Aula 11 - Exercícios

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MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
Professor(a): Jorge Júnior
assunto: Transformações TrigonoméTricas adição e subTração de arcos
frente: maTemáTica i
OSG.: 122479/17
AULA 11
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Sejam P e Q as imagens no ciclo trigonométrico, respectivamente, 
dos números a e b. As coordenadas desses pontos são:
P(cos a; sen a) e Q(cos b; sen b).
Seja R a imagem no ciclo trigonométrico do número a – b, 
então:
R (cos(a – b), sen (a – b))
α
β
Q
B(0; 1)
y
x
P
O
D(0; –1)
C(– 1; 0)
A(1; 0)
Os arcos de circunferências AR� e QP� são congruentes entre 
si e determinam as cordas AR e QP congruentes entre si, ou seja:
α β
Q
–
RP
y
xO
D(0; –1)
C( – 1; 0)
A(1; 0)
Veja que: d
AR
 = d
PQ
d senAR = − −[ ] + − −[ ] = − −1 0 2 22 2cos( ) ( ) cos( )α β α β α β
d sen senPQ = −( ) + −( )cos cosα β α β2 2
d sen senPQ = − ⋅ − ⋅2 2 2cos cosα β α β
Logo:
2 2 2 2 2− − = − ⋅ − ⋅cos( ) cos cosα β α β α βsen sen
Elevando os dois membros ao quadrado, temos:
2 – 2 cos (a – b) = 2 – 2 cos a · cos b – 2 sen a · sen b
Daí, temos as seguintes transformações trigonométricas.
Cosseno da diferença de arcos
cos(a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b
Cosseno da soma de arcos
cos(a + b) = cos[a – (– b)] = cos a · cos(– b) + sen a · sen(– b).
Mas cos(– b) = cos b e sen(– b) = – sen b, então:
cos(a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b
Seno da diferença de arcos
sen( ) cos ( ) cosα β
π
α β
π
α β− = − −



= −



+





2 2
sen sen sen
sen sen
( ) cos cos
( )
α β
π
α β
π
α β
α β
− = −



⋅ − −



⋅
− =
2 2
αα β α β⋅ − ⋅cos cos sen
sen(a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a
Seno da soma de arcos
sen(a + b) = sen[a – (– b)] = sen a · cos(– b) – cos a · sen (– b) 
sen(a + b) = sen a · cos b + cos a · sen b
sen(a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a
Tangente da diferença 
e da soma de arcos
Se a e b pertencem ao domínio da função tangente, então:
tg
sen sen sen
sen
( )
( )
cos( )
cos cos
cos cos
α β
α β
α β
α β α β
α β α
− =
−
−
=
⋅ − ⋅
⋅ + ⋅⋅ sen β
Dividindo o numerador e o denominador da última fração por 
cos a · cos b, obtemos:
tg
sen sen
sen sen
( )
cos cos
cos cos
cos cos
cos
α β
α β α β
α β
α β α β− =
⋅ − ⋅
⋅
⋅ + ⋅
αα β
α
α
β
β
α
α
β
β
α β
α
⋅
=
−
+ ⋅
=
−
+
cos
cos cos
cos cos
sen sen
sen sen
tg tg
tg1 1 ⋅⋅ tg β
2F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
OSG.: 122479/17
tg
tg tg
tg tg
( )α β
α β
α β
+ =
+
− ⋅1
Analogamente:
tg
tg tg
tg tg
( )α β
α β
α β
+ =
+
− ⋅1
Exercícios
01. Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros da altura, 
no alto de uma torre perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, 
em movimento de vaivém, uma parte desse chão, do ponto C ao 
ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura a seguir:
A
β
α
30 m
20 m B C D130 m
Usando a fórmula tg(a + b) = 
tg tg
tg tg
α β
α β
+
− ⋅1
, encontramos a 
medida do ângulo CÂD igual a
A) 60º B) 45º
C) 30º D) 15º
02. A figura a seguir, sem escala, apresenta informações parciais de um 
croqui das amarrações de cabos de aço de uma estrutura metálica, 
que serve de sustentação de uma “concretagem armada” na 
construção de um viaduto em um dos cruzamentos de duas 
avenidas. Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo, sendo CD 
uma mediana e γ um ângulo obtuso.
A
C B
D AB = c = 100
CB a 25( 6 2)= = +
γ
δ
 Com base nessas informações, engenheiros do CREA-CE 
inspecionaram a obra, realizaram cálculos e determinaram 
as medidas dos ângulos d e γ, que possibilitam encontrar os 
ângulos internos do triângulo ABC para que a estrutura apresente 
segurança. Ao encontrar os ângulos internos constataram que os 
mesmos são
A) ACBˆ = °90 , CBAˆ = °15 e BACˆ .= °75
B) ACBˆ = °90 , CBAˆ = °10 e BACˆ .= °80
C) ACBˆ = °90 , CBAˆ = °20 e BACˆ .= °70
D) ACBˆ = °90 , CBAˆ = °30 e BACˆ .= °60
E) ACBˆ = °90 , CBAˆ = °40 e BACˆ .= °50
03. Na figura a seguir, se cos a = 
4
5
, cos b = 
12
13
 e AD =13 cm, então 
pode-se afirmar que a medida BD, em cm, é igual a
α
β
A
y
xB
C
D
A) 11,2
B) 10,6
C) 12,5
D) 12
E) 11,8
04. (UFSM/2012) O pioneiro do
C
B
A
x
y
 
abstracionismo nas artes 
plásticas, Wassily Kandinsky, 
nasceu em Moscou, em 1866. 
Optou in ic ia lmente pela 
música, o que refletiu em seu 
t r a b a l h o c o m o p i n t o r, 
c o n f e r i n d o - l h e n o ç õ e s 
essenciais de harmonia. 
 A figura ao lado, adaptada 
de um quadro de Kandinsky, 
apresenta um triângulo ABC 
retângulo em A. 
Sabendo-se que a diferença 
entre os ângulos x e y é 60°, 
o valor de sen x + sen y é
A) 
1
2
 B) 
3
2
C) 
6
2
 D) 3
3
E) 
6
3
05. Em uma aferição topográfica, o teodolito utilizado deu pane. 
Considerando-se que o Engenheiro de Estradas tinha conhecimento 
de que o valor do sen(5°) = 
2
25
, utilizando este valor e lembrando 
dos ângulos notáveis trigonométricos, ele encontrou corretamente 
o valor do cos(50°) igual a
A) 
2
50
621 2( )+ B) 
2
50
621 2( )−
C) 
2
50
1 621( )− D) 
2
50
621 1( )−
E) 2/25
3 F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
06. (FGV/2007) No teodolito indicado, cada volta completa da 
manivela aumenta em 0,5 o ângulo de observação em relação à 
horizontal.
P
A
R
E
D
E
Topo
h
Solo
 3 1 2 m −
30º
 Se a partir da situação descrita na figura são necessárias mais 45 
voltas completas da manivela para que o teodolito aponte para 
o topo da parede, a medida de h, em metros, é igual a
A) 0 75 3 1 2, ( ) + − 
B) 2 3 1( ) − 
C) 4 2 1( ) − 
D) 2 6 3( ) − 
E) 3 2 1( ) + ( ) −
07. (UFR-RJ/2000) Os símbolos a seguir foram encontrados em uma 
caverna em Machu Picchu, no Peru, e cientistas julgam que 
extraterrestres os desenharam.
cos a
cos a
cos b
sen b
sen b
cos a
cos a
sen b
sen b
sen a
cos b
sen a
 Tais cientistas descobriram algumas relações trigonométricas 
entre os lados das figuras, como é mostrado anteriormente. 
Se a + b = 
π
6
, pode-se afirmar que a soma das áreas das 
figuras é igual a
A) π
B) 3
C) 2
D) 1
E) 
π
2
08. Procurando atender às normas da ABNT (Associação Brasileira 
de Normas Técnicas), no intuito de melhorar as condições de 
acessibilidade a uma clínica médica, foi construída uma rampa 
conforme indicado na figura. 
15º
c
16 m
 O comprimento horizontal c da rampa, em metros, pode ser 
expresso por
A) 4 2 3−( ) B) 8 2 3−
C) 8 3 D) 4 2 3+( )
E) 8 2 3+
09. Sejam a e b arcos não pertencentes ao primeiro quadrante e tais 
que tg a = 
3
4
, sec b = 
13
5
. Calcule o valor de 65 · sen(a + b).
A) 60 B) 61
C) 62 D) 63
E) 64
10. O quadrilátero ABCD da figura a seguir é um retângulo.
θ
βα
A
D
FE
B
C 2 cm 2 cm
2 cm
2 cm
O valor de tg q é igual a
A) 
1
3
 B) 
1
4
C) 
1
5
 D) 
1
6
E) 
1
7
11. Vamos supor que o planeta Terra seja uma esfera de centro C e 
raio R. Na figura, estão representados o planeta Terra e uma nave 
espacial N. A fração visível da superfície da Terra por um astronauta 
na nave N é dada em função do ângulo q, mostrado na figura, 
pela função:
f
sen
θ
θ( ) = −1
2
R
A
B
NC
d

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 Se um astronauta em uma nave, a uma distância d da 
Terra, avista a superfície da Terra com ângulo q = 15°, 
determine a fração visível da superfície da Terra pelo astronauta. 
(Use as aproximações 2 = 1,4 e 6 = 2,4.)
A) 
1
2
 B) 
1
4
C) 
1
8
 D) 
3
4
E) 
3
8
12. Sabendo-se que tg x · tg x tg x
π π
3 3
−




 ⋅ +





 = tg 3x, pode-se 
afirmar que tg 20º · tg 40º · tg 80º é igual a
A) 
3
2
 B) 
1
2
C) 3
3
 D) 3
E) − 3
13. Para combater um incêndio, os bombeiros utilizaram duas escadas 
AD e BE, que formavam entre si um ângulo de 45º, conforme mostra 
a figura a seguir.
α β
45º
A B
E
C
D
Considere tg a = 
7
17
 e as distâncias AC = 17 m e BC = 5 m. 
Aaltura CE do prédio é igual a
A) 10 m B) 11 m
C) 12 m D) 13 m
E) 14 m
14. (UFRN/2000) Um observador, situado no ponto P de um prédio, 
vê três pontos, Q, R e S, em uma mesma vertical, em um prédio 
vizinho, conforme esquematizado na figura a seguir. P e Q estão 
em um mesmo plano horizontal, R está 6 metros acima de Q, 
e S está 24 metros acima de Q. Verifica-se que o ângulo a do 
triângulo QPR é igual ao ângulo b do triângulo RPS.
S
R
P
β
α
Q
 O valor, em metros, que mais se aproxima da distância entre 
P e Q é
 (Use: 2 1 41= , )
A) 8,5
B) 8,8
C) 9,4
D) 10,2
15. O valor máximo da função f(x) = 3cos x + 2sen x, para x real é
A) 5
B) 4
C) 13
D) 3
E) 3
Anotações
5 F B O N L I N E . C O M . B R
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Resoluções
01. Temos:
A
30
B 20 C 130 D
β
α
tg
tg
β
α β
= =
+( ) = =
20
30
2
3
150
30
5
 Usando a fórmula tg
tg tg
tg tg
α β
α β
α β
+( ) = +
− ⋅1
, concluímos: 5
2
3
1
2
3
1 45=
+
− ⋅
→ = → =
tg
tg
tg
α
α
α α º
Resposta: B
02. 
A
D
C B
50
50
50 γ
α
ββ
25 · 26
 Como a mediana relativa à hipotenusa é a metade da hipotenusa, temos:
I. CD
AB
= = =
2
100
2
50
II. Lei dos Cossenos no ∆CDB:
 (25( 6 + 2))2 = 502 + 502 – 2 ⋅ 50 ⋅ 50 ⋅ cos γ
 252 ( 6 + 2)2 = 502 (2 – 2 cos γ)
 
25
50
2




 · (6 + 2 12 + 2)2 = 2 – 2cos γ
 
1
4
 · (8 + 4 3) = 2(1 – cos γ)
 
2 3
2
+
 = 1 – cos γ
 cos γ = 1 – 
2 3
2
+
 cos γ = −
3
2
 ⇒ γ = 150º
III. 2b + γ = 180º ⇒ b = 15º
IV. a + b + 90º = 180º ⇒ a = 75º
Resposta: A
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Módulo de estudo
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03. 
A
D
C
B
d
β
α
13
cos
cos
α α α
β β β
α β
= → = ( )
= → = ( )
+( ) =
4
5
3
5
12
13
5
13
sen agudo
sen agudo
sen ssen senα β β αcos cos+ = ⋅ + ⋅ =
3
5
12
13
5
13
4
5
56
65
Logo:
d
d
13
56
65
56
5
11 2= → = = ,
Resposta: A
04. De acordo com os dados do problema, temos o sistema:
x y = 60
x + y = 90
−



 Resolvendo o sistema, temos x = 75° e y = 15°. Assim, temos:
I. sen 75 = sen(45 + 30 )
II. sen 15 = sen(45 3
° ° °
= ⋅ + ⋅ =
+
° ° −
2
2
3
2
1
2
2
2
6 2
4
00 )°
= ⋅ − ⋅ =
−
° + ° = =
2
2
3
2
1
2
2
2
6 2
4
75 15
2 6
4
6
2
Da sen sení,
Resposta: C
05. 
 cos cos2
2
5 1
2
25
5
621
25
° = − 



⇒ ° =
cos cos cos cos50 45 5 45 5 45 5
2
2
621
25
2
2
2
° = ° + °( ) = ° ⋅ ° − ° ⋅ ° = ⋅ − ⋅sen sen
225
2
50
621 2= ⋅ −( )
Resposta: B
06. Temos que:
30º
h
d
α+ −3 1 2+ –
7 F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
I. a = 45 · 0,5º = 22,5º
II. tg
tg tg
tg
tg
tg tg( , , )
tg tg
22 5 22 5
1
1
2
1
2 1
2
2° + ° =
+
− ⋅
→ =
−
→ = − →
α α
α α
α
α
α α ttg tg tg tg2 2 1 0
2 8
2
1 2α α α α+ − = → =
− ±
→ = − +
III. tg
d d
d30
3 1 2 3
3
3 1 2 3 1 2 3
3
3 1 2 3° =
+ −
⇒ =
+ −
⇒ =
+ − ⋅
= + −
( )
( )
IV. tg
tg tg
h
d
( )
tg tg ( )
(
30
30
1 30
3 1 2
3
3 1 2
1
3
3
1
° + =
° +
− ° ⋅
→
+ + −
=
+ − +
− ⋅ − +
α
α
α
22
3 1 2
3 3 3 2
3
3 3 6
3
3 1 2
3 1 2 3) ( )
→
+ + −
=
− +
+ −
→
+ + −
+ −
h
d
h
 =
− +
+ −
→ + + − = − + → = − → = −
3 3 3 2
3 3 6
3 1 2 3 3 3 2 4 2 4 4 2 1h h h ( )
 Resposta: C
07. Sendo S a soma das áreas das figuras, temos:
S sen a b sen a b
a sen b
=
⋅
+
⋅
+ ⋅ + ⋅ +
⋅
+
cos a sen b cos a sen b
cos cos
cos cos
2 2 2
aa sen b
S sen a b
S sen a b sen b
⋅
= ⋅
⋅



+ ⋅
= ⋅ ⋅ +
2
4
2
2
2
cos a sen b
cos
[ cos ⋅⋅
= ⋅ +
= ⋅ = ⋅ =
cos a]
(a b)
S
S sen
sen
2
2
6
2
1
2
1
π
 Resposta: D
08. Calculando o cos 15° por meio da fórmula do arco duplo, temos:
cos cos30 15 152 2° = ° − °sen ⇒ 
3
2
15 1 152 2= ° − − °cos ( cos )
⇒ 
3
2
15 1 152 2= ° − + °cos cos ⇒ 
3
2
1 2 152+ = °cos
cos2 15
3 2
4
° =
+
 ⇒ cos 15
2 3
2
° =
+
No triângulo da figura, temos:
cos cos15
16
16 15 16
2 3
2
8 2 3° = ⇒ = ⋅ ° ⇒ = ⋅
+
⇒ = ⋅ +( )c c c c m
Resposta: E
09. 
• a e b pertencem ao 1º quadrante → Razões trigonométricas positivas
• tg a = 
3
4
 → sen a = 
3
4
 e cos a = 
4
5
• sec b = 
13
5
 → cos b = 5
13
 e sen b = 
12
13
 Assim:
 sen(a + b) = sen a cos b + sen b cos a
 sen(a + b) = 3
5
5
13
12
13
4
5
63
65
⋅ + ⋅ =
 Logo: 65sen(a + b) = 63
 Resposta: D
8F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
OSG.: 122479/17
10. 
B A
θ
α β
C D
2
2 2 2E F
• b = a + q (Teorema de ângulo externo)
 Sabemos que:
tg
tg tg
tg t g
tgα θ
α θ
α θ
β+( ) = +
− ⋅
=
1
 Assim: 
2
6
1
2
6
2
4
1
7
+
− ⋅
= → =
tg
tg
tg
θ
θ
θ
 Resposta: E
11. Para q = 15°, segue que f(15°) = 
1 15
2
− °sen
.
Mas:
sen sen( )
sen cos sen cos
15 45 30
45 30 30 45
2
2
3
2
1
2
2
2
° = ° − °
= ° ° − ° °
= ⋅ − ⋅
=
66 2
4
2 4 1 4
4
1
4
−
=
−
=
, ,
.
Portanto:
f( )15
1
1
4
2
3
8
° =
−
=
Resposta: E
12. Temos: 
tg x tg x tg x tg x⋅ −



⋅ +



=
π π
3 3
3
 Fazendo x = 20º, encontramos:
tg 20º · tg(60º – 20º) · tg(60º + 20º) = tg 60º
tg 20º · tg 40º · tg 80º = 3
 Resposta: D
9 F B O N L I N E . C O M . B R
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OSG.: 122479/17
Módulo de estudo
13. Temos:
E
D
d
C
A
B 5
17
F
45º
α β
 • b = a + 45º (teorema do ângulo externo)
 • tg b = tg(a + 45º) = tg tg
tg tg
α
α
+
− ⋅
=
+
− ⋅
=
45
1 45
7
17
1
1
7
17
1
12
5
º
º
 • tg b = 
d
5
 = 
12
5
 (∆BCE) → d = 12
 Resposta: C
14. Temos:
S
Q
6
R
d
α
β
P
24
I. a = b ⇒ tg(2a) = 24
d
II. tg a = 6
d
III. tg(a + a) = tg tg
tg tg d
d d
d
d
d
d d
α α
α α
+
− ⋅
⇒ =
+
−
⇒ ⋅ −



= ⋅ +
1
24
6 6
1
36
24 1
36 6 6
2
2 


⇒
−



= + ⇒ − = ⇒ = ⋅ ⇒24
36
6 6 24 36 12 12 24 36
2
2
2 2 2d
d
d(d ) d
⇒ = ⇒ = ⇒ ≅ = ≅d d d m m2 2 36 6 2 6 2 41 8 46 8 5· · , , ,
 Resposta: A
15. Considere o triângulo retângulo de catetos 3 e 2 seguinte:
3
2
a = 13
 • a a2 2 22 3 13= + → =
Nesse caso, temos que:
f x x senx
f x x senx
( ) cos
( ) cos
= +
= ⋅ +



3 2
13
3
13
2
13
Tomemos:
sen eα α α
π
= = ∈



3
13
2
13
0
2
cos , ,
 Então:
f x sen x sen x
f x sen x
( ) cos cos
( )
= ⋅ +( )
= ⋅ +( )
13
13
α α
α
 Logo:
f
f
m x
m n
á
í
.
.
=
= −
13
13
 Resposta: C SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: JORGE JÚNIOR
DIG.: GEORGENES – 11/12/17 – REV.: ALLANA