Exercícios de Limite Resolvidos - Escola Naval

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Limite – Escola Naval 
 
1. (EN) 
1x
xlim
21x −+−→ é igual a: 
(A) 0 
 (B) 1 
(C) –1 
(D) ∞ 
(E) –∞. 
 
Solução: 
( )
∞+=−
>−⇒δ<+<>=δ∃>∀
−
−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−
−=
+
+
+
+
+
−→
−→
−→
−
−→
+
−→
1x
xlimquedizeraequivalehalimúltimaA
.M
1x
x1x0quetal0
M
1,0M
,pois,quisermosquantograndetãoserpode
1x
xlimquepareRe
.existenão
1x
xlimolog,zeropordivisãotipodo,açãominerdetIn
.
01xlim
1xlim
21x
2
21x
21x
2
1x
1x
 
Letra (D). 
Obs.: 
Na prática podemos ver o resultado acima da seguinte maneira. 
 Observe que o numerador tende para um número diferente de zero enquanto que o denominador tende para zero, neste 
caso o limite acima não existe e é representado por infinito. 
 Devemos descobrir se é o caso de representá-lo por ∞−∞+ ou , para isto basta analisar o sinal da fração para valores 
de x na vizinhança indicada, ou seja, 
.
1x
xlim0
1x
x
01x
0x
1x1
21x22
∞+=−⇒>−⇒⎪⎩
⎪⎨⎧ <−
<⇒δ+−<<− +−→ 
2. (EN) O valor de 
3x2x
2xx
25
24
lim
1x −+
−+
→ é: 
(A) 2/3 
 (B) 4/5 
 (C) 1 
(D) 3/2 
 (E) 2. 
 
Solução: 
Temos que ( )( )
3
2
x4x5
x2x4
3x2x
2xx
hôpital'LUsando.zeroporzerodedivisãotipodo,açãominerdetIn
.
03x2xlim
02xxlim
4
3
lim
1x25
24
lim
1x
25
1x
24
1x
=+
+=−+
−+
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+
=−+
→→
→
→
 
 
Letra (A). 
 
 
 
 
 
 
3. (EN) 1xx4x|lim 22
x
+−+∞+→ | = 
(A) 0 
(B) 2 
 (C) 3 
(D) 4 
 (E) ∞. 
 
Solução: 
.2
2
4
x
11
x
41
x
14
lim1xx4xlim
obtemos,xporadormindenooenumeradoroDividindo
1xx4x
1x4
lim
1xx4x
1xx4x
1xx4xlim1xx4xlim
2
x
22
x
22x22
22
22
x
22
x
==
+++
−
=+−+
+++
−=
+++
+++
+−+=+−+
+∞→+∞→
+∞→+∞→∞+→
 
Letra (B). 
 
Obs.: 
Poderíamos ter usado o fato de que um polinômio equivale ao termo de maior grau quando a variável tende a infinito. No nosso caso 
não podemos utilizar a equivalência de imediato, pois, a expressão inicial é uma diferença e a teoria de equivalências falha neste caso. 
Então fazendo o mesmo desenvolvimento que na 1° solução chegamos a segunda igualdade abaixo e neste caso podemos utilizar a 
equivalência descrita na linha acima, ou seja, 
 
2
x2
x4
lim
xx
x4
lim
1xx4x
1x4
lim1xx4xlim
xx22x
22
x
==+=+++
−=+−+ ∞→∞→+∞→+∞→ . 
4. (EN) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++∞→ 323x xxxlim é igual a: 
(A) 0 
 (B) 
3
1 
 (C) 
2
1 
 (D) 
3
2 
 (E) +∞ . 
 
Letra (E). 
5. (EN) O ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−−−→ )x1(3
1
)x1(2
1lim
31x
 é igual a: 
 
(A) 0. (B) 
16
1
. (C)
12
1
. (D)
2
1
. (E) 1. 
 
Letra (C). 
 
Dica: Faça uma mudança de variável para eliminar os radicais, simplifique a expressão e então faça o limite. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. (EN) O valor de 
2
2
0x
xsen
xsen
lim → é 
(A) –1 
(B) 0 
(C) 1 
(D) 2 
(E) +∞ . 
 
Solução: 
Basta utilizar o limite fundamental 1
x
senx
lim 0x =→ . 
.111
xsen
xlim
x
xsen
lim
xsen
xsen
lim
temos1valemeexistemiteslimosambosqueJá
.
xsen
x
x
xsen
lim
xsen
xsen
lim
2
2
0x
2
0x2
2
0x
2
22
0x2
2
0x
=⋅=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
→→→
→→
 
 
Letra (C) 
Obs.: 
Podemos utilizar também a teoria das equivalências, neste caso, temos 
 
( ) .1
x
xlim
xsen
xsen
lim
olog,xxsen0x
2
2
0x2
2
0x ==
≈⇒→
→→
 
 
7. (EN) 
20x x
x2cos1
lim
−
→ vale: 
(A) 4 
 (B) 2 
(C) 1 
(D) 
2
1
 
(E) 
4
1
. 
 
Solução: 
Lembre que xsen21x2cos 2−= , logo 
212
x
x2cos1
lim
obtemos,1
x
xsen
limlfundamentaitelimoLembrando
.
x
xsen
lim2
x
xsen2
lim
x
x2cos1
lim
20x
0x
2
2
0x2
2
0x20x
=⋅=−
=
==−
→
→
→→→
 
 
Letra (B) 
 
 
 
 
 
 
8. (EN) O valor de ])1)(xn(.x)n[(lim
1x
−+→ ll é: 
(A) +∞ . 
(B) e . 
(C) 1. 
(D) 0. 
 (E) –1. 
 
Solução: ( )
.0ulim]
u
1
u
1
[lim]
u
1
)u(n
[lim
hôpital'LUsando.initoinfporinitoinfdedivisãotipodo,açãominerdetIn
.
u
1lim
ulnlim
,]
u
1
)u(n
[lim])u(n.u[lim])1)(xn(.x)n[(lim
obtemosu1xfazendo,])1)(xn(.)1x([lim])1)(xn(.x)n[(lim
então.,xx1ln0xquetemos,iasequivalêncdeteoriaDa
0u
2
0u0u
0u
0u
0u0u1x
1x1x
=−=
−
=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∞+=
∞−=
==−
=−−−=−
≈+⇒→
+++
+
+
+++
++
→→→
→
→
→→→
→→
l
llll
lll
 
Letra (D) 
9. (EN) O valor de 
x
x 1x
1xlim ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−
∞+→ é 
(A) e 
 (B) 1 
(C) e 
(D) ∞ 
 (E) e-2. 
 
Solução: 
( )
.e
1x
1xlimEntão
.xx1ln0x
iaequivalênceintseguausamosAcima
.2
1x
x2lim
1x
2xlim
1x
21lnxlim
1x
1xlnxlim
calcularbastaEntão
.contínuaéonencialexpfunçãoaquejá,eelim
1x
1xlim
Logo
.xquejádefinidabemestáque,e
1x
1xidentidadeeintseguaUsaremos
2
x
x
xxxx
lim1x
1xlnx
x
x
x
1x
1xlnxx
1x
1x
lnx
x
−+∞→
+∞→+∞→+∞→+∞→
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−
+∞→+∞→
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−
≈+⇒→
−=+−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+−+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−
∞+→=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
−
+∞→
 
 
Letra (E) 
 
 
 
 
 
 
10. (EN) 2x
1
0x )xsec(lim → é igual a 
(A) e 
 (B) e 
 (C) 2 
(D) e2 
(E) 1/2. 
 
Letra (B) 
 
Dica: Use a identidade da 9° Questão. 
 
11. (EN) Qual o valor do ( ) xln10x xctglim )→ 
(A) e 
(B) 1/e 
 (C) 0 
(D) –1. 
 
Solução: 
( )
( ) .exctglimLogo
.1
x2sen
x2lim
x
1
x2sen
2
lim
xln
tgxln
lim
xln
ctgxln
lim
hôpital'LUsando.initoinfporinitoinfdedivisãotipodo,açãominerdetIn
.
xlnlim
tgxlnlim
quetemos,
xln
tgxln
lim
xln
ctgxln
lim
calcularbastaEntão
.eelimxctglim
1xln1
0x
0x0x0x0x
0x
0x
0x0x
xln
xctglnlim
xln
xctgln
0x
xln1
0x
)
)0x
))
−
→
→→→→
→
→
→→
→→
=
−=−=−=−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∞−=
∞−=
−=
==
++++
+
+
++
→
 
Letra (B) 
 
Obs.: 
 
Poderíamos ter usado a seguinte equivalência 
( ) .exctglimEntão
.1
xln
xln
lim
xln
x
1ln
lim
xln
ctgxln
lim
Logo
x
1xctg0xxxtg0x
1xln1
0x
0x0x0x
)
−
→
→→→
=
−=−==
≈⇒→⇔≈⇒→
+++
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. (EN) Se ( ) pxctglim xln10x ) =→ , então 
(A) 0 ≤ p ≤ 
3
1
 
 (B) 
3
1
 < p ≤ 
2
1
 
(C) 
2
1
 < p ≤ 1 
 (D) 1 < p ≤ 2 
(E) 2 < p ≤ 3. 
 
 
Letra (B) 
 
 
13. (EN) O valor de a que torna a função: ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠=
0xse,a2
0xse,)x(cos)x(f
2x/1
 contínua em x = 0 é: 
(A) 2 
(B) 2 e 2 
 (C) 
2
e
 
(D) 
e2
1
 
 (E) 2e2. 
 
Solução: 
 
( ) ( ) ( )
( )
e2
1ae
2
1a
2
1
x2
xtg
lim
x
xcosln
lim
hôpital'LUsando.zeroporzerodedivisãotipodo,açãominerdetIn
.
0xlim
0xcoslnlim
x
xcosln
limcalcularecisamosPr
.eelimxcoslim
calcularbastaEntão
.xcoslim2
1aa2xcoslim)0(fxcoslim
:terdevemosEntão
)0(f)x(flim0xemcontínuaéf
2
1
0x20x
2
0x
0x
20x
limx
xcosln
0x
x1
0x
x1
0x
x1
0x
x1
0x
0x
2x
xcosln
0x2
2
222
=⇒=⇒−=−=
⎪⎩
⎪⎨⎧ =
=
==
=⇔=⇔=
=⇔=
−
→→
→
→
→
→→
→→→
→
→ 
 
Letra (D) 
 
 
 
14. (EN) O valor de “a” para que a função 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−
−
=
3xsea
3xse
3x
3x
)x(f seja contínua m x = 3 é 
(A) 3 
(B)
3
3
 
 (C)
3
1
 
(D)
6
3
 
(E) 
6
1
. 
 
Solução: 
 
.
6
3
32
1a
33
1
3x
1lim
3x
3xlima)3(f)x(flim
terDevemos
3x3x3x ==⇒+=+=−
−=⇔= →→→ 
 
Letra (D) 
 
Obs.: 
Poderíamos também ter utilizado L’hôpital 
 
( )
( )
.
6
3a
32
1a
1
x2
1
lima
hôpital'LUtilizando.zeroporzerodedivisãotipodoaçãominerdetIn
.
03xim
03xlim
então,
3x
3xlima
acimaConforme
3x
3x
3x
3x
=⇒=⇒=
⎪⎩
⎪⎨⎧ =−
=−
−
−=
→
→
→
→