Sequências e Progressões Matemáticas

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3
M
MATEMÁTICA
T
U.T.I.
Unidade Técnica de Imersão
© Hexag Sistema de Ensino, 2018
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Autores
Herlan Fellini 
Pedro Tadeu Batista
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Diretor editorial
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Revisora
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Editoração eletrônica
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Eder Carlos Bastos de Lima
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Matheus Franco da Silveira
Raphael de Souza Motta
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Projeto gráfico e capa
Raphael Campos Silva
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Você está recebendo o terceiro caderno da U.T.I. (Unidade Técnica de Imersão) do Hexag Vestibulares. Este material 
tem o objetivo de verificar se você aprendeu os conteúdos estudados nos livros 5 e 6, oferecendo-lhe uma seleção 
de questões dissertativas ideais para exercitar suas memória e escrita, já que é fundamental estar sempre pronto a 
realizar as provas de 2ª fase dos vestibulares.
Além disso, este material também traz sínteses do que você observou em sala de aula, ajudando-lhe ainda 
mais a compreender os itens que, possivelmente, não tenham ficado claros e a relembrar os pontos que foram 
esquecidos. 
Aproveite para aprimorar seus conhecimentos.
Bons estudos!
Herlan Fellini
CARO ALUNO
Matemática 1
U.T.I. 3
 
 
MATEMÁTICA
Matemática 1 5
Matemática 2 23
Matemática 3 53
Matemática 1
U.T.I. 3
 
 
MATEMÁTICA
Matemática 1 5
Matemática 2 23
Matemática 3 53
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Noções de sequêNcia e progressão aritmética
Noções de sequêNcia
A um conjunto ordenado de elementos damos o nome de sequência. Em nosso cotidiano, temos vários exemplos 
de sequência. Uma sequência pode ser finita ou infinita. 
Determinação dos termos de uma sequência
 § Em função da posição: quando uma fórmula permite calcular qualquer termo an em função de sua po-
sição n.
 § Pela fórmula de recorrência: quando se expressa um termo an qualquer da sequência em função do 
termo imediatamente anterior an-1, dado o primeiro termo a1.
Progressão aritmética (Pa)
Uma progressão aritmética é uma sequência definida por: 
a1 = k
an = an–1 + r, ∀n ∈ N, n ≥ 2
onde k ∈ R é o primeiro termo da sequência e r ∈ R é a razão da PA. 
A diferença entre um termo qualquer e seu antecessor é sempre constante, igual à razão r.
 § PA crescente: uma PA é crescente, se a razão r é positiva e não nula.
 § PA decrescente: uma PA é decrescente, se a razão r é negativa e não nula.
 § PA constante: uma PA é constante, se a razão r é igual a zero.
Representações especiais
 § Três termos consecutivos de uma PA
(x – r, x, x + r)
S = (x – r) + x+ (x – r) = 3x
 § Cinco termos consecutivos de uma PA
(x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
 § Quatro termos consecutivos de uma PA
(x – 3y, x – y, x + y, x + 3y)
Onde r = 2y
S = (x – 3y) + (x – y) + (x + y) + (x + 3y) = 4x
Fórmula do termo geral da PA
an = a1 + (n – 1)r
8
soma dos termos de uma pa fiNita
Fórmula
Sn = 
n(a1 + an) ___________ 
2
 
progressão geométrica e sua iNterpolação
Progressão geométrica (Pg)
Definição
Progressão geométrica (PG) é toda sequência de números não nulos na qual é constante o quociente da divisão de 
cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior.
Classificação das progressões geométricas
Dependendo da razão q, uma PG pode ser:
 § Crescente: a PG é crescente quando q > 1 e os termos são positivos ou quando 0 < q < 1 e os termos 
são negativos.
 § Decrescente: a PG é decrescente quando q > 1 e os termos são negativos ou quando 0 < q < 1 e os 
termos são positivos.
 § Constante: a PG é constante quando q = 1.
 § Alternante: a PG é alternante quando q < 0.
Representações especiais
As principais são:
 § três termos em PG: ( x __ q , x, xq ) 
 § quatro termos em PG ( x __ 
y3 , 
x _ y , xy, xy3 ) 
Nesse caso, temos q = y2.
 § cinco termos em PG ( x __ 
q2 , 
x __ q , x, xq, xq2 ) 
Fórmula do termo geral de uma pg
an = a1 · q
n – 1
9
soma e produtos dos termos de uma pg
Fórmula da soma dos N Primeiros termos de uma Pg FiNita
Sn = a1 · 
1 – qn
 ____ 
1 – q
 para q ≠ 1
Limite da soma dos termos de uma PG infinita
 lim 
n→`
 Sn = 
a1 ____ 
1 – q
 , – 1 < q < 1
Produto dos termos da PG
Pn = a1
n .q1+2+3+...+n-1
soma de PA  
Pn = a1
n.q
(1+n-1)(n-1)
2 Pn =a1
n. q
n(n-1)
2
Pn = ± √
_____
 (a1an)
n (o sinal correto depende de estudar as condições da PG dada)
Números complexos
Forma algébrica
Todo número complexo z pode ser escrito de maneira única na forma:
z = a + bi (a [ R, b [ R e i2 = –1)
z = a + b i
 
parte real
de z
Re(z) = a 
parte imaginária
de z
Im(z) = b
coNjugado de um Número comPlexo
O conjugado de um número complexo z = a + bi é o número complexo  z = a – bi.
Propriedades do conjugado
1. Se z = a + bi:
z ·  z = a2 + b2 (que é real, positivo ou nulo)
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2. Para o número complexo z, obtém-se:
z =  z à z é número real
3. Se z1 e z2 são números complexos:
  z1 + z2 =  z1 +  z2 (o conjugado da soma é igual à soma dos conjugados)
4. Se z1 e z2 são números complexos:
  z1z2 =  z1 · 
 z2 (o conjugado de um produto indicado é igual ao produto dos conjugados)
divisão de Números comPlexos
O quociente 
z1 __ z2
 entre dois números complexos, com z2 ≠ 0, é dado por 
z1 __ z2
 = 
z1 · 
— z 2 ____ 
z2 · 
— z 2
 . 
rePreseNtação geométrica dos Números comPlexos
1. Os números complexos reais pertencem ao eixo x e mantêm a correspondência, segundo a qual para cada 
número real existe um ponto da reta.
2. Os números imaginários puros pertencem ao eixo y.
3. Os demais números complexos (a + bi, com a ≠ 0 e b ≠ 0) pertencem aos vários quadrantes, de acordo com 
os sinais de a e b.
4. Para cada número complexo existe um único ponto do plano e vice-versa.
5. A cada complexo z = a + bi pode-se associar um único vetor, com extremidades no ponto O, origem do 
sistema de coordenadas cartesianas, e no ponto P(a, b). Nesse plano complexo, além do número complexo 
z = a + bi, estão representados outros dois números complexos, z1 e z2, e a soma deles, z1 + z2 (diagonal do 
paralelogramo formado por z1 e z2).
6. A associação dos números complexos z = a + bi aos vetores permite o uso, em diversos campos, dos núme-
ros complexos e os de suas respectivas grandezas. Exemplo disso é o estudo da eletricidade em grau uni-
versitário. A corrente elétrica, a voltagem, a impedância etc. são tão grandes que podem ser representados 
por números complexos.
11
iNterPretação geométrica do coNjugado
Geometricamente, o conjugado  z de z é representado pelo simétrico de z em relação ao eixo x.
+
módulo de um Número comPlexo
|z|2 = a2 + b2 ä |z| = dXXXXXX a2 + b2 
ProPriedades eNvolveNdo módulo
1. Se z é um número complexo:
z  z = |z|2
2. Se z é um número complexo:
|z| = |  z |
3. Se z1 e z2 são númeroscomplexos:
|z1z2| = |z1||z2|
Forma trigoNométrica dos Números comPlexos
z = |z|(cos q + i · sen q)
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multiPlicação de Números comPlexos 
Na Forma trigoNométrica
z1z2 = |z1||z2| [cos(q1 + q2) + i · sen(q1 + q2)]
divisão de Números comPlexos Na Forma trigoNométrica
 
z1 __ z2
 = 
|z1| ___ 
|z2|
 [cos(q1 – q2) + i · sen(q1 – q2)]
PoteNciação de Números comPlexos Na Forma 
trigoNométrica – Primeira Fórmula de de moivre
zn = |z|n[cos(nq) + i · sen(nq)]
radiciação – raízes eNésimas de Números comPlexos
wk = n dXXX |z| [ cos (  __ n + k · 2π ___ n ) + i · sen (  __ n + k · 2π ___ n ) ] 
equações biNomiais e triNomiais
Qualquer equação que possa ser reduzida à forma axn + b = 0 (com a ∈ C e b ∈ C, a ≠ 0 e n ∈ N) é chamada 
equação binômial.
Para resolvê-la, isolamos xn no primeiro membro e aplicamos a segunda fórmula de De Moivre:
axn + b = 0 ⇒ xn = –b ___ a 
Essa equação admite n raízes enésimas de –b ___ a .
Outro tipo muito comum de equação que compreende números complexos é o que se pode reduzir à cha-
mada equação trinômial:
ax2n + bxn + c = 0
(com a ∈ C, e b ∈ C, a ≠ 0, b ≠ 0 e n ∈ N)
Para resolvê-la, fazemos uma mudança de variável xn = y e obtemos uma equação do segundo grau:
ay2 + by + c = 0
cujas soluções são y’ e y’’.
Recaímos então nas equações anteriores, pois y’ = xn e y’’ = xn.
Ao resolvê-las, temos as raízes da equação inicial.
13
equações poliNomiais
deFiNição
Expressão polinomial ou polinômio na variável complexa x é toda expressão da forma:
anx
n + an-1x
n-1 + an-2x
n-2 + ... + a2x
2 + a1x + a0
da qual:
 § an, an-1, an-2, ..., a2, a1 , a0 são números complexos denominados coeficientes;
 § n é um número inteiro positivo ou nulo; e
 § o maior expoente de x, com coeficiente não nulo, é o grau da expressão.
FuNção PoliNomial
As funções complexas f: C é C definidas por expressões polinomiais são denominadas funções polinomiais:
Portanto, toda função definida por:
f(x) = anx
n + an-1x
n-1 + ... + a2x
2 + a1x + a0
para todo x complexo, é denominada função polinomial de grau n, da qual n é um número inteiro positivo ou nulo 
e an é diferente de 0.
Se o grau de uma função polinomial for 0, a função será definida por f(x) = a0.
PoliNômio
A cada função polinomial associa-se um único polinômio (ou expressão polinomial) e vice-versa, por isso podemos 
nos referir indistintamente às funções polinomiais ou aos polinômios.
Polinômio identicamente nulo
Define-se o polinômio identicamente nulo (Pin) como o polinômio cujos coeficientes são todos nulos: p(x) = anx
n + 
an-1x
n-1 + ... + a1x + a0 é um polinômio nulo se, é somente se, an = an-1 = ... = a1 = a0 = 0.
valor Numérico de um PoliNômio
O valor numérico do polinômio p(x) para x = a é o número que se obtém ao substituir x por a e ao efetuar os 
cálculos necessários. Indica-se p(a).
14
Portanto, p(a) é o valor numérico de p(x) para x = a.
Observações
Se a = 1, o valor numérico de p(x) será a soma de seus coeficientes:
p(1) = an · 1
n + an – 1 · 1
n – 1 + an – 2 · 1
n – 2 · 1n – 2 + ... + a1 · 1 + a0 ä
ä p(1) = an + an – 1 + an – 2 + ... + a1 + a0
Se a = 0, o valor numérico de p(x) será o termo independente:
p(0) = an · 0
n + an – 1 · 0
n – 1 + an – 2 · 0
n – 2 + ... + a1 · 0 + a0 ä p(0) = a0
igualdade de PoliNômio
Dois polinômios são iguais ou idênticos se, e somente se, seus valores numéricos forem iguais para todo a [ C:
p(x) = q(x) à p(a) = q(a)(? a [ C)
Para que isso ocorra, a diferença p(x) – q(x) deve ser o Pin. Portanto, dois polinômios p(x) e q(x) são iguais 
se, e somente se, tiverem coeficientes respectivamente iguais (os coeficientes dos termos de mesmo grau são todos 
iguais).
raiz de um PoliNômio
Já sabemos que p(a) é o valor numérico do polinômio p(x) para x = a.
Se um número complexo (real ou imaginário) a for tal que p(a) = 0, esse número a será chamado de raiz 
do polinômio p(x).
equações PoliNomiais ou algébricas
Equação polinomial ou algébrica é toda equação que pode ser escrita na forma:
anx
n + an – 1x
n – 1 + ... + a2x
2 + a1x + a0 = 0 (com an ≠ 0)
Raiz ou zero de uma equação polinomial ou algébrica
anx
n + an – 1x
n – 1 + ... + a2x
2 + a1x + a0 = 0
O valor a de x que satisfaz a igualdade, ou seja, o valor tal que:
ana
n + an – 1a
n – 1 + ... + a1a + a0 = 0
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Conjunto solução de uma equação algébrica
Trata-se do conjunto das raízes da equação.
Decomposição em fatores de primeiro grau
Toda equação algébrica p(x) = 0 de grau n (n > 1) tem pelo menos uma raiz complexa (real ou não).
De acordo com esse teorema, é possível mostrar que os polinômios de grau n > 1 podem ser decompostos 
num produto de fatores do primeiro grau.
Generalização
Dado o polinômio de grau n, do qual n > 1:
p(x) = anx
n + an – 1x
n – 1 + ... + a2x
2 + a1x + a0
se x1, x2, …, xn são raízes de p(x), podemos escrevê-lo desta forma:
p(x) = an(x – x1) (x – x2) (x – x3)... (x – xn)
Multiplicidade da raiz
O número de vezes que uma mesma raiz aparece indica a multiplicidade da raiz.
Se resolvermos a equação ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
Em R, isto é, com variáveis e coeficientes reais, podemos obter:
 § D > 0 duas raízes reais distintas;
 § D = 0 duas raízes reais iguais, ou seja, uma raiz real de multiplicidade 2; e
 § D < 0 nenhuma raiz real.
Em C, isto é, com variável e coeficientes complexos, podemos obter:
 § D = 0 uma raiz complexa de multiplicidade 2; e
 § D ≠ 0 duas raízes complexas distintas.
Relações de Girard
1. A soma das raízes é:
x1 + x2 + x3 + ... + xn = – 
an – 1 ____ an
 
2. O produto das n raízes é:
x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ ... ⋅ xn (–1)n = 
a0 __ an
 
16
3. A soma dos produtos das raízes, quando tomadas:
a) duas a duas, é:
x1x2 + x1x3 + ... + xn – 1xn = 
an – 2 ____ an
 
b) três a três, é:
x1x2x3 + x1x2x4 + ... + xn – 2xn – 1xn = – 
an – 3 ____ an
 
c) quatro a quatro, é:
x1x2x3x4 + x1x2x3x5 + ... + xn – 3xn – 2xn – 1xn = 
an – 4 ____ an
 
Essas relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação algébrica são denominadas relações 
de Girard.
Pesquisa de raízes racionais de uma 
equação algébrica de coeficientes inteiros
Vimos que as equações polinomiais de grau maior que 2 não têm um processo determinado de resolução por meio 
de fórmulas. Procuremos, então, uma ou mais raízes e com elas encontrar todas as raízes.
Se o número racional 
p
 __ q , com p e q primos entre si, for raiz de uma equação algébrica de coeficiente inteiros:
anx
n + an - 1x
n - 1 + an - 2x
n - 2 + ... + a2x
2 + a1x + a0 = 0
p é divisor de a0 e q é divisor de an.
poliNômios
oPerações com PoliNômios
Divisão de polinômios
Dados dois polinômios p(x) e h(x), com h(x) não nulo, dividir p(x) por h(x) significa encontrar dois polinômios q(x) e 
r(x) que satisfaçam as seguintes condições:
1. p(x) = h(x) · q(x) + r(x)
2. o grau de r(x) não pode ser igual nem maior que o grau de h(x) ou então r(x) = 0.
Portanto, dizemos que:
 § p(x) é o dividendo;
 § h(x) é o divisor;
 § q(x) é o quociente;
 § r(x) é o resto.
Para dividir o polinômio, usamos o método da chave, semelhante ao empregado para números inteiros.
17
Método da chave
Considerando esta divisão de números inteiros:
1º) 
 
»
 
 33 7 8
4
33 : 8 é 4
3º) 
 
»
 
 33 7 8
–32 42
17
17 : 8 é 2
2º) 
 
»
 
 33 7 8
 –32 
 1
Subtraindo (ou somando
com o sinal trocado):
33 – 32 = 1
4º) 
 
»
 
 33 7 8
–32 42
17
–16
1
2 · 8 = 16
17 – 16 = 1
Observamos que:
Utilizemos a mesma técnica para a divisão de polinômios.
1. 
x2 : x = x
2. 
x(x – 3) = x2 – 3x
Trocando o sinal: –x2 + 3x
3. 
–2x : x = –2
4. 
–2(x – 3) = –2x + 6
Trocando o sinal: 2x – 6
Verificamos que:
18
divisão Por x – a (disPositivo Prático de briot-ruFFiNi)
Roteiro desse dispositivo prático na divisão de 
p(x) = 3x3 – 5x2 + x – 2 por h(x) = x – 2
1. 
2. 
3. Repetimos (ou “baixamos”) o primeiro coeficiente do dividendo:
3 · 2 = 6 e 6 + (–5) = 1
4. Multiplicamos o termo repetido pelo divisor e somamos o produtocom o próximo termo do dividendo:
1 · 2 = 2 e 2 + 1 = 3
5. Repetimos o processo para obter o novo termo do quociente:
3 · 2 = 6 e 6 + (–2) = 4
De acordo com o quadro, obtemos:
q(x) = 3x2 + x + 3
r(x) = 4
que é o mesmo resultado obtido pelo método da chave.
Logo:
3x3 – 5x2 + x – 2 = (x – 2)(3x2 + x + 3) + 4
19
u.t.i. - sala 
 1. (Fuvest)
a) Prove que numa PA (a1, a2, a3,...),a1 + a9 = a2 + a8.
b) Sabendo que a soma dos 9 primeiros termos da PA é 17874, calcule seu 5º termo.
 2. (Fuvest) Em uma progressão aritmética a1, a2, a3, ..., an, ... a soma de n primeiros termos é dada 
por Sn = bn2 + n, sendo b um número real. Sabendo-se que a3 = 7 determine:
a) O valor de b e a razão da progressão aritmética.
b) O 20° termo da progressão.
c) A soma dos 20 primeiros termos da progressão.
 3. (UFPR) Considere o número complexo
z0 = 4i + 13 ______ 
2 + 3i
 
a) Determine a parte real e a parte imaginária de z0.
b) Determine a e b, de modo que z = 1 – i seja solução da equação z2 + az + b = 0.
 4. (UECE) Os números complexos distintos z e w são tais que z + w = 1 e z · w = 1.
a) Calcule |z|.
b) Calcule o valor de z4 + w4 sabendo-se que z está no primeiro quadrante do plano complexo.
 5. (UFPI-Adaptada) Um polinômio p(x) é divisível por x – 1 e, quando dividido por x2 + 2, deixa 
quociente x2 + 1 e resto r(x). Se r(-1) = 2, escreva o polinômio p(x).
20
u.t.i. - e.o.
 1. (Fuvest) São dadas duas sequências: (x1, x2,...,xn,...) e (y1, y2,...,yn,...).
Sabe-se que y1 = 1 e y2 = 2, que xn = y(n+1) - yn e que a primeira sequência é uma progressão arit-
mética de razão 3.
a) Escreva os 4 primeiros termos da sequência (xn).
b) Escreva os 4 primeiros termos da sequência (yn).
 2. Obtenha x e y de modo que 
log x + log y = 1
log x2 + log y2 =3
 3. (Unicamp) Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir. Observe que cada figura é forma-
da por um conjunto de palitos de fósforo.
a) Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que se-
guem a mesma lei de formação. Suponha também que F1 , F2 e F3 indiquem, respectivamente, o número 
de palitos usados para produzir as figuras 1, 2 e 3, e que o número de fósforos utilizados para formar 
a figura n seja Fn . Calcule F10 e escreva a expressão geral de Fn.
b) Determine o número de fósforos necessários para que seja possível exibir concomitantemente todas as 
primeiras 50 figuras.
 4. (Fuvest-Adaptada) No plano cartesiano, os 
comprimentos de segmentos consecutivos da 
poligonal, que começa na origem 0 e termina 
em B (ver figura), formam uma progressão 
geométrica de razão p, com 0 < p < 1. Dois 
segmentos consecutivos são sempre perpen-
diculares. Então, se OA =1, qual é o valor a 
abscissa x do ponto B = (x, y) ?
 5. (Fuvest) A soma dos cinco primeiros termos 
de uma PG, de razão negativa, é 1 __ 2 . Além 
disso, a diferença entre o sétimo termo e o 
segundo termo da PG é igual a 3. Nessas con-
dições, determine: 
a) A razão da PG. 
b) A soma dos três primeiros termos da PG.
 6. (Fuvest) Um “alfabeto minimalista” é cons-
tituído por apenas dois símbolos, represen-
tados por * e #. Uma palavra de comprimento 
n, n ≥ 1, é formada por n escolhas sucessivas 
de um desses dois símbolos. Por exemplo, # 
é uma palavra de comprimento 1 e #**# é 
uma palavra de comprimento 4. Usando esse 
alfabeto minimalista:
a) quantas palavras de comprimento menor do 
que 6 podem ser formadas? 
b) qual é o menor valor de N para o qual é pos-
sível formar 1.000.000 de palavras de tama-
nho menor ou igual a N?
 7. (Unesp) Sendo i a unidade imaginária e Z1 e 
Z2 os números complexos
Z1 = i + i2 + i3 + ... + i22
Z2 = i + i2 + i3 + ... +i78,
Qual é o valor do produto Z1 · Z2?
21
 8. (Unifesp) No plano de Argand-Gauss (figu-
ra), o ponto A é chamado afixo do número 
complexo z = x + yi, cujo módulo (indicado 
por |z|) é a medida do segmento ( 
——
 OA ) e cujo 
argumento (indicado por q) é o menor ângu-
lo formado com ( 
——
 OA ), no sentido anti-horário, 
a partir do eixo Re(z). O número complexo 
z = i é chamado “unidade imaginária”.
Re(z)
Ay
lm (z)
x
θ
a) Determinar os números reais x tais que 
z = (x + 2i)4 é um número real.
b) Se uma das raízes quartas de um número 
complexo z é o complexo z0, cujo afixo é o 
ponto (0, a), a > 0, determine |z|.
 9. (UFBA) Na figura, tem-se uma circunferên-
cia de centro na origem dos eixos coordena-
dos e raio igual a 2 u.c. O comprimento do 
menor arco de origem em A e extremidade 
em P1 é igual a π __ 3 u.c. Considere os pontos 
P1, P2 e P3 vértices de um triângulo equilá-
tero inscrito na circunferência e represen-
tados, nessa ordem, no sentido anti-horário. 
Sendo P1, P2 e P3, respectivamente, afixos 
dos números complexos z1, z2 e z3, calcule 
| — z 1 + z2
5 + z3|.
O
-2
-2
P1
2
A
2
y
x
 10. (FGV-Adaptada) A figura indica a represen-
tação dos números Z1 e Z2‚ no plano comple-
xo. Se Z1 . Z2 = a + bi, calcule a + b.
Z2
Re
Z12
lm
2
2√3
 11. (FEI - Adaptada) Se o polinômio 
p(x) = x4 - 6x3 + 7x2 + mx + n é divisível por 
x2 – 9x + 8, qual é o valor da soma m + n ?
 12. (Fuvest-Adaptada) Qual é a soma dos valores 
de m para os quais x = 1 é a raiz da equação 
x2 + (1 + 5m – 3m2) x + (m2 + 1) = 0?
 13. (Unifesp) Considere as funções quadráticas 
q1(x) e q2(x) cujos gráficos são exibidos na 
figura.
y
x431-1 0
gráfico de q2
gráfico de q1
a) Faça o esboço de um possível gráfico da fun-
ção produto q(x) = q1(x)q2(x).
b) Calcule o quociente do polinômio h(x) = xq(x) 
pelo polinômio k(x) = x + 1 e exiba suas 
raízes.
 14. (Unesp) Uma raiz da equação 
x3 – (2a – 1) x2 – a(a + 1)x + 2a2 (a – 1) = 0 
é (a – 1).
Quais são as outras duas raízes dessa equação?
Matemática 2
U.T.I. 3
25
Números biNomiais e triâNgulo de Pascal
Números biNomiais
Chama-se número binomial o número 
n
p
 = n! ________ 
p!(n – p)!
 (n é o numerador e p é a classe do número binomial).
Propriedade
Dois números binomiais são iguais, se tiverem o mesmo numerador e:
 § se suas classes forem iguais; ou
 § se a soma de suas classes for igual ao numerador (binomiais complementares).
TriâNgulo de Pascal
0
0
1
0
 
1
1
2
0
 
2
1
 
2
2
3
0
 
3
1
 
3
2
 
3
3
4
0
 
4
1
 
4
2
 
4
3
 
4
4
∙ ∙ ∙ ∙ ∙
n
0
 
n
1
 
n
2
 
n
3
 ... 
n
n
Calculando cada número binomial, obtém-se:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
26
Propriedades dos números binomiais
1. 
n
a
 = 
n
b
, pois a + b = n (binomiais complementares)
2. 
n – 1
p – 1
 + 
n – 1
p
 = 
n
p
 (relação de Stifel)
3. 
n
0
 + 
n
1
 + 
n
2
 + 
n
3
 + ... + 
n
n – 1
 + 
n
n
 = 2n
biNômio de NewtoN
(x + y)n = 
n
0
xn + 
n
1
xn – 1 y + 
n
2
xn – 2 y2 + … + 
n
k
xn – k yk + … + 
n
n
yn
Termo geral do biNômio
Tk + 1 = 
n
k
xn – kyk
cálculo de Probabilidades
eveNTos cerTos, imPossíveis e muTuameNTe exclusivos
No experimento aleatório “lançar um dado e registrar o resultado”, obtém-se:
 § Espaço amostral: W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 § Evento A: “ocorrência de um número menor que 7” ⇒ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Portanto, A = W.
 § Evento B: “ocorrência de número maior que 6” ⇒ no dado não existe número maior que 6. Portanto, B = ∅.
Se um evento coincidir com o espaço amostral, ele é chamado evento certo. Se um evento for vazio, ele 
é chamado evento impossível.
O evento A é um evento certo e o evento B, um evento impossível.
27
União de eventos, intersecção de eventos e 
complementar de um evento
No exemplo do lançamento de um dado, considerem-se os eventos:
 § C: ocorrência de número par ⇒ C = {2, 4, 6};
 § D: ocorrência de múltiplo de 3 ⇒ D = {3, 6};
 § E: ocorrência de número par ou número múltiplo de 3 ⇒ E = C ∪ D = {2, 4, 6} ∪ {3, 6} = {2, 3, 4, 6} (união 
de eventos);
 § F: ocorrência de número par e múltiplo de 3 ⇒ F = C ∩ D = {2, 4, 6} ∩ {3, 6} = {6} (intersecção de eventos); e
 § H: ocorrência de número ímpar ⇒ H = {1, 3, 5}.
O evento complementar de C emrelação a W é indicado H = 

 C = C C U .
C e H são chamados eventos complementares. Observe que C ∩ H = ∅ e C ∪ H = W.
Se a intersecção de dois eventos for o conjunto vazio, eles serão chamados eventos mutuamente ex-
clusivos.
Cálculo de probabilidades
p(A) = número de elementos de A _____________________ 
número de elementos de Ω
 = n(A) ____ 
n(Ω)
 
p(A) = número de resultados favoráveis ____________________________ 
número total de resultados possíveis
 
Certeza e impossibilidade
 § Se p(A) = 0, o evento A é o evento impossível; não há possibilidade de que ele venha a ocorrer.
 § Se p(A) = 1, o evento A é o evento certo e há certeza de que ele ocorrerá.
Probabilidade: adição
defiNição Teórica de Probabilidade e coNsequêNcia
1. impossibilidade ou p(∅) = 0
2. probabilidade do evento complementar
p( 

 A ) = 1 – p(A)
3. propriedade da união de dois eventos
A ∪ B = (A ∩ 

 B ) ∪ (A ∩ B) ∪ ( 

 A ∩ B)
p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) ⇒ probabilidade da união de dois eventos
28
Resumo das probabilidades calculadas
Evento Probabilidade
A p(A) = n(A) ____ 
n(W)
 
  A 1 – p(A)
A ∪ B p(A) + p(B) – p(A ∩ B)
  A ∩  B p( 
 A ∪ B )
  A ∪  B p( 
 A ∩ B )
A ∩  B p(A) – p(A ∩ B)
Probabilidade coNdicioNal
Probabilidade coNdicioNal
p(A/B) = 
p(A > B)
 _______ 
p(B)
 ou p(A > B) = p(A/B) · p(B)
Eventos independentes
Dois eventos A e B de um espaço amostral V (com p(A) ≠ 0 e p(B) ≠ 0) são independentes, se, e somente se, 
p(A/B) = p(A), ou de modo equivalente:
p(A > B) = p(A) · p(B)
O método binomial
A probabilidade de nascerem n crianças, das quais k sejam meninos e n – k sejam meninas numa família, é dada 
por:
p(k meninos, n – k meninas) = ( n __ 
k
 ) pkqn – k
Ao aplicar essa fórmula, estamos aplicando o método binomial.
Essa probabilidade é um termo da expansão binomial (p + q)n.
Outras aplicações do método binomial
 § Uma experiência é realizada n vezes, independentemente.
 § Em cada uma das n vezes, um evento A tem probabilidade p de ocorrer.
 § A probabilidade de A não ocorrer em cada vez é dada por q = 1 – p.
 § A probabilidade de A ocorrer em k das n vezes é dada por ( n __ 
k
 ) pkqn – k.
29
Aplicações de probabilidade à genética
A genética é, talvez, o ramo da Biologia que mais aplica conceitos matemáticos da teoria das probabilidades. Con-
siderando que a probabilidade trabalha com eventos chamados aleatórios, nada mais aleatório é que o encontro 
de dois tipos de gametas com genes determinantes. Um indivíduo heterozigoto para determinada característica 
(Aa) forma dois tipos de espermatozoides A e a. Se uma mulher também for heterozigota, poderá formar óvulos A 
e a. O fato de o espermatozoide A ou a ser o responsável pela fecundação depende apenas do acaso, bem como 
depende apenas do acaso o fato de a célula feminina A ou a ser a fecundada.
Recordemos este esquema.
Recordemos o quadro de possibilidades com suas respectivas probabilidades.
estatística
Termos de uma Pesquisa esTaTísTica
População e amostra
Chamemos de U o universo estatístico e de A uma amostra:
A , U
Indivíduo ou objeto
Cada elemento que compõe a amostra é um indivíduo ou objeto.
30
Variável
Variável qualitativa
Variáveis que são qualitativas, apresentam como possíveis valores uma qualidade (ou atributo) dos indivíduos 
pesquisadores.
As variáveis qualitativas também podem ser ordinais, se existirem uma ordem nesses valores, ou nominais, 
se não ocorrer essa ordem.
Variável quantitativa
As variáveis de uma pesquisa, como altura, peso, idade em anos e números de irmãos, são quantitativas, uma vez 
que seus possíveis valores são númericos.
As variáveis quantitativas podem ser discretas, tratando-se de contagem (números inteiros), ou contínuas, 
tratando-se de medida (números reais).
Quadro-resumo dos tipos de variável de uma pesquisa
Frequência absoluta e frequência relativa
Podemos associar a frequência relativa de um evento à probabilidade de que ele ocorra. Se o número total de 
citações for suficientemente grande, a frequência relativa estabiliza-se em torno de um número que expresse a 
probabilidade de ocorrência desse evento.
Tabela de frequências
A tabela que mostra a variável e suas realizações (valores), com as frequências absoluta (FA) e relativa (FR), é 
chamada tabela de frequências.
Nacionalidade FA FR
brasileira 6 60%
espanhola 3 30%
argentina 1 10%
Total 10 100%
Representação gráfica
A representação gráfica fornece uma visão de conjunto mais rápida que a observação dos dados numéricos. Por 
isso, os meios de comunicação oferecem com frequência a informação estatística por meio de gráficos.
31
Gráfico de segmentos
Gráfico de barras
32
Gráfico de setores
Histograma
Se uma variável tiver seus valores indicados por classes (intervalos), é comum o uso de um tipo de gráfico conhecido 
por histograma.
medidas de TeNdêNcia ceNTral
Média aritmética (MA)
MA = 
x1 + x2 + x3 +...+ xn _______________ n =
 
 ∑ 
 i = 1
 
n 
 xi 
n
Média aritmética ponderada
Caso de um aluno que faz vários trabalhos com pesos diferentes, isto é, com graus de importância diferentes.
A média aritmética é empregada como medida de tendência central, ou seja, como forma de, mediante um 
único número, dar uma ideia das características de determinado grupo de números. No entanto, convém ressaltar 
que em algumas situações a presença de um valor bem maior ou bem menor que os demais faz com que a média 
aritmética não consiga traçar o perfil correto do grupo.
33
Moda (Mo)
Em Estatística, moda é a medida de tendência central definida como o valor mais frequente de um grupo de valores 
observados.
No grupo de pessoas com idades de 2, 3, 2, 1, 2 e 50 anos, a moda é 2 anos (Mo = 2) e demonstra mais 
eficiência para caracterizar o grupo que a média aritmética.
Mediana (Me)
A mediana é outra medida de tendência central.
Dados n números em ordem crescente ou decrescente, a mediana será:
 § o número que ocupar a posição central, se n for ímpar; e
 § a média aritmética dos dois números que estiverem no centro, se n for par.
Medidas de dispersão
As medidas de tendência central mais usadas são a média aritmética, a moda e a mediana, cujo objetivo é concen-
trar em um único número os diversos valores de uma variável quantitativa.
Variância (V)
A ideia básica de variância é tomar os desvios dos valores x1 em relação à média aritmética (x – MA). Mas 
a soma desses desvios é igual a 0 (graças a uma propriedade da média). Uma opção possível é considerar o 
total dos quadrados dos desvios ∑ 
 i = 1
 
n 
 (xi – MA)2 e expressar a variância (V) como a medida dos quadrados dos 
desvios, ou seja: 
n
 ∑ 
 i = 1
 
n 
 (xi – MA)2 .
Desvio padrão (DP)
O desvio padrão (DP) é a raiz quadrada da variância. Ele facilita a interpretação dos dados, uma vez que é expresso 
na mesma unidade dos valores observados (conjunto de dados).
 § a média aritmética dos valores de x: MA = 
n
 ∑ 
 i – 1
 
n 
 xi 
 § a variação de x: V = 
n
 ∑ 
 i = 1
 
n 
 (xi – MA)2 
 § o desvio padrão de x: DP = dXX V 
Observação
1. Se todos os valores da variável forem iguais, o desvio padrão será 0.
2. Quanto mais próximo de 0 for o desvio padrão, mais homogênea será a distribuição dos valores da variável.
3. O desvio padrão é expresso na mesma unidade da variável.
34
Estatística e probabilidade
A estatística também é usada para estimar a probabilidade de ocorrência de um evento, principalmente se ela não 
puder ser calculada teoricamente pela razão P = evento ____________ espaço amostral .
Previsões do tempo, resultados eleitorais, mortalidade causada por doenças, entre outras, são probabilida-
des calculadas por frequências relativas de pesquisas estatísticas. Nesses casos, quanto maior for o histórico de 
dados a ser analisado, melhor será a previsão.
matriz
defiNição
Sejam m e n dois números naturais não nulos.
Denomina-se matriz m x n (lê-se m por n) umatabela retangular formada por m · n números reais, disposta 
em m linhas e n colunas.
Diz-se que a matriz é do tipo m × n ou de dimensão m × n.
 § 2 3
5 1
 é uma matriz do tipo 2 × 2 (dois por dois).
 §
 1 __ 
2
 –5 1
2 dXX 3 0
 é uma matriz do tipo 2 × 3 (dois por três).
Portanto,
 § para representar o elemento de uma matriz, usa-se uma letra com dois índices: o primeiro indica em que 
linha o elemento encontra-se, e o segundo, em que coluna; por exemplo, a23 é o elemento que está na 
segunda linha e na terceira coluna;
 § o elemento genérico de uma matriz A será indicado por aij, do qual i representa a linha e j representa a 
coluna na qual o elemento encontra-se; ele é chamado de ij-ésimo elemento da matriz; e
 § a matriz A, do tipo m × n, será escrita, genericamente, deste modo:
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 am3 ... amn
 ou 
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 am3 ... amn
 ou 
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
a31 a32 a33 ... a3n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 am3 ... amn
35
Matriz quadrada
Consideremos uma matriz m × n.
Se m = n (o número de linhas é igual aos números de colunas), diz-se que a matriz é quadrada de ordem n.
 § 3 5
2 6
 é uma matriz quadrada de ordem 2 (m = n = 2).
 §
5 3 10
–1 –4 6
 dXX 2 0 – 1 __ 
2
 
 é uma matriz quadrada de ordem 3 (m = n = 3).
Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos a11, a22, a33, ..., ann formam a diagonal principal da matriz 
(são os elementos aij com i = j).
3 2
–1 6 
1 3 10
–3 0 8
5 –1 6
 diagonal principal diagonal principal
A outra diagonal da matriz quadrada nomeia-se de diagonal secundária (são os elementos aij com i + j = n + i).
3 2
–1 6 
1 3 10
–3 0 8
5 –1 6
 diagonal secundária diagonal secundária
Matriz triangular
Consideremos uma matriz quadrada de ordem r.
Se os elementos acima ou abaixo da diagonal principal forem todos nulos, diz-se que a matriz é triangular.
2 0 0
8 3 0
7 9 –5 
1 5 7 –9
0 3 8 – 2 __ 
3
 
0 0 0 –1
0 0 0 4
 matriz triangular inferior matriz triangular superior
Matriz diagonal
A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal são nulos, é 
chamada matriz diagonal.
2 0 0
0 3 0
0 0 –5
Numa matriz diagonal, aij = 0 para i ≠ j.
36
Matriz identidade
A matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros ele-
mentos são iguais a zero, é chamada matriz identidade, cujo símbolo é In
I3 = I2 = I5 = I1 = [1]
Numa matriz identidade, há 
aij = 1, para i = j
 _____________ aij = 0, para i ≠ j .
Matriz nula
No conjunto das matrizes, a matriz em que todos os elementos são iguais a zero denomina-se matriz nula, que 
pode ser simbolizada como do tipo m × n por 0m × n matriz nula quadrada de ordem n por 0n.
Adição de matrizes
Propriedades da adição de matrizes
Números reais Matrizes m × n
Comutativa a + b = b + a A + B = B + A
Associativa (a + b) + c = a + (b + c) (A + B) + C = A + (B + C)
Elemento neutro a + 0 = 0 + a = a A + 0 = 0 + A = A
Elemento oposto a + (–a) = (–a) + a = 0 A + (–A) = (–A) + A = 0
Cancelamento a = b à a + c = b + c A = B à A + C = B + C
Matriz oposta de uma matriz A
Denomina-se matriz oposta de uma matriz A (representada por –A) a matriz que, somada com A, resulta uma 
matriz nula.
Subtração de matrizes
Se A e B forem duas matrizes do tipo m × n, denomina-se diferença entre A e B (representada por A – B) a soma 
da matriz A com a matriz oposta de B.
A – B = A + (–B)
37
Multiplicação de um número real por uma matriz
O produto de um número real pela matriz A é uma matriz obtida da multiplicação do número real pelos elementos 
de A.
Propriedades
Se a e b forem números reais e A e B, matrizes de mesmo tipo, a demonstração é esta:
(a + b) A = a · A + b · A a (b · A) = (a · b)A
a(A + B) = a · A + a · B 1 · A = A
Matriz transposta de uma matriz dada
Seja A uma matriz m × n.
Denomina-se matriz transposta de A (indicada por At) a matriz n × m cujas linhas são, ordenadas, as colu-
nas de A.
Propriedades da matriz transposta
Observe as propriedades com matriz transposta:
(At)t = A (aA)t = aAt (A + B)t = At + Bt
multiPlicação de matrizes
defiNição maTemáTica da mulTiPlicação de maTrizes
Am × n ⋅ Bn × p = ABm × p
Propriedades da multiplicação de matrizes
A multiplicação de matrizes não é comutativa.
Na multiplicação de matrizes não vale a propriedade do cancelamento.
Se A, B e C são matrizes, tal que AB = AC, não se pode garantir que B e C sejam iguais.
Na multiplicação de matrizes não vale a propriedade do anulamento.
38
Se A e B são matrizes, tal que AB = 0 (matriz nula), não se pode garantir que uma delas seja nula.
Observação
A definição de multiplicação de matrizes e o fato de ela não ser comutativa obriga a análise cuidadosa da pro-
priedade do elemento neutro.
 § se A é uma matriz quadrada de ordem n, logo Aln = lnA = A; e
 § se A é uma matriz do tipo m × n, com m ≠ n, logo Aln = lmA = A.
As propriedades associativa e distributiva valem para a multiplicação de matrizes.
Uma propriedade envolvendo transposta de matriz produto
Caso haja produtos envolvidos, haverá mais uma propriedade da multiplicação de matrizes:
(AB)t = BtAt
matriz iNversa e equações matriciais
maTriz iNversa de uma maTriz dada
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se X é uma matriz tal que AX = In e XA = In, ela é denominada matriz 
inversa de A e é indicada por A–1.
Caso exista a matriz inversa de A, diz-se que A é uma matriz invertível ou não singular.
Equações matriciais
Definidas as operações de adição, subtração e multiplicação de matrizes e de multiplicação de um número real por 
uma matriz, é possível resolver equações cujas incógnitas são matrizes.
Essas equações são chamadas equações matriciais.
determiNaNtes
deTermiNaNTe de maTriz quadrada de ordem 1
Seja a matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11].
Por definição, o determinante de A é igual ao número a11, que é indicado assim: det A = a11.
39
deTermiNaNTe de maTriz quadrada de ordem 2
Se A for uma matriz quadrada de ordem 2, calcula-se seu determinante fazendo o produto dos elementos da dia-
gonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.
Dada a matriz A = 
a11 a12
a21 a22
, seu determinante é indicado assim:
det A = a11 ⋅ a22 – a12 ⋅ a21
deTermiNaNTe de maTriz quadrada de ordem 3
det A = 
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21 – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a32a23
deTermiNaNTe de maTriz quadrada de ordem maior que 3
Conhecida como regra de Chió, essa regra consiste no “rebaixamento” da ordem da matriz, mantendo-se constan-
te o valor de seu determinante.
Teorema de Laplace
Dada uma matriz A, o cofator de um elemento aij é dado por Aij = (-1)i+j . Dij , onde Dij é o determinante da matriz 
restante ao eliminar a linha i e a coluna j da matriz A.
ProPriedades dos deTermiNaNTes
Primeira propriedade: fila de zeros
Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M forem iguais a zero, seu determinante 
será nulo, isto é, detM = 0.
–1 –4 9 –1 –4
2 8 3 2 8
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
= 0
0
40
Segunda propriedade: filas paralelas proporcionais
Se uma matriz quadrada M tiver duas linhas (ou duas colunas) proporcionais, seu determinante será nulo, isto é, 
detM = 0.
det A = = kab – kab = 0
Terceira propriedade: troca de filas paralelas
Se a posição de duas linhas (ou duas colunas) de uma matriz quadrada M forem trocadas entre si, o determinante 
da nova matriz obtida é o oposto do determinante da matriz anterior.
Quarta propriedade: multiplicação de uma fila por uma constante
Se todos os elementos de uma linha – ou de uma coluna– de uma matriz quadrada são multiplicados por um 
mesmo número real k, seu determinante fica multiplicado por k.
Consequência: multiplicação da matriz por uma constante
Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um número real k, seu determinante fica multiplicado 
por kn:
det (kMn) = kn · det Mn
Quinta propriedade: determinante da transposta
O determinante de uma matriz quadrada M é igual ao determinante de sua transposta, isto é, det M = det (Mt).
Sexta propriedade: determinante da matriz triangular
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
41
Sétima propriedade: teorema de Binet
Se A e B são duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB é a matriz produto, det (AB) = (det A) (det B).
Oitava propriedade: teorema de Jacobi
Seja A uma matriz quadrada. Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) forem multiplicados pelo 
mesmo número e se forem somados os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), 
forma-se a matriz B; portanto, det A = det B.
Nona propriedade: determinante da inversa
Seja A uma matriz quadrada invertível e A–1 sua inversa.
Portanto, det A–1 = 1 ____ 
det A
 .
Teorema de laPlace
Menor complementar
Se A é uma matriz quadrada de ordem n $ 2, ela é denominada menor complementar de A pelo elemento aij, cujo 
determinante é Dij, associado à matriz quadrada que se obtém de A, ao se suprimir a linha e a coluna que contêm 
o elemento aij considerado. Esse determinante é indicado por Dij.
Observe:
O menor complementar de A pelo elemento a23 é um número indicado assim:
Observação
A = (aij) é uma matriz.
aij é um elemento da matriz A.
Dij é um número, uma vez que é um determinante.
42
Cofator
Se A é uma matriz quadrada de ordem n $ 2, ela é denominada cofator do elemento aij de A o número real:
Aij = (–1)i + j · Dij, do qual Dij é o menor complementar de A pelo elemento aij.
Observação 1
Note que Aij = Dij, se i + j for par; e Aij = –Dij, se i + j for ímpar.
Então sim, o teorema de Laplace pode ser enunciado:
O determinante associado a uma matriz quadrada A de ordem n $ 2 é o número obtido da soma dos 
produtos dos elementos de uma linha (ou de uma coluna) qualquer pelos respectivos cofatores.
Observação 2
Se a linha escolhida para o cálculo do determinante tiver elementos iguais a zero, não há necessidade de mul-
tiplicar os cofatores pelos zeros, uma vez que o produto será nulo, independentemente, do valor do cofator. Por 
isso, ao empregar o teorema de Laplace, as melhores linhas ou colunas para o cálculo do determinante serão as 
que tiverem maior quantidade de zeros. Se não houver termos iguais a zero, eles podem ser criados, mediante o 
emprego da oitava propriedade dos determinantes (teorema de Jacobi).
sistemas liNeares
equações liNeares
De modo geral, denomina-se equação linear toda equação que pode ser escrita nesta forma:
a1x1 + a2x2 + a3x3 +...+anxn = b,
 na qual: 
 § x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;
 § a1, a2, a3, ..., são números reais chamados coeficientes das incógnitas; e
 § b é o termo independente.
Sistemas de equações lineares
Denomina-se sistema linear m · n o conjunto S de m equações lineares em n incógnitas, que pode ser representado 
assim:
43
Solução de um sistema linear
Dizemos que (a1, a2, a3,..., an) é solução de um sistema linear, se (a1, a2, a3, ..., an) for solução de cada uma das 
equações do sistema, ou seja, se satisfizer, simultaneamente, todas as equações do sistema.
A igualdade ax = b, com incógnita real x, a [ R e b [ R
Observe igualdades desse tipo nestes exemplos:
Em 2x = 6, x = 6 __ 
2
 = 3, como o único valor real possível para x.
Em 0x = 7, não há valor real para x, uma vez que não há número real que, multiplicado por 0, dê 7.
Em 0x = 0, x pode assumir qualquer valor real, uma vez que todo número real multiplicado por 0 dá 0.
De modo geral:
 § ax = b, com a i 0 ä x = b __ a , é o valor único de x.
 § ax = b, com a = 0 e b i 0 ä não existe valor real para x.
 § ax = b, com a = 0 e b = 0 ä x pode assumir qualquer valor real.
Interação geométrica dos sistemas lineares 2 × 2
Os pares de números reais que são soluções de uma equação linear com duas incógnitas determinam uma reta 
(gráfico). A intersecção das duas retas das equações do sistema determina uma solução, se ela existir.
Representação gráfica dos três sistemas resolvidos por adição:
1. 
2x + 5y = 1
As retas concorrentes indicam que há um único par que é solução do sistema (sistema possível e determinado).
44
2. 
2x - 4y = 2
x - 2y = 5
As retas paralelas e distintas indicam que não há par que seja solução do sistema (sistema impossível).
3. 
As retas coincidentes indicam que há infinitos pares que são soluções do sistema (sistema possível e inde-
terminado).
Classificação de um sistema linear 2 × 2
45
Observação
O sistema linear pode ser escrito na forma matricial .
A partir dessa forma matricial, pode-se aplicar o determinante da matriz dos coeficientes para saber se o 
sistema é determinado ou não.
É fácil notar que, se 
a1 __ a2
 i 
b1 __ 
b2
 , D = a1b2 – a2b1 i 0. Por isso, basta o sistema determinante da matriz dos 
coeficientes não ser nulo para o sistema ser determinado.
Classificação e resolução de sistemas lineares escalonados
Para classificar um sistema escalonado, basta observar a última linha com bastante atenção, uma vez que a úl-
tima linha num sistema de n incógnitas é a n-ésima linha; se não existir, deve ser considerada totalmente nula 
(0x + 0y + 0z + ... = 0, equivale a 0 = 0).
Na última, é possível que haja:
 § uma equação do primeiro grau com uma incógnita (2z = 4; 5w = 0; z = –1, ...): o sistema é SPD;
 § uma igualdade sem incógnita que é verdadeira (0 = 0; 2 = 2; 5 = 5; ...): o sistema é SPI; e
 § uma igualdade sem incógnita que é falsa (0 = 9; 0 = 2; 0 = –4; ...): o sistema é SI.
Determinante da matriz incompleta
Da mesma forma que ocorre com o sistema 2 × 2, podemos usar um determinante para separar sistemas SPD dos 
demais (SPI e SI).
Isso serve para sistemas 3 × 3 e mesmo para sistemas n x n quaisquer. Num sistema 3 x 3 genérico, teríamos 
 , e o determinante da matriz incompleta seria .
Se D i 0, o sistema (3 × 3 ou n x n) é SPD.
Se D = 0, o sistema (3 × 3 ou n x n) não é SPD (portanto, ou SPI ou SI).
Sistemas lineares equivalentes
Dois sistemas lineares são equivalentes, se tiverem o mesmo conjunto solução.
(matriz dos coeficientes)
46
Resolução de sistemas pela regra de Cramer
 § Inicialmente, calcula-se D, o determinante da matriz dos coeficientes do sistema (matriz incompleta):
Se D i 0, é possível prosseguir, uma vez que o sistema é possível e determinado (SPD).
Se D = 0, não se aplica a regra de Cramer.
 § Em seguida, para cada incógnita a ser determinada, calcula-se um novo determinante, que é o da matriz 
obtida, substituindo-se, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes da incógnita a ser determinada 
pela coluna dos termos independentes:
Dx (para determinar x) = 
Dy (para determinar y) = 
Dz (para determinar z) = 
 § O valor de cada incógnita é o quociente de cada um desses determinantes por D, ou seja:
x = 
Dx __ 
D
 y = 
Dy __ 
D
 z = 
Dz __ 
D
 
A regra de Cramer pode ser aplicada para qualquer sistema n × n, com D i 0.
Sistemas lineares homogêneos
Se num sistema linear todos os termos independentes forem nulos, o sistema será denominado sistema linear 
homogêneo.
47
u.t.i. - sala
 1. (UFPR) Um cadeado com segredo possui três engrenagens, cada uma contendo todos os dígitos de 
0 a 9. Para abrir esse cadeado, os dígitos do segredo devem ser colocados numa sequência correta, 
escolhendo-se um dígito em cada engrenagem. (Exemplos: 237, 366, 593...)
a) Quantas possibilidades diferentes existem para a escolha do segredo, sabendo que o dígito 3 deve 
aparecer obrigatoriamente e uma única vez?
b) Qual é a probabilidade de se escolher um segredo no qual todos os dígitossão distintos e o dígito 3 
aparece obrigatoriamente?
 2. (Fuvest) João e Maria jogam dados em uma mesa. São cinco dados em forma de poliedros regula-
res: um tetraedro, um cubo, um octaedro, um dodecaedro e um icosaedro. As faces são numeradas 
de 1 a 4 no tetraedro, de 1 a 6 no cubo, etc. Os dados são honestos, ou seja, para cada um deles, a 
probabilidade de qualquer uma das faces ficar em contato com a mesa, após o repouso do dado, é 
a mesma. Num primeiro jogo, Maria sorteia, ao acaso, um dos cinco dados, João o lança e verifica 
o número da face que ficou em contato com a mesa. 
Poliedros regulares
Tetaedro 4 faces
Cubo 6 faces
Octaedro 8 faces
Dodecaedro 12 faces
Icosaedro 20 faces
a) Qual é a probabilidade de que esse número seja maior do que 12? 
b) Qual é a probabilidade de que esse número seja menor do que 5? 
c) Num segundo jogo, João sorteia, ao acaso, dois dos cinco dados. Maria os lança e anota o valor da soma 
dos números das duas faces que ficaram em contato com a mesa, após o repouso dos dados. 
 Qual é a probabilidade de que esse valor seja maior do que 30?
 3. (Epcar-AFA-Adaptado) As notas de oito alunos numa prova de matemática foram escritas pelo 
professor numa tabela como a que segue:
Aluno A B C D E F G H
Nota 6,5 10 8 9,4 8 6,4 x 7,4
Sabe-se que a média aritmética dessas notas é 8,2.
Considerando as notas dos oito alunos, é correto afirmar que a nota do aluno G é:
1) igual à moda. 
2) inferior a 9,8. 
4) superior à mediana. 
8) inferior à média aritmética das outras sete notas.
Dê a soma das respostas corretas.
48
 4. (Unicamp) Considere a matriz A = [ a11
 
 
 a21 
a31
 
a12
 
 
 a22 
a23
 
a13
 
 
 a23 
a33
 ] , cujos coeficientes são números reais.
a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há 
nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz 
não seja nulo.
b) Suponha agora, que aij = 0 para todo elemento que j > i, e que aij = i – j +1 para os elementos em que 
j ≤ i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule a sua inversa A-1. 
 5. (Fuvest) João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, 
gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja 
e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de 
laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens.
49
u.t.i. - e.o.
 1. (Unifesp) Em uma pesquisa de mercado realizada nas cidades de São Paulo e de Santos, cada en-
trevistado teve que escolher apenas uma dentre seis marcas de sabonete (A, B, C, D, E e F). Os grá-
ficos de radar indicam os resultados dessa pesquisa nas duas cidades. Por exemplo, cinco pessoas 
escolheram a marca A em São Paulo, e três em Santos; três pessoas escolheram a marca B em São 
Paulo, e duas em Santos.
São Paulo Santos
A
F B
E C
D
E C
D
BF
A
a) Sorteando-se ao acaso um dos entrevistados, considerando as duas cidades, qual é a probabilidade de 
que essa pessoa tenha escolhido ou a marca D ou a marca F? 
b) A mesma pesquisa foi realizada na cidade de Campinas, com 17 pessoas: a marca F foi a única mais 
votada, com seis escolhas; a marca C foi a única menos votada, com nenhuma escolha; nenhuma marca 
obteve apenas um voto. Levando em consideração apenas essas informações, calcule o total de confi-
gurações diferentes possíveis de um gráfico de radar (no mesmo formato das pesquisas de São Paulo e 
Santos) com os resultados da pesquisa realizada em Campinas.
 2. (PUC-RJ) Temos um baralho comum, com 52 cartas, das quais 4 são ases. 
a) Tiramos uma carta ao acaso. Qual é a probabilidade de que ela seja um ás? 
b) Tiramos (do baralho completo) 5 cartas (simultaneamente). Qual é a probabilidade de que, entre essas 
cartas, não haja nenhum ás?
 3. (PUC-RJ) Uma urna tem 9 bolas, cada uma marcada com uma das letras de A a I:
Esmeralda sorteia duas bolas para entrarem na caixa I, três bolas para entrarem na caixa II, e as 
quatro bolas restantes são colocadas na caixa III.
a) Qual é a probabilidade de que a bola A esteja na caixa I?
b) Qual é a probabilidade de que haja exatamente uma bola com vogal na caixa I?
c) Qual é a probabilidade de que haja uma bola com vogal em cada caixa?
 4. (UFPE) No desenvolvimento binomial de ( 1 + 1 __ 3 ) 10
, quantas parcelas são números inteiros?
50
 5. (FGV - Adaptada) Sendo k um número real positivo, o terceiro termo do desenvolvimento de 
(–2x + k)12, ordenando segundo os expoentes decrescentes de x, é 66x10. Assim qual é o valor de k?
 6. (Unifesp) Um jovem possui dois despertadores. Um deles funciona em 80% das vezes em que é 
colocado para despertar e o outro em 70% das vezes. Tendo um compromisso para daqui a alguns 
dias e preocupado com a hora, o jovem pretende colocar os dois relógios para despertar.
a) Qual é a probabilidade de que os dois relógios venham a despertar na hora programada? 
b) Qual é a probabilidade de que nenhum dos dois relógios desperte na hora programada?
 7. (FGV) O torneio de futebol masculino nos Jogos Olímpicos de Verão 2016 contará com 16 times. 
Na Fase 1, serão formados quatro grupos com quatro times cada um. Cada time enfrentará, uma 
única vez, os demais times de seu próprio grupo. Suponha que os 16 times sejam sorteados ale-
atoriamente entre os grupos (qualquer combinação de times por grupo pode ocorrer, com igual 
probabilidade). Suponha, também, que os times do Brasil e da Alemanha participem do torneio. 
a) Qual será o número total de jogos na Fase 1 desse torneio? 
b) Nas condições estabelecidas no enunciado desta questão, qual é a probabilidade de que Brasil e Ale-
manha se enfrentem na Fase 1 do torneio? 
c) João é fã de futebol e conseguiu ingressos para dois jogos da Fase 1 do referido torneio. Considere que 
a chance de João obter ingresso para qualquer dos jogos da Fase 1 seja a mesma. Nessas condições, 
qual é a probabilidade de que João assista a pelo menos um jogo da seleção do Brasil?
 8. (FGV) A tabela mostra a série de um indicador econômico de um país, em bilhões de US$, nos 12 
meses de 2013.
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
21 24 20 23 22 22 18 17 16 17 16 18
a) Calcule a média, a(s) moda(s), a mediana e a maior taxa mensal de crescimento (em porcentagem) 
dessa série. 
b) Sabe-se que, em janeiro de 2014, esse indicador econômico atingiu um valor positivo para o qual a 
nova série (de janeiro de 2013 até janeiro de 2014) passou a ter mediana de 18 bilhões de US$, e um 
número inteiro de bilhões de US$ como média mensal. Calcule o desvio médio (DM) dessa nova série.
Dado: Desvio = 
n
 ∑ 
 i = 1
 
n 
 |xi –
 –x| 
, sendo x a média aritmética.
 9. (Fuvest) Deseja-se formar uma comissão composta por sete membros do Senado Federal brasileiro, 
atendendo às seguintes condições: (i) nenhuma unidade da Federação terá dois membros na co-
missão, (ii) cada uma das duas regiões administrativas mais populosas terá dois membros e (iii) 
cada uma das outras três regiões terá um membro.
a) Quantas unidades da Federação tem cada região?
b) Chame de N o número de comissões diferentes que podem ser formadas (duas comissões são considera-
das iguais quando têm os mesmos membros). Encontre uma expressão para N e simplifique-a de modo 
a obter sua decomposição em fatores primos. 
c) Chame de P a probabilidade de se obter uma comissão que satisfaça as condições exigidas, ao se esco-
lher sete senadores ao acaso. Verifique que p < 1 ___ 50 . 
Segundo a Constituição da República Federativa do Brasil — 1988, cada unidade da Federação é represen-
tada por três senadores.
 10. (UFBA) Um quadrado mágico é uma matriz quadrada de ordem maior ou igual a 3, cujas so-
mas dos termos de cada linha, de cada coluna, da diagonal principal e da diagonal se-
cundária têm o mesmo valor, que é chamado de constante mágica. Estabeleça um sis-
tema de equações que permitadeterminar os valores de x, y e z que tornam a matriz 
A = ( -2x + 3
 
 
 x + y + 2 
-4z + 5
 
z + 9
 
 
 -y + 8 
y - z + 1
 
x + 2y +1
 
 
 -x+8 
-x + z +4
 ) um quadrado mágico e calcule esses valores.
51
 11. (UEMA) Uma matriz A (m × n) é uma tabela retangular formada por m × n números re-
ais (aij), dispostos em m linhas e n colunas. O produto de duas matrizes A (m × n) = (aij) e 
B (n × p) = (bij) é uma matriz C (m × p) = (cij), em que o elemento cij é obtido da multiplicação orde-
nada dos elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando os 
elementos resultantes das multiplicações. A soma de matrizes é comutativa, ou seja, A + B = B + A. 
Faça a multiplicação das matrizes A e B e verifique se esse produto é comutativo, ou seja: A × B = B × A.
A = [ 1 
 
 0 
0 
 
2
 
 
 1 
0
 
3
 
 
 2 
1 
 ] e B = [ 0 
 
 1 
0
 
1
 
 
 -2 
1
 
-2
 
 
 3 
0
 ] 
 12. (UFPR) Na função 
f(a + bi) = det [ a + bi 
 –i
 1 + i 
1 – 2i
 ] , 
são números reais e i é a unidade imaginária. Considerando que para calcular o determinante aci-
ma usa-se a mesma regra de determinantes de matrizes com números reais:
a) Calcule f(1 + i) e f(0).
b) Encontre números reais a e b tais que f(a + bi) = 0.
 13. (Unicamp) Seja dada a matriz A = [ x 
 
 2 
0
 
2
 
 
 x 
6
 
0
 
 
 6 
16x
 ] em que x é um número real.
a) Determine para quais valores de x o determinante A é positivo.
b) Tomando C = [ 3 4 
-1
 ] e supondo que, na matriz A, x = –2 calcule B = AC.
 14. (Unicamp) Em uma bandeja retangular, uma pessoa dispôs brigadeiros formando n colunas, cada 
qual com m brigadeiros, como mostra a figura abaixo. Os brigadeiros foram divididos em dois 
grupos. Os que estavam mais próximos das bordas da bandeja foram postos em forminhas azuis, 
enquanto os brigadeiros do interior da bandeja foram postos em forminhas vermelhas.
a) Sabendo que m = 3n ___ 4 e que a pessoa gastou o mesmo número de forminhas vermelhas e azuis, deter-
mine o número de brigadeiros da bandeja. 
b) Se a pessoa compra a massa do brigadeiro já pronta, em latas de 1 litro, e se cada brigadeiro, antes de 
receber o chocolate granulado que o cobre, tem o formato de uma esfera de 2 cm de diâmetro, quantas 
latas ela tem que comprar para produzir 400 brigadeiros? (Dica: lembre-se de que 1 litro corresponde 
a 1000 cm³.)
 15. (Unicamp) Pedro precisa comprar x borrachas, y lápis e z canetas. Após fazer um levantamento em 
duas papelarias, Pedro descobriu que a papelaria A cobra R$ 23,00 pelo conjunto de borrachas, lá-
pis e canetas, enquanto a papelaria B cobra R$ 25,00 pelo mesmo material. Em seu levantamento, 
Pedro descobriu que a papelaria A cobra R$ 1,00 pela borracha, R$ 2,00 pelo lápis e R$ 3,00 pela 
caneta e que a papelaria B cobra R$ 1,00 pela borracha, R$ 1,00 pelo lápis e R$ 4,00 pela caneta. 
a) Forneça o número de lápis e de borrachas que Pedro precisa comprar em função do número de canetas 
que ele pretende adquirir. 
b) Levando em conta que x ≥ 1, y ≥ 1 e z ≥ 1, e que essas três variáveis são inteiras, determine todas as 
possíveis quantidades de lápis, borrachas e canetas que Pedro deseja comprar.
Matemática 3
U.T.I. 3
55
EsfEras
Área da superfície esférica
A = 4pR2
Volume da esfera
V = 4 __ 
3
 pR3
fuso esférico
Se rotacionarmos uma semicircunferência ao redor do eixo que passa pelo diâmetro por um ângulo, obtemos uma 
superfície denominada fuso esférico.
 360º ____ 
u
 = 4πr2
 ____ 
Afuso
 
Afuso = u ____ 
360º
 ∙ 4πr2
cunha esférica
Da mesma forma que obtemos uma superfície ao rotacionarmos uma semicircunferência, também obtemos um 
sólido denominado cunha esférica.
Vcunha = u ____ 
360º
 ∙ 4 __ 
3
 πr3
56
GEomEtria analítica
distância entre dois pontos
d(A, B) = √
_______________
 (xB – xA)
2 + (yB – yA)
2 
ponto diVisor
r = AP ___ 
PB
 = 
xA – xP _____ xP – xB
 = 
yA – yP _____ yP – yB
 
coordenadas do ponto médio de um segmento de reta
xm = 
xA + xB ______ 
2
 
ym = 
yA + yB _____ 
2
 
coordenadas do baricentro de um triângulo
xG = 
xA + xB + xC _________ 
3
 
yG = 
yA + yB + yC _________ 
3
 
condição de alinhamento de três pontos
Pode-se dizer que, se três pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3) estiverem alinhados:
D = 
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
 = 0.
57
coeficiente angular de uma reta
m = tg a
m = 
Dy
 ___ 
Dx
 = 
y2 – y1 _____ x2 – x1
 
equação da reta, conhecidos um ponto a(x0, y0) e 
a decliVidade m da reta
y – y0 = m(x – x0)
forma reduzida da equação da reta
y = mx + n
	 ↑	 ↑
 coeficiente angular coeficiente linear
forma segmentÁria da equação da reta
 x __ a + 
y
 __ 
b
 = 1
equação da reta na forma geral
ax + by + c = 0
forma paramétrica da equação da reta
Vimos que a equação de uma reta pode aparecer nas formas geral, reduzida e segmentária.
Além delas há mais uma, conhecida como forma paramétrica. Nela, as coordenadas x e y dos pontos da reta 
são dadas em função de uma terceira variável, t, mediante expressões do primeiro grau. A variável t é chamada 
de parâmetro.
Exemplo
A reta r é definida na forma paramétrica por 
x = t + 1
y = 2t
.
Para t = 5, temos 
x = 5 + 1 = 6
y = 2 ⋅ 5 = 10 .
Logo, (6, 10) é um ponto dessa reta. Generalizando, pode-se concluir que qualquer ponto P da forma (t + 1, 2t) 
será um ponto dessa reta r.
58
posições relatiVas de duas retas no plano
Duas retas r e s contidas no mesmo plano são paralelas ou concorrentes. Observe:
Paralelas 
iguais (coincidentes), se r ∩ s = r
distintas, se r ∩ s = ∅
Concorrentes 
perpendiculares, se r e s determinam quatro ângulos retos
oblíquas, se r e s determinam dois ângulos agudos e dois obtusos
Paralelismo de duas retas
Se a1 é a inclinação da reta r e a2, a inclinação da reta s:
m1 = m2 ⇒ tg a1 = tg a2 ⇒ a1 = a2 
(a1 e a2 estão entre 0º e 180º)
Intersecção de duas retas
Esta figura mostra duas retas, r e s, que se intersectam no ponto P(a, b).
Uma vez que P pertence às duas retas, suas coordenadas devem satisfazer, simultaneamente, as equações 
dessas duas retas.
Para determiná-las, basta resolver o sistema formado pelas equações das duas retas.
Observação
Pela resolução de sistemas é possível verificar a posição relativa de duas retas de um mesmo plano.
 § Sistema possível e determinado (um único ponto comum): retas concorrentes;
 § Sistema possível e indeterminado (infinitos pontos comuns): retas coincidentes; e
 § Sistema impossível (nenhum ponto comum): retas paralelas distintas.
Perpendicularismo de duas retas
m2 = – 1 ___ m1
 (com m1, m2 ≠ 0)
distância de um ponto a uma reta
d = 
|axp + byp + c|
 ___________ 
 √
______
 a2 + b2 
 
59
ângulo formado por duas retas
Para u agudo:
tg u = 
m1 – m2 ________ 
|1 + m1m2|
 
 § Se r e s forem paralelas, m1 = m2 e u = 0º.
 § Se r e s forem perpendiculares, m1 
. m2 = –1 e u = 90º.
 § Se uma das retas for vertical:
tg u =  
1 __ m  .
Área de uma região triangular
Se os vértices de um triângulo são os pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), a área dessa região triangular será dada 
por:
S = 1 __ 
2
  D  
da qual D = 
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
coluna das ordenadas
coluna das abscissas
60
circunfErência
equação da circunferência
Considerando genericamente O, (a, b) o centro, r o raio e P(x, y) um ponto da circunferência, obtemos:
d(P, O) = √
______________
 (x – a)2 + (y – b)2 = r ⇒ (x – a)2 + (y – b)2 = r2
Equação normal da circunferência
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 0
Condições de existência
Consideremos a equação genérica Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0. Para que ela represente uma circunferência, 
é necessário que sejam atendidas três condições:
 § primeira condição: A = B ≠ 0, ou seja, o coeficiente de x2 tem de ser igual ao coeficiente de y2;
 § segunda condição:C = 0, ou seja, não pode existir o produto xy; e
 § terceira condição: D2 + E2 – 4AF > 0, ou seja, garantimos que o raio é raiz de um número positivo; por-
tanto, um número real.
posições relatiVas de um ponto e uma circunferência
 § d(P, C) = r ⇔ (x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2 ⇔ (x1 – a)2 + (y1 – b)2 – r2 = 0 ⇔ P ∈ λ
 § d(P, C) < r ⇔ (x1 – a)2 + (y1 – b)2 < r2 ⇔ (x1 – a)2 + (y1 – b)2 – r2 < 0 ⇔ P é interno a λ
 § d(P, C) > r ⇔ (x1 – a)2 + (y1 – b)2 > r2 ⇔ (x1 – a)2 + (y1 – b)2 – r2 > 0 ⇔ P é externo a λ
61
posições relatiVas de uma reta e uma circunferência
Consideremos as três possíveis posições de uma reta em relação a uma circunferência.
1. A reta t é secante à circunferência:
Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta é menor que o raio.
A reta e a circunferência têm dois pontos comuns.
2. A reta t é tangente à circunferência:
Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta é igual ao raio.
A reta e a circunferência têm um único ponto comum.
3. A reta t é exterior à circunferência:
Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta é maior que o raio.
A reta e a circunferência não têm ponto comum.
62
posições relatiVas de duas circunferências
1. Dois pontos comuns:
Secantes 
|r1 – r 2| < d(C1,C2) < r1 + r 2
2. Um ponto comum:
Tangentes exteriores
d(C1 , C2) = r1 + r2
Tangentes interiores
d(C1,C2) = |r1 - r2|
3. Nenhum ponto comum:
Circunferências externas
63
d(C1 , C2) > r1 + r2
ou
Circunferência interna à outra
0 ≤ d(C1 , C2) < |r1 + r2|
ElipsE
A elipse, portanto, é o lugar geométrico dos pontos de um plano, tal que a soma de suas distâncias a dois pontos 
fixos, denominados focos F1 e F2, seja constante, igual à 2a e maior que a distância entre os focos (2a > 2c).
Na figura temos:
 § F1 e F2, focos da elipse, cuja distância entre eles é a distância focal (2c);
 § 
——
 A1A2 , eixo maior da elipse, cuja medida é a soma que consta da definição (2a);
 § 
——
 B1B2 , eixo menor da elipse, cuja medida é 2b;
 § o centro da elipse (intersecção dos eixos da elipse e ponto médio de 
——
 F1F2, 
——
 A1A2 e 
——
 B1B2 ); e
 § o número e = c __ a , chamado excentricidade da elipse (0 < e < 1).
64
Equação da elipse
 x
2
 __ 
a2 + 
y2
 __ 
b2 = 1
1. 
——
 F1F2 é paralelo ao eixo x, a = OA1, b = OB1 e a > b.
 
(x – x0)
2
 ______ 
a2 + 
(y – y0)
2
 ______ 
b2 = 1
2. 
——
 F1F2 é paralelo ao eixo x, a = AO1, b = OB1 e a > b.
 
(x – x0)
2
 ______ 
b2 + 
(y – y0)
2
 ______ 
a2 = 1
65
u.t.i. - sala
 1. (Unicamp) Seja dada a reta x – 3y + 6 = 0 no plano xy.
a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do plano passam por P e formam um ângulo de 
45º com a reta dada acima?
b) Para o ponto P com coordenadas (2,5), determine as equações das retas mencionadas no item (a).
 2. (Unesp) Determine as equações das retas que formam um ângulo de 135º com o eixo dos x e estão 
à distância √
__
 2 do ponto (–4, 3).
135°
x
y
135°
(-4, 3)
√2
√2
 3. (Fuvest) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto P = (2,1) e a reta t é 
tangente a C no ponto Q = (–1,5).
a) Determine o raio da circunferência C.
b) Encontre uma equação para a reta t.
c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção de t com o eixo Ox.
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u.t.i. - E.o. 
 1. (FGV) Em uma lata cilíndrica fechada de vo-
lume 5175 cm3, cabem exatamente três bolas 
de tênis.
a) Calcule o volume da lata não ocupado pelas 
bolas.
B) Qual é a razão entre o volume das três bolas 
e o volume da lata?
 2. (UFG) Considere que o planeta Terra é apro-
ximadamente esférico, tendo a linha do 
Equador um comprimento de, aproximada-
mente, 40.000 km e que 30% da área do pla-
neta é de terras emersas. 
Dados: Área da esfera = 4 πr2
Comprimento do círculo = 2πr
π ≈ 3,14
Aproximando a atual população da Terra 
para um número inteiro de bilhões de pes-
soas, responda: 
a) Qual é a densidade demográfica nas terras 
emersas do planeta?
b) Quantos metros quadrados caberiam a cada 
pessoa, se as terras emersas fossem dividi-
das igualmente entre os habitantes da Ter-
ra? (Aproxime para um número inteiro de 
milhares de metros quadrados).
 3. (PUC-RJ) Sejam os pontos A =(0, 0) e 
B =(3, 4).
a) Qual é a distância entre A e B?
b) Sabemos que a área do triângulo ABC é igual 
a 4 e que o vértice C pertence à reta de equa-
ção x + y = 2. Determine o ponto C.
 4. (Unifesp) Na figura, as retas r, s e t estão em 
um mesmo plano cartesiano. Sabe-se que r e 
t passam pela origem desse sistema, e que 
PQRS é um trapézio.
R
S
P
Q
sr
y
t
3,5
0 3,5 8
x
7
a) Determine as coordenadas do ponto de in-
tersecção entre as retas r e s.
b) Prove que os lados não paralelos do trapézio 
PQRS não possuem a mesma medida, ou seja, 
que o trapézio PQRS não é isósceles.
 5. (Unicamp) A figura abaixo exibe o gráfico da 
função f(x) = 1/x, definida para todo núme-
ro real x > 0. Os pontos P e Q têm abscissas 
x = 1 e x = a, respectivamente, onde a é um 
número real e a > 1.
P
Q y = 1/x
y
O 1 a
x
a) Considere o quadrilátero T com vértices em 
(0,0), P, Q e (a, 0). Para a = 2, verifique que 
a área de T é igual ao quadrado da distância 
de P a Q.
b) Seja r a reta que passa pela origem e é orto-
gonal à reta que passa por P e Q. Determine 
o valor de	a para o qual o ponto de intersec-
ção da reta r com o gráfico da função f tem 
ordenada y = a/2.
 6. (PUC-RJ) Considere o quadrado ABCD 
como na figura. Assuma que A = (6, 13) e 
C = (12, 5).
A
B
C
D
P
a) Determine a equação da reta r que passa 
pelo ponto M (ponto médio de AC) e pelo 
ponto P = (1,1), justificando sua resposta.
b) Determine a medida do lado do quadrado 
ABCD, justificando sua resposta.
c) Aumentando em 50 por cento o comprimen-
to dos lados do quadrado ABCD, em que por-
centagem a área da nova figura será aumen-
tada em relação à área do quadrado original? 
Justifique sua resposta.
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 7. (UEMA) Buscando incentivar a inserção 
das pessoas com deficiência no mercado de 
trabalho, uma filial dos Correios da cidade 
de São Luís contratou um cadeirante como 
encarregado da separação de correspondên-
cias. Para executar este trabalho, o novo 
funcionário foi designado para uma sala 
que dispunha de três mesas. Suponha que os 
centros dessas mesas sejam representados 
pelos pontos A, B e C de coordenadas (5, 4), 
(3, 7) e (1, 2), respectivamente, tomando 
como origem o canto da sala. Nessas condi-
ções:
a) esboce a figura que representa a disposição 
das mesas na sala em questão.
b) quais as distâncias que cada mesa mantém 
entre si, em metros?
c) qual a área do espaço compreendido entre as 
mesas?
 8. (Unifesp - Adaptada) Num sistema carte-
siano ortogonal, considerados os pontos e a 
reta exibidos na figura,
y
C
O A D
1 t x
E
y = 2x + 1
B
Qual o valor de t para o qual a área do po-
lígono OABC é igual a quatro vezes a área do 
polígono ADEB?
 9. (Unicamp) As retas de equações y = ax + b 
e y = cx são ilustradas na figura abaixo. Sa-
bendo que o coeficiente b é igual à média 
aritmética dos coeficientes a e c.
R
Q
O P
x
y
a) expresse as coordenadas dos pontos P, Q e R 
em termos dos coeficientes a e b.
b) determine a, b e c sabendo que a área do 
triângulo POR é o dobro da área do triângulo 
ORQ e que o triângulo OPQ tem área 1.
 10. (PUC-RJ) Considere o quadrado ABCD 
como na figura. Assuma que A = (5, 12) e 
B = (13, 6).
B
D
A C
a) Determine a medida do lado do quadrado 
ABCD.
b) Determine a equação da reta que passa por C 
e D.
c) Determine a equação do círculo inscrito no 
quadrado ABCD.
 11. (UFPR) São dados os pontos A = (0,0) e B = (6,8) 
no plano cartesiano Oxy. 
a) Escreva a equação reduzida da circunferên-
cia a que tem centro no ponto médio do 
segmento AB e contém os pontos A e B. 
b) Encontre as coordenadas do ponto P, distin-
to de A, no qual a circunferência a intercep-
ta o eixo y. 
 12 (Unifesp) Em um plano cartesiano, seja T o 
triângulo que delimita a região definidape-
las inequações y ≤ 2, x ≥ 0 e x – y ≤ 2.
a) Obtenha as equações de todas as retas que 
são equidistantes dos três vértices do triân-
gulo T.
b) Obtenha a equação da circunferência cir-
cunscrita ao triângulo T, destacando o cen-
tro e o raio.
 13. (Unicamp) No desenho abaixo, a reta 
y = ax (a > 0) e a reta que passa por B e C 
são perpendiculares, interceptando-se em A. 
Supondo que B é o ponto (2, 0), resolva as 
questões abaixo.
A
O B
y =
 ax
C
x
y
a) Determine as coordenadas do ponto C em 
função de a. 
b) Supondo, agora, que a = 3, determine as coor-
denadas do ponto A e a equação da circunfe-
rência com centro em A e tangente ao eixo x.
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 14. (Unicamp) Um círculo de raio 2 foi apoiado 
sobre as retas y = 2x e y = – x __ 2 , conforme mos-
tra a figura abaixo.
y
x
C
a) Determine as coordenadas do ponto de tan-
gência entre o círculo e a reta y = – x __ 2 .
b) Determine a equação da reta que passa pela 
origem e pelo ponto C, centro do círculo.
 15. (UFAM-Adaptada) Dê a equação que melhor 
representa o gráfico da elipse abaixo.
-3
-2
-6
2
y
x