APOSTILA-DE-MATEMATICA-IMPACTO

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Frente 1 Frente 2 Frente 3 Frente 4
4 16 26 34
18 28 366
10 20 28 38
12 22 30 40
14 24 32 40
Teoria dos
Conjuntos
Relações Métricas no 
Triângulo Retângulo
Ponto
Reta e Plano
Matriz: conceito, 
igualdade e operações
Relações 
Trigonométricas no 
Triângulo Retângulo
Perímetro e área de 
figuras planas
Matriz: operações e 
aplicações
Operações
com Conjuntos
Conjuntos
Numéricos
Arcos - Ângulos e 
comprimento de arcos
Perímetro e área de 
figuras planas
Determinantes: 
conceito e resolução
Números
Complexos
Relações trigométricas 
fundamentais na
Circunferência
Polígonos regulares
no cotidiano
Sistemas Lineares 
(conceito e classificação)
Operações entre
Números Complexos
Relações trigométricas 
- Identidades
Trigonométricas
Congruências e
 semelhanças de
 figuras planas
Sistemas Lineares 
(conceito e classificação)
Fi
ch
a 
1
Fi
ch
a 
2
Fi
ch
a 
3
Fi
ch
a 
4
Fi
ch
a 
5
4 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
Intuitivamente, associamos à idéia de conjunto as de grupo, coleção ou clas-se e, à idéia de elemento, os objetos ou “coisas” que constituem o conjunto. Vamos aqui começar a visualizar esses elementos que constituem conjuntos, 
observando situações que estão presentes em nosso dia-a-dia.
Teoria dos
CONJUNTOS
2. Nomeando
1. Diagrama
O qUe é Um CONJUNTO?
n Representamos um conjunto por 
uma letra maiúscula e nomeamos 
seus elementos entre chaves. 
Exemplo:
V= {a, e, i, o, u}
n Não existe uma definição de conjunto, 
mas existe uma idéia de que está associada 
à coleção de objetos, reunião ou grupo de 
pessoas,etc. 
Como é que se representa um conjunto?
Um conjunto pode ser representado de várias 
maneiras, entre as quais três são mais usuais:
Representamos um conjunto por diagramas (cur-
vas fechadas) e no seu interior colocamos seus ele-
mentos.
3. Propriedade característica
n Representamos um conjunto por 
meio de uma propriedade caracte-
rística de seus elementos, sem no-
meá-los 
Exemplo:
V= {vogais do alfabeto}
ou
 
V= {x/x é vogal}
n A maneira de representar um 
conjunto não é importante. O que 
importa é que fique evidente o con-
junto e os elementos que queremos 
representar.
n A propósito, entre um elemento x 
qualquer e um conjunto A qualquer 
existem duas e somente duas possi-
bilidades de relacioná-los.
1ª Possibilidade
O elemento x é um dos elementos 
que constitui o conjunto A. Usando 
símbolos:
X ∈ A → X pertence a A
2ª Possibilidade
O elemento x não é um dos elemen-
tos que constitui o conjunto A. Usan-
do símbolos:
X ∉ A → X não pertence a A
Sendo o conjunto M:
podemos dizer que :
 4 ∈ M
 5 ∉ M
dó D
V
fásol
lá
ré
misí
Conjunto de carros
Conjunto de casas
Conjunto de árvores
Conjunto de pessoas
a
u
e
o
i
n Um conjunto qualquer é forma-
do por elementos. Da mesma for-
ma que conjuntos, elementos são 
entes matemáticos primitivos, por-
tanto sem definição.
4, 7, 9,
11, 13
M
Frente
Ficha
01
01
www.portalimpacto.com.br 5n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
4. Conjunto vazio
5. Subconjunto
1. Você viu que entre um elemento qualquer e um conjunto qualquer existem apenas duas possibilidades de relacioná-los. Analo-
gamente, entre dois conjuntos quaisquer, também existem apenas duas maneiras de relacioná-los:
2. Consideremos o conjunto B formado pelos membros da Seleção Brasileira de Futsal. Com os elementos de B, podemos for-
mar o conjunto H, de todos jogadores da Seleção, e o conjunto M, de toda a comissão técnica. 
3. Dizemos que os conjuntos H e M são Subconjuntos de B.
4. Se um subconjunto T de pessoas possui como elemento pelo menos uma pessoa que não seja membro da Seleção Brasileira, 
dizemos que T não é subconjunto de B.
n Como representar um conjunto vazio, ou seja, um conjunto que não 
possui elementos?
∅ ou { }
Cuidado: {∅} ≠ ∅
n Um conjunto, embora seja associado a uma coleção de objetos, às vezes 
não possui elementos.
n Observe aqui a quantidade de pessoas que estão dentro da piscina...
A B
U
6. Conjunto Universo
n O conjunto Universo de um estudo é 
aquele ao qual pertencem todos os elemen-
tos desse estudo. Graficamente, o Universo 
será representado por um retângulo envol-
vendo os outros conjuntos.
Indicamos esses fatos por:
H ⊂ B (lê-se: “H está contido em B”)
M ⊂ B (lê-se: “M está contido em B”)
T ⊄ B (lê-se: “T não está contido em B”)
Propriedades importantes:
P1. O conjunto vazio é subconjunto de qual-
quer conjunto. 
P2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
 
A ⊂ B e B ⊂ A então A = B
+ +
6 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
2. A = {a, b, c, d}
 B = {c, d, e, f}
Resp. A - B = {a, b}
 
3. A = {2, 4, 6, 8, 10}
 B = {2, 4, 6}
Resp. A - B = {8, 10}
D ados os conjuntos A e B, quais-quer, chama-se união ou reu-nião de A com B, ao conjunto 
formado pelos elementos que perten-
cem ao conjunto A ou ao conjunto B.
Indica-se por A ∪ B e lê-se “A união B”
Operações com
C O N J U N TO S
Portanto:
Exemplos:
A ∪ B = {x / x ∈ A ou x ∈ B}
Utilizando diagramas temos:
Observe nos diagramas a seguir 
que, se B ⊂ A, então A ∪ B = A
Note nos diagramas como ficará a 
união de dois conjuntos disjuntos:
a) Sendo A = {0, 2, 4} e B = {0, 2, 6, 8}, 
então: A ∪ B = {0, 2, 4, 6, 8}
b) Sendo A = {0, 2} e B = {0, 2, 6, 8}, en-
tão: A ∪ B = {0, 2, 6, 8}
c) Sendo A = {1, 3, 5} e B = {2, 4, 6}, en-
tão: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Intersecção entre conjuntos
Diferença entre conjuntos
União entre conjutos
n Dados dois conjuntos A e B, chama-
mos Diferença A – B ao conjunto forma-
do pelos elementos de que pertencem 
a A e não pertencem a B.
A - B = { x / x ∈ A e x ∉B}
Os conjuntos A e B, vamos efetuar a di-
ferença A - B. A região assinalada nos 
diagramas representa a diferença.
1. A = {1, 2, 3, 4}
 B = {7, 8, 9}
Resp. A - B = A
A B
A
B
A
8 9
7
1 3
2
4
B
A
a e
b f
B
c
d
A
8
6
42
10
B
Intersecção 
n Dados dois conjuntos A e B chama-
se Intersecção entre A e B ao conjunto 
formado pelos elementos comuns entre 
A e B, isto é, pelos elementos que per-
tencem ao conjunto A e ao conjunto B.
A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B}
n Diagramas de Venn representativos 
da intersecção entre A e B:
A B
A B
A B
B A
Observação: Dois conjuntos são 
disjuntos quando não possuem ele-
mentos comuns, isto é, A ∩ B = ∅.
Frente
Ficha
01
02
www.portalimpacto.com.br 7n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
4. A = {8, -8, 6, -6}
 B = Ø
 Resp. A - B = A
 
 
 
Complementar
Quando dois conjuntos A e B são tais 
que A ⊂ B, dá-se o nome de comple-
mentar de A em B à diferença B – A. 
Observe o diagrama. A região assinala-
da representa o complementar de A em 
B, que indicamos por 
 A ⊂ B ⇒ = B - A
Operações com intervalos
Considere os conjuntos A e B e analise cada uma 
das operações:
1. União ou reunião:
 
2. Interseção:
3. Diferença:
a
a
c
b
d
d
A B
a
c
c
b
d
b
A B
a
a
c
b
d
c
A - B
+ +BA
A
- 8
- 8
6
6
Observação: 
quando nos referimos ao complementar 
de um conjunto A em relação ao 
Universo U, utilizamos simplesmente o 
símbolo A’ ou A.
Intervalos
Podemos representar o conjunto dos números reais as-
sociando cada número x ∈ R a um ponto de uma reta r. 
Assim, se convencionarmos uma origem O, associando 
a ela o zero, e adotarmos um sentido positivo para esta 
reta, teremos aquela quedenominamos por Reta Real.
2
3-2 -1 20 1 2
p q p q
 Intervalo fechado à direita
Números reais maiores que p e me-
nores ou iguais a q.
 
 
Intervalo:] p, q] 
Conjunto: {x ∈ IR p < x ≤ q}
Intervalo fechado à esquerda
Números reais maiores ou iguais p e 
menores que q.
 
Intervalo: [p, q[
Conjunto: {x ∈ IR p ≤ x < q}
p q p q
Exemplos:
1. A = {23, 24}
 B = {21, 22, 23, 24, 25}
 
2. A = {x / x é par positivo}
 B = {x / x é inteiro positivo}
 = {1, 3, 5, 7, 9,...}
Chamamos de intervalo qualquer subconjunto contí-
nuo de IR. Dados p e q reais (p < q), podemos definir 
os intervalos:
Intervalo fechado
Números reais maiores ou iguais a 
p ou menores ou iguais a q.
 
Intervalo: [p, q]
Conjunto: {x ∈ IR p ≤ x ≤ q}
 
 Intervalo aberto
Números reais maiores que p e me-
nores que q.
Intervalo: ]p, q[
Conjunto: {x ∈ IR p < x < q}
A∩B
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É toda relação estabelecida entre conjuntos. Para isso utilizaremos os símbolos de inclusão.
⊂ Está Contido
⊄ Não Está Contido
⊃ Contém
⊃ Não Contém
Relação de
INCLUSÃO
Observação:
é importante não esquecer que 
a Relação de Inclusão só será 
utilizada para relacionar Conjunto 
com Conjunto.
Exemplo:
No exemplo dado temos:
Exemplo:
Contextualizando com a Geografia
Considerando os conjuntos 
A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 
5}, temos:
Então, observe que nesse caso, 
todos os elementos do conjunto A 
também pertencem ao conjunto B. 
Logo, dizemos que A está contido em 
B, ou A é subconjunto de B, ou A é 
parte de B.
Indicamos que A está contido em 
B da seguinte maneira: A ⊂ B.
Se A ⊂ B, podemos também dizer 
que B contém A e indicar: B ⊃ A.
Considerando os conjuntos A 
= {a, b, c} e B = {a, b, m, n}, obser-
vamos que nem todos os elemen-
tos de A pertencem a B.
Amazônia Legal
Amazonas, Acre, Rondônia, Roraima, 
Amapá, Pará, Tocantins, maranhão e
mato Grosso
Região Norte
Amazonas, Acre, Rondônia, Roraima, 
Amapá, Pará, Tocantins
Nesse caso, dizemos que A 
não está contido em B e indica-
mos: A ⊄ B.
Também podemos dizer que B 
não contém A e indicar: B ⊃ A
Todo conjunto é subconjunto de si 
mesmo, isto é: A ⊂ A. E o Conjunto 
Vazio é subconjunto de qualquer con-
junto, isto é,  Ø ⊂ A, qualquer que 
seja o conjunto A.
Conjuntos Iguais
Dados dois conjuntos quaisquer 
A e B, dizemos que A é igual a B, 
se, e somente se A ⊂ B e B ⊂ A, ou 
seja, quando possuem os mesmos 
elementos, independentemente da 
maneira que apareçam escritos no 
conjunto.
Notação:
A = B
Lê-se: o conjunto A é igual ao 
Conjunto B.
Conjuntos das partes de um 
conjunto
Consideremos o conjunto A = {3, 
5, 7}, vamos formar todos os seus 
possíveis subconjuntos:
Sem elementos Ø 
conjunto vazio
Com um 
elemento {3}, {5}, {7}
Com dois 
elementos
{3, 5}, {3, 7}, 
{5,7}
Com três 
elementos {3, 5, 7}
Denominamos conjunto das par-
tes de um conjunto A, não-vazio, ao 
conjunto P(A) formado por todos os 
subconjuntos do conjunto A.
P(A) = {Ø, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, 
{5, 7}, {3, 5, 7}}
B A
.1 .2 .4
.5.3
Frente
Ficha
01
2.1
www.portalimpacto.com.br 9n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
+ +
Exemplos:
Operações com conjuntos
É importante observar que 
esses subconjuntos do conjun-
to A são elementos do conjun-
to P(A). Então é correto afirmar 
que {3} ∈P(A) e não {3} ⊂ P(A).
Observação:
O número de elementos do 
conjunto das partes de um 
conjunto de n elementos é dado 
por 2n. então:
 
n[P(A)] = 2n
1. Determine quantos elementos 
tem o conjunto das partes de A, 
sabendo que A tem 4 elementos.
Resolução:
n[P(A)] = 2n ⇒ n[P(A)] = 24
portanto n[P(A)] = 16 elementos
2. Determine o conjunto das par-
tes do conjunto B = {1 , 3}.
Resolução:
 
Não possua elementos ∅
Possua um elemento {1}, {3}
Possua dois elementos {1, 3}
P(B) = {∅, {1}, {3}, {1,3}}
3. Determine quantos elementos 
tem o conjunto das partes de B, 
sabendo que B tem 2 elementos. 
Resolução:
n[P(B)] = 2n ⇒ n[P(B)] = 22
portanto n[P(B)] = 4 elementos
Comentários:
Aplicações no dia-a-dia
n Vejamos então, como seria para se obter o número de elementos da união de dois conjuntos.
n Vamos imaginar então dois grupos de executivos de uma empresa, que chamaremos de “A” e “B”. Uma parte desses execu-
tivos estão defendendo a proposta A, outra parte a proposta B e um número deles que acham que ambas as propostas são 
boas. O diagrama a seguir representa esta situação, na forma de dois conjuntos A e B, e a união A ∪ B pode ser representada 
pela figura toda.
Sérgio José Rita Ruy João Beto
10 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
N úmero é um ente matemático utilizado para descrever quantidades ou medidas. Os números estão presentes em nosso dia-a-dia de maneira direta ou indireta. Nos jornais, revistas, televisão e até mesmo na música os números estão pre-sentes. É difícil imaginar um mundo sem números, pois se os números não existissem voltaríamos no tempo.
Neste Capítulo estudaremos a classificação dos números bem como os intervalos reais.
 
Conjuntos
NUméRICOS
COnjUnTO DOS núMEROS nATURAIS
COnjUnTO DOS núMEROS InTEIROS
COnjUnTO DOS núMEROS RACIOnAIS (Q) 
É formado por números utilizados na contagem e ordenação de elementos.
n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, ...} é o conjunto dos números naturais não-nulos.
É uma expansão do conjunto dos números naturais.
 
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...} 
 N
Para excluir os números positivos de um conjunto utilizamos o símbolo – (menos) e para excluir os negativos, utilizamos 
o + (mais). Deste modo:
Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros não-nulos.
Z+ = {0,1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros não-negativos.
Z- = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} é o conjunto dos números inteiros não-positivos.
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5,...} é o conjunto dos números inteiros positivos.
Z*- = {..., -5, -4, -3, -2, -1} é o conjunto dos números inteiros negativos.
É formado pelos números que possuem representação fracionária com numerador e denominador inteiros (denominador 
não-nulo).
 
De modo análogo ao proposto para o conjunto dos números inteiros, temos Q*, Q+, Q-, Q
*
+ e Q
*
-
 
Os números que apresentam representação fracionária e, portanto são números racionais são:
A) números inteiros
Todo número inteiro possui representação fracionária, veja os exemplos:
a) 5 10 155
1 2 3
       , portanto -5 ∈Q.
b) 
0 0 0
0
1 2 3
   , portanto 0 ∈Q. 
c) 7 14
21
7
1 2 3
   , portanto 7 ∈ Q.
z z
Frente
Ficha
01
03
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B) Frações próprias, impróprias e números mistos
Observe os exemplos:
3 4 1
a)
5 2 3
, , 3  Q 
C) números decimais exatos
Número decimal exato é aquele que apresenta um número 
finito de casas (ordens) decimais. Observe os exemplos:
D) Dízimas periódicas simples e compostas
Dízimas são números decimais que apresentam infinitas 
casas (ordens) decimais. São chamadas periódicas quan-
do, após a vírgula, apresentam repetição de um número 
infinitas vezes. Este número é chamado período. Observe 
alguns exemplos:
 , portanto. Esta dízima é chamada periódi-
ca simples, pois imediatamente após a vírgula percebemos 
a presença do período 2.
 , portanto. Esta dízima é chamada periódica 
composta, pois após a vírgula percebemos a presença do 
número 3 (pré-período) antes do período 2.
COnjUnTO DOS núMEROS IRRACIOnAIS (R - Q) OU I.
COnjUnTODOS núMEROS REAIS (R)
núMEROS COMPLEXOS (C)
a) 0,20 =
b) 1,35 =
, portanto 0,2 ∈ Q
, portanto 1,35 ∈ Q
=
=
2
10
135
100
1
5
27
20
a) 0,222... = 2
9
b) 0,322... = 29
20
Números irracionais são as dízimas não-periódicas, isto é, 
são números decimais que apresentam infinitas casas deci-
mais, porém não possuem período. São números que não 
resultam da divisão entre dois números inteiros.
Os números irracionais mais famosos são:
a) O PI.π = 3,14159265358979323846264338322795... 
b) O número de Euler. 
e = 2,78281828459045235360287471352
Podemos obter números irracionais extraindo raízes não-
exatas como segue:
c) 
d) 
Chama-se número real a qualquer número racional ou 
irracional. Deste modo podemos dizer que o conjunto 
dos números reais é a união entre o conjunto dos nú-
meros racionais e o conjunto dos números irracionais. 
R = Q ∪ I
De modo análogo ao proposto para os conjuntos dos 
números racionais, temos R*, R+, R-, R
*
+ e R
*
- .
O conjunto dos números comple-
xos é uma expansão do conjunto 
dos números reais e foi criado com 
o surgimento da unidade imaginá-
ria i cujo valor é -1. Esta unidade 
imaginária solucionou problemas 
como o cálculo de raízes quadra-
das de números negativos, veja:
 
 -9 = 9 . (-1) = 9 . -1 = 3.i
2 = 1,4142135623730950488016887242097... 
2 = 1,7099759466766969893531088725439...3
Q
R Z n R - Q
ORIgEM DOS núMEROS COMPLEXOS
Os números complexos apareceram no século 
XVI ao longo das descobertas de procedimen-
tos gerais para resolução de equações algébri-
cas de terceiro e quarto grau. 
+ +
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Números
COmPLeXOS
N
enhum número multiplicado por si mesmo pode dar um número negativo. Assim, a raiz quadrada de um núme-
ro negativo é uma operação impossível. Como lidar com esses números, já que não existem? Cardano em 1539 
deparou-se com eles ao tentar resolver equações algébricas. Apareceram como raízes de equações e por isso foram 
chamados de números. Cardano resolveu o impasse lidando com eles como se fossem números reais. mas quem 
desvendou o mistério foi Gauss, criando uma unidade imaginária i cujo quadrado seria -1 e dando aos números uma 
estrutura algébrica. Como resultado dessa descoberta fundamental os números complexos preencheram todos os vazios. 
Tornaram-se os números por excelência, contendo em si todos os demais. os números “escondem” as suas identidades, 
somente revelando o que realmente são, quando utilizados. Quer dizer, o exato significado de um número depende do 
contexto em que está inserido. 
1. INTRODUÇÃO
Resolva, em C, a equação do 2º 
grau.
UNIDADe ImAGINÁRIA (i)
2
2
2
a 1
x 4x 5 0 b 4
c 5
b 4.a.c
4.1.5( 4)
16 20
4
=
− + = = −
=



∆ = −−
∆ = −
bx
2a
( 4) 4x
2.1
4 4x
2
=
=
± −=
− − ± −
O conjunto dos números complexos é formado por todos os números da forma z 
= a + b . i, veja:
C = {z | z = a + bi}, com a, b ∈ R e 
Onde:
a é a parte real de 
z → a = Re(z) 
b é a parte imaginária de
 z → b = Im(z) 
exemplo:
1. Identifique a parte real e a imaginária de cada número complexo a seguir:
a) z1 = -3 + 2i é chamado imaginário
Solução:
a) = Re(z1) = -3
b) = Im (z1) = 2
 
b) z3 = 7i é chamado imaginário puro
Solução:
a) = Re(z3) = 0
b) = Im (z3) = 7
c) z4 = 5 é chamado real
Solução:
a) = Re(z4) = 5
b) = Im (z4) = 0 
O número i é chamado unidade 
imaginária e:
2i =
Cálculo de
-1 ou i = -1
-4
-4 = 4 . (-1) = 4 . -1 = 2 . i
4 2ix
2
2.(2 i)x
2
x 2 i V {2 i, 2 i}
±=
±=
= ± ⇒ = + −
i 1= −
2. CONJUNTO DOS COmPLeXOS
Observações:
a) se b = 0, então z é real
b) se b ≠ 0 , então z é imaginário
c) se a = 0 e b ≠ 0, então z é imaginário 
puro
d) todo número real é um complexo em 
que b = 0, portanto R ⊂ C .
e) dizemos que a + bi é a forma algébri-
ca do número complexo z
f) podemos representar um número 
complexo z = a + bi, pelo par ordena-
do z = (a, b) , veja:
z1 = 3 - 2i → z1 = (3, -2)
z2 = 5i → z2 = (0, 5) 
z3 = 4 → z3 = (4, 0) 
+ +
Frente
Ficha
01
04
www.portalimpacto.com.br 13n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
Dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, são 
iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias são 
iguais respectivamente.
 
exemplo:
Determine os valores de x e y em cada caso, de modo que os 
números complexos z = 3x +yi e w = 9 - 4i sejam iguais.
Solução:
 
Portanto para que se tenha a igualdade proposta devemos 
ter x = 3 .
1 2z z a c e b d
a bi c di
=  = =+ = + 
3x 9 e y 4
9x
3
x 3
=
=
= = −
Dado um número complexo z = a + bi, chama-se conjugado 
de z, ao complexo 
exemplo:
Determine o conjugado de cada número complexo a seguir:
a) z1 - 5 + 2i b) 
Solução: Solução:
 
Observação: um complexo e seu conjugado possuem partes 
imaginárias simétricas
z a bi= −
3
4z i
3
=
1z 5 2i 3
4
z i
3
5.1 Multiplicação de um Real por um Complexo
5.2 Adição entre Complexos
5.3 Subtração entre Complexos
5.4 Multiplicação entre Complexos
exemplo:
Dados os complexos z1 = 1 - 2i e z2 = -4 + i, determine:
a) 3 . z1 b) - 2 . z2
 Solução: Solução:
3. z1 = 3 . (1 - 2i) = 3 - 6i -2. z2 = -2 . (-4 + i) = 8 - 2i
Observações:
a) Dado um número complexo z = a + bi, chama-se OPOSTO de z ao complexo 
-z = -a - bi.
exemplo:
a) z1 + z2
Dados os complexos z1 = 4 - 6i, z2 = 2 + 3i, z3 = -5 + i e z4 = 7i, determine:
Solução: 
z1 + z2 = 4 - 6i + 2 + 3i = 6 - 3i
 
b) z1 - z2
Solução: 
z1 - z2 = 4 - 6i - (2 + 3i) = 4 - 6i - 2 - 3i = 2 - 9i
 
c) z1 . z2
Solução:
z1 . z2 = (4 - 6i) . (2 + 3i) = 8 + 12i - 12i - 18i
2 = 8 + 18
z1 . z2 = 26
A trigometria e os 
números complexos
É mais fácil trabalhar com uma função 
exponencial do que com um cosseno. 
Então o truque todo é representar nos-
sas funções oscilatórias como a parte 
real de certas funções complexas. Ago-
ra uma força assim, F = F0 - cosωt, pode 
ser escrita como a parte real de um nú-
mero complexo F = F0eiωt, pois 
eiωt = cosωt + isenωt
3. IGUALDADe eNTRe COmPLeXOS
4. CONJUGADO De Um COmPLeXO
5. OPeRAÇõeS eNTRe COmPLeXOS + +
14 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
Operações entre números
COmPLeXOS
DIvISÃO eNTRe COmPLeXOS
n Para efetuar a divisão por um número complexo 
multiplicamos o numerador (dividendo) e o denomi-
nador (divisor) pelo conjugado do denominador.
Observação:
a) O produto entre o complexo z = a + bi e seu conju-
gado é igual ao real a2 + b2.
 
Se z = 2 + 3i, então 
exemplo:
n Dados os complexos:
z1 = 4 – 6i, z2 = 2 + 3i e z3 = 3 + i, determine:
a) 
Solução:
b) 
Solução:
 
POTêNCIAS De i
n Veja algumas potências de i:
 
n Por isto podemos afirmar que para n ≥ 4 tem-se 
in = ir, onde r é o resto da divisão de n por 4.
exemplo:
n Calcule as seguintes potências de i:
a) i91 
Solução:
i91 = i3 = -i
 
 z a bi= -
1
2
z
z
2z
3z
91 4
 -3- 22
O primeiro a constatar a 
natureza estranha desses 
números foi Girolamo Car-
dano, (1501-1576), Cardano 
publicou um tratado de ál-
gebra intitulado Ars Magna, 
onde apresentou exemplos 
de números complexos que 
chamou de “ficticios”.
A representação geométri-
ca dos números complexos 
foi proposta por vários au-
tores, sendo o mais cita-
do Jean Robert Argand, 
guarda-livros suíço, que a 
descreveu em 1806
Um pouco de História
+ +
Frente
Ficha
01
05
www.portalimpacto.com.br 15n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
RePReSeNTAÇÃO GRÁFICA De COmPLeXOS 
n Seja o número complexo z = a + bi escrito na forma depar ordenado z = (a, b). Podemos representar z graficamente 
no chamado PLANO De ARGAND-GAUSS, como segue:
Onde:
XOY é o Plano de Argand-Gauss
OX é o eixo Real
OY é o eixo Imaginário
O ponto P é denominado Afixo ou Imagem 
GeOméTRICA De z
n A distância de O até P é chamado Módulo de z 
indicado por |z| 
n O ângulo θ é chamado Argumento ou Direção de z 
indicado por arg(z)
 
móDULO De Um COmPLeXO 
n O módulo de um número complexo z = a + bi, é 
dado por .
 
exemplo:
n Calcule o módulo de cada complexo a seguir:
a) Z1 = 4 + 3i
 
Solução:
 
b) Z3 = -4 - i 
Solução:
 
Observações:
a) O módulo de um número complexo é o “tamanho” da 
“seta” que o representa graficamente.
b) O módulo de um número complexo é sempre um 
número real positivo.
2 24 3 16 9 25 5    
Mas foi somente em 1831 
que o grande matemáti-
co alemão Carl Friedrich 
Gauss, (1777-1855), expôs 
a teoria completa relativa a 
esses números. Por isso, o 
plano complexo é muitas 
vezes chamado de plano 
Argand-Gauss. 
2 24 3
+ +
16 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
Relações métricas no triângulo
ReTÂNGULO
1. TRIÂNGULO ReTÂNGULO
2. ReLAÇõeS méTRICAS NO TRIÂNGULO ReTÂNGULO
eXemPLO (1) 
n É aquele que possui um ângulo reto (90º). Dizemos que o triângulo a seguir é retângulo em A, veja:
BC
c
A
b
m n
a
h
Onde:
a é a hipotenusa (maior lado);
b e c são os catetos (formam o ângulo reto);
h é a altura relativa à hipotenusa;
m é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa;
n é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa.
n No triângulo retângulo ABC são válidas as seguintes 
relações métricas (entre as medidas mencionadas acima):
ReLAÇÃO 01 - Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipo-
tenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
a2 = b2 + c2
 
ReLAÇÃO 02 - O produto entre a hipotenusa e a altura rela-
tiva à hipotenusa é igual ao produto entre os catetos.
a . h = b . c 
ReLAÇÃO 03 - O quadrado de um cateto é igual ao 
produto entre a hipotenusa e a projeção ortogonal do 
cateto sobre a hipotenusa.
 
b2 = a . m c2 = a . n
ReLAÇÃO 04 - O quadrado da altura relativa à hipotenu-
sa é igual ao produto entre as projeções ortogonais dos 
catetos.
 
h2 = m . n
 
ReLAÇÃO 05 - A hipotenusa é igual à soma das projeções 
ortogonais dos catetos.
 
a = m + n
1. Determine as medidas a, h, m e n no triângulo retân-
gulo ABC a seguir:
ReSOLUÇÃO:
BC
4
A
3
a
h
n No triângulo retângulo ABC a seguir, calcule a me-
diada da projeção ortogonal do cateto AC sobre a hipo-
tenusa.
eXemPLO (2) 
CB
A
3
H
5
12
Frente
Ficha
02
01
www.portalimpacto.com.br 17n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
Onde:
a é a hipotenusa (maior lado);
b e c são os catetos (formam o ângulo reto);
B e C são ângulos agudos complementares, isto é, B + C = 90º; 
3. PROPRIeDADeS
1. TRIÂNGULO ReTÂNGULO
2. RAzõeS TRIGONOméTRICAS NO TRIÂNGULO ReTÂNGULO
n É aquele que 
possui um ângulo 
reto (90º). Dizemos 
que o triângulo a 
seguir é retângulo 
em A, veja:
n No triângulo retângulo ABC são válidas as seguintes 
relações trigonométricas (entre os elementos menciona-
das acima):
RAzÃO 01 - Seno do ângulo B: é a razão entre o cateto 
oposto ao ângulo B e a hipotenusa.
 
RAzÃO 02 - Cosseno do ângulo B: é a razão entre o cateto 
adjacente ao ângulo B e a hipotenusa.
 
RAzÃO 03 - Tangente do ângulo B: é a razão entre o cate-
to oposto e o cateto adjacente ao ângulo B.
 
De modo análogo podemos definir as razões seno, cosseno 
e tangente do ângulo agudo C.
CA
B
a
b
c
n Observe os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos 
agudos B:
Para dois ângulos complementares B e C são válidas as seguintes pro-
priedades:
Propriedade 01: O seno de um ângulo é igual ao cosseno de seu com-
plementar.
senB = cos C ou sen C = cos B 
Propriedade 02: A tangente de um ângulo é igual ao inverso da tan-
gente de seu complementar.
n Os valores de seno, cosseno e tangente 
dos ângulos 30º, 45º e 60º são mostrados na 
tabela a seguir:
4. TABeLA
5. eXemPLO (3)
(UEPA) O mastro CD de um navio é preso 
verticalmente por cabos de aço fixo na proa 
(A) e na popa (B), conforme mostra a figura 
a seguir. Se o cabo BC mede 10 3 m então, 
a altura do mastro é:
AB
C
30º
D
18 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
 
Resolução do exemplo 01.
De acordo com a lei dos senos, 
Dessa forma:
Relações trigonométricas no triângulo
ReTÂNGULO
A LeI DOS SeNOS e DOS COSSeNOS
n As leis (Lei dos senos e Lei dos cossenos) constituem-se numa importante ferramenta matemática para o cálculo de me-
didas de lados e ângulos de triângulos quaisquer, isto é, de triângulos de “forma” arbitrária.
Lei dos senos
n Para utilizarmos a lei dos senos no cálculo da medida de um ou dois lados de um triangulo, precisamos conhecer pelo me-
nos um dos lados e o valor dos senos dos ângulos opostos aos lados desconhecidos.
Vejamos: 
Dado o triangulo qualquer ABC abaixo, 
A
c
a
b
A
C
B
B
C
30º
45º
6
a
Pela lei dos senos, temos:
 a
sen A
b
sen B
c
sen C
= =
A igualdade das razões entre cada um dos lados de um triângulo e o seno do respectivo ângulo oposto é chamada de lei dos senos.
exemplo 1
No triangulo abaixo determinar a medida do lado a do triangulo abaixo.
Frente
Ficha
02
02
www.portalimpacto.com.br 19n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
LeI DOS COSSeNOS
A
C
B
b
c
a
A
C
B
n Para utilizarmos a lei dos cossenos no cálculo da medida de um lado de um triangulo, precisamos conhecer pelo menos o 
cosseno de um dos ângulos e o valor de dois dos lados do triangulo.
Vejamos: 
n Dado o triangulo qualquer ABC abaixo, 
n Pela lei dos cossenos, temos:
AˆCos.c.b.2cba 222 −+=
Ou ainda:
Dependendo das informações contidas em uma situação problema, poderemos montar uma das 3 relações para utilizar.
A Lei dos cossenos e as medições
“Um determinado engenheiro precisa fazer a medi-
ções de um terreno ou de ruas na forma triangular. 
Um dos lados mede 40 metros, outro mede 50 me-
tros e o ângulo formado por este dois lados é de 60°. 
Para encontrar o valor do terceiro lado é necessário 
fazer uma nova medição ou podemos simplesmente 
usar a lei dos cossenos.
AˆCos.c.b.2cba 222 −+=
CˆCos.b.a.2bac 222 −+=
+ +
50m
40m
60º
B A
C
x
20 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
ARCOS
Ângulos e comprimento de arcos
1. ARCOS e ÂNGULOS
2. UNIDADeS De meDIDA De ARCOS (e ÂNGULOS)
3. ÂNGULOS NOTÁveIS
n Observe a circunferência λ de 
centro O e raio R a seguir:

B
A
R
O
R

sentido padrão
n As semi-retas OA e OB determinam o ângulo central α e o arco AB .
n O ângulo central α é formado pelas semi-retas OA e OB e possui vértice no 
centro O da circunferência λ.
n O arco AB é a parte da circunferência λ limitada pelos pontos A e B inclusive.
n O ângulo central α e o arco AB possuem a mesma medida, isto é, med α = AB.
Note que os arcos AB e BA são diferentes.
n Uma circunferência possui 360º e dividindo-a em 4 (quatro) partes iguais como mostram as figuras a seguir, temos: 
A E
B
C
D
AB = 90º
B
C
D
A E
AC = 180º
A E
B
C
D
AD = 270º
A E
B
C
D
AE = 360º
n Outra unidade de medida de ar-
cos e ângulos é o radiano cujo com-
primento é igual ao de um raio da 
circunferência.
n Portanto, se o raio da circunferência mede 5 cm então o comprimento de um arco 
de 1 radiano é igual a 5 cm.
n Uma circunferência possui aproximadamente 6,28 radianos (rad), pois éa quan-
tidade de raios que podemos colocar na mesma, veja:
 

B
A
R
O R
 1 radiano = 1 raio R
R
R
R
R
R
0,28.R
1. circunferência = 6,28 rad
1. circunferência = 2.3,14 rad
1 circunferência = 2.π rad ou 1 circunferência = 360º,
ou , ou ainda, e dividindo ambos os membros por 2, 
obtemos a relação de transformação de graus para 
radianos e vice-versa:
180 - π rad
Graus 0º 30º 45º 60º 90º
Radianos 0 rad
n Os ângulos a seguir são muito utilizados em trigonometria, por isto é muito útil conhecer suas respectivas medidas em 
radianos.
Frente
Ficha
02
03
www.portalimpacto.com.br 21n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
4. COmPRImeNTO De ARCO 5. COmPRImeNTO DA CIRCUNFeRêNCIA 6. ARCOS CôNGRUOS
7. CICLO TRIGONOméTRICO
n Seja uma circunferência λ de raio 
R e o arco AB determinado pelo ân-
gulo central α. O comprimento l do 
arco AB pode ser calculado por:
n O comprimento C de uma circun-
ferência λ de raio R equivale ao com-
primento do arco AB determinado pelo 
ângulo central α = 360º = 2π rad
n Dois arcos α e β são côngru-
os quando possuem as mesmas 
extremidades no ciclo trigono-
métrico diferenciando-se apenas 
por um número k de voltas k ∈ 
N, isto é:
β = α + 360º . k
β = α + 2 . k . π
Esta é a expressão geral dos arcos 
côngruos.
n O ciclo trigonométrico é formado por uma circunferência de raio unitário R = 1 e um sistema de eixos ortogonais utili-
zado para representar arcos AB

B
A
R
O
R



C
A B
O
R

l = α . Rx
Substituindo l = C e α = 2π rad em 
l = α . R, obtemos: C = 2.π . R
Onde:
n l é o comprimento do arco deter-
minado por ;
n R é o raio da circunferência;
n α é o ângulo central que deter-
mina o arco;
n O comprimento l e o raio R de-
vem ter a mesma unidade.
Onde:
n C é o comprimento da circunferência;
n R é o raio da circunferência;
n π ≅ 3,14,
n O comprimento C e o raio R devem ter 
a mesma unidade.
Onde:
n O ponto A é a origem de marcação dos arcos;
n O sentido horário indica que o arco é negativo, assim como o anti-horário indica 
arcos positivos;
n Os arcos podem apresentar mais de uma volta;
n O ponto (extremidade) B dos arcos pode localizar-se em um eixo ou quadrante;
30
45
60
150
135
120
300º240
315º225
330210
0º
360
180
90
270
0 A
Dado um arco β qualquer, cha-
ma-se primeira determinação 
positiva de β ao arco α côngruo 
de β que é maior que 0º (0 rad) 
e menor que 360º (2π rad). 
Um pouco da história da Trigonometria. 
O significado da palavra Trigonometria é a medida do triângulo. Dentre 
os principais precursores da Trigonometria na antiguidade destacam-se: 
Hiparco de Nicéia (por volta de 180 a 125 a.C. - pode ser considerado o 
pai da Trigonometria), Menelau de Alexandria (100 a.C.), e Ptolomeu (séc. 
II d.C.). Dentre todas as obras deixadas por esses gênios a mais influente, 
significativa e elegante foi sem dúvida a Syntaxis mathematica, uma obra 
composta de 13 livros escrita por Ptolomeu e que mais tarde ficou conhe-
cida entre os árabes como o Almajesto 
+ +
22 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
n Para determinarmos o seno, cosseno e tangente de um arco x no ciclo 
trigonométrico é necessário conhecer os seguintes eixos:
n O eixo dos senos é o eixo vertical que passa pelo centro O da circunferência 
trigonométrica e o eixo dos cossenos é o eixo horizontal que passa pelo mesmo 
ponto.
n O eixo das tangentes também é vertical, porém passa pelo ponto A da circun-
ferência, isto é, o eixo é tangente à circunferência no ponto A.
Onde:
n x é um arco cuja origem é o ponto A e a extremidade é o ponto P;
n A abscissa do ponto P é chamada cosseno de x e é indicada por cos x;
n A ordenada do ponto P é chamada seno de x e é indicada por sen x;
n Prolongando-se o segmento OP obtém-se a tangente de x, indicada por tgx. 
Relações trigométricas fundamentais na
CIRCUNFeRêNCIA
1. SeNO, COSSeNO e TANGeNTe De Um ARCO NO CICLO TRIGONOméTRICO
2. CRITéRIOS De POSITIvIDADe
x
A
1
1
P
– 1
– 1
tg
sen
cos
cos x
sen x
tg x
x
O
n Analisaremos os sinais do seno, cosseno e tangente de arcos nos quatro quadrantes do ciclo trigonométrico em busca de 
critérios de positividade.
x 
A 
x 
x
A
P
cos(–)
x
O
sen(+)
tg(–)
x
A
P
cos(–)
x
O
sen(–)
tg(+)
x
A
P
cos(+)
x
O
sen(–)
tg(–)
1º qUADRANTe
sen x > 0 (positivo)
cos x > 0 (positivo)
tg x > 0 (positiva)
3º qUADRANTe
sen x < 0 (negativo)
cos x < 0 (negativo)
tg x > 0 (positiva)
4º qUADRANTe
sen x < 0 (negativo)
cos x > 0 (positivo)
tg x < 0 (negativa)
2º qUADRANTe
sen x > 0 (positivo)
cos x < 0 (negativo)
tg x < 0 (negativa)
Frente
Ficha
02
04
www.portalimpacto.com.br 23n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
n essa análise pode ser resumida no 
seguinte esquema:
S
T
U
C
U: todos são positivos;
S: o seno é positivo;
T: a tangente é positiva;
C: o cosseno é positivo.
grave a frase: 
USA SemPRe A TUA CABeÇA
x
A
1
1
P
– 1
– 1
tgsen
cos
cos 45º
sen 45º
tg 45º
x
O
0,7
2
�
0,7
2
�
1
2
0,7
2

2
0,7
2

exemplo:
Lembre-se que:
3. vALOReS mÁXImOS e mÍNImOS
n Seja x um arco qualquer.
Os valores de seno e cosseno de x são no mínimo -1 e no máximo 1.
n A tangente de x pode assumir qualquer valor 
real, porém não existem as tangentes de 90º, 270º 
e seus côngruos.
tg x ∈ R
90º
A
P
90º
O
tg
270º
A
P
270º
O
tg
90º
A
P
90º
O
tg
270º
A
P
270º
O
tg
A tangente de um arco x existe para todo x diferente 
de 90º, de 270º e de seus côngruos.
em símbolos: 
0º 90º 180º 270º 360º
sen 0 1 0 -1 0
cos 1 0 -1 0 1
tg 0 não existe 0
não 
existe 0
Observe a tabela de valores a seguir:
Trigonometria
A palavra Trigonometria é formada por três radicais gregos: tri (três), gonos (ân-
gulos) e metron (medir). Daí vem seu significado mais amplo: medida dos Tri-
ângulos, assim através do estudo da Trigonometria podemos calcular as medidas 
dos elementos do triângulo (lados e ângulos).
Com o uso de triângulos semelhantes podemos calcular distâncias inacessíveis, 
como a altura de uma torre, a altura de uma pirâmide, distância entre duas 
ilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.
+ +
equador
N
S
P2
P1
∆λ
φ1
φ2
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Frente
Ficha
02
05
Relações trigométricas - Identidades
TRIGONOméTRICAS
1. ReLAÇõeS TRIGONOméTRICAS.
2. ReLAÇÃO FUNDAmeNTAL DA TRIGONOmeTRIA
3. ReLAÇÃO AUXILIAR (1) 4. ReLAÇÃO AUXILIAR (2)
n A secante de um arco x (sec x) é o 
inverso do cosseno deste mesmo arco 
e vice-versa.
 , com cos x ≠ 0
 , com sec x ≠ 0
n A soma dos quadrados do seno e cosseno de um arco 
qualquer é igual a 1 (um).
sen2x + cos2 x = 1
n A soma entre o quadrado da cotangente de um arco x e a 
unidade é igual ao quadrado da cossecante do mesmo arco.
cotg2x + 1 = cossec2 x
n A soma entre o quadrado da tangente de um arco x e a 
unidade é igual ao quadrado da secante do mesmo arco.
tg2x + 1 = sec2x
n Dividindo Ambos os membros da relação fundamental 
da trigonometria sen2x + cos2x = 1 por cos2x, temos:
n Dividindo Ambos os membros da relação fundamental 
da trigonometria sen2x + cos2x = 1 por sen2x, temos:
n A cossecante de um arco x (cossec x) 
é o inverso do seno deste mesmo arco e 
vice-versa.
 , com sen x ≠ 0
 , com sec x ≠ 0
n A cotangente de um arco x (cotg 
x) é o inverso da tangente deste mesmo 
arco e vice-versa..
 , com tg x ≠ 0
 , com cot x ≠ 0
Observações:
a) A secante possui o mesmo sinal do cosseno;
b)A cossecante possui o mesmo sinal do seno;
c) A cotangente possui o mesmo sinal da tangente.
S
T
U
C
U: todos são positivos;
S: o seno é positivo;
T: a tangente é positiva;
C: o cosseno é positivo.
grave a frase: 
USA SemPRe A TUA CABeÇA
 
 
x 
 
 
 
 
– 1 
cosx 
senx 1 
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Observação: 5. IDeNTIDADeS TRIGONOméTRICAS
n A tangente de um arco x é igual 
a quociente entre o seno e o cosseno 
deste mesmo arco.
, com cosx ≠ 0
n A cotangente de um arco x é igual 
ao quociente entre o cosseno e o seno 
deste mesmo arco.
, com senx ≠ 0
exemplo:
(UNEB) Se x pertence ao intervalo
 e tgx = 2 , então cosx vale:
a) d) 
b) e) 
c) 
ReSOLUÇÃO:
n Como x é um arco do primeiro qua-
drante todas as razões trigonométri-
cas são positivas.
n Calculamos o cosseno de x pela 
relação:
ALTeRNATIvA (D)
n Calculamos a secante de x pela Re-
lação Auxiliar 1:
n Identidades Trigonométricas são igualdades envolvendo as razões trigonométri-
cas, que são verificadas para todo arco x que podem ser atribuídos a tais razões:
exemplo:
(UCDB) Para todo x ∈ R tal que , k ∈ Z, expressão cos2x . tg2x + 1 é 
igual a:
a) d) 2 senx
b) 1 + cosx e) senx + cosx
c) 1
ReSOLUÇÃO:
Como tg2x + 1 = sec2x, temos: cos2x . tg2x + 1 = cos2x . sec2x = cos2x . 
ALTeRNATIvA (C)
engenharia
Trigonometria é um instrumento potente de 
cálculo, que além de seu uso na Matemática, 
também é usado no estudo de fenômenos fí-
sicos, eletricidade, Mecânica, Música, Topo-
grafia, Engenharia entre outro.
+ +
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PONTO
Reta e Plano
1. NOÇõeS PRImITIvAS
2. POSIÇõeS ReLATIvAS eNTRe
3. ÂNGULOS eNTRe
n As noções primitivas em geometria são o ponto, a reta e o plano conhecidas 
intuitivamente.
n Duas retas
DUAS ReTAS
n Ângulo AOB cuja medida é α;
n O ponto O é o vértice;
n As semi-retas OA e OB são os lados;
ReTA e PLANO
DOIS PLANOS
n Ângulo Diedro ou Diedro é o ân-
gulo formado entre dois planos como 
mostra a figura.
TeODOLITO
O teodolito é um instrumento 
óptico de medida utilizado na 
topografia e na agrimensura para 
realizar medidas de ângulos ver-
ticais e horizontais
n Reta e plano
n Dois planos
plano
α
A
ponto
r
reta
r s r ≡s rs
A
Reta Contida
no Plano
Reta Secante
ao Pl ano
Reta Paralela
ao Plano
A
A
r
r
  
B


Secantes ou
Concorrente
Paralelos Coincidentes
r


 
r
s O
A
B

A
r


+ +

Diedro
ângulo de elevação
posição do sol
Horizonte = 0º
Norte = 0º
ângulo horizontal
Frente
Ficha
03
01
www.portalimpacto.com.br 27n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
4. eSTUDO DOS ÂNGULOS
4.1. UNIDADe De meDIDA
n O grau é de uma circunferência.
Observações:
a) Uma circunferência possui 360º;
b) Um grau possui 60 minutos (60’);
c) Um minuto possui 60 segundos (60’’).
4.2. TIPOS De ÂNGULOS.
4.3. BISSeTRIz De Um ÂNGULO
n É a semi-reta que divide o ângulo ao meio.
4.6. ÂNGULOS FORmADOS POR DUAS PARALeLAS COR-
TADAS POR UmA TRANSveRSAL.
4.4. ÂNGULO OPOSTO PeLO véRTICe
n Dois ângulos são opostos pelo vértice (OPv) quando seus 
lados são semi-retas opostas.
4.5. CLASSIFICAÇÃO
n Ângulos complementares: dois ângulos α e β são comple-
mentares se a soma entre eles é igual a 90º.
α + β = 90º
n Ângulos suplementares: dois ângulos α e β são sumple-
mentares se a soma entre eles é igual a 180º.
α + β = 180º
Obs: Ângulos OPV possuem a mesma medida.
α = β
O transferidor é utiliza-
do para medir ângulos.
1º = 60’
1’ = 60’’
1º = 3600’’
A semi-reta OM 
é a bissetriz do 
ângulo α
α e β são ân-
gulos opostos 
pelo vértice. 
Reto
90º =

Agudo
0º 90º<  <

Obtuso
90º 180º<  <

Raso ou de Meia Volta
180º =

Cheio ou de Uma Volta
360º=

2
2
0
M
 

0
 





 
g
cd
b
a
s
r
t
h
e f
r / /s
n É a semi-reta que 
divide o ângulo ao 
meio.
n Ângulos correspon-
dentes são aqueles que 
ocupam a mesma po-
sição um em cada uma 
das paralelas.
n Ângulos cola-
terais são aqueles 
que se localizam 
do mesmo lado 
da transversal.
n Ângulos alter-
nos são aqueles 
que se localizam 
em lados diferen-
tes da transversal. 
Possuem a mesma 
medida.
Ângulos Correspondentes
(possuem a mesma medida)
a e e
b e f
c e g
d e h
Ângulos Colaterais
(são suplementares)
Internos
Externos
c e f
d e e
a e h
b e g
Ângulos Alternos
(possuem a mesma
medida)
Internos
Externos
e e c
d e f
a e g
b e h
28 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
PeRÍmeTRO
e área de figuras planas
1. PeRÍmeTRO
2. ÁReA De Um POLÍGONO
3. ReTÂNGULO
4. qUADRADO
6. TRIÂNGULOS CASOS eSPeCIAIS
5. TRIÂNGULO
7. TRIÂNGULO eqUILÁTeRO
n Perímetro de um polígono é 
a soma de seus lados. 
n Área é o número real positivo que representa a superfície ocupada pelo 
polígono. 
n Paralelogramo
n O perímetro do contorno in-
terno desta TV em que em sua 
largura temos 80 cm e em sua al-
tura temos 60 cm é de 280 cm.
80cm
60cm
b
h A = b . h
b
h
A = b . h
P = 2 . (b + h)
A = l2
P = 4 . l
l
l
ll
b
h
l
l
l
A = p . (p - a) . (p - b) . (p - c)
a
c
b
A =
b . h
2
Onde p =
a + b + c
2
A =
b . c . senα
2
c
α
b
Onde A =
l2 . 3
4
P = 3 . l
Frente
Ficha
03
02-03
www.portalimpacto.com.br 29n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
Aplicações no 
Caderno de Exercícios
A = π . (R2 - r2)
8. LOSANGO 9. TRAPézIO
10. CÍRCULO
D
d
O
R
A = π . R2
onde π = 3,14
C = 2. π . R
onde π = 3,14
A = (B + b) . h
2
b
B
hA = D . d
2
11. SeTOR CIRCULAR
SeTOR CIRCULAR
αR l
A = α . π . R
2
360º
α em graus
onde l é o 
comprimento 
do arco
A = l . R
2
O
r
R
Perímetro do pescoço é mais 
preciso que ImC para detectar 
obesidade, diz pesquisa.
A medida do perímetro do pescoço está ajudando médicos a 
prever risco de obesidade, apneia do sono e hipertensão tanto 
em adultos quanto em crianças. Um trabalho publicado na re-
vista “Pediatrics” comprovou a ligação entre um pescoço mais 
largo e ocorrência de complicações por excesso de peso. 
Os médicos argumentam que a medida do pescoço é mais 
precisa que o conhecido Índice de Massa Corporal (IMC), usa-
do para classificar peso normal, sobrepeso e obesidade 
+ +
30 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
POLÍGONOS
regulares no cotidiano
1. POLÍGONOS
2. POLÍGONOS ReGULAReS e NOmeNCLATURA
5. POLÍGONO ReGULAR INSCRITO
3. SOMA DOS ângULOS InTERnOS
4. ângULO InTERnO
n É mais comum do que se imagi-
na encontramos polígonos regula-
res no cotidiano, por exemplo:
n É todo polígono que possui lados e ângulos congruentes 
entre si. O nome de um polígono regular será dado de acor-
do com seu número de lados.
n Todo polígono regular é inscritível, isto 
é, pode ser inscrito em uma circunferência. 
Na figura a seguir temos um triangulo, um 
quadrado e um hexágono regular de lado 
l inscrito em uma circunferência de raio R. 
Observe que a circunferência passa por to-
dos os vértices do polígono.
n A soma dos ângulos internos de um po-
lígono regular de n lados é dada por: 
Si = (n − 2).180º
n A medida de um ângulo interno de um 
polígono regular de n lados é dada por:
As abelhas utilizam-se do he-
xágono regular nas colméias. 
Alguns modelos de 
bolas de futebol 
também apresen-
tam figuras base-
adas em polígo-
nos regulares.Triângulo equilátero
n = 3
Quadrado
n = 4
Pentágono Regular
n = 5
Exágono Regular
n = 6
Heptágono Regular
n = 7
Octógono Regular
n = 8
Eneágono Regular
n = 9
Decágono Regular
n = 10
Undecágono Regular
n = 11
Dodecágono Regular
n = 12
Pentadecágono Regular
n = 15
Icoságono Regular
n = 20
Ai = =
Si
n
(n - 2) . 180º
n
Frente
Ficha
03
04
www.portalimpacto.com.br 31n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
4. POLÍGONO ReGULAR CIRCUNSCRITO
n Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo 
tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono.
+ + Polígonos na vida cotidiana
Andando pelas ruas de qualquer cidade do mundo podemos ver uma grande 
quantidade de formas que nos lembram os polígonos; uma placa de trânsito, 
um semáforo ou uma faixa de pedestres. Também em casa vemos numerosas 
formas poligonais nos objetos que nos cercam: nos móveis, nos utensílios de 
cozinha, nos pisos, nos formatos dos azulejos. 
32 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
CONGRUêNCIAS 
e semelhanças de figuras planas
1. SemeLHANÇAS
2. PROPRIeDADeS 3. CONGRUêNCIA 
n Dois polígonos são semelhantes quando tem os ângulos internos correspondentes de mesma medida e os lados 
correspondentes proporcionais.
n A razão entre os perímetros 
de dois polígonos semelhantes é 
igual à constante de proporciona-
lidade k.
n Dois polígonos semelhantes são ditos congruentes quando a constante 
de proporcionalidade é igual a 1 (k = 1) , isto é, seus ângulos e lados corres-
pondentes são congruentes.
n Se os polígonos ABCD e A’B’C’D’ são congruentes, escrevemos:
 ABCD ≡ A’B’D’C’.
n Os ângulos correspondentes são congruentes:
A ≡ A’ , B ≡ B’ , C ≡ C’ e D ≡ D’ 
n Os lados correspondentes são congruentes:
AB ≡ A ‘B’ , BC ≡ B’C’ , CD ≡ C’D’ e DA ≡ D’ A ‘ 
n A razão entre as áreas de dois 
polígonos semelhantes é igual ao 
quadrado da constante de propor-
cionalidade k.
ABCD ~ A’B’D’C’ (lê-se “polígonos ABCD é semelhante 
ao polígono A’B’D’C’ “)
n Os ângulos correspondentes são congruentes:
A ≡ A’ , B ≡ B’ , C ≡ C’ e D ≡ D’
n Os lados correspondentes são proporcionais:
 
Onde k é uma constante de proporcionalidade chamada 
de razão de semelhança.
A
B
CD
A
B
CD
A’
B’
C’D’
A’
B’
C’D’
k= == =
AB
A’B’
BC
B’C’
CD
C’D’
DA
D’A’
k==
AB + BC + CD + DA
A’B’ + B’C’+ C’D’ +D’A’
P
P’
k2=ÁReA
ÁReA’
Frente
Ficha
03
05
www.portalimpacto.com.br 33n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
+ +
Igual ao original
Na produção de um filme, na gravação de uma novela ou até 
mesmo na hora de fotografar, captura-se uma imagem seme-
lhante à do ambiente natura.
34 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
mATRIz
Conceito, igualdade e operações
eSTUDO De mATRIzeS
ESTUDO DE MATRIZES 
 
 
Matriz Quadrada: 
 
■ É toda matriz, onde o número de linhas é igual ao 
número de colunas. 
 
Exemplo: 
A = 
2x2
21
02
 matriz quadrada de ordem 2. 
B = 
3x3
247
086
351
 matriz quadrada de ordem 3. 
 
Em uma matriz quadrada de ordem n, os elementos 
aij, onde i = j formam a diagonal principal e os 
elementos aij, onde i + j = n + 1 formam a diagonal 
secundária. 
 
A = 
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
 
 
 
 
Obs.: 
 Diagonal principal: a11, a22, a33, a44 i = j 
 Diagonal secundária: a14, a23, a32, a41 i + j = 4 
+ 1 
 Traço de uma matriz: é a soma dos elementos 
da diagonal principal. 
 
Matriz Diagonal 
 
■ É toda matriz quadrada A = (aij)n x m, onde aij = 0 
para todo i j. 
Exemplo: 
A = 
4x4
5000
0300
0010
0002
 B = 
3x3
300
020
000
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matriz Escalar 
 
■ É toda matriz diagonal onde os elementos da 
diagonal principal são iguais. 
 
Exemplo: 
A = 
3x3
200
020
002
 B = 
3x3
000
000
000
 
 
 
Matriz Identidade: 
 
■ É toda matriz escalar, onde os elementos da 
diagonal principal são iguais a 1. 
 
In = 
nxn
1...000
0...100
0...010
0...001

 
 
Matriz Linha: 
 
■ É toda matriz da forma A = (aij)1 x n, onde A = (a11 
a12 a13 ... a1n)1 x n 
 
Exemplo: 
A = (2 1 4)1 x 3 
 
Matriz Coluna: 
 
■ São matrizes que apresentam uma coluna, onde A 
= (aij)n x 1. 
 
Exemplo: 
1xn1n
21
11
a
a
a
A

 
1x4
6
5
4
2
B 
 
 
 
Diagonal principal Diagonal secundária 
Frente
Ficha
04
01
www.portalimpacto.com.br 35n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
OPeRAÇõeS COm mATRIzeS
+ +
Matriz Nula: 
 
■ São matrizes onde todos os seus elementos são 
iguais a zero. 
 
nxm
0...000
0...000
0...000
0...000
A

 
 
 
Matriz simétrica: 
 
São matrizes quadradas onde cada elemento aij = aji. 
 
 
Exemplo: 
A = 
3x3
236
354
642
 B = 
3x3
726
235
651
 
 
 
Matriz Anti-simétrica: 
 
■ São matrizes quadradas onde aij = - aji. 
 
Exemplo: 
A = 
053
502
320
 
 
Matriz Transposta: 
 
■ Seja uma matriz A = (aij)p x q, chama-se transposta 
de A e representa-se por At, a matriz At = (aij)q x p, 
que se obtém trocando linhas por colunas. 
 
Exemplo: 
A = 
4x2
t
2x4
4131
0242
A
40
12
34
12
 
B = 
3x4
t
4x3 1094
935
121
803
B
10918
9320
4513
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
ADIÇÃO: 
 
 
A NOKIA fabricante de aparelhos celulares, 
pesquisou dois modelos vendidos nos três primeiros 
meses do ano, pela Amazônia Celular e Vivo, os 
resultados obtidos foram os seguintes: 
A = 
3x2
503545
402030
 e B = 
3x2
483540
451535
 
 
 A matriz A descreve o desempenho da Amazônia 
Celular onde cada elemento aij é o número de 
unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês. 
 A matriz B, mostra o desempenho da Vivo, 
sendo bij o número de unidades vendidas, sendo 
i o modelo e j o mês. 
 
O desempenho de vendas das duas lojas pode ser 
representado por uma matriz C2x3, no qual cada 
elemento cij é igual a soma de seus elementos 
correspondentes. 
C = 
503545
402030
+
483540
451535
 
C = 
987085
853565
485035354045
454015203530
 
 
Definição: 
Dada uma matriz A = (aij)n x m e B = (bij)n x m, chama-
se soma de A + B, a matriz C = (cij)n x m, tal que: cij = 
aij + bij . 
 
Exemplo: 
1. Dada as matrizes 
A = 
2x3
12
40
12
 e B = 
2x3
01
24
13
, determine a 
matriz C, tal que C = A + B. 
C = 
12
40
12
 + 
01
24
13
 = 
0112
2440
1132
 
C = 
2x3
11
64
25
 
 
Matriz Nula: 
 
■ São matrizes onde todos os seus elementos são 
iguais a zero. 
 
nxm
0...000
0...000
0...000
0...000
A

 
 
 
Matriz simétrica: 
 
São matrizes quadradas onde cada elemento aij = aji. 
 
 
Exemplo: 
A = 
3x3
236
354
642
 B = 
3x3
726
235
651
 
 
 
Matriz Anti-simétrica: 
 
■ São matrizes quadradas onde aij = - aji. 
 
Exemplo: 
A = 
053
502
320
 
 
Matriz Transposta: 
 
■ Seja uma matriz A = (aij)p x q, chama-se transposta 
de A e representa-se por At, a matriz At = (aij)q x p, 
que se obtém trocando linhas por colunas. 
 
Exemplo: 
A = 
4x2
t
2x4
4131
0242
A
40
12
34
12
 
B = 
3x4
t
4x3 1094
935
121
803
B
10918
9320
4513
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
ADIÇÃO: 
 
 
A NOKIA fabricante de aparelhos celulares, 
pesquisou dois modelos vendidos nos três primeiros 
meses do ano, pela Amazônia Celular e Vivo, os 
resultados obtidos foram os seguintes: 
A = 
3x2
503545
402030e B = 
3x2
483540
451535
 
 
 A matriz A descreve o desempenho da Amazônia 
Celular onde cada elemento aij é o número de 
unidades vendidas, sendo i o modelo e j o mês. 
 A matriz B, mostra o desempenho da Vivo, 
sendo bij o número de unidades vendidas, sendo 
i o modelo e j o mês. 
 
O desempenho de vendas das duas lojas pode ser 
representado por uma matriz C2x3, no qual cada 
elemento cij é igual a soma de seus elementos 
correspondentes. 
C = 
503545
402030
+
483540
451535
 
C = 
987085
853565
485035354045
454015203530
 
 
Definição: 
Dada uma matriz A = (aij)n x m e B = (bij)n x m, chama-
se soma de A + B, a matriz C = (cij)n x m, tal que: cij = 
aij + bij . 
 
Exemplo: 
1. Dada as matrizes 
A = 
2x3
12
40
12
 e B = 
2x3
01
24
13
, determine a 
matriz C, tal que C = A + B. 
C = 
12
40
12
 + 
01
24
13
 = 
0112
2440
1132
 
C = 
2x3
11
64
25
 
 
n ADIÇÃO
36 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
mATRIz
Operações e aplicações
PROPRIeDADeS DA ADIÇÃO DA mATRIz
SUBTRAÇÃO
mULTIPLICAÇÃO De Um NúmeRO POR UmA mATRIz
 
 
 
 
 
Propriedades da adição da Matriz 
 
■ Considere as matrizes A, B e C de mesma ordem, então são válidas as propriedades a seguir: 
 Comutativa: A + B = B + A 
 Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 
 Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A, onde 0 é a matriz nula do mesmo tipo da matriz A. 
 Elemento Oposto: para toda matriz A existe a matriz A' tal que A + A' = A' + A = 0, onde 0 é a matriz nula 
do mesmo tipo de A e A'. 
 
Obs.: a oposta de A, indicaremos por (-A), tal que A' = (-A). 
A = 
3x33x3
354
130
412
A
354
130
412
 
 
Subtração 
 
■ Para analisar a subtração de matrizes, basta tomarmos como exemplo, as matrizes que utilizamos como 
exemplo na adição. 
 
A = 
3x2
503545
402030 e B = 
3x2
483540
451535 . 
 
A – B = A + (–B), onde (–B) oposta de B. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
■ Podemos observar que a marca 1 o melhor desempenho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenho foi da 
Amazônia Celular. 
 
■ Definição: A diferença entre duas matrizes de mesma ordem é dada pela soma da primeira com a oposta da 
segunda, ou seja, A - B = A + (-B). 
 
Multiplicação de um número por uma Matriz 
 
■ A multiplicação de um número k por uma matriz A = (aij)m x n é uma matriz B = k . A e bij = k . aij. 
Exemplo: 
1. dada a matriz A = 
3x3
412
054
312
, determine a matriz B = 3 . A. 
B = 3 . 
412
054
312
 = 
3x3
1236
01512
936
 
 
483540
451535
503545
402030
BA
205
555
485035354045
454015203530
BA
 
 
 
 
 
Propriedades da adição da Matriz 
 
■ Considere as matrizes A, B e C de mesma ordem, então são válidas as propriedades a seguir: 
 Comutativa: A + B = B + A 
 Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 
 Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A, onde 0 é a matriz nula do mesmo tipo da matriz A. 
 Elemento Oposto: para toda matriz A existe a matriz A' tal que A + A' = A' + A = 0, onde 0 é a matriz nula 
do mesmo tipo de A e A'. 
 
Obs.: a oposta de A, indicaremos por (-A), tal que A' = (-A). 
A = 
3x33x3
354
130
412
A
354
130
412
 
 
Subtração 
 
■ Para analisar a subtração de matrizes, basta tomarmos como exemplo, as matrizes que utilizamos como 
exemplo na adição. 
 
A = 
3x2
503545
402030 e B = 
3x2
483540
451535 . 
 
A – B = A + (–B), onde (–B) oposta de B. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
■ Podemos observar que a marca 1 o melhor desempenho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenho foi da 
Amazônia Celular. 
 
■ Definição: A diferença entre duas matrizes de mesma ordem é dada pela soma da primeira com a oposta da 
segunda, ou seja, A - B = A + (-B). 
 
Multiplicação de um número por uma Matriz 
 
■ A multiplicação de um número k por uma matriz A = (aij)m x n é uma matriz B = k . A e bij = k . aij. 
Exemplo: 
1. dada a matriz A = 
3x3
412
054
312
, determine a matriz B = 3 . A. 
B = 3 . 
412
054
312
 = 
3x3
1236
01512
936
 
 
483540
451535
503545
402030
BA
205
555
485035354045
454015203530
BA
n Podemos observar que a marca 1 o melhor desem-
penho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenho 
foi da Amazônia Celular.
■ Definição: A diferença entre duas matrizes de mes-
ma ordem é dada pela soma da primeira com a oposta 
da segunda, ou seja, A - B = A + (-B).
 
 
 
 
 
Propriedades da adição da Matriz 
 
■ Considere as matrizes A, B e C de mesma ordem, então são válidas as propriedades a seguir: 
 Comutativa: A + B = B + A 
 Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) 
 Elemento Neutro: A + 0 = 0 + A = A, onde 0 é a matriz nula do mesmo tipo da matriz A. 
 Elemento Oposto: para toda matriz A existe a matriz A' tal que A + A' = A' + A = 0, onde 0 é a matriz nula 
do mesmo tipo de A e A'. 
 
Obs.: a oposta de A, indicaremos por (-A), tal que A' = (-A). 
A = 
3x33x3
354
130
412
A
354
130
412
 
 
Subtração 
 
■ Para analisar a subtração de matrizes, basta tomarmos como exemplo, as matrizes que utilizamos como 
exemplo na adição. 
 
A = 
3x2
503545
402030 e B = 
3x2
483540
451535 . 
 
A – B = A + (–B), onde (–B) oposta de B. 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
■ Podemos observar que a marca 1 o melhor desempenho foi da Vivo, já a marca 2 o melhor desempenho foi da 
Amazônia Celular. 
 
■ Definição: A diferença entre duas matrizes de mesma ordem é dada pela soma da primeira com a oposta da 
segunda, ou seja, A - B = A + (-B). 
 
Multiplicação de um número por uma Matriz 
 
■ A multiplicação de um número k por uma matriz A = (aij)m x n é uma matriz B = k . A e bij = k . aij. 
Exemplo: 
1. dada a matriz A = 
3x3
412
054
312
, determine a matriz B = 3 . A. 
B = 3 . 
412
054
312
 = 
3x3
1236
01512
936
 
 
483540
451535
503545
402030
BA
205
555
485035354045
454015203530
BA
Frente
Ficha
04
02
www.portalimpacto.com.br 37n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
 
 
 
 
 
Multiplicação de Matrizes 
 
Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de 
linhas da segunda. A ordem da matriz resultante é dada pelo número de linhas da primeira e o número de 
colunas da segunda. 
A = (aij)m x k 
 C = A . B C = (cij)m x n 
B = (bij)k x n 
 
 
Propriedades da Multiplicação de Matrizes 
 
 Associativa: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = (A.B).C. 
 Distributiva à direita: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: (A + B).C = A.C + 
B.C. 
 Distributiva à esquerda: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = A.B 
+ A.C 
 Sendo A e B matrizes m x n e n x k, respectivamente, então: (A.B)t = Bt . At 
 
Obs.: A multiplicação de matrizes não obedece a propriedade comutativa, no entanto existem matrizes que são 
comutáveis. 
 
Matriz Inversa 
 
Seja a matriz A quadrada de ordem n chama-se inversa de A e representa-se por A-1, a matriz que obedece a 
propriedade A . A-1 = A-1 . A = In, onde In é a matriz identidade. 
 
Exemplo: 
Determine a inversa da matriz A = 
2x243
12 . 
 
Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é chamada matriz singular. 
 
mULTIPLICAÇÃO De mATRIzeS
PROPRIeDADeS DA mULTIPLICAÇÃO De mATRIzeS
mATRIz INveRSA
+ +
n Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é cha-
mada matriz singular.
 
 
 
 
 
Multiplicação de Matrizes 
 
Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de 
linhas da segunda. Aordem da matriz resultante é dada pelo número de linhas da primeira e o número de 
colunas da segunda. 
A = (aij)m x k 
 C = A . B C = (cij)m x n 
B = (bij)k x n 
 
 
Propriedades da Multiplicação de Matrizes 
 
 Associativa: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = (A.B).C. 
 Distributiva à direita: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: (A + B).C = A.C + 
B.C. 
 Distributiva à esquerda: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = A.B 
+ A.C 
 Sendo A e B matrizes m x n e n x k, respectivamente, então: (A.B)t = Bt . At 
 
Obs.: A multiplicação de matrizes não obedece a propriedade comutativa, no entanto existem matrizes que são 
comutáveis. 
 
Matriz Inversa 
 
Seja a matriz A quadrada de ordem n chama-se inversa de A e representa-se por A-1, a matriz que obedece a 
propriedade A . A-1 = A-1 . A = In, onde In é a matriz identidade. 
 
Exemplo: 
Determine a inversa da matriz A = 
2x243
12 . 
 
Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é chamada matriz singular. 
 
 
 
 
 
 
Multiplicação de Matrizes 
 
Para multiplicarmos duas matrizes é necessário que o número de colunas da primeira seja igual ao número de 
linhas da segunda. A ordem da matriz resultante é dada pelo número de linhas da primeira e o número de 
colunas da segunda. 
A = (aij)m x k 
 C = A . B C = (cij)m x n 
B = (bij)k x n 
 
 
Propriedades da Multiplicação de Matrizes 
 
 Associativa: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = (A.B).C. 
 Distributiva à direita: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: (A + B).C = A.C + 
B.C. 
 Distributiva à esquerda: sendo A, B e C matrizes m x n, n x k e k x p, respectivamente, então: A.(B.C) = A.B 
+ A.C 
 Sendo A e B matrizes m x n e n x k, respectivamente, então: (A.B)t = Bt . At 
 
Obs.: A multiplicação de matrizes não obedece a propriedade comutativa, no entanto existem matrizes que são 
comutáveis. 
 
Matriz Inversa 
 
Seja a matriz A quadrada de ordem n chama-se inversa de A e representa-se por A-1, a matriz que obedece a 
propriedade A . A-1 = A-1 . A = In, onde In é a matriz identidade. 
 
Exemplo: 
Determine a inversa da matriz A = 
2x243
12 . 
 
Obs.: Quando uma matriz não admite inversa é chamada matriz singular. 
 
Contribuições das matrizes para a educação
n Na educação como um todo as matrizes também estão presentes. No que diz res-
peito à organização da Escola elas se fazem presentes através de quadros compara-
tivos de desempenho escolar, assim como tabelas que visam alcançar determinados 
objetivos pedagógicos.
n As matrizes tornam-se material obrigatório de consulta e/ou instrumento de me-
dição de desempenho da instituição escolar.
n No contato cotidiano com a informática, o aluno também 
se confrontará com as matrizes, e daí a importância de 
incentivar o contato e o entendimento desta matéria, 
pois a informática faz parte da realidade do aluno na 
atualidade.
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DeTeRmINANTeS
Conceito e Resolução
DeTeRmINANTeS
 
 
 
 
 
DETERMINANTE 
 
É todo número gerado pela diferença entre o produto 
das diagonais. 
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
a...aaa
a...aaa
a...aaa
a...aaa
A 
 
CÁLCULO DOS DETERMINANTES 
 
1º caso: Determinante de 1ª Ordem 
A = (a11) detA = a11 
 
2º caso: Determinante de 2ª Ordem 
2221
1211
aa
aa
A 
 
Regra de Crammer: O determinante de uma matriz 
quadrada de ordem 2 é dado pela diferença entre o 
produto dos elementos da diagonal principal e o 
produto dos elementos da diagonal secundária. 
det
2221
1211
aa
aa
A 21122211 aaaaAdet 
 
3º caso: Determinante de 3ª Ordem 
Regra de Sarrus: Essa regra só é valida para 
determinantes de ordem 3. 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
 
Menor Complementar: Chama-se menor 
complementar de uma matriz A de ordem n 2 de 
um elemento aij, ao valor ij, correspondente ao 
determinante da Matriz que se obtém eliminando a 
linha i e a coluna j onde se encontra o elemento aij. 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
 
O menor complementar 
3232
2322
11 aa
aa
 11 = a22 . a32 - a23 . a32 
2321
1311
32 aa
aa
 11 = a11 . a23 - a13 . a21 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
1. Dada a matriz 
341
423
312
A , calcule: 
 
a) 
41
23
13 b) 34
31
21 
 
 13 = 12 - ( -2) 21 = -3 - 12 
 13 = 14 21 = -15 
 
 
 
Cofator ou complementar algébrico: Chama-se 
cofator do elemento aij de uma matriz A de ordem n 
2, ao elemento Aij que se obtém multiplicando o fator 
(-1)i + j pelo menor complementar ij. 
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
a...aaa
a...aaa
a...aaa
a...aaa
A

 
 
Aij = (-1)
i + j . ij 
 
A11 = (-1)
1 + 1 . 11 A23 = (-1)
2 + 3 . 23 
A11 = 11 A23 = - 23 
 
 
 
Regra de Laplace: Seja uma matriz A de ordem n 2, 
o determinante da matriz A é dado pela soma do 
produto de uma de suas filas pelo seus respectivos 
cofatores. 
 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A 
 
 
detA = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 
detA = a11.(-1)
1+1. 11 + a12.(-1)
1+2 . 12 + a13.(-1)
1+3. 13 
detA = a11 . 11 - a12 . 12 + a13 . 13 
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aa
.a
aa
aa
.aAdet + 
3231
2221
13 aa
aa
.a 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Determinante de uma 
Matriz A pode ser 
denotado por detA. 
 
Frente
Ficha
04
03
www.portalimpacto.com.br 39n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
1. Calcule o determinante das matrizes abaixo: 
 
a) 
113
241
231
A 
 
detA = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 
detA = a11.(-1)
1+1. 11 + a12.(-1)
1 + 2. 12 + a13.(-1)
1 + 3 . 13 
detA = a11 . 11 - a12 . 12 + a13 . 13 
 
detA = 1.
11
24 3.
13
21 + 2.
13
41 
 
detA = 4 ( 2) 3.[1 ( 6)] + 2.(1 12) 
detA = 4 + 2 3.7 + 2.( 10) 
detA = 6 21 22 
detA = 37 
 
 
Propriedades de Determinantes: 
 
P1 - Se uma fila de uma matriz (linha ou coluna) for 
nula, então seu determinante é igual a zero. 
0Adet
112
000
431
A 
 
Exemplo: 
Determine o valor de x na equação: 
0
1204
6303
5101
124x2 2
 
 
P2 - Se duas fileiras, horizontais ou verticais, de uma 
matriz forem iguais ou proporcionais, então seu 
determinante é nulo. 
231
142
231
A 
 
P3 - Permutando-se duas linhas ou duas colunas de 
uma matriz, o seu determinante muda de sinal. 
 
34
12
A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Permuta 1ª linha com a 2ª linha 
 
12
34
B 
 
 
P4 - Se os elementos que estão acima e/ou abaixo da 
diagonal principal forem nulos, então o determinante 
é dado pelo produto dos elementos da diagonal 
principal. 
2123
0401
0032
0001
A 
 
P5 - Fazendo a combinação linear de duas linhas ou 
duas colunas de uma matriz, seu determinante não 
altera. 
41
23
A 
 
1ª linha menos a 2ª linha 
41
22
B 
 
 
P6 - Multiplicando-se uma fila de uma matriz por uma 
constante, então o determinante dessa matriz fica 
multiplicado por essa constante. 
83
21
A 
 
multiplicar a 1ª linha por 2: 
83
42
B 
 
P7- Multiplicando-se uma Matriz quadrada por uma 
constante k, seu determinante obedece a seguinte 
relação: 
det(k.A) = kn . detA, 
Amatrazdaordemn
tetanconsk 
P8- detA
t = detA 
 
P9- det(A.B) = detA . detB 
P10- Adet
1Adet 1 detA . detA 1 = 1 
Obs.: Uma matriz só admite inversa, quando seu 
determinante for diferente de zero. 
 
1ªL = 3ªL 
detA = 0 
detA = 6 4 
detA = 2 
detB = 4 6 
detB = 2 
detB =detA 
detA = 1 . 3 . 4 . 2 
detA = 24 
detA = 12 2 
detA = 10 
detB = 8 ( 2) 
detB = 10 
detB = detA 
detA = 8 6 
detA = 2 
detB = 16 12 
detA = 4 
PROPRIeDADeS DeTeRmINANTeS
+ +
40 www.portalimpacto.com.brn MATeMáTICA www.portalimpacto.com.br
SISTemAS
Lineares (conceito e classificação)
SISTemAS LINeAReS 
 
 
 
 
EQUAÇÃO LINEAR 
É toda equação da forma a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b, 
onde x1 x2 ... xn 
 Ex.: x + 2y + z 4w = 9 
 
SISTEMA LINEAR 
É todo sistema formado por duas ou mais equações 
lineares. 
mnmn33m22m11m
2nn2323222121
1nn1313212111
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
 
 
Sistema Linear Quadrado: É quando o número de 
equações é igual ao número de variáveis. 
nnnn33n22n11n
2nn2323222121
1nn1313212111
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
 
 
Equação Matricial da Forma A.X = B 
A - matriz dos coeficientes 
X - matriz das variáveis 
B - matriz dos termos independentes 
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
a...aaa
a...aaa
a...aaa
a...aaa
A

, 
n
3
2
1
x
x
x
x
X

 e 
n
3
2
1
b
b
b
b
B

 
 
nn3n2n1n
n3333231
n2232221
n1131211
a...aaa
a...aaa
a...aaa
a...aaa

. 
n
3
2
1
x
x
x
x

= 
n
3
2
1
b
b
b
b

 
 
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 
Possível: quando apresentar solução. 
 
Determinado: quando apresenta uma única solução. 
 
Indeterminado: quando apresenta infinitas soluções. 
 
Impossível: quando não apresenta solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR 
Det A 0 - Sistema possível e determinado. 
 
Quando Det A = 0 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
1- Determine o valor de k, de modo que o sistema 
seja possível e determinado. 
0
111
312
11k
2zyx
4z3yx2
3zykx
 
 
k + 3 + 2 ( 1 3k + 2) 0 
k + 3k + 5 1 0 
4k 4 
k 1 
2- Discuta o sistema: 
5zyx3
1z2y2x
3pzyx2
 
0
113
221
p12
 p = 1 
 
153
211
132
y
115
221
113
x 
 
detx = 0 
p 1 - Sistema possível e determinado 
 
dety = 2 18 + 5 ( 3 20 + 3) 
dety = 15 + 20 
dety = 5 
dety 0 
detx = 0 
Sistema impossível 
 
1- detx1 = detx2 = detx3 = ... = detxn = 0, Sistema 
Possível e indeterminado. 
 
2- Pelo menos um dos determinantes das variáveis 
seja diferente de zero o sistema é impossível. 
Frente
Ficha
04
04-05
www.portalimpacto.com.br 41n MATeMáTICAwww.portalimpacto.com.br
 
 
 
 
 
SISTEMA HOMOGÊNEO 
 
É todo sistema onde os termos independentes são 
nulos. O sistema homogêneo é sempre possível, pois 
apresenta no mínimo a solução trivial. 
 
0xa...xaxaxa
0xa...xaxaxa
0xa...xaxaxa
nnn33n22n11n
nn2323222121
nn1313212111
 
 
x1 = x2 = ... = xn = 0 
 
Solução trivial: S = {(0, 0, 0, ..., 0)} 
Det A 0 - possível e determinado e a solução é 
trivial. 
Det A = 0 - possível e indeterminado. 
 
Exemplo: 
Determine o valor de m, de modo que o sistema 
apresente apenas a solução trivial. 
 
111
1m2
321
0zyx
0zmyx2
0z3y2x
 
 
m + 2 + 6 (3m 1 5) 0 
m 3m + 8 + 5 0 
 2m 13 
2
13m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS LINEARES NÃO QUADRADOS 
 
1º) Se o número de equações maior que o número de 
variáveis. O sistema é possível e determinado ou 
impossível. 
 
Exemplo: 
 
14y2x3
0yx2
6yx
 
 
3x + 2y = 14 
3 . 2 + 2 . 4 = 14 
6 + 8 = 14 
 
Possível e determinado 
 
2yx3
3yx
4yx2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Det A = 0 
0yx2
6yx
 
3x = 6 
x = 2 
 
x + y = 6 
y = 6 2 
y = 4 
2yx3
3yx
 
4x = 5 
4
5x 
 
x + y = 3 
4
53y 
4
7y 
14
4
17
14
4
7
4
10
14
7
4
4
52
4yx2
Substituindo em I 
SISTemAS HOmOGêNeOS
ReGRA De CRAmeR
Dado um sistema:
1º Calcula-se o detA
2º Calcula-se o determinante das variáveis, substituindo-
se os seus coeficientes pelos termos independentes.
3º Cada variável é a razão entre seu determinante e o 
determinante dos coeficientes.
SISTemAS LINeAReS NÃO qUADRADOS
+ +










nnnn33n22n11n
2nn2323222121
1nn1313212111
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
bxa...xaxaxa
Adet
xdet
x;
Adet
xdet
x;
Adet
xdet
x 33
2
2
1
1 