Matemática Básica (32)

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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)
Definição: é toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo é igual ao produto do termo anterior com uma constante q. O número q é chamado razão da progressão geométrica.
A PG também é um tipo de sequência bastante presente no nosso cotidiano. 
Observe a situação:
“Em 2017, uma empresa produziu 200.000 peças de um produto. A empresa fez uma previsão que a cada ano, sua produção deve aumentar em 10% em relação ao ano anterior. Quantas peças serão produzidas a cada ano até 2022?”.
(200.000, 220.000, 242.000, 266.200, 292.820, 322.102)
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REPRESENTAÇÃO
P.G. (a1, a2, a3, ..., an)
 a1 é o 1º termo da PG;
 n é o nº de termos da PG;
 an é o último termo da PG ou o termo procurado ou o enésimo termo;
 q é a razão da PG.
O CÁLCULO DA RAZÃO
Podemos usar duas fórmulas para encontrarmos a razão de uma PG.
 Vejamos: ... 
 
CLASSIFICAÇÃO
PG FINITA: nº finito de termos
Exemplo: 
(3, 6, 12, 24)		
a1 = 3
a4 = an = 24
n = 4
q = 2
PG INFINITA: nº infinito de termos
Exemplo:
(2, 8, 32, 128, 512, ...)
a1 = 2
q = 4
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PG CRESCENTE: o termo posterior é maior que o anterior. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a1  0 e q  1, ou a1  0 e 0  q  1.
Exemplos: 
(2, 4, 8, ...) → q = 2
(-4, -2, -1, -1/2, ...) → q = 1/2
PG DECRESCENTE: o termo posterior é menor que o anterior. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a1  0 e 0  q  1, ou a1  0 e q  1. 
Exemplos:
(8, 4, 2, 1, 1/2, ...) → q = 1/2
(-1, -2, -4, -8, ...) → q = 2
PG CONSTANTE: todos os termos da PG são iguais, ou seja q = 1.
Exemplo: 
(5, 5, 5, 5, ...) → q = 1
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PG OSCILANTE: todos os seus termos são diferentes de zero e dois termos consecutivos quaisquer têm sinais oposto. Para que isso aconteça, é necessário e suficiente que a1  0 e q  0.
Exemplo:
(3, -6, 12, -24, 48, -96, ...) → q = -2
PG QUASE NULA: o primeiro termo é diferente de zero e todos os demais são iguais a zero, isto é, a1  0 e q = 0.
Exemplo:
(9, 0, 0, 0, 0, ...) → q = 0
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FÓRMULA DO TERMO GERAL DA PG
Voltando à situação da empresa, onde temos a PG: 
(200.000, 220.000, 242.000, 266.200, 292.820, 322.102) 
Podemos calcular a quantidade de peças produzidas ano a ano multiplicando a produção inicial por potências 1,1 (110%).
Assim, se quiséssemos saber a produção no ano de 2020:
a1 = 200.000 q = 1,1 
Logo, a produção do ano de 2010 seria:
a2010 = a1 . q3 → an = a1 . qn-1
a2010 = 200.000 * (1,1)3 
a2010 = 200.000 * 1,331 
a2010 = 266.200
Observem que 266.200, corresponde ao 4º termo da PG.
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Os termos da PG são:
a1 = a1 . q0
a2 = a1 . q1
a3 = a1 . q2
a4 = a1 . q3
a5 = a1 . q4
a6 = a1 . q5
.
. 
. 
an = a1 . q(n - 1)
Portanto, qualquer termo an é igual ao produto de a1 pela potência q(n – 1), ou seja, a fórmula do termo geral da PG é expressa por:
an = a1 . q(n - 1)
onde,
 an é o último termo da PG ou o
 termo desejado ou o enésimo termo;
 a1 é o primeiro termo da PG;
 n é o número de termos da PG;
 q é a razão da PG.
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A fórmula do termo geral da PG nos permite calcular a lei de formação de uma PG, a razão q, o número de termos n, o primeiro termo a1 e o último termo ou o termo desejado an.
Exemplos:
 Dê a fórmula do termo geral ou lei de formação da PG (2, 4, ...)
 an = a1 . q(n – 1)  an = 2 . 2(n – 1)  an = 2(n)
2. Qual o quarto termo da P.G. (2, 8, ...)?
 a4 = 2 . 4(4 – 1)  a4 = 2 . 43  a4 = 128
3. Quantos elementos tem a P.G. ( 3, 6, ..., 192)?
 192 = 3 . 2(n – 1)  192  3 = 2(n – 1)  64 = 2(n – 1)  n = 8
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REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA PG
 Três termos:
 
 Cinco termos:
 
Para P.G. com número par de termos, ou seja, sem termo central, usamos uma notação diferente em que o q da razão é em função de outro número qualquer, ou seja, q = y2.
 Dois termos:
 Quatro termos:
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PROPRIEDADES DA PG
P1 – Média Geométrica
Uma sequência de três termos em que o primeiro é diferente de zero, é PG se, e somente se, o quadrado do termo médio (am) é igual ao produto dos outros dois, isto é, sendo a  0, temos:
 (a, b, c) é PG  b2 = a .c
Demonstração:
Vamos analisar duas hipóteses: b  0 ou b = 0
1ª hipótese: b  0
Como a  0 e b  0, temos:
	
	
Logo: (a, b, c,) é PG  b2 = ac 
2ª hipótese: b = 0
Como a  0 e b = 0, temos:
Logo: (a, b, c,) é PG  b2 = ac 
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P2 – Produto dos termos equidistantes
Numa PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos.
Seja a PG (a1, a2, a3, ..., an – 2, an – 1, an), temos:
a1 . an = a2 . an – 1 = a3 . an – 2 ...
Exemplo:
(2, 4, 8, 16, ..., 32, 64, 128, 256)
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INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA
Interpolar, inserir ou intercalar meios geométricos entre dois números dados (extremos) é obter uma P.G. na qual os números dados sejam o primeiro e o último termo. Para isso devemos calcular a razão dessa PG
Exemplo:
 Interpolar 4 meios geométricos entre 1 e 243.
Observemos que a1 = 01, an = 243 e n = 06 (04 meios + 02 extremos).
Então, falta calcular a razão da PG para que possamos inserir os meios. 
Logo,
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SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG
A soma dos n termos de uma PG (an) de razão q  1 é dada pelas fórmulas:
Onde,
Sn = soma dos n termos da PG;
a1 = 1º termo da PG;
n = número de termos da PG;
q = razão da PG;
an = enésimo termo da PG.
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Exemplo:
 Dada a PG (3, 6, ...), determine a soma de seus 4 primeiros termos.
Solução:
 a1 = 3
 n = 4
 q = a2  a1  q = 2
 PG até o 4º termo (3, 6, 12, 24)
 an = a4 = 24
Agora é só aplicar a fórmula da soma.
 
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SOMA DOS INFINITOS TERMOS DA P.G.
Nas progressões geométricas em que -1 < q < 1, a soma dos n primeiros termos tem um limite finito quando n   . Neste caso, qn aproxima-se de zero para n suficientemente grande, ou seja, 
Sabemos que
 Logo, 
 
Isto é:
*
 
Exemplo:
Calcule o limite da soma dos termos da PG 
Neste caso, 
Então:
Logo, 
Quanto maior for n, a soma ficará mais próxima de 1.
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PRODUTO DOS TERMOS DA P.G.
O produto Pn dos n termos de uma PG pode ser obtido por duas maneiras:
Primeira maneira:
Exemplo:
 Determine o produto dos 04 primeiros termos da P.G. (3, 6, ...).
 Pela primeira maneira
Segunda Maneira:
Pela segunda maneira
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INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE UMA PG
0
1
2
3
4
n
an
a0
a1
a2
a3
a4
an = a0 . qn
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COMO DIFERENCIAR PA DE PG
Não existe outra maneira senão calculando a razão da sequência apresentada.
Exemplo:
Dada a sequência (1, 2, 4, 8, 16, 32,...), verifique se é PA ou PG.
Resolução: de cara vemos que não se trata de PA, pois:
2 – 1 = 1; 
4 – 2 = 2;
8 – 4 = 4.
Verifiquemos se é PG
2  1 = 2;
4  2 = 2; 
8  4 = 2.
Portanto, temos que a sequência dada é uma PG.
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COMPARAÇÃO DOS GRÁFICOS DE PA E PG
 
 “A produção de alimentos cresce em progressão aritmética enquanto a população cresce em progressão geométrica”.
Conclusão: Fome Mundial
Thomas Malthus
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11. Três números estão em PG; o produto deles é 729 e a soma
 39. Quais são esses números? Escreva as PG?
 Numa PG (2, 1, ...), qual é o seu enésimo termo?
LISTA DE EXERCÍCIOS
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 Numa PG crescente, o primeiro termo é 3 e o quinto termo é 30.000. Qual a razão da PG?
 Qual o oitavo termo de uma PG na qual ?
 Quantos meios geométricos existe entre 1/16 e 64 com razão 4?
 Determine x de modo que (5, 2x + 4, 6x + 2) seja uma PG.
 Obtenha o 11º termo da PG (1/27, 1/9, 1/3, ...) e a soma dos 11 primeiros termos. 
 Na PG (a1, a2, a3,...) de razão q = 2, sabe-se que a soma dos 08 primeiros termos é 765. Determine o valor de a1.
 Qual a soma dos infinitos termos da PG (5, 5/2, 5/4, ...)?
 No primeiro semestre de 2007, a produção mensal de uma indústria cresceu em PG. Em janeiro, a produção foi de 1.500 unidades e em junho foi de 48.000 unidades. Qual foi a produção dessa indústria nos meses de fevereiro, março, abril e maio?
 Dê o produto dos n termos da PG (1, -3, 9, -27).
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 Calcule a soma dos 30 primeiros múltiplos positivos de 3.
 Calcule x e y, para que a sucessão (2, x, 2x + 6, y) seja uma PG crescente.
 Sabe-se que (x, 3x – 1, 8x – 4) é uma P.G.. Calcule x e a razão.
 A sucessão (1, a, b) é uma PA, e a sucessão (1, a, b + 1) é uma PG. Calcule a e b.
 São dados três números inteiros em PG cuja soma é 26. Determine esses números sabendo que o primeiro, o dobro do segundo e o triplo do terceiro formam uma PA.
 Na PG (2, 4, 8, ...), qual é a posição do termo 1024?
 Complete a PG (9/4, ___, ___, ___, ___, 8/27).
 Determine a soma de todos os naturais múltiplos de 4 que possuem 02 algarismos.
 Verifique se a sucessão é uma progressão, classifique-a e dê a razão.
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ENEM
O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8 000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no ano t de funcionamento da indústria.
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função de t, para t ≥ 1?
P(t) = 0,5 · t-1 + 8 000
P(t) = 50 · t-1 + 8 000
P(t) = 4 000 · t-1 + 8 000
P(t) = 8 000 · (0,5)t - 1
P(t) = 8 000 · (1,5)t - 1
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ENEM
Por meio da Internet, é possível buscar amigos nas diversas partes do planeta, o que pode significar uma constante adição de novos contatos nas redes sociais dos usuários mais ativos. 
Considere que determinado usuário adicione à sua rede social, no mês j = 1, 2, 3, ..., um número Aj de novos amigos. Considere, ainda, que a sequência {A1, A2, A3, ...} esteja em progressão geométrica, que A7 = 192, A10 = 1.536 e que nenhum amigo tenha sido excluído pelo usuário durante um período de 36 meses.
Com base nessas informações e sabendo que 212 = 4.096, é correto afirmar que, em um período de 12 meses, o número de amigos adicionados pelo usuário à sua rede social foi 
 a) superior a 13,0 mil e inferior a 13,5 mil.
 b) superior a 13,5 mil.
 c) inferior a 12,5 mil.
 d) superior a 12,5 mil e inferior a 13,0 mil.
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ENEM
Assuma que a função exponencial de variável real T = f(t) = r.ek.t, em que r e k são constantes reais não nulas, representa a variação da temperatura T ao longo do tempo t (em horas) com 0 ≤ t ≤ 4.
 
Sabendo que os valores f(1), f(2), f(3) e f(4) formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão 1/4 e soma igual a 255/128, então o valor de r é um número múltiplo de 
 a) 9. b) 5. c) 3. d) 7.
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ENEM
Há um ano foi iniciada uma criação de coelhos. Durante este período o número de coelhos dobrou a cada 4 meses. O criador decidiu vender parte dos coelhos e ficar exatamente com a quantidade inicial da criação. Para que isso ocorra, a porcentagem da população atual dessa criação a ser vendida é
 a) 70%
 b) 75%
 c) 80%
 d) 83,33%
 e) 87,5%
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ENEM
Há um ano foi iniciada uma criação de coelhos. Durante este período o número de coelhos dobrou a cada 4 meses. O criador decidiu vender parte dos coelhos e ficar exatamente com a quantidade inicial da criação. Para que isso ocorra, a porcentagem da população atual dessa criação a ser vendida é
 a) 70%
 b) 75%
 c) 80%
 d) 83,33%
 e) 87,5%
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Economista britanico.