Matemática - Pré-Vestibular Impacto - Trigonometria - Operações com Arcos - Arco Duplo e Metade Transformações

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Operações com Arcos 2
(Arcos Duplo e Metade/Transformações) 
FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!
 
PROFº: GEORGE CHRIST 
Fa
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9 
 
 
CONTEÚDO 
A Certeza de Vencer 
09
2 
 
1. INTRODUÇÃO. 
 Dados os valores de seno, cosseno e tangente de x é 
possível obter os valores de seno, cosseno e tangente de 
2x e x
2
 mediante o uso das fórmulas a seguir. 
 
2. FÓRMULAS DE MULTIPLICAÇÃO. 
 Seja x um arco qualquer. São válidas as seguintes 
fórmulas: 
 SENO DO DOBRO DE UM ARCO 
 
 
 
 COSSENO DO DOBRO DE UM ARCO 
 
 
 
 
 
 
 TANGENTE DO DOBRO DE UM ARCO 
 
 
 
 
 
3. FÓRMULAS DE DIVISÃO. 
 Seja x um arco qualquer. São válidas as seguintes 
fórmulas: 
 SENO METADE DE UM ARCO 
 
 
 
 
 COSSENO METADE DE UM ARCO 
 
 
 
 
 TANGENTE METADE DE UM ARCO 
 
 
 
 
 
4. FÓRMULAS DE TRANSFORMAÇÃO EM 
PRODUTO. 
 As fórmulas a seguir são utilizadas para transformar 
somas e subtrações entre senos e cossenos em produtos: 
 SOMA ENTRE SENOS 
 
 
 
 
 DIFERENÇA ENTRE SENOS 
 
 
 
 SOMA ENTRE COSSENOS 
 
 
 
 
 DIFERENÇA ENTRE COSSENOS 
 
 
 
 
 SOMA ENTRE TANGENTES 
 
 
 
 
 DIFERENÇA ENTRE TANGENTES 
 
 
 
 
 
5. EXERCÍCIOS (DESTRUIÇÃO TOTAL). 
01. (UFF-RJ) Sabendo que 1sen x cos x
3
− = , 0 x
2
π< < , 
determine sen 2x . 
 
 
02. (FUVEST) Se tg 2θ = , então o valor de cos 2
1 sen 2
θ
+ θ 
é: 
a) 3− 
b) 1
3
− 
c) 1
3
 
d) 2
3
 
e) 3
4
 
 
 
 
03. (U. NOVA IGUAÇU) Se tg x cot g x 7+ = , o valor 
numérico de E 21 sen 2x= é: 
a) 6 
b) 12 
c) 2
7
 
d) 5 
e) 7
5
 
 
 
 
sen2x 2.sen x.cos x= 
2
2. tg xtg2x
1 tg x
= − 
2 2
2
2
cos 2x cos x sen x
cos 2x 1 2.sen x
cos 2x 2.cos x 1
= −
= −
= −
 
x 1 cos xsen
2 2
−= ± 
x 1 cos xcos
2 2
+= ± 
1 cos xxtg
2 1 cos x
−= ± + 
p q p qsen p sen q 2.sen .cos
2 2
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
p q p qsen p sen q 2.sen .cos
2 2
− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
p q p qcos p cos q 2.cos .cos
2 2
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
p q p qcos p cos q 2.sen .sen
2 2
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
( )sen p q
tgp tgq
cosp . cos q
++ = 
( )sen p qtgp tgq
cosp . cos q
−− = 
 
 
 FAÇO IMPACTO – A CERTEZA DE VENCER!!!
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04. (PUC) A expressão 4 4 2 2cos sen cos senα − α + α − α 
é idêntica a: 
a) 2.cos 2α 
b) 2.sen 2α 
c) cos 2α 
d) sen 2α 
e) cos 2 sen 2α − α 
 
 
05. (UFRN) Um observador, situado em um ponto P de 
um prédio vê três pontos, Q, R e S, numa mesma vertical, 
em um prédio vizinho conforme esquematizado na figura 
abaixo. P e Q estão num mesmo plano horizontal, R está 
6 metros acima de Q, e S está 24 metros acima de Q. 
Verifica-se que o ângulo α do triângulo QPR é igual ao 
ângulo β do triângulo RPS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O valor, em metros, que mais se aproxima da 
distância entre P e Q é: 
a) 8,5 
b) 8,8 
c) 9,4 
d) 10,2 
 
 
06. (PUC) cos x cos y+ é igual a: 
a) x y x y2.sen .sen
2 2
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
b) x y x y2.cos .sen
2 2
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
c) x y x y2.cos .cos
2 2
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
d) x y x y2.cos .sen
2 2
− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
e) x y x y2.cos .sen
2 2
+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 
07. (CESCEM) Sendo θ um arco do 4º quadrante e 
1cos
5
θ = , o valor do cos 2θ é: 
a) 23
25
− 
b) 22
25
− 
c) 21
25
− 
d) 22
25
 
e) 23
25
 
08. (MACK) Simplificando a expressão 
y cos 80º cos40º cos 20º= + − , obtém-se: 
a) sen 20º 
b) 1 
c) 1− 
d) 0 
e) 1
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO
01 
8
9
 
02 B 
03 A 
04 A 
05 A 
06 C 
07 A 
08 D 
P Q 
R 
S 
β 
α