7 - Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros

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Universidade Federal de Santa Catarina 
Centro de Engenharia da Mobilidade – CEM 
Campus Joinville 
 
 
 
Prof. James S. Eger 
 
EMB 5010 
Estatística e probabilidade para engenharia 
Distribuições Amostrais 
e 
Estimação de Parâmetros 
 
 
Centro de Engenharia da Mobilidade EMB 5010 – Estatística 
Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Introdução 
 Inferência Estatística: 
 Métodos para tomar decisões ou tirar conclusões 
 Exemplos: 
 Utilizar outro processo de montagem eixo-mancal? 
 Alterar a composição de uma liga metálica? 
 Mudar de fornecedor de matéria-prima? 
 A temperatura influencia significativamente no rendimento do 
processo? 
 Et cetera... 
 
 
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Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Introdução 
 Inferência Estatística: 
 Dividida em duas grandes áreas: 
 Estimação de Parâmetros 
 Testes de Hipóteses 
 
 
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Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Introdução 
 Inferência Estatística: 
 Dividida em duas grandes áreas: 
 Estimação de Parâmetros 
 Testes de Hipóteses 
 
 Estimação de Parâmetros - Exemplo: 
 Um engenheiro está analisando a resistência à tração de um componente 
utilizado em chassis de automóvel 
 A resistência é exatamente igual para todas as peças? 
 Não → variabilidade (matéria-prima, processo de fabricação etc.) 
 Amostra → estimativa pontual do parâmetro de interesse (p.ex. média) 
 
 
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Introdução 
 Inferência Estatística: 
 Dividida em duas grandes áreas: 
 Estimação de Parâmetros 
 Testes de Hipóteses 
 
 Teste de Hipóteses - Exemplo: 
 Um engenheiro está analisando o rendimento (ρ) de um processo químico 
quando realizado sob duas temperaturas diferentes: T1 e T2 
 Conjectura: T1 resulta em rendimentos significativamente maiores? 
 Hipótese: ρ médio sob T1 > ρ médio sob T2 
 Não há ênfase na estimação dos rendimentos: 
 Foco nas conclusões sobre a hipótese estabelecida 
 
 
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Introdução 
 Inferência Estatística: 
 
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Introdução 
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Introdução 
 Parâmetro: medida descritiva da POPULAÇÃO 
 µ, σ, p, ... 
 
 Estatística: medida descritiva da AMOSTRA 
 𝑋 , s, 𝑝 , ... 
 
 Amostra Aleatória Simples: n observações independentes com mesma 
distribuição de probabilidades 
 
 
 Exemplo: estatura média da turma 
 Qual seria uma boa estimativa? 
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Introdução 
),...,,(ˆ 21 nXXXf
 As observações dos dados coletados são variáveis aleatórias 
 Logo, qualquer função das observações, ou seja, qualquer estatística, 
também é uma variável aleatória 
 → 



n
i
iX
n
X
1
1 2
1
2 )(
1
1





n
i
i XX
n
s
 As estatísticas 
 
 são variáveis aleatórias 
 Portanto: possuem distribuição de probabilidades 
 Exemplo: 
 X = diâmetro de eixos fabricados em série 
 X1, X2, ..., Xn são valores medidos dos diâmetros de n peças 
(amostra) 
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Teorema do Limite Central 
 A distribuição de probabilidades de uma estatística é chamada de 
distribuição amostral 
 Teorema do Limite Central: 
 Se X1, X2, ..., Xn for uma amostra aleatória de tamanho n, retirada de 
uma população com média µ e variância σ², e se for a média da 
amostra, então a distribuição amostral da média será 
aproximadamente normal, com média µ e variância 
 
 µ e no quadro 
 
 Exemplo: média dos dados 
X
n
2
 Applet University of Auckland (Nova Zelândia): 
 http://www.socr.ucla.edu/applets.dir/samplingdistributionapplet.html 
 
X

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Teorema do Limite Central 
 Exemplo 1: Resistores 
 Uma companhia telefônica fabrica resistores com resistência média de 
100 Ω e desvio-padrão de 10 Ω. 
 Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória de n = 25 ter 
uma resistência média menor que 95 Ω. 
 Não temos informação sobre a distribuição da população 
 Mas, como a variável de interesse é a média → teorema do limite 
central 
 R: P (X < 95) = 0,0062 
 
 
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Teorema do Limite Central 
 Exemplo 2: Condutividade térmica 
 Um artigo no Journal of Heat Transfer descreveu um novo método 
para medir a condutividade térmica de um tipo aço. Usando uma 
temperatura de 100 ºF e uma potência de 550 W, as 10 medidas 
seguintes de condutividade térmica (Btu/h ∙ ft ∙ ºF) foram obtidas: 
 
Estimativa pontual da 
condutividade térmica: 
média amostral 
x = 41,92 Btu/h ∙ ft ∙ ºF 
Desvio-padrão da 
amostra: 
s = 0,28 Btu/h ∙ ft ∙ ºF 
Desvio-padrão da 
média amostral: 
sx = 0,09 Btu/h ∙ ft ∙ ºF 

10
s
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Erro-padrão: Reportando uma Estimativa Pontual 
 Erro-padrão: 
 
 Utilizamos os dados de uma amostra para estimar um parâmetro da 
população 
 
 Estimativa → incerteza 
 
 Qual o tamanho dessa incerteza? 
 
 
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Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Erro-padrão: Reportando uma Estimativa Pontual 
 Voltando ao Exemplo 2: Condutividade térmica 
 Como estimar o erro-padrão da média amostral que calculamos (a 
partir dos dados da amostra)? 
Estimativa pontual da 
condutividade térmica: 
média amostral 
x = 41,92 Btu/h ∙ ft ∙ ºF 
Desvio-padrão da 
média amostral: 
sx = 0,09 Btu/h ∙ ft ∙ ºF 

10
s
erro-padrão 
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Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Erro-padrão: Reportando uma Estimativa Pontual 
 Voltando ao Exemplo 2: Condutividade térmica 
x = 41,92 Btu/h ∙ ft ∙ ºF 
sx = 0,09 Btu/h ∙ ft ∙ ºF 

10
s
2∙sx = 2∙0,09 = 0,18 Btu/h ∙ ft ∙ ºF 
Temos 95% de confiança que o intervalo 
 Btu/h ∙ ft ∙ ºF contém o 
valor verdadeiro da condutividade 
térmica média. 
)18,092,41( 
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Erro-padrão: Reportando uma Estimativa Pontual 
 Voltando ao Exemplo 2: Condutividade térmica 
x = 41,92 Btu/h ∙ ft ∙ ºF 
sx = 0,09 Btu/h ∙ ft ∙ ºF 

10
s
2∙sx = 2∙0,09 = 0,18 Btu/h ∙ ft ∙ ºF 
Temos 95% de confiança que o intervalo 
 Btu/h ∙ ft ∙ ºF contém o 
valor verdadeiro da condutividade 
térmica média. 
)18,092,41( 
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Distribuições Amostrais e Estimação de ParâmetrosIntervalo de Confiança 
 Intervalo de Confiança 
 A inferência estatística estima um parâmetro da população a partir de 
dados da amostra 
 Quão boa é essa estimativa? 
 
 Intervalos de confiança são limites dentro dos quais é altamente 
provável que se encontre o valor verdadeiro do parâmetro estimado 
 O cálculo é feito a partir dos dados da própria amostra 
 
 Exemplo para a média: 
 l ≤ µ ≤ u (... quadro) 
 
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Intervalo de Confiança 
 Intervalo de Confiança 
 O Intervalo de Confiança anterior foi determinado considerando que o 
desvio-padrão da população (σ) é conhecido 
 Muitas vezes, conhecemos apenas a estimativa deste desvio-padrão, 
ou seja, o desvio-padrão da amostra (s) 
 Nesses casos → distribuição t de Student 
 
 
 
 
 
 
t (α; gl) 
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Intervalo de Confiança 
 Intervalo de Confiança 
 Resumindo: 
 IC para média, desvio-padrão populacional conhecido (ou n ≥ 40): 
 IC para média, desvio-padrão populacional desconhecido: 
 Obs.: Quando a amostra for grande (n ≥ 40), o desvio-padrão da 
amostra (s) pode ser utilizado no lugar de σ sem influências 
significativas 
 Ex.: estimar IC para média do Exemplo 2 com 99% de confiança 
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Intervalo de Confiança 
 Tamanho da Amostra 
 Qual deve ser o tamanho da amostra para “garantir” um determinado 
erro? 
Erro amostral tolerado: 
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Recapitulando: 
 Como tratar a aleatoriedade das observações em uma amostra? 
 Variáveis aleatórias com distribuições de probabilidade 
 Característica especial da distribuição da média das amostras (distribuição 
amostral da média)? 
 Teorema do limite central: a distribuição amostral da média será 
aproximadamente normal, com média µ e variância 
 
 Como estimar o erro de uma estimativa pontual (erro amostral)? 
 Erro-padrão 
 Intervalo de confiança 
 É possível determinar o tamanho necessário da amostra para “garantir” 
um determinado erro amostral 
n
2
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Exercício: 
 Sobre a estimativa da estatura média da turma: 
 
 Qual o valor da estimativa pontual (média)? 
 
 Determinar a média e o desvio-padrão da 
distribuição amostral da média 
 
 Calcular um intervalo de confiança para a média da 
população (turma inteira) com nível de confiança de 
95% 
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MONTGOMERY, D.C., RUNGER, G.C. Estatística aplicada e 
probabilidade para engenheiros. 4ª ed., Editora LTC, Rio de Janeiro, 2009. 
 
BARBETTA, P. A., REIS, M. M. & BORNIA, A. C. Estatística para Cursos 
de Engenharia e Informática. 2ª ed., Editora Atlas, São Paulo, 2009. 
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Referências