 
mesma contivesse sempre só 2 diferentes tipos de 
salgadinhos frios, e só 2 diferentes dos quentes. De 
quantos modos diferentes, teve o garçom a 
liberdade de selecionar os salgadinhos para compor 
a travessa, respeitando as instruções? 
a) 90 
b) 21 
c) 240 
d) 38 
e) 80 
 
03. (PUC-RIO 2008) 
O número total de maneiras de escolher 5 dos 
números 1, 2, 3, …, 52 sem repetição é: 
a) entre 1 e 2 milhões. 
b) entre 2 e 3 milhões. 
c) entre 3 e 4 milhões. 
d) menos de 1 milhão. 
e) mais de 10 milhões. 
 
04. (UDESC 2010) 
Doze equipes participarão de um torneio 
internacional de vôlei; os participantes foram 
divididos em dois grupos de seis equipes cada. A 
fase classificatória deste torneio prevê a realização 
de dois turnos. No primeiro turno, cada equipe 
jogará contra os adversários do seu próprio grupo e, 
 
no segundo, as equipes enfrentarão os times do 
outro grupo. Ao término da fase de classificação, os 
dois primeiros colocados de cada grupo avançarão 
para a fase final, que será disputada em turno único, 
num só grupo, com cada classificado jogando 
contra todos os outros times. O time que obtiver a 
primeira colocação na fase final será declarado 
campeão do torneio. De acordo com este 
regulamento, o total de jogos realizados durante o 
torneio é igual a: 
a) 102 
b) 66 
c) 77 
d) 72 
e) 108 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
1-D 2 – A 3 – B 4 – DAula 07 
 
 
 
EQUAÇÃO LINEAR: 
De um modo geral, denomina-se equação linear 
toda equação que pode ser escrita na forma: 
 
1 1 2 2 3 3 4 4 n na x a x a x a x ... a x b+ + + + + = 
 
na qual: 
x1, x2, x3, x4, ...xn são as incógnitas 
a1,a2, a3, a4,...an são números reais chamadas 
coeficientes das incógnitas 
b é o termo independente 
> os expoentes das variáveis são iguais a “1”. 
> as incógnitas x1, x2, x3, geralmente aparecem 
como x, y e z 
 
SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES: 
Denomina-se sistema linear m x n o conjunto S de 
m equações lineares em n incógnitas, que pode ser 
representado desta forma: 
11 1 12 2 13 3 14 4 1n n 1
21 1 22 2 23 3 24 4 2n n 2
m1 1 m2 2 m3 3 m4 4 mn n m
a x a x a x a x ... a x b
a x a x a x a x ... a x b
S
...................................................................
a x a x a x a x ... a x b
ì + + + + + =ïïïï + + + + + =ïï= íïïïï + + + + + =ïïî
 
> as equações que formam o sistema estão 
associadas pelos valores das variáveis que são os 
mesmos em cada uma delas. 
 
 
 
Solução de um sistema de equações lineares: 
O conjunto-solução do sistema é formado pelos 
respectivos valores das variáveis que satisfazem as 
igualdades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) O sistema linear abaixo é 
 
 
 
a) sistema possível e determinado 
b) sistema possível e indeterminado 
c) sistema impossível 
d) sistema homogêneo 
e) sistema natural 
 
2) Quanto ao conjunto solução, o sistema linear 
abaixo pode ser classificado como 
 
 
 
a) sistema possível e determinado 
b) sistema possível e indeterminado 
c) sistema impossível 
d) sistema homogêneo 
e) sistema natural 
 
3) Para que o sistema abaixo seja possível e 
determinado é necessário que 
 
 
 
 
2b 2ba) a d) a
5 5
2b 5bb) a e) a
5 2
5bc) a
2
¹ - ¹
= - = -
¹ -
 
 
4) O valor de m para que o sistema abaixo seja 
indeterminado é: 
 
 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
5) O valor de m para que o sistema abaixo admita 
infinitas soluções é 
 
 
a) 1 d) 2
1b) e) 2
2
1c)
2
- -
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
1 – A 2 – B 3 – A 4 – E 5 – E 
 
 
Aula 08 
 
NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 
PARTÍCULA IMAGINÁRIA “i”: 
Observe a resolução da equação do segundo grau 
abaixo através da fórmula de Bháskara: 
 
 
Como o discriminante (D= b2 – 2ac) esulta um 
valor negativo o que impossibilita um conjunto 
solução no universo dos números reais. Dessa 
forma ocorre uma ampliação desse conjunto com a 
inclusão das raízes de números negativos com 
índice par originando o conjunto dos números 
complexos. 
i = √−1 
 
 
 
 
 
 
> Quando o expoente do “i” for maior do que 4, 
podemos dividir esse expoente por 4 e tomar o resto 
como expoente correspondente e dessa forma 
consultar a lista: 
i0=1 i1=i i2= -1 i3= -i 
 
 
Exemplo 
5i63 – 9i8742 – 3i536 
 
 
 
 
 
 
3 2 05i 9i 3i
5.( i) 9.( 1) 3.1
5i 9 3
6 5i
- -
- - - -
- + -
-
 
 
> A soma de quatro potências consecutivas de 
“i” resulta zero. 
Exercício 
 
Resolução: 
Desde i17 até i30 temos 14 termos. Cada grupo de 4 a 
soma resulta zero, então sobram dois termos 
(podemos considerar os dois últimos ou os dois 
primeiros): 
Considerando a soma dos dois últimos: 
29 30 1 2i i i i i 1+ = + = - (d) 
 
FORMA ALGÉBRICA: 
 
a = parte real 
bi = parte imaginária 
b = coeficiente da parte imaginária 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
( )( )
2 2
2
2
2
2
número real : parte imaginária 0 x ???
Z x – 3i 3 xi 
Z 3x x i 9i 3xi
Z 3x x i 9i 3x
Z 6x (x 9)i
x 9 0
x 9
x 9
x 3 (b)
= =
= +
= + - -
= + - +
= + -
- =
=
= ±
= ±
2
maginário puro : parte real 0 a b ???
Z (a b i)(1 i)
Z a ai b bi i i
Z a b 1 ai bi i
parte real 0 :
a b 1 0
a b 1 (e)
= + =
= + - -
= - + - - +
= + - - - -
=
+ - =
+ =
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Qual o valor de 14i , onde i 1= - 
 
a) -i 
b) i 
c) - 1 
d) 1 
e) 14 i 
 
 
2) O ponto P, representado na figura é a imagem do 
complexo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. 
Podemos afirmar que z8 é igual a: 
 
a) 16 
b) 161 
c) 32 
d) 32i 
e) 32+16i 
 
 
4) Dado o número complexo z = – 5i + 5, o número 
complexo conjugado de z é: 
 
a) – 5i – 5 
b) + 5i – 5 
c) – 5i + 5 
d) + 5i + 5 
e) 5i 
 
 
5) Qual o valor de m para que o produto (2 + 
mi).(3 + i) seja um número imaginário puro? 
 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 10 
 
 
 
 
 
Gabarito 
 
1-C 2-E 3-A 4-D 5-B 
 
a) 1 3i d) 3 i
b) 3 i e) 1 3i
1 3c) i
2 2
- + +
- + -
+
 
Aula 09 
 
 
 
 
 
 
 
 
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo 
é igual a 180°. 
Como no triângulo retângulo um dos ângulos mede 
90°, temos que a soma dos outros dois resulta 90°: 
 
(D e E são complementares) 
Observa-se no quadro acima que o e que, então 
podemos dizer que o seno de um ângulo é igual ao 
cosseno de seu complementar e vice-versa. 
Exemplos: 
o o
o o
o o
sen20 cos70
cos35 cos55
sen1 cos89
 
 
 
 
Também notamos que as tangentes dos ângulos 
complementares (D e E ) são invertidas: 
o
o
o
o
1 1tan tan
tan tan
1tan30
tan60
1tan80
tan10
D E E D
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
^
o
x catadj tangente
36 catoposto
c.o.tan30
c.a.
3 36
3 x
36.3 108 3x x
3 3 3
108 3x 36 3 m
3
 
 
 
 
 
 
^
o
y hipotenusa seno
36 catoposto
c.o.sen30
hip.
1 36
2 y
y 2.36
y 72 m
 
 
 
 
 
 
^
o
x catadj cosseno
90 hipotenusa
c.a.cos 60
hip.
1 x
2 90
90x
2
x 45
 
 
 
 
 
 
^
o
y catoposto seno
90 hipotenusa
c.o.sen 60
hip.
y3
2 90
90. 3y
2
y 45 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
1) Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo 
retângulo medem a e 3a, respectivamente, então, a 
tangente do ângulo oposto ao menor lado é 
 
10 2a) d)
10 2
2b) e) 2 2
4
1c)
2
 
 
 
2) Na figura, são dados: α, β e NQ a= . Assim, a 
medida de MN pode ser obtida por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Com os dados da figura que segue, 
1(tgθ . tg )-a é igual a 
 
 
 
 
^
o
x hipotenusa cosseno
18 cat.adjac.
c.a.cos 30
hip.
3 18
2 x
2.18 36x
3 3
36 3 36 3x x
33 3
x 12 3 m
 
 
 
 
 
 
 
^
o
x hipotenusa seno
18 cat.oposto.
c.o.sen 60
hip.
3 18
2 x
2.18 36x
3 3
36 3 36 3x x
33 3
x 12 3 m
 
 
 
 
 
 
 
senα .sena) a . senα .sen d)a
senα .cosb) a . cosα .sen e)
a
c) a . senα .cos
bb
bb
b
 
 
a) 10 
b) 9 
c) 8 
d) 7 
e) 6 
 
 
 
 
 
4) O retângulo tem lados adjacentes medindo 6 e 
9,5 e o paralelogramo tem área 9. O cosseno de “a” 
é 
 
a) 0,85 
b) 0,8 
c) 0,75 
d) 0,6 
e) 0,15 
 
 
 
5) No triângulo retângulo da figura , 
BC 10 cm= e cos (a) = 0,8. O valor de AB é 
 
a) 8 
b) 6 
c) 5 
d) 4 
e) 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
 
1 – B 2 – C 3 – E 4 – B 5 – B 
 
 
 
Aula 10 
 
 
 
 
> Quando um logaritmo não tem sua base expressa, 
temos que essa base é 10 e esse logaritmo é 
chamado de logaritmo decimal. 
 
 
> Não existe logaritmo de zero e também de 
número negativo. (só existe logaritmo de número 
positivo) 
> Não existe logaritmo com base zero, com base 
negativa e também não existe logaritmo de “1”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
x
x 2
a)log 4 x
 2 4
 2 2
 x 2
=
=
=
=
3
x
x 3
b)log 27 x
 3 27
 3 3
 x 3
=
=
=
=
5
x
x 3
c)log 125 x
 5 125
 5 5
 x 3
=
=
=
=
( )
4
x
x2 10
2x 10
d)log 1024 x
 4 1024
 2 2
 2 2
 2x 10
 x 5
=
=
=
=
=
=
2
x
x
3
x 3
1e)log x
8
1 2
8
1 2
2
 2 2
 x 3
-
=
=
=
=
= -
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conferir resolução na vídeoaula 
 
Devemos mudar a base do logaritmo basicamente 
em duas situações: 
> quando os dados fornecidos pela questão e o 
logaritmo procurado apresentam bases diferentes. 
> quando a questão apresenta dois logaritmos com 
bases diferentes na mesma expressão ou equação. 
> Para realizar a mudança de base utilizamos a 
expressão: 
 
 
2
3
log 4 log 2 2.log 2 2xlog 4
log 3 log 3 log 3 y
= = = = 
 
Exercícios 
01) Se x
3log 8
2
= , então log4x é igual a 
 
 
2a) d) 2
3
1b) e) 4
2
c) 1 
 
 
 
02) O logaritmo decimal de 10 é igual a 
 
a) 2 
b) 1 
 
c) 
1
2
 
d) 
1
2
- 
e) – 2 
 
 
03) O valor de log (217,2) log (21,72)- é 
 
a) – 1 
b) 0 
c) 1 
d) log (217,2 21,72)- 
e) log (217,2)
log (21,72)
 
 
 
04) Se log 2 m= , então 5log 2 m= vale 
 
a) m – 1 
b) 1 – m 
 
c) m
1 m-
 
 
d) 1 m
m
- 
e) 5m 
 
 
 
05) Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 
6000 unidades de certo produto e, desde então, sua 
produção tem crescido à taxa de 20% ao ano. 
Nessas condições, em que ano a produção foi igual 
ao triplo da de 1996? 
 
 
(Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) 
a) 1998 
b) 1999 
c) 2000 
d) 2001 
e) 2002 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
1 – C 2 – C 3 – C 4 – C 5 – E 
 
 
Aula 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 1
10
10
10
a a 9r
a 2000 9.400
a 2000 3600
a 5600m
= +
= +
= +
=
 
 
 
8
8
S 2 5 8 11 14 17 20 23
S 100
= + + + + + + +
=
 
 
 
 
 
8
8 1 8
S 25 x 4
S (a a ) x 4
=
= +
 
 
 
 
 
 
1 n
n
100
100
100
(a a ).nS
2
(1 100).100S
2
S 101.50
S 5050
+=
+=
=
=
 
 
 
 
 
 
 
(x 5) (4x 1)5x 7
2
2(5x 7) x 5 4x 1
10x 14 5x 6
10x 5x 6 14
5x 20
x 4
+ + +- =
- = + + +
- = +
- = +
=
=
 
 
 
 
 
o
o
o
PA(x - r, x, x + r)
x r x x r 180
3x 180
x 60 (ângulo médio)
- + + + =
=
=
 
 
Exercícios 
1) Em uma progressão aritmética, em que o 
primeiro termo é 23 e a razão é – 6, a posição 
ocupada pelo elemento – 13 é 
a) 8ª 
b) 7ª 
c) 6ª 
d) 5ª 
e) 4ª 
 
 
 
2 85
2
+= 5 118
2
+= 8 1411
2
+=
11 1714
2
+= 14 2017
2
+=
 
 
2) Uma esfera rola num plano inclinado 
percorrendo 5m no primeiro minuto, 12m no 
segundo, 19m no terceiro e assim por diante. Após 
18 minutos, a distância percorrida, em metros, será 
igual a 
a) 124 
b) 207 
c) 1161 
d) 2232 
e) 2322 
 
3) Com o objetivo de realizar uma excursão, cada 
aluno de uma turma de 30 alunos, concordou em 
economizar R$ 10,00 na primeira semana e , em 
cada semana seguinte, R$ 2,00 a mais que na 
anterior. No final de 15 semanas a turma 
economizou 
a) R$ 11.100,00 
b) R$ 10.800,00 
c) R$ 7.500,00 
d) R$ 6.300,00 
e) R$ 4.500,00 
 
4) A produção de certa indústria nos meses de 
janeiro, fevereiro e março foi respectivamente de 
50, 65 e 80 unidades. Mantendo-se a produção nesta 
progressão, o número de unidades produzidas em 
dezembro do mesmo ano é de 
a) 245 
b) 215 
 
c) 200 
d) 165 
e) 150 
 
5) Um móvel percorre 30 km na primeira hora, 26 
km na segunda hora e assim por diante em 
progressão aritmética. Para percorrer 120 km 
gastará 
a) 5h 
b) 6h 
c) 7h 
d) 8h 
e) 10h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito 
1 – B 2 – C 3 – B 4 – D 5 – E 
 
 
 
Aula 12 
 
GEOMETRIA ESPACIAL 
 
 
 
 
Muitas questões de geometria espacial exploram a 
inscrição de figuras com uma tendência de buscar a 
relação entre os seus respectivos volumes. 
Os volumes, tanto da figura circunscrita como a 
inscrita, podem ser calculados através das fórmulas 
usuais, mas em várias situações a aplicação das 
relações volumétricas, torna essa determinação mais 
rápida e bem menos trabalhosa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução na videoaula 
 
 
 
Resolução na videoaula 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução na vídeoaula 
 
 
 
 
Resolução na videoaula 
 
Exercícios 
01. O volume de uma esfera inscrita em um cubo é 
igual a 972π. O valor que mais se aproxima do 
volume desse cubo é 
a) 243 π 
b) 486 π 
c) 972 π 
 
 
d) 1215 π 
e) 1944 π 
 
02. A figura abaixo representa um cilindro 
circunscrito a uma esfera. Se V1 é o volume da 
esfera e V2 é o volume do cilindro, então a razão 
2
2 1
V
V V-
 é 
a) 1 
 3 
 
b) 1 
 2 
 
c) 1 
d) 2 
e) 3 
 
03. (Ita) O raio da base de um cone circular reto é 
igual à média aritmética da altura e a geratriz do 
cone. Sabendo-se que o volume do cone é 128π m3, 
temos que o raio da base e a altura do cone medem, 
respectivamente, em metros: 
a) 9 e 8 
b) 8 e 6 
c) 8 e 7 
d) 9 e 6 
e) 10 e 8 
 
 
 
04. (UERJ) Para revestir externamente chapéus em 
forma de cones com 12 cm de altura e diâmetro da 
base medindo 10 cm, serão utilizados cortes 
retangulares de tecido, cujas dimensões são 67 cm 
por 50 cm. Admita que todo o tecido de cada corte 
poderá ser aproveitado.O número mínimo dos 
referidos cortes necessários para forrar 50 chapéus é 
igual a: 
a) 3 
b) 4 
c) 5 
d) 605. (UNIRIO) 
Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra 
a figura anterior. Sabendo-se que o volume da 
pirâmide é de 6 m3, então, o volume do cubo, em 
m3, é igual a: 
 
a) 9 
b) 12 
c) 15 
d) 18 
e) 21 
 
 
Gabarito 
1 – E 2 – E 3 – B 4 – B 5 – D