MIOLO ESTATÍSTICA APLICADA (1)

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Módulo I – Unidade 1: Definição Estatística 
 
Para muitos a estatística não passa de um conjunto de tabelas e gráficos 
ou, simplesmente, um aglomerado de números. Na verdade, o campo científico 
que corresponde à estatística é uma excelente ferramenta na interpretação de 
dados coletados para qualquer ciência incluindo a ciência química. 
A estatística historicamente tem nos ajudado na compreensão de 
diversas informações. A palavra estatística vem de „status‟ (estado em latim). 
Sob essa palavra acumulam-se descrições e dados relativos ao estado. A 
estatística, nas mãos dos estadistas, constitui-se, no passado, uma verdadeira 
ferramenta administrativa através da coleta e construção de tabelas de dados 
para o governo. A situação evoluiu e esta coleta de dados de dados representa 
somente um dos aspectos da estatística como será descrito no decorrer do 
texto. 
 
A estatística é um conjunto de técnicas que permite, de forma 
sistemática, organizar, descrever, analisar e interpretar dados oriundos 
de estudos ou experimentos, realizados em qualquer área do 
conhecimento. 
 
Dentre as diversas áreas da estatística nosso estudo se limitará a que é 
chamada estatística descritiva: 
 
É utilizada para descrever e resumir os dados. A disponibilidade de uma 
grande quantidade de dados e de métodos computacionais muito 
eficientes revigorou está área da estatística. 
 
As informações em análise podem ser resumidas qualitativa ou 
quantitativamente (medidas de posição e de dispersão). As medidas de 
posição podem ser subdivididas em: moda, média, mediana, percentis, quartis. 
E as medidas de dispersão em: desvio – padrão, variância e coeficiente de 
variação. Medias estas que serão abordadas mais profundamente nas 
unidades seguintes, assim como sistemas de regressão linear simples e 
análise hierárquica de agrupamentos (cluster). 
 
 
8 
 
Módulo I - Unidade 2: População e Amostragem 
 
POPULAÇÃO 
População ou universo é qualquer conjunto de informações que 
tenham, entre si, uma característica comum. 
As pessoas de uma comunidade pode ser estudadas sob diversos 
ângulos. Por exemplo, podem ser classificadas quanto ao sexo (masculino e 
feminino), quanto à estatura (baixa, média, alta), quanto à renda (pobres, 
ricas), etc. 
Sexo, estatura, renda são variáveis, isto é, são propriedades às quais 
podemos associar conceitos ou números e assim expressar, de certa 
maneira, informações sob a forma de medidas. 
Por exemplo, observe a seguinte tabela 1: 
Tabela 1: Nomes associados aos sexos. 
Nome Sexo 
Paulo Masculino 
Silvana Feminino 
Jhon Masculino 
Heloísa Feminino 
Na tabela, os nomes estão associados ao sexo (masculino, feminino). 
Esta é uma forma de medida, a chamada medida qualitativa. Pode-se ainda 
associar a masculino o número 1 e a feminino o número 2, e a tabela 1 
transforma-se em: 
 
 
 
 
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Tabela 2: Nomes relacionados ao sexo masculino (1) e feminino (2). 
Nome Sexo 
Paulo 1 
Silvana 2 
Jhon 1 
Heloísa 2 
Se o conjunto de todas as estaturas das pessoas da comunidade citada 
constitui uma população de estaturas, o conjunto de todas as cores de olhos 
constitui uma população de cores de olhos, e assim sucessivamente. Desta 
forma, o termo população não está associado pessoa, gente e sim a variável 
estudada (estatura, cor dos olhos, etc). 
Entretanto, população muito grande como, por exemplo, a população 
eleitoral brasileira (cerca de 128 milhões de eleitores aptos a votar, estimativa 
do TSE – Tribunal Superior Eleitoral). Como fazer uma pesquisa de opinião 
sobre a popularidade de determinado político brasileiro sem ter que entrevistar 
cada uma das pessoas e garantir um resultado confiável? Neste Caso, recorre-
se a uma amostra que, basicamente, constitui uma redução da população a 
dimensões menores, sem ter perda das características essências. 
Por exemplo, tem-se da vila São José com população de 400 pessoas. 
Se for realizado um estudo das idades dos habitantes desta vila, o trabalho 
pode ser simplificado colhendo uma amostra de 40 pessoas e estudar o 
comportamento da variável idade apenas nesta amostra. 
No entanto, para se ter uma boa amostra, esta deve ser 
representativa, ou seja, deve conter em proporção tudo o que a população 
possui qualitativa e quantitativamente. E tem que ser imparcial, isto é, todos 
os elementos devem ter igual oportunidade de fazer parte da amostra. 
 
 
10 
 
Voltando ao exemplo da vila. Observe as tabelas 3 e 4: 
Tabela 3: Quantidade de Pessoas da vila São José em relação à idade em 
anos. 
Idade (anos) 
Qtd. de 
pessoas 
2 30 
10 40 
18 40 
26 40 
32 50 
40 60 
52 70 
65 70 
Total 400 
 
Tabela 4: Quantidade de Pessoas da vila São José em percentagem em 
relação à idade em anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Idade (anos) 
Qtd. de 
pessoas 
% 
2 30 7,5 
10 40 10,0 
18 40 10,0 
26 40 10,0 
32 50 12,5 
40 60 15,0 
52 70 17,5 
65 70 17,5 
Total 400 100 
 
 
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A tabela 4 especifica que 50 pessoas da vila com idade de 32 anos 
correspondem a 7,5% do total dos habitantes desta vila. Então, para haver 
representatividade, é preciso garantir que, na amostra de 40 pessoas, 
também haverá 7,5% de pessoas idade igual a 32 anos, ou seja, 3 pessoas 
com idade igual a 32 anos. 
 
MÉTODOS DE AMOSTRAGEM 
Serão abordados 3 tipos de amostragem, mas é importante notar que estes 
métodos são válidos somente se a amostra for puramente aleatória. Um bom 
exemplo de uma amostra não aleatória é a pesquisa para a eleição 
presidencial estampada no Literary Digest de 1936. O Litery ouviu a opinião de 
2 milhões de pessoas, o que é uma cifra muito maior do que seria necessário 
para proporcionar um resultado preciso, se a amostra tivesse sido selecionada 
aleatoriamente. A pesquisa predice uma fácil vitória para Alfred Landon, 
quando, na realidade, Franklin D. Roosevelt venceu por uma ampla margem. O 
problema é que a amostra do Digest não foi aleatória. A revista enviou fichas a 
pessoas cujos nomes foram tirados de listas telefônicas e outras fontes, mas as 
pessoas que tinha telefone naquela época não representavam adequadamente 
a população como um todo. Se uma amostra não é extraída aleatoriamente, 
não há maneira de prever o quanto se afastará da realidade. 
 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADO 
De acordo com este método, a população é dividida em 
diferentes conglomerados, extraindo-se uma amostra apenas dos 
conglomerados selecionados, e não de toda a população. O ideal seria que 
cada conglomerado representasse tanto quanto fosse possível o total da 
população. Na prática, selecionam-se os conglomerados geograficamente. 
Escolhem-se aleatoriamente algumas regiões, em seguida algumas sub-
regiões e, finalmente, alguns lares. Esse processo assegura que as pessoas 
 
 
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da amostra vivam em conglomerados, possibilitando ao pesquisador entrevistar 
apenas poucas pessoas. 
 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA 
Outro método de amostragem é a amostragem 
estratificada. Se a população pode ser dividida em sub-grupos que 
consistem, todos eles, em indivíduos bastante semelhantes entre si, pode-
se obter uma amostra representativa entrevistando-se uma amostra aleatória 
de pessoas de cada grupo. Esse processo pode gerar amostras bastante 
precisas, mas só é viável quando a população pode dividida em grupos 
homogêneos. 
 AMOSTRAGEM DE CONVENIÊNCIA 
Há muitos outros tipos de métodos de amostragem. Não 
raro aplica-se incorretamente a análise estatística a essas amostras, como se 
tratasse de amostra puramente aleatórias. Poderíamoschamar tais métodos de 
métodos de amostragem de conveniência. Por exemplo, certas universidades 
costumam fazer experimentos psicológicos em amostras dos calouros dos 
cursos de psicologia. Como não há razão para esperar que tais calouros 
sejam representativos de toda a população de calouros (para só falar da 
população como um todo), não é adequado fazer inferência sobre a 
população com base em tais experimentos. Outro exemplo: Se colocarmos 
uma mesa na entrada de um shopping center e pedirmos a cada passante que 
se detenha um momento e preencha um formulário de pesquisa, é pouco 
provável que consigamos uma amostra realmente aleatória da população. 
Analogamente, as revistas costumam publicar estatísticas chocantes; mas, 
como os assinantes não constituem uma amostra aleatória da população, é 
impossível fazer inferências estatísticas válidas sobre a população como um 
todo, a partir dessas pesquisas. 
 
 
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Tendo uma amostra representativa da população inicial, os dados 
obtidos podem dar origem a diversas relações estatísticas, como por 
exemplo, Média aritmética, mediana, moda, variância, desvio padrão, etc. 
que serão abordados no decorrer do curso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Módulo I – Unidade 3: Coleta e Análise de Dados 
 
A fase de coleta e análise dos dados é de grande importância na 
elaboração da pesquisa científica, portanto, é necessário manter alguns 
cuidados para que se possa garantir a fidedignidade dos resultados. 
 
COLETA DE DADOS 
O primeiro cuidado que se deve tomar ao se iniciar a fase de coleta de 
dados é quanto à preparação das pessoas responsáveis por ela. É 
importante a supervisão para que não se coletem dados errados, ou 
desnecessários para a pesquisa realizada. Do mesmo modo, todos os dados 
coletados devem estar sendo observados, pois, se necessário, deve-se fazer a 
reaplicação do instrumento. 
Já na pesquisa experimental, o essencial é controlar as variáveis 
estranhas que possam estar interferindo, para que o ambiente se torne o mais 
adequado possível, manipular certas condições e observar os efeitos 
produzidos. Contudo, para esse tipo de pesquisa, existe uma variedade de 
recursos mecânicos, elétricos, eletrônicos que auxiliam nessa etapa da 
pesquisa. 
A coleta de dados pode ser feita por meio de: observações, entrevistas 
e história de vida, pesquisa bibliográfica, questionários, observação 
empírica, entre outros. 
É importante ressaltar que, existem diversos procedimentos utilizados 
para este fim, no entanto, cabe ao pesquisador decidir qual o procedimento que 
mais de adequada ao tipo de pesquisa realizada. 
 
 
 
 
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ANÁLISE DOS DADOS 
Após a coleta de dado, faz-se necessário a análise dos mesmos. 
Entretanto, o planejamento anterior dessa análise deve teve ter sido feita 
antes mesmo da coleta dos dados. Este procedimento auxilia o pesquisador e 
evita que sejam feitos trabalhos desnecessários, além do que, possibilita o 
pesquisador prever os gastos necessários para a realização da pesquisa. 
Para a pesquisa experimental, a análise estatística é essencial e a 
prática mais adequada. No entanto, existem inúmeros testes de significância, 
sendo necessário que o pesquisador estude e então escolha o teste que mais 
se adequada à pesquisa em questão. 
É importante observar que, os testes estatísticos constituem apenas 
instrumentos que facilitam a interpretação dos resultados, sendo 
necessário uma fundamentação teórica que permita ao pesquisador traçar um 
paralelo entre os resultados obtidos empiricamente e as teorias já existentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Módulo I – Unidade 4: Distribuição de Frequência 
 
O que vem a ser uma distribuição de frequência? 
Uma distribuição de freqüência (absoluta ou relativa) é um 
método de agrupar dados por classes de ocorrência de modo a 
fornecer a quantidade de dados em cada classe. 
Em outras palavras, este tipo de análise estatística permite verificar a 
freqüência (o quanto se repete) de determinado dado em um determinado 
intervalo de estudo. Com isso podemos resumir e visualizar um conjunto de 
dados sem precisar levar em conta os valores individuais. Este tipo de 
distribuição pode ser representado em forma de tabelas e gráficos. 
Representar graficamente significa fazer um desenho que sintetize de 
maneira clara o comportamento de uma ou mais variáveis e para representar 
graficamente a distribuição de freqüência serão utilizados gráficos planos 
(duas dimensões: altura e largura). 
 Diagrama de colunas; 
 Diagrama de barras; 
 Histograma; 
 Polígono de freqüência 
O ponto de partida desses quatro gráficos é sempre o mesmo: dois 
segmentos que têm origem comum e formam entre si um ângulo reto, isto é, 
um ângulo de 90º formando um sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais. O segmento vertical chama-se eixo das coordenadas e o 
segmento horizontal, eixo das abscissas. 
 
 
 
 
 
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REPRESENTAÇÃO TABULAR 
Um outro tipo de representação que ajuda a compreender um 
determinado fenômeno é a representação tabular que compacta as 
informações utilizando intervalos de estudo que apresenta dados tabelados de 
forma bem mais resumida. 
Intervalos de classe: conjunto de observações contidas entre dois 
valores limites (limite inferior e limite superior). 
Por exemplo 
Dada a seqüência: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8. Temos: 
 Intervalo aberto: 1 ─ 8 = 2, 3, 4, 5, 6, 7 (não contém nem o valor 
1,limite inferior, e nem o valor 8, limite superior); 
 Intervalo fechado: 1├ ┤8 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (contém tanto o valor 
1,limite inferior, como o valor 8, limite superior); 
 Intervalo fechado à esquerda: 1├ 8 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (não contém o 
valor 8, limite superior); 
 Intervalo fechado à direita: 1┤8 = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (não contém o valor 
1,limite inferior,). 
Os intervalos de classes devem ser mutuamente exclusivos (um 
indivíduo não pode ser classificado em dois intervalos ao mesmo tempo) e 
exaustivos (nenhum indivíduo pode ficar sem classificação). 
Amplitude do intervalo (representado simbolicamente pela letra h): É o 
tamanho do intervalo de classe. A amplitude do intervalo e o número de 
intervalos dependem basicamente do problema específico. 
E o ponto médio do intervalo: É calculado pela média entre os limites inferior 
e superior. 
Por exemplo 
 
 
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Preocupados com o acesso nos serviços de saúde e educação dos 
moradores da cidade de Castanhal, localizada no Estado Pará, seus 
governantes fizeram um levantamento da renda mensal dos habitantes da 
cidade que tem cerca de 150 mil habitantes, mas o estudo foi feito sobre uma 
amostra de 340 pessoas. Tal estudo revelou que mais de 35% dos habitantes 
(121 pessoas) da cidade de Castanhal vive com renda inferior a dois salários 
mínimos. Enquanto que uma minoria de 0,59% (2 pessoas) tem renda superior 
a 8 salários mínimos. O que evidencia a má distribuição de renda na cidade e, 
conseqüentemente, dificultada a o acesso a educação e a saúde de qualidade. 
Os dados obtidos foram: 
Tabela 1: Renda mensal da população da cidade de Castanhal. 
Renda mensal 
Quantidade de 
Pessoas (agrupados 
por classe) 
% 
De 0 a 1 salário mínimo 53 15,59 
De 1 a 2 salários mínimos 121 35,59 
De 2 a 3 salários mínimos 67 19,71 
De 3 a 4 salários mínimos 15 4,42 
De 4 a 5 salários mínimos 30 8,82 
De 5 a 6 salários mínimos 19 5,59 
De 6 a 7 salários mínimos 20 5,88 
De 7 a 8 salários mínimos 13 3,82 
De 8 a 9 salários mínimos 2 0,58 
Total 340 100A tabela 1 pode ser representada com intervalos de classe sendo a renda 
(quantidade de salários mínimos) simbolizada por X e a quantidade de pessoas 
por ni. Então: 
 
 
 
 
19 
 
Tabela 2: Renda mensal da população da cidade de Castanhal em intervalos 
de classes. 
X (salários 
mínimos) 
ni 
0 ├ 1 53 
1 ├ 2 121 
2 ├ 3 67 
3 ├ 4 15 
4 ├ 5 30 
5 ├ 6 19 
6 ├ 7 20 
7 ├ 8 13 
8 ├ 9 2 
Total 340 
 
FREQUÊNCIA ABSOLUTA 
ni é uma variável que também pode ser chamada freqüência absoluta 
(Fa) e o subscrito i representa a classe à qual n se refere. Na tabela 2, por 
exemplo, n1 = 53, n2 = 121,..., n9 = 2. Sendo que a soma de todos os ni‟s deve 
ser igual a amostra estudada, neste caso são 340 pessoas. 
∑ ni = 340 = Fa 
Este exemplo tem uma amplitude (h) igual a 1, isto é, igual a um salário 
mínimo, entretanto, h pode assumir qualquer tamanho depende apenas do 
problema trabalhado. Veja o que ocorre com a tabela 2 se o intervalo for de 
tamanho 2. 
 
 
 
 
20 
 
Tabela 3: Renda mensal da população da cidade de Castanhal em intervalos 
de classes com h = 2. 
X (salários mínimos) ni 
0 ├ 2 174 
2 ├ 4 82 
4 ├ 6 49 
6 ├ 8 33 
8 ├ 10 2 
Total 340 
Observe o último intervalo da tabela 3 (8 ├ 10), é fechado somente a 
esquerda, logo, significa que há moradores na cidade de Castanhal com renda 
maior ou igual a 8 salários mínimos, mas não igual a 10 salários mínimos. 
O mesmo vale para os demais intervalos. Observe ainda, que à medida que h 
se torna maior a tabela diminui, isto é, vai ficando com menor número de 
classes (categorias, intervalos). 
A freqüência absoluta pode ser também representada graficamente com 
diagrama de colunas, onde no eixo vertical é observada a freqüência 
absoluta por classe e no eixo horizontal, os intervalos de classe. Ou ainda 
em um diagrama de barras, onde no eixo y será representado o intervalo de 
classe, e no eixo x, a freqüência absoluta. 
Por exemplo 
Dada a seguinte tabela que representa as notas de uma amostra de 32 
alunos em um teste de estatística com nota mínima igual a 0 (zero) e nota 
máxima igual a 10 (dez), represente-a em um diagrama de colunas e em um 
diagrama de barras. 
Tabela 4: Representação das notas (de 0 a 10) de 32 alunos em um teste de 
estatística. 
Notas Fa 
0 2 
 
 
21 
 
1 3 
2 5 
3 8 
4 8 
5 3 
6 2 
7 1 
 
Resposta 
Para construção do diagrama de colunas desenhe o eixo cartesiano (x, 
y). No eixo y represente a freqüência e no eixo x, as notas (ou classes de 
notas). As colunas devem ficar separadas umas das outras. E para a 
construção de um diagrama de barras faz-se o inverso: na vertical 
representam-se as notas e na horizontal a Fa. Observe os gráficos a e b: 
a) Gráfico de colunas Notas do teste de estatística 
 
 
 
 
 
b) Gráfico de barras Notas do teste de estatística 
 
 
 
 
 
 
22 
 
FREQUÊNCIA RELATIVA 
Outro tipo de freqüência é a freqüência relativa (fri): é o valor das 
razões entre as freqüências simples (fi) e a freqüência total (freqüência 
absoluta, Fa). 
fri = fi / Fa 
Por exemplo 
A freqüência relativa da terceira classe do exemplo anterior é: 
fri = 49/ 340 = 0,14 
Evidentemente, a soma de todos fri ‘s deve ser igual a 1 ou 100 %. 
FREQUÊNCIA ACUMULADA 
Tem-se ainda a freqüência acumulada (Fi): é o total das freqüências de 
todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe: 
Fk = f1 + f2 + ... + fk ou Fk = ∑ fi (i = 1, 2, ..., k) 
 
Por exemplo 
Usando os dados da tabela 3, a freqüência acumulada das classes da 
tabela 5, abaixo, é: 
Tabela 5: Freqüência acumulada (Fk) da renda mensal da população da cidade 
de Castanhal. 
 (Salários mínimos) ni = Fa Fk 
0 ├ 2 174 174 
2 ├ 4 82 174 + 82 = 256 
4 ├ 6 49 256 + 49 = 305 
6 ├ 8 33 305 + = 338 
8 ├ 10 2 338 + 2 = 340 
Total 340 
 
 
23 
 
FREQUÊNCIA ACUMULADA RELATIVA 
E por fim, tem-se a freqüência acumulada relativa (Fri): de uma classe 
é a freqüência acumulada da classe, dividida pela freqüência total da 
distribuição: 
Fri = Fi / Fa 
Por exemplo 
A freqüência acumulada relativa da quarta classe da tabela 4 é: 
Fri = 33/ 340 = 0,097 
HISTOGRAMA 
Um outro exemplo representando a distribuição de freqüência num 
histograma. Em uma escola onde 500 alunos da classe A – 2000 participam da 
disciplina de Estatística Básica. Num teste de múltipla escolha contendo 100 
questões que visava verificar a aprendizagem destes na referida disciplina, 
obteve-se a seguinte freqüência de notas (correspondente à quantidade de 
acertos). 
Tabela 6: Classe A-2000 com 500 alunos participantes da disciplina Estatística 
Básica. 
 
Intervalo de Classe Frequência 
0 ├ 10 5 
10 ├ 20 15 
20 ├ 30 20 
30 ├ 40 45 
40 ├ 50 100 
50 ├ 60 130 
60 ├70 100 
70 ├ 80 60 
80 ├ 90 15 
90 ├ 100 10 
Total 500 
 
 
 
 
 
24 
 
Resposta 
Para construção do histograma, desenhe o eixo cartesiano (x, y), onde 
na abscissa serão representadas as classes, que neste caso tem uma 
amplitude h igual a 10, e na ordenada, a freqüência dos dados. A área de cada 
retângulo do gráfico representa a freqüência de cada nota. 
 
 
 
 
 
 
 
POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS 
Na construção de um polígono de freqüências primeiramente constrói-se 
um histograma; depois marcamos no „telhado„ de cada coluna o ponto central 
(ponto médio) e unimos sequencialmente estes pontos. Devem existir dois 
pontos na abscissa (eixo horizontal), um na lateral esquerda e outro na lateral 
direita, ligado aos pontos das barras das extremidades. 
Por exemplo 
Represente em um polígono de freqüência os dados da tabela abaixo 
referente ao tempo em minutos que uma amostra de 550 pessoas levou para 
realizar uma prova de estatística. 
 
 
 
 
 
25 
 
Tabela 7: Tempo em minutos gasto por 550 pessoas para realizar uma prova 
de Estatística. 
Classes 
(minutos) 
Fa 
2 ├ 4 70 
4 ├ 6 160 
6 ├ 8 210 
8 ├ 10 80 
10 ├ 12 20 
Total 550 
 
Polígono de freqüência do teste de Estatística 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
Módulo 1 – Unidade 5: Medidas de Tendência Central 
 
Como o próprio nome sugere, medidas de tendência central são 
medidas, Isto é, estatísticas, cujos valores estão próximos do centro. 
MÉDIA ARITMÉTICA 
A média aritmética (Ma) de um conjunto de dados ou valores é igual à 
razão da soma de todos estes valores pela quantidade de valores, isto é, o 
número de parcelas. 
Ma = ∑xi/ n 
Onde n refere-se a quantidade de elementos presente na amostra, mas 
se o objeto de estudo é sobre uma população, o denominador passa a ser 
representado por N, tendo ,então a chamada média populacional (μ). 
μ = ∑xi/ N 
Por exemplo 
A tabela 1 revela a produção mundial de café no período de 1946-89. 
Onde o Brasil aparece como grande líder na produção do grão. Qual dentre os 
quatro anos estudos, em média, a produção de café mundial foi mais próspera 
em relação à quantidade de grãos produzidos? 
Dado: Indonésia, Costa do Marfim e Etiópia tiveram produções pouco 
significativas no ano de 1946. 
 
 
 
 
 
 
27 
 
Tabela 1: Podução mundial de café no período de 1946-1989. 
Países 
produtores 
Produção (1.000 t) 
1946 1955 1968 1989 
Brasil 917 1.370 1.398 1.510 
Colômbia 365 335 474 664 
Indonésia __ 63 150 390 
México 57 88 180 312 
Costa do 
Marfim 
__ 85 258 265 
Guatemala 70 66 108 220 
Etiópia __ 54 250 200 
Uganda 26 63 170 188 
El Salvador62 75 138 97 
Fonte: Imagens Économiques du Monde, 1977 e 1990. 
Resposta 
a) Para o ano de 1946 
Ma = 917 + 365 + 0 + 57 + 0 + 70 + 0 + 26 + 62/ 5 = 163,33. 1000 t = 163330 t 
b) Para o ano de 1955 
Ma= 1370 + 335 + 63 + 88 + 85 + 66 + 54 + 63 + 75/ 9 = 244,33. 1000t = 
244330 t 
c) Para o ano de 1968 
Ma = 1398 + 474 + 150 + 180 + 258 + 108 + 250 + 170 + 138 / 9= 347,33. 1000 
t = 347330 t 
d) Para o ano de 1989 
Ma = 1510 + 664 + 390 + 312 + 265 + 220 + 200 + 188 + 97 / 9 = 427,33. 1000 
t = 427330t. 
 
 
28 
 
Pelas médias das produções mundiais de café nos quatro anos estudos, 
1989 foi o ano mais próspero. 
 
MÉDIA PONDERADA 
Ao calcularmos uma média, podemos cometer sério engano, se 
ignorarmos o fato de que as grandezas em jogo não têm todas a mesma 
importância em relação ao fenômeno que está sendo estudado. 
Consideremos, por exemplo, os seguintes dados sobre a percentagem de 
casas de residência ocupadas pelos proprietários respectivos, nas vizinhanças 
de três cidades da Califórnia. 
Tabela 2: Percentagem de casas de residência ocupadas por proprietários em 
três cidades do Estado do Pará . 
Porcentagem ocupada pelo proprietário 
Santarém 40,3 
Salva-Terra 56,4 
Castanhal 62,1 
A média entre essa três percentagens é: 
Ma = 40,3 + 56,4 + 62,1 / 3 = 52,9 
Mas não podemos afirmar que essa seja a ocupação média de casa 
pelos seus proprietários nas três cidades. As três cifras não têm todas o 
mesmo peso, porque há grandes diferenças entre os tamanhos das três 
cidades. 
Para dar a quantidades sujeitas ao processo de média o grão correto de 
importância, é preciso atribuir-lhe pesos (importância relativa) e então calcular 
uma média ponderada. De modo geral, a média ponderada Maw de um 
conjunto de números x1, x2,..., xn, cuja importância relativa é expressa 
 
 
29 
 
numericamente por um conjunto correspondente de números w1, w2,...,wn, é 
dada por : 
Maw = ∑w.x/ ∑w 
Aqui, ∑w.x é a soma dos produtos de x pelo peso correspondente, e ∑w 
é simplesmente a soma dos pesos. Note que quando os pesos são todos 
iguais, a fórmula da média ponderada se reduz a média aritmética usual. 
Por exemplo 
Considerando que, nos bairros selecionados de Santarém, há 1135 
unidades residenciais, 113 em Salva-Terra e 210 em Castanhal, utilize essa 
cifras e as percentagens do texto acima para determinar a taxa de ocupação 
pelos proprietários nas três cidades. 
Resposta 
Fazendo x1 = 40,3, x2 = 56,4, x3 = 62,1, w1 = 1135, w2 = 113, w3 =210 na 
fórmula de Maw, obtemos 
Maw = (1135)(40,3) + (113)(56,4) + (210)(62,1) /(1135 + 113 + 210) = 
44,7 
Note que o valor obtido para Maw é muito menor que Ma, 44,7 
comparado com 52,9, e isto é devido exclusivamente ao grande tamanho de 
Santarém e sua baixa taxa de ocupação pelos proprietários. 
 
A MEDIANA (Md) 
Para evitar a possibilidade de sermos enganados por valores muito 
pequenos ou muito grandes, ocasionalmente descrevemos o „meio‟ ou o 
„centro‟ de um conjunto de dados com outras medidas estatísticas que não a 
média. Uma dessas medidas, a mediana de n valores, exige que os 
ordenemos, e se defina como: 
 
 
30 
 
O valor do elemento do meio se n é impar, ou a média dos dois 
elementos do meio se n é par. 
Por exemplo 
Em um mês recente, o Departamento de Caça e Pesca de um estado 
reportou 53, 31, 67, 53 e 36 violações em atividades de caça e pesca em cinco 
regiões diferentes. Ache a mediana do número de violações para esses meses. 
Resposta 
A mediana não é 67, o valor do meio, porque primeiro devemos ordenar 
as cifras de acordo com o valor (da menor para o maior). Obtemos, então: 31, 
36, 53, 53 e 67; pode-se ver que a mediana é 53. 
Note neste exemplo que há dois 53‟s entre os dados, e que não nos 
referimos especificamente a nenhum deles como a mediana – a mediana é um 
número e não necessariamente uma medida ou observação. 
 
POSIÇÃO MEDIANA 
A mediana é o valor do [(n + 1)/ 2]-ésimo elemento. 
Quando n é impar, [(n + 1)/ 2] é um número inteiro e dá a posição da mediana; 
quando n é par, [(n + 1)/ 2] está a meio caminho entre os dois inteiros e a 
mediana é a média dos valores dos elementos correspondentes. 
Por exemplo 
Determine a posição para (a) n = 15 e (b) n = 48. 
Resposta 
Com os dados ordenados (e contando a partir de qualquer extremidade) 
a) [(n + 1)/ 2] = [(15 + 1)/ 2] = 8, e a mediana é o valor do 8º elemento; 
 
 
31 
 
b) [(n + 1)/ 2] = [(48 + 1)/ 2] = 24,5, e assim a mediana é a média dos 
valores dos 24º e 25º elementos. 
É importante ter em mente que [(n + 1)/ 2] é uma fórmula da posição da 
mediana, e não a mediana em si. 
 
CÁLCULO DA MEDIANA DE UMA DISTRIBUIÇÃO COM DADOS 
AGRUPADOS 
Quando queremos calcular a mediana de uma distribuição com dados 
agrupados, precisamos juntar ao quadro de distribuição de freqüências a 
coluna referente às freqüências acumuladas. 
Por exemplo 
A tabela 3 representa a distribuição das alturas de 200 jovens com 
idades entre 15 e 20 anos. 
Tabela 3: Distribuição das alturas de 200 jovens com idades entre 15 e 20 
anos. 
Altura em 
cm 
Fa Fa acum. 
160 ├ 165 8 8 
165 ├ 170 15 8 + 15 =23 
170 ├ 175 10 23 + 10 = 33 
175 ├ 180 40 33 + 40 = 73 
180 ├ 185 90 73 + 90 = 163 
185 ├ 190 20 163 + 20 = 183 
190 ├ 195 15 183 + 15 = 198 
195 ├ 200 2 198 + 2 = 200 
 
 
 
 
32 
 
Resposta 
Considerando a definição de mediana, podemos dizer que ela se 
encontra na classe que contém o elemento 200/2 = 100; observando a coluna 
de freqüências absolutas acumuladas, esse elemento se encontra na classe 
correspondente a 180 ├ 185. 
Esta classe é chamada classe mediana. 
Quando, além de identificar a classe mediana, queremos determinar o 
valor da mediana, devemos fazer uma interpolação: 
163 – 73 = 90 ----------- 185 – 180 = 5 
100 – 73 = 27 ----------- X 
Isso nos ´eva a seguinte regra de três simples e direta: 
90 ---- 5 
27 ---- X 
X = (27 . 5)/ 90 = 135/ 90 = 1,5 
O valor da mediana é obtido da seguinte maneira: 
Md = 180 + 1,5 = 181,5 cm 
Desse resultado podemos dizer que 50 % dos jovens têm altura menor 
que 181,5. 
MODA 
Outra medida por vezes utilizada para descrever o „meio‟ ou „centro‟ de 
um conjunto de dados é a moda, definida simplesmente como o valor que 
ocorre com maior freqüência e mais de uma vez. Suas duas vantagens 
principais são: não exige cálculo, apenas uma contagem, e pode ser 
determinada também para dados qualitativos ou nominais. 
 
 
33 
 
Por exemplo 
Uma amostra de registro de uma inspetoria de veículos revela que 18 
motoristas em certa faixa etária receberam 3, 2, 0, 0, 2, 3, 3, 1, 0, 1, 0, 3, 4, 0, 
3, 2, 3 e 0 notificações por infração durante os três últimos anos. Determine a 
moda. 
Resposta 
Vê-se que o número 4 ocorre uma vez, o número 1, duas vezes, o 
número 2, três vezes e os números 0 e 3 ocorrem seis vezes cada um. Há 
então duas modas, 0 e 3. 
Tabela 4: Comparação entre Média, Mediana e moda. 
 
Medida 
 
 
Definição 
 
Vantagens 
 
Desvantagens 
 
Média 
 
Centro da 
distribuição de 
freqüências. 
1. reflete cada valor; 
2. possui propriedades 
matemáticas 
atraentes. 
1. é afetada por valores 
extremos. 
 
 
Mediana 
Metade dos 
valores são 
maiores, metade 
menores. 
1. menos sensível a 
valores extremos do que 
a média 
1. difícil de determinar para 
grande quantidade de dados. 
Moda 
 
Valor mais 
frequente 
 
1. valor “típico”: maior 
quantidade de valores 
concentrados neste 
ponto. 
1. não se presta a análise 
 matemática; 
2. Pode não ter moda para 
certosconjuntos de dados. 
 
 
PERCENTIL 
O percentil de ordem px100 (0<p<1), em um conjunto de dados de 
tamanho n, é o valor da variável que ocupa a posição px(n+1) do conjunto de 
dados ordenados. O percentil de ordem p (ou p-quantil) deixa px100% das 
observações abaixo dele na amostra ordenada. 
 
 
34 
 
 
Casos Particulares: 
Percentil 50 = mediana, segundo quartil(md,Q2,q(0,5)) 
Percentil 25= primeiro quartil (Q1), q(0,25) 
Percentil 75= terceiro quartil (Q3) , q(0,75) 
 
Exemplo 1 
Dada a sequência 0,9 1,0 1,7 2,9 3,1 5,3 5,5 12,2 12,9 14,0 33,6. E 
sabendo que n = 11, encontre o Md, Q1 e Q3. 
Resposta: Md=5,3 ; Q1=1,7 ; Q3=12,9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
Módulo I – Unidade 6: Medidas de Dispersão 
As medidas de dispersão são de grande importância na interpretação de 
dados. Resumidamente elas medem o quanto uma determinada variável se 
afasta de uma outra variável. Tais medidas podem dizer em quanto um 
determinado dado se afasta se afasta da idealidade, por exemplo. A seguir 
serão abordadas de maneira abrangente o que vem a ser cada uma dessas 
medidas. 
 
DESVIO PADRÃO 
Para definir desvio padrão, sem dúvida a medida de variação mais útil e 
mais largamente utilizada, notemos que a dispersão de um conjunto de dados 
é pequena se os dados estão concentrados em torno da média, e é grande 
se os dados estão muito afastados da média. Poderia, assim, parecer 
razoável medir a variação de um conjunto de dados em termos do desvio dos 
valores respectivos a contar a média. Se um conjunto de números x1, x2,..., xn, 
constituindo uma amostra, tem média Ma, as diferenças x1 - Ma, x2 - Ma,..., xn 
- Ma, são chamadas desvio a contar da média, o que sugere que podemos 
tomar sua média como medida da variação da amostra. Infelizmente, não 
podemos fazê-lo. A menos que os x‟s sejam todos iguais, alguns desvios 
sertão positivos, outros serão negativos. 
 
VARIÂNCIA 
O desvio médio absoluto é uma boa medida de dispersão porque dá a 
distância média de cada número em relação à média. Todavia, para muitos 
propósitos, é mais conveniente elevar ao quadrado cada desvio e tomar a 
média de todos esses quadrados. Essa grandeza é chamada variância. Esta é 
uma boa medida de dispersão, mas tem uma desvantagem: é difícil interpretar 
o valor numérico da variância. 
 
 
36 
 
Por exemplo 
Uma variância de 76,222 significa uma grande dispersão ou uma 
pequena dispersão? Parte do problema se deve a questão das unidades: a 
variância é medida em uma unidade que é o quadrado da unidade de medida 
x. Em geral, é mais conveniente calcular a raiz quadrada da variância, 
chamada desvio padrão. 
Temos, então, a fórmula para o desvio padrão. 
a) Desvio padrão amostral 
s = √(∑(x - Ma)2 / (n - 1))→ para a amostra 
b) Desvio padrão populacional 
δ = √(∑(x - μ)2 / N)→ para a população 
 
E o quadrado do desvio padrão nos revela a fórmula para a variância. 
a) Variância amostral 
s2 = (∑(x - Ma)2 / (n - 1))→ para a amostra 
b) Variância populacional 
δ2 = (∑(x - μ)2 / N)→ para a população 
 
Por exemplo 
Em seis domingos consecutivos, um motorista de caminhão - reboque 
recebeu 9, 7, 11, 10, 13 e 7 chamadas de serviço. Calcule s. 
Resposta 
 
 
37 
 
Calculando inicialmente a média, obtemos: 
Ma = 9 + 7 + 11 + 10 + 13 + 7/ 6 = 9,5 
e o cálculo de ∑(x - Ma)2 pode ser feito como na tabela 1: 
Tabela 1: Distribuição das chamadas de serviço recebidas por um motorista de 
caminhão – reboque em seis domingos consecutivos. 
x X - Ma (x - Ma)2 
9 - 0,5 0,25 
7 - 2,5 6,25 
11 1,5 2,25 
10 0,5 0,25 
13 3,5 12,25 
7 -2,5 6,25 
Total 0,0 27,50 
Dividindo por (6 – 1) e tomando a raiz quadrada, vem: 
s = √(∑(x - Ma)2 / (n - 1)) 
s = √ (27,50/ (6 – 1)) = √(5,5) ≈ 2,3 
O resultado encontrado neste ultimo exemplo significa que os valores de 
x (chamadas de serviço) se afastam, desviam em 2,3 da média destes mesmos 
valores. 
Note, na tabela acima, que o total da coluna do meio é zero; isto deve 
ocorrer sempre, constituindo, assim, uma verificação dos cálculos. 
 
INTERVALO INTERQUARTIL (d) 
É a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil, ou seja, 
d= Q3-Q1 
 
 
38 
 
Por exemplo 
Dada a seguinte sequência 15,5,3,8,10,2,7,11,12, encontre d. 
Resposta: 
Q1 = (3 + 5)/2 = 4 e Q3 = (11 + 12)/2 = 11,5 
d = Q3 - Q1 = 11,5 - 4 = 7,5 
 
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV) OU COEFICIENTE DE REGRESSÃO (R2) 
É a medida de dispersão relativa que elimina o efeito da magnitude dos dados. 
Exprime a variabilidade dos dados em relação a média e é muito útil para 
comparar duas ou mais variáveis. 
 
Por exemplo 
Na tabela abaixo estão dispostos a média e o desvio padrão da altura e 
do peso de alguns alunos do Curso de Química. E ainda seus respectivos 
coeficientes de variação. Explique tais dados de acordo com sua variação em 
relação a média e desvio padrão dos mesmos. 
 Média 
Desvio 
padrão 
CV 
Altura 1,143 m 0,063 m 5,5 % 
Peso 50 Kg 6 Kg 12 % 
 
Resposta: Com relação às médias, os alunos são, aproximadamente, 
duas vezes mais dispersos quanto ao peso do que quanto à altura. 
 
%100
X
S
CV
 
 
39 
 
OUTRA FORMA DE ANALISAR A DISPERÇÃO 
Nesta parte mostraremos outra forma de avaliar a forma de distribuição 
de freqüência de uma variável ou amostra. 
Exemplo 1 
A tabela seguinte registra as amostras A e B. Analisar as distribuições 
de freqüências das amostras aplicando somente as medidas estatísticas 
conhecidas. 
A 100 120 120 120 120 120 120 140 140 140 140 160 160 160 
B 88,6 108,5 108,6 128,5 128,6 128,5 128,6 148,6 148,5 148,6 148,6 148,6 148,6 168,6 
 Verifique também as medidas estatísticas registradas na tabela seguinte: 
 A B 
Ma 134,3 134,3 
s 21,4 21,4 
Md 130,0 138,6 
Resposta 
Verificamos pela segunda tabela que as amostras A e B têm medianas 
diferentes, porém as mesmas medidas estatísticas Ma = 134,3 e s = 21,4. 
Pelas medidas da média aritmética (Ma) e do desvio padrão (s), 
aparentemente, se trata da mesma amostra; entretanto, essa igualdade não é 
sustentada pelas seguintes comparações: 
 As medianas mostram que não se trata da mesma amostra; 
 Nas linhas da primeira tabela estão registrados os resultados: mínimo, 
Q1, mediana, Q3 e máximo. Perceba o leitor que as cinco medidas estão 
registradas em ordem crescente dos valores ordenados. 
Analisando os resultados temos: 
 
 
40 
 
 Os intervalos das 2 amostra são iguais: 80 = 180 – 100 = 168,8 – 
88,6. 
 A diferença dos quartis das duas amostras é a mesma e igual a 20 = 
Q3 – Q1. Em cada amostra este resultado indica que 50% dos valores 
se distribuem entre dois quartis. 
 A mediana de cada amostra está situada no centro dos dois quartis. 
 A diferença entre Q1 e o mínimo da amostra A é 20, entanto que a da 
amostra B é 40. 
 A B 
Mínimo 100 88,6 
Q1 120 128,5 
Md 130,0 138,6 
Q3 140 148,6 
Máximo 180 168,6 
Os resultados acima ajudam a compreender o alcance do intervalo entre 
quartis IEQ e as vantagens do diagrama boxplot que será apresentado. O 
primeiro quartil, a mediana e o terceiro quartil avaliam a forma da parte central 
e a variabilidade da distribuição de freqüência da amostra. O IEQ é o resultado 
da diferença entre o terceiro quartil Q3 e o primeiro quartil Q1: 
IEQ = Q3 - Q1 
As características do IEQ são: 
 É uma medida resistente, pois não é afetado pelos valores extremos da 
distribuição. 
 É uma medida simples, fácil de ser calculada e automatizada e mede a 
distribuição da metade dos valores da amostra situadosao redor da 
mediana. O IEQ não é suficiente para avaliar a variabilidade de uma 
amostra ou variável, pois envolve apenas os valores centrais, deixando 
de considerar os valores extremos que também são importantes. 
 É parecido com o intervalo, entretanto, as três medidas Q1, mediana e 
Q3 dão mais informações. 
 
 
41 
 
DADOS SUSPEITOS 
São denominados dados suspeitos os valores extremos de uma amostra 
completamente diferente da maioria; isto é, valores mais do que extremos. 
Como qualquer amostra pode conter dados suspeitos devemos estar 
preparados para detectá-los e analisar suas causas. 
 Se o valor suspeito for originado de um erro de registro, por exemplo, o 
valor medido 135 foi registrado como 2135. Neste caso, o erro pode ser 
corrigido e eliminada a característica suspeita do valor amostrado. 
 
QUE FAZER SE O VALOR SUSPEITO FOI CORRETAMENTE 
AMOSTRADO E REGISTRADO? 
 
 Se a população está sendo amostrada através de uma pesquisa de 
pessoas de uma determinada população, um valor suspeito poderá ser 
originado por uma pessoa que não pertence à população definida. O valor 
suspeito também poderá ser evidencia de um acontecimento extraordinário ou 
a variabilidade não esperada de uma variável. Em qualquer caso os valores 
suspeitos sem causa aparente associada a população devem ser retirados da 
amostra. 
Uma estratégia para tratar dados suspeitos e outras irregularidades é 
utilizar métodos numéricos que pouco são afetados pelos valores suspeitos. 
Uma das aplicações do IEQ é detecção de dados suspeitos de uma variável. 
Observe as condições abaixo: 
 
 O valor X de uma amostra é considerado possível suspeito se estiver 
no intervalo 
Q1 – 3xIEQ < X < Q1 – 1,5xIEQ 
ou 
Q3 + 1,5xIEQ < X < Q3 + 3xIEQ 
 O valor X de uma amostra é considerado suspeito se 
X < Q1 – 3xIEQ 
ou 
X > Q3 + 1,5xIEQ 
 
 
 
42 
 
Observação: Embora o IEQ ajude a retirar um valor da amostra por 
considerá-lo suspeito essa decisão deve ser acompanhada de um criterioso 
julgamento. 
 
Por exemplo 
Dada a seguinte sequência 15,5,3,8,10,2,7,11,12, verifique se há 
possíveis suspeitos. 
 
Resposta 
Temos da sequência acima que Q1 = 4 e Q3 = 11,5. 
E o IEQ é igual: 
IEQ = Q3 - Q1 = 11,5 – 4 
IEQ = 7,5 
Então os intervalos são: 
 Q1 – 3xIEQ < X < Q1 – 1,5xIEQ 
4 – 3x7,5 < X < 4 – 1,5x7,5 
-18,5 < X < -7,25 
 
Conclusão: Não existe nenhum valor na sequência de dados que seja 
maior que -18,5 e menor que -7,25, logo não há valores possíveis suspeitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
Módulo 1 – Unidade 7: Boxplot 
 
Boxplot 
 
Ao utilizar apenas os valores extremos o intervalo não auxilia na 
determinação da forma da distribuição de uma variável ou amostra, informando 
apenas sobre caudas da distribuição. Os três resultados Q1, mediana, Q3 
mostram a forma de distribuição de cinqüenta por cento dos valores de uma 
variável ou amostra. Agrupando os cinco resultados da distribuição: mínimo, 
Q1, mediana,Q3 e máximo conseguiremos obter mais informações sobre a 
forma da distribuição de freqüência de variável. 
O boxplot é a forma gráfica de se compor os cinco resultados mínimo, 
Q1, mediana,Q3 e máximo e obter informações diretas sobre a da distribuição 
de freqüência da variável. Resumidamente, representa os dados através de um 
retângulo construído com os quartis e fornece informação sobre valores 
extremos. (veja o esquema embaixo): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
 
 
Com a finalidade de aumentar o peso (em Kg) um regime alimentar foi 
aplicado em 12 pessoas. Os resultados (ordenados) foram: 
-0,7 2,5 3,0 3,6 4,6 5,3 5,9 6,0 6,2 6,3 7,8 11,2. 
 
 
 
44 
 
1º passo 
Calculando as medidas temos: 
Mediana (Md ou Q2) = 5,6kg 
1º.quartil (Q1) = 3,3kg 
3º.quartil (Q3) = 6,25kg 
 
2º passo 
d=intervalo interquartil = Q3-Q1 =2,95kg 
Logo as linhas auxiliares correspondem aos pontos: 
Q1-1,5d = -1,25kg 
Q3+1,5d = 10,675kg 
 
3º passo 
Construção do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
Módulo I – Unidade 8: Análise de Correlação - Regressão Linear Simples 
 
 
Um problema frequente em estatística consiste em investigar questões 
como estas: há alguma relação entre duas grandezas? As variações em uma 
das grandezas acarretam variações na outra grandeza? O termo correlação 
significa „relação em dois sentidos‟ (co + relação) e é usado para designar a 
„força‟ mantêm „unidos‟ os valores dois conjuntos de valores. 
 
 
ANÁLISE DE CORRELEÇÃO 
Para entendermos melhor a análise de regressão usaremos o seguinte 
exemplo. 
 
Por exemplo 
O fenômeno da bioacumulação em peixes é verificado quando a 
concentração do metal a ser analisado cresce proporcionalmente com a massa 
do peixe. Análises realizadas pelo Laboratório de Química Analítica e 
Ambiental da UFPA forneceram dados da concentração de Al (Alumínio) em 
peixes da espécie Cichla spp. (Tucunaré), mostradas na tabela abaixo e a 
massa de peixes grandes após a biometria. 
Admitamos que as respostas obtidas tenham sido: 
 
Amostras de Tucunaré A B C D E ∑ 
Massa da amostra (g): Xi 5 8 10 12 15 50 
[Al] (mg/Kg): Yi 10 30 45 50 75 210 
1º passo 
Calcule X (variável independente, que permite prever) e Y (variável 
dependente, que é a resposta ou o predito) da seguinte maneira: 
XM = ∑ Xi / n sendo n = quantidade de amostras 
XM = 50 anos / 5 = 10 g de Tucunaré 
 
YM = ∑ Yi / n 
 
 
46 
 
YM = 210 anos / 5 = 42 mg/Kg de Alumínio 
 
Xi representa a massa de cada amostra de Tucunaré. 
Por exemplo: O sujeito C Xi=3 = X3 = 10 g 
 
Yi representa a massa de Alumínio bioacumulados nas amostra de Tucunaré. 
Por exemplo: O Sujeito C Yi=3 = Y3 = 45 livros 
 
XM e YM são na verdade médias dos sujeitos estudados. E observando 
os valores de X e Y acima, verificamos que para cada 10 g (em média) de 
Tucunaré, a amostra de peixe correspondente possui 42 mg/Kg de Al 
bioacumulados (também em média). 
A média aritmética (Ma) sozinha é insuficiente para explicar bem a força que 
mantém unidas as variáveis X e Y. Por isso, usa-se uma estatística 
desenvolvida por Person chamada coeficiente de correlação linear (rxy). 
 
2º passo 
Para o cálculo de rxy é necessário primeiro encontrar o valor das 
seguintes quantidades: 
∑ XiYi , ∑ Xi , ∑ Yi , ∑ Xi
2 , ∑ Yi
2 . Vamos a tabela e calculemos essas 
quantidades: 
Sujeito Massa (g) Al (mg/Kg) XiYi Xi
2 Yi
2 
A 5 10 50 25 100 
B 8 30 240 64 900 
C 10 45 450 100 2025 
D 12 50 600 144 2500 
E 15 75 1125 225 5625 
∑ 50 210 2465 558 11150 
 
3º passo 
Cálculo de rxy feito através da fórmula: 
 
2222 )()(
)()(
iiii
iiii
xy
YYnXXn
YXYXn
r
 
 
47 
 
 
Onde n corresponde ao número de pares de informações. Neste 
exemplo, n = 5. Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º passo 
Interpretação do rxy. 
 Quanto mais próximo de 1 maior a correlação positiva. 
 Quanto mais próximo de - 1 maior será a correlação negativa. 
 Os valores de + 1 e – 1 significam respectivamente, correlação perfeita 
positiva e correlação perfeita negativa. 
 r = +1 correlação positiva (as duas variáveis aumentam no mesmo 
sentido) 
 r = 0 ausência de correlação (valores muito dispersos) 
 r = -1 correlação negativa (uma variável aumenta e a outra diminui) 
 0,6 ≥ r ≤ 1 correlação forte “significativa” 
 0,3 ≥ r ≤ 0,6 correlação fraca 
 0 ≥ r ≤ 0,3 correlação muito fraca22
210111505505585
)210)(50()2465(5
xyr
)4410055750)(25002790(
1050012325
xyr
99,0xyr
 
 
48 
 
 
TIPOS DE DIAGRAMAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relação Linear direta Relação Linear Indireta 
 rxy > 0 rxy < 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relação curvilínea direta Não há correlação 
 rxy = 0 
 
Outros exemplos 
 
Exemplo 1 
Xi Yi 
0 0 
1 2 
2 4 
3 6 
4 8 
 1º passo 
 Calcular ∑ XiYi , ∑ Xi , ∑ Yi , ∑ Xi
2 , ∑ Yi
2 . 
 
 Xi Yi Xi
2 Yi
2 XiYi 
 0 0 0 0 0 
 1 2 1 4 2 
 2 4 4 16 8 
 3 6 9 36 18 
 4 8 16 64 32 
∑ 10 20 30 120 60 
 
 
49 
 
2º passo 
Calcular rxy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º passo 
Interpretação do resultado. 
 Foi encontrado um rxy igual a 1, isto é, a correlação entre os dados é 
perfeita. 
 
 
 Exemplo 2 
 
Xi Yi 
4 5 
3 3 
5 5 
5 4 
4 4 
3 6 
2 5 
3 6 
2 5 
4 2 
 
1º passo 
Calcular ∑ XiYi , ∑ Xi , ∑ Yi , ∑ Xi
2 , ∑ Yi
2 . 
 Xi Yi Xi
2 Yi
2 XiYi 
 4 5 4 25 10 
 3 3 4 25 10 
 5 5 9 9 9 
2
201205210305
)20)(10()60(5
xyr
1xyr
2
)(
2
.
2
)(
2
)()(
iYiYniXiXn
iYiXiYiXn
xyr
 
 
50 
 
 5 4 9 36 18 
 4 4 9 36 18 
 3 6 16 25 20 
 2 5 16 16 16 
 3 6 16 4 8 
 2 5 25 25 25 
 4 2 25 16 20 
∑ 35 45 133 217 154 
 
 
 
2º passo 
Calcular rxy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Interpretação do resultado: Foi encontrado um rxy de, 
aproximadamente, -0,28, isto é, a correlação entre os dados é fraca. 
 
SIGNIFICÂNCIA DE rxy 
 
Voltemos ao exemplo inicial onde Xi = massa (g) de Tucunaré e Yi = 
quantidade de Alumino (mg/Kg) bioacumulados. 
Vamos imaginar que a população de peixes de onde a amostra foi tirada 
fosse tal que a sua representação gráfica desse o seguinte diagrama de 
disperção: 
 
 
 
22 )45()217(12[)35(1330(10[
)45)(35()154(10
xyr
28,0xyr
2
)(
2
.
2
)(
2
)()(
iYiYniXiXn
iYiXiYiXn
xyr
 
 
51 
 
Mas, como os 5 sujeitos foram sorteados, os valores assim obtidos 
poderiam, por puro acaso, estar simulando uma disposição retilínea, quando, 
na verdade, essa configuração sequer existisse. O diagrama de dispersão 
seguinte mostra isso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Os pontos da amostra lembram uma reta, mas os pontos da 
população têm uma disposição circular. Como saber se a correlação, na 
população, é diferente de zero? Vimos no gráfico acima que rxy é diferente de 
zero (no caso específico rxy > 0) não é garantia de que o mesmo ocorra na 
população da qual se extraiu a amostra. 
O nosso problema poderia se assim colocado: já que na amostra rxy é diferente 
de zero, será que na população (indicada pela letra grega rô: ρxy ) a correlação 
é também diferente de zero? 
Então: 
 Se rxy ≠ 0, então: 
 Ho: ρxy = 0 
 Ha: ρxy ≠ 0 sendo, α = 5% 
Para resolver este problema, vamos usar seguinte estatística t de Student 
com (n- 2) graus de liberdade: 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
to = t observado(calculado); 
rxy = coeficiente de correlação linear (Pearson) obtido; 
(n-2) = número de graus de liberdade. 
 
2
0
)(1
2
xy
xy
r
nr
t
 
 
52 
 
1º passo 
 
Para o exemplo da quantidade de Alumínio bioacumulado no Tucunaré to é: 
 
 
 
 
 
2º passo 
 
O valor de to deve ser comparado com o valor de t tabelado, chamado „t 
crítico’ (tc). E dessa comparação resultam as seguintes conclusões 
(mutuamente excludentes). Mas para isso devemos encontra o número de 
graus de liberdade (GLIB).Observe o extrato da tabela de tc abaixo: 
Graus de 
liberdade (GLIB) 
α 
5% 1% 
3 3,182 5,847 
4 2,776 4,604 
… … … 
8 3,355 
… … … 
10 3,169 
… … … 
20 2,845 
 
Para o nosso exemplo, n = 5, portanto o GLIB é: 
GLIB = n – 2 = 5 – 2 = 3 graus de liberdade 
Então, o tc , para o nosso exemplo com 3 graus de liberdade, é igual a 
3,182. 
 
3º passo 
Temos, então: (to = 12,1382) > (tc = 3,182) 
 
 Possibilidades para análise da significância da amostra: 
 I- Se to > tc Rejeita a Ho ( e aceita Ha) 
II- Se tc > to Não rejeita a Ho (mas rejeita Ha) 
1382,12
)99,0(1
2599,0
)(1
2
22
0
xy
xy
r
nr
t
 
 
53 
 
Pelas possibilidades de análise de significância, Ho é rejeitada, isto é, 
com 95% de certeza, podemos concluir que a correlação na população não é 
zero. 
 
Para esclarecer melhor, vamos aplicar o t de Student ao exemplo 2 
desta unidade. 
 
1º passo 
Temos to para este exemplo é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º passo 
 
Para o exemplo 2, n = 10, portanto o GLIB é: 
GLIB = n – 2 = 10 – 2 = 8 graus de liberdade 
Então, o tc , para o nosso exemplo com 8 graus de liberdade, é igual a 
2,306. 
 
 
 
3º passo 
 
Lembrando que: Ho: ρxy = 0 Não existe correlação linear; 
 Ha: ρxy ≠ 0 Existe correlação linear. (α = 5%) 
 
 
Temos, então: (to = 0,825) < (tc = 2,306). 
Logo, Ho não é rejeitada, isto é, com 95% de certeza, podemos afirmar 
que não existe correlação linear na população. Então: ρxy = 0. 
 
825,0
0784,01
828,0
)28,0(1
21028,0
)(1
2
2
0
2
t
r
nr
t
xy
xy
o
 
 
54 
 
COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO (CD) OU EXPLICAÇÃO (R2) 
 
 
 
 
Então, se rxy = 0,548 
 
 
 
 
 
 
Isto significa que numa proporção de aproximadamente 30,03% das 
variações em Y podem ser explicadas pelas variações em X. 
 
 
RECOMENDAÇÕES IMPORTANTES 
 
1. Já que o cálculo de rxy é trabalhoso é conveniente fazer o gráfico antes 
de começar qualquer cálculo. Basta fazer um gráfico xy unindo o ponto 
Xi com Yi, isto é: se Xi = 5 e Yi = 2, teremos o ponto (5,2) no gráfico e 
assim por diante. Se os pontos do gráfico distribuírem-se de tal forma 
que lembrem uma reta, convém calcular rxy; se os pontos estivem 
dispersos de modo não-linear, não convém clacular rxy. 
 
2. O coeficiente de correlação linear de Pearson pode ser calculado por 
uma fórmula alternativa que é: 
 
 
 
 
 
 
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 
 
 
 
A regressão, que traduz a lei segundo a qual as variáveis „caminham 
juntas‟, é expressa por meio de uma relação matemática. É a chamada 
yx
ii
xy
SSn
yx
r
22 100 )(r=R xy
22 )548,0(100R
03.302R
 
 
55 
 
equação de regressão. Resumidamente, a regressão linear simples é a 
expressão matemática que expressa as varáveis que se correlacionam. 
Na verdade, correlação e regressão são conceitos logicamente inseparáveis. 
Uma não pode existir sem a outra. Então, neste caso, fala-se em regressão 
linear simples: 
 LINEAR: porque a disposição dos pontos permite interpolar-lhes uma 
reta; e; 
 SIMPLES: porque só há 2 variáveis envolvidas no processo. 
 
De todas as retas possíveis para uma nuvem de dados, somente a que 
apresente melhor ajustamento a todos os pontos é que deve ser escolhida. 
 
A escolha dessa reta obedece a um critério chamado método dos 
mínimos quadrados calculado pelas seguintes equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 Sx = desvio padrão de X 
 Sy = desvio padrão de Y 
^ = indica que se trata de uma valor teórico próximo da 
realidade. 
 
As equações acima são chamadas de equações normais de 
regressão. A primeira delas (X - chapéu) chama-se equação normal de 
regressão dos X sobre os Y e permite calcular um X desconhecido a partir de 
um Y conhecido. A segunda equação (Y - chapéu) equação normal de 
regressão dos Y sobre os X e permite calcular um Y desconhecido a partir de 
um X conhecido. 
)(
)(
_2
_
2
^
2
11
^
1
XKYXKYK
S
S
r
YKXYKXK
S
S
r
ii
x
y
xy
ii
y
x
xy
 
 
56 
 
Para entender melhor como utilizar essas equações retornemos ao 
exemplo onde X = massa (g) de Tucunaré e Y = massa (mg/Kg)de Al 
bioacumulados, e mostrar como se faz para interpolar aos pontos amostrais 
uma reta. 
 
1º passo 
Sabendo que: 
 Sx = 3,4 XM = 10 g 
 Sy = 21,6 YM = 42 mg/Kg 
 rxy = 0,99 
 
Calcule K1 e substitua os valores de K1, XM, YM na equação normal de 
regressão dos X sobre os Y para encontra a equação de X – chapéu. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º passo 
Calcule K2 e substitua os valores de K2, XM, YM na equação normal de 
regressão dos Y sobre os X para encontra a equação de Y – chapéu. 
 
 
 
 
 
 
 
28,316,0
)]42)(16,0(10[16,0
16,0
6,21
4,3
99,0
^
^
1
ii
ii
y
x
xy
YX
YX
S
S
rK
9,2029,6
)]10)(29,6(42[29,6
29,6
4,3
6,21
99,0
^
^
2
ii
ii
x
y
xy
XY
XY
S
S
rK
 
 
57 
 
3º passo 
Vamos supor agora que tivéssemos perdido a notação do valor de X2 
(recorra tabela no início desta unidade). Como recuperá-lo a partir de seu 
parceiro Y2 = 30? 
Resposta: Basta substitui o valor 30 (Y2) em Yi na fórmula de X – 
chapéu que encontramos no 1º passo. Se você realizar os cálculos encontrará 
um valor de X – chapéu aproximadamente igual a 8,08. Observe que o valor 
não é 10. Isso acontece porque X – chapéu produz apenas uma estimativa 
razoável que leva em conta o conjunto de dados da tabela. 
 
4º passo 
Sabemos que por 2 pontos passa uma e uma só reta. Então, se 
quisermos saber qual a reta de X que apresenta o melhor ajuste a todos os 
pontos, basta calcular dois valores extremos, por exemplo: X – chapéu para Y1 
= 10 e X – chapéu para Y5 = 75. 
Fazendo os cálculos temos que X – chapéu = 4,88 e Y – chapéu = 15,28. Tais 
valores nos levam ao seguinte diagrama: 
 
5º passo 
O mesmo raciocínio vale para a equação de Y – chapéu. 
 
 OBSERVAÇÃO: As figuras ilustradas na unidade 7 foram adaptadas de: COSTA, S. F. Introdução Ilustrada á 
Estatística. 3º Ed. São Paulo: Ed. HARBRA LTDA, 1998. p. 
 
 
 
58 
 
Módulo I – Unidade 9: Análise Hierárquica de Agrupamentos 
 
A análise hierárquica de agrupamentos tem por objetivo agrupar dados 
em „clusters‟ com atributos semelhantes. Os resultados aparecem em formas 
de dendogramas onde podem visualizar as correlações as amostras ou 
variáveis. O importante aqui é a distância entre as amostras: amostras 
próximas (distâncias pequenas) são aproximadamente semelhantes. 
Para a Química este tipo de análise auxilia na interpretação dados 
experimentais ou teóricos. Por exemplo, se temos um grupo de dados que 
correspondem às concentrações de Ferro (Fe), coletados do solo de diferentes 
bairros de Belém. A análise hierárquica de agrupamentos é recurso que 
poderia dizer o quanto estes bairros estão próximos ou distantes em relação a 
quantidade de Ferro presente nos solos de cada uma ou se é possível 
distinguir uma localidade da outra analisando a concentração de Fe em seus 
respectivos solos. 
No decorrer desta unidade serão descritos alguns exemplos para melhor 
ilustração 
 
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS – MEDIDAS DE DISTÂNCIA 
 
Nesta fase da análise, as distâncias entre as amostras e variáveis são 
calculadas e comparadas. 
dab distância entre a e b. 
 
Tais distâncias podem ser calculadas pela fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
 
 
AGRUPAMENTO 
 
 Distância entre o cluster A – B que acaba de ser formado e outro C já 
formado. 
 
1. CONEXÃO SIMPLES: 
 
 
2. CONEXÃO COMPLETA 
 
 
3. CONEXÃO POR MEIO DE MEDIANA 
 
 
 
 
 Depois de se obter o valor das distâncias faz-se o cálculo da 
similaridade pela seguinte equação: 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
 
Em 2007, um grupo de químicos da UFPA resolveu analisar as 
concentrações, em ppb (partes por bilhão), de 4 elementos (Cl, Ca, Mg e Na) 
presentes em águas salobras de dois diferentes bairros da cidade. Para cada 
bairro, coletou-se 4 amostras de água em diferentes pontos. Considere a tabela 
abaixo e verifique, através da análise de agrupamento, se é possível distinguir 
as localidades com base nos valores de concentrações dos elementos. 
 
 
 
60 
 
N° 
amostra 
Amostras Cl Ca Mg Na 
Bairro Terra firme 
1 TF 01 2067,1 315,9 73,7 1857,7 
2 TF 02 2074,9 311,7 73,9 1754,7 
Bairro Nazaré 
3 NZ 01 2134,7 292,7 70,3 1504,7 
4 NZ 02 2163,8 295,6 70,1 1499,9 
 
1º passo 
Calcule as distâncias da seguinte forma: 
 
d12 = (2074,9 - 2067,1)
2 + (311,7 – 315,9)2 + (73,9 – 73,7)2 + (1754,7 + 1857,7)2 = 
103,38 
d13 = (2134,7 – 2067.1)
2 + (292,7 – 315,9)2 + (70,3 – 73,7)2 + (1504,7 + 1857,7)2 = 
360,18 
d14 = (2163,8 – 2067.1)
2 + (295,6 – 315,9)2 + (70,1 – 73,7)2 + (1499,9+ 1857,7)2 = 
371,21 
 
d23 = (2134,7 – 2074,9)
2 + (292,7 – 311,7)2 + (70,3 – 73,9)2 + (1504,7 + 1754,7)2 = 
257,78 
d24 = (2163,8 – 2074,9)
2 + (295,6 – 311,7)2 + (70,1 – 73,9)2 + (1499,9 + 1754,7)2 = 
270,37 
 
d34 = (2163,8 – 2134,7)
2 + (295,6 – 292,7)2 + (70,1 – 70,3)2 + (1499,9 + 1504,7)2 = 
29,64 
 
 Se você realizar os cálculos verá que os valores de d11, d22, d33, d44 são 
iguais à zero. 
 
2º passo 
Organize os resultados das distâncias encontradas em forma de uma matriz 
de forma que d12 estará na primeira linha e segunda coluna, d24 estará na segunda 
linha e quarta coluna, d44 (igual a zero) estará na quanta linha e quarta coluna e 
assim sucessivamente. Então temos: 
 
 
61 
 
 1 2 3 4 
1 0 103,38 360,18 371,21 
2 0 257,78 270,37 
3 0 29,64 
4 0 
 
3º passo 
Com um grupo já formado (grupo 3,4 = 29,64) que é a menor distância 
da matriz, através de cálculos verifica-se a existência de outros grupos que 
poderão ainda ser encontrados ou ainda se a pontos similares ao 1º já 
formado. 
 
Cálculo da distância entre o grupo formado (3,4) e os demais (1 e 2). 
Para elaboração do dendrograma utilizaremos à conexão simples. 
 
 
 
Então: 
d1 3,4 = 0,5.d13 + 0,5.d14 – 0,5│ d13 - d14│ 
d1 3,4 = 0,5.360,18 + 0,5.371,21 - 0,5│ 360,18 – 371,21│= 360,18 
 
d2 3,4 = 0,5.d23 + 0,5.d24 – 0,5│ d23 – d24│ 
d2 3,4 = 0,5.257,78 + 0,5.270,37 – 0,5│ 257,78 – 270,37│= 257,78 
 
Agora com os novos valores de distâncias, vamos construir uma 
segunda matriz distância: 
 1 2 3,4 
1 0 103,38 360,18 
2 0 257,78 
3,4 0 
 
4º passo: 
Com outro grupo já formado (1 e 2), busca-se encontrar pontos similares 
ou distintos. 
 
 
62 
 
Calcula-se a distância entre os grupos formados e os que ainda poderão 
ser encontrados. E com isso efetua-se o cálculo da distância, usando agora os 
pontos (3 e 4 com 1 e 2 já formados). Pela fórmula de conexão simples temos: 
 
d1,2 3,4 = 0,5.d1 3,4 + 0,5.d2 3,4 – 0,5│ d1 3,4 – d2 3,4│ 
d1,2 3,4 = 0,5.360,18 + 0,5.257,78 – 0,5│360,18 – 257,78│= 257,78 
 
As distâncias d1,2 1,2; d3,4 3,4 são iguais a zero. Desta forma temos a 
matriz: 
 
 1,2 3,4 
1,2 0 257,78 
3,4 0 
 
5º passo: 
Realizado os cálculos das distâncias para formação de grupos e a 
similaridade entre esses grupos formados é possível um gráfico para melhor 
visualizar as informações. Fazendo uso do programa MINITAB, utilizaram-se 
gráficosem Dendrograma. 
Para construção do dendograma é necessário o cálculo da 
similaridade. 
 
 
 
S1,2 = 60% 
 
S3,4 = 88% 
 
S(1,2),(3,4) = 0% 
 
Utilizando o valor da distância máxima padronizada temos que: 
dmáx = d(1,2),(3,4) = 257.78 
A dmáx não padronizada seria igual a 360,18. 
 
 
63 
 
6º passo 
Análise do dendograma obtido com os dados de distância. 
 Dendrograma 1 - distância 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dendrograma 2 obtido com os dados de similaridade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Terra Firme 
 
Nazaré 
 
Nazaré 
Terra Firme 
 
 
64 
 
Conclusões: É possível distinguir os bairros Terra Firme e Nazaré com base 
nas concentrações de Cl, Ca, Mg e Na. As duas localidades estão 
notavelmente separadas dendogramas. As amostras 1 e 2 formam um grupo e 
as amostras 3 e 4 também se agrupam, e, posteriormente esses dois grupos 
são agrupados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
 
Lista de Exercícios de Estatística Descritiva 
 
1- Calcular o coeficiente de variação de cada variável, verificar a presença 
de outlines e fazer a comparação entre a umidade e as cinzas das folhas 
de jambú. 
UMIDADE % CINZAS % 
88,68 2,16 
88,57 1,74 
88,70 1,76 
87,18 1,91 
88,49 1,50 
89,14 2,13 
 
2- Na tabela abaixo são apresentados valores de peso fresco dos calos por 
explante obtidos em cultura de tecidos in vitro de diferentes cultos de 
trigo. Utilize os conhecimentos estatísticos e responda: 
a) Qual a característica apresentou maior variabilidade; 
b) Compare os pesos obtidos dos embriões maduros com imaturos e 
verifique a presença de outlines. 
Fw –Imaturos Fw-Maturos 
48,4 70,0 
45,0 56,7 
40,4 65,6 
53,6 127,7 
60,0 74,4 
63,5 63,0 
64,2 153,4 
72,7 44,2 
62,6 74,9 
59,8 105,4 
 Média do peso fresco dos calos por explante (mg) 
 
 
66 
 
3- Na tabela abaixo é apresentado os valores referentes as diferenças de 
calos e regeneração de plantas entre cinco tipos de trigo de fontes de 
embriões maduros e imaturos. Compare usando medidas estatísticas 
(médias, mediana, desvio padrão e coeficiente de variação) os valores 
apresentados dos embriões maduros e imaturos. 
Embriões Imaturos Maduros 
A 38,1 51,5 
B 34,3 50,7 
C 52,5 82,0 
D 30,0 58,9 
E 60,3 56,7 
 
4- Na tabela abaixo são apresentados valores de algumas propriedades 
físico-químicas (pH, acidez livre, umidade e Hidroximetilfurfural-HMF) 
determinadas em méis de abelha com ferrão (Apis mellifera) e sem 
ferrão (Mellipona fasciculata). Através de medidas de tendência central e 
análise de Box-plot, verificar qual (is) das propriedades estudadas é 
mais importante para separar abelhas com ferrão de abelha sem ferrão. 
 
Amostras pH Acidez 
livre 
Umidade HMF Abelhas 
1 3,57 69,95 10,63 16,7 Com ferrão 
2 3,84 18,52 18,14 10,36 Com ferrão 
3 3,84 19,52 16,26 10,75 Com ferrão 
4 4,20 23,00 20,00 8,10 Com ferrão 
5 3,54 33,47 22,80 21,93 Sem ferrão 
6 4,20 15,22 22,47 19,63 Sem ferrão 
7 3,85 52,56 27,37 18,27 Sem ferrão 
8 3,40 15,90 28,00 0,00 Sem ferrão 
SOUZA (2008) 
 
5- Os resultados dos elementos químicos Pb, Zn e Cd, em mg/Kg , 
analisados em amostras de peixes médios e grandes, da Cichla spp. 
 
 
67 
 
(Tucunaré), capturados na represa de Tucuruí, no projeto desenvolvido 
pelo laboratório de Química Analítica e Ambiental da UFPA em parceria 
com a ELETRONORTE, são encontrados na tabela abaixo: 
 
Pb Zn Cd Tamanho do peixe 
0,05 20,43 1,41 Médio 
0,09 20,19 1,31 Médio 
0,19 21,77 0,74 Médio 
0,05 23,36 0,83 Médio 
0,00 15,88 0,62 Grande 
0,54 17,94 0,94 Grande 
0,01 13,35 0,33 Grande 
0,06 22,21 0,70 Grande 
 
Mostrar através do Boxplot, qual(is) do(s) metal(is) separa(m) melhor os 
peixes médios e grandes. 
 
6- Em um estudo realizado na Universidade Federal do Pará (UFPa) foram 
analisadas 6 sementes de cupuaçu e determinou-se a dimensão das 
sementes (comprimento, largura e espessura). Calcule o coeficiente de 
variação das variáveis. Observar a presença de outlines e analisar as 
variáveis através do Boxplot. 
 
Sementes Comp. (cm) Larg. (cm) Espes. (cm) 
1 2,9 2,2 1,1 
2 2,4 1,9 1,2 
3 2,7 2,2 1,1 
4 2,6 2,0 0,9 
5 2,1 1,8 1,1 
6 2,2 1,6 1,5 
 
 
 
 
 
68 
 
Exercício de Regressão Linear 
 
1- Nos laboratórios de Química da UFPA, são realizados vários experimentos 
de grande importância, uma delas é a determinação da curva de calibração em 
relação as concentrações de cálcio. No quadro abaixo são mostrados as 
concentrações de padrões analíticos de cálcio, (em mg/l) e as absorvâncias 
desses padrões, determinadas por espectrometria no UV-Visível. Ajuste um 
modelo linear a estes dados, calcule os valores de R2 e t0, e diga se o modelo é 
significativo. Dado tc = 0,7914 
 
Amostra Ca (mg/l) Absorvância 
A 0,6 0,043 
B 0,7 0,079 
C 1,00 0,133 
D 1,6 0,142 
E 0,78 0,081 
 
 
2- Na tabela abaixo, são apresentados valores de concentrações de metais na 
polpa do açaí, de cinco regiões diferentes. (Os metais são cálcio e magnésio). 
Ajuste um modelo linear a estes dados, calcule os valores de R2 e t0, e diga se 
o modelo é significativo. Dado tc = 1,5472 
 
Amostra Ca (mg/ml) Magnésio (mg/ml) 
A 0,048 0,13 
B 0,018 0,08 
C 0,11 0,09 
D 0,21 0,19 
E 0,13 0,21 
 
3- Na tabela abaixo são apresentados os dados obtidos da extração do 
óleo/oleoresina de quatro amostras diferentes de gengibre, onde sofreram dois 
 
 
69 
 
tipos de tratamento: métodos físicos (R1) e de secagem ao calor do fogo (R2). 
Calcule: 
a) O coeficiente de correlação (r). 
b) A significância de r (teste t0). 
c) Verificar se o modelo é ajustável (R2). 
N° experimental R1 R2 
Gengibre inteiro não discascado. 4,7 4,9 
Gengibre inteiro descascado. 4,5 4,6 
Gengibre dividido não descascado. 5,8 6,1 
Gengibre dividido descascado. 2,8 2,6 
 
4- Fazer uma análise de regressão entre a concentração real Fe (mg/Kg) e a 
concentração real de Zn (mg/Kg) presente nas folhas do jambú. Saber se o 
modelo é ajustável e se tem significância. tc = 3,182 
 
Conc. Real Fe (mg/Kg)-Xi Conc. Real Zn (mg/Kg)-Yi 
146,61 62,79 
191,88 64,81 
111,84 87,74 
177,81 74,08 
303,43 74,71 
309,31 49,64 
 
 
5- Um procedimento importante num laboratório é a construção de curvas de 
quantificação, isto é, a determinação da concentração de uma determinada 
espécie, através de modelos construídos através dos dados obtidos 
experimentalmente. Normalmente, essa relação é determinada empregando-se 
o ajuste por mínimos quadrados ou regressão linear. Considere a matriz obtida 
num experimento visando à concentração de uma curva de quantificação para 
determinação de taninos em resíduo de açaí. Na tabela abaixo são mostradas 
as concentrações de ácido tânico (mg/mL) e as absorvâncias determinadas por 
 
 
70 
 
espectrofotometria de UV_vísivel. Ajuste um modelo linear a estes dados. 
Calcule os valores de R2 e to. Sendo que o valor de tc=3,182. 
 
Ácido tânico 
(mg/mL) 
Absorvância 
0,50 0,063 
0,75 0,074 
0,80 0,085 
0,90 0,099 
1,25 0,109 
1,30 0,112 
 
6- O fenômeno da bioacumulação em peixes é verificado quando a 
concentração do metal a ser analisado cresce proporcionalmente com a massa 
do peixe. Análises realizadas pelo Laboratório de Química Analíticae 
Ambiental da UFPA forneceram dados da concentração de Al em peixes da 
espécie Cichla spp. (Tucunaré), mostradas na tabela abaixo e a massa de 
peixes grandes após a biometria. Calcule os valores de R2 e t0. 
Massa (g) [Al](mg/Kg) 
2500 23,69 
3500 75,38 
2750 19,14 
2000 13,81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
Exercício de Cluster 
 
1) FARNHAM ET AL, (2000) obtiveram dados hidrogeoquímicos 
proveniente de duas regiões no Estado norte-americano de Nevada: amostras 
1,2 e 3 onde o governo federal local efetuou explosões atômicas subterrâneas; 
outra adjacente, Oásis Valley/ OV: amostras 4 e 5. No total são 5 análises, 
concentrações em ppb, para 7 elementos. Utilize a análise de agrupamentos 
(conexão simples e completa) e diga se é possível à separação, distinção, 
dessas localidades com base nos valores de concentrações dos metais. 
 
 Li Ti V Cr Mn Ni Ge 
1 9,3 1,11 1,30 2,42 1,15 1,12 1,32 
2 10,3 1,27 1,96 2,67 1,09 1,18 1,26 
3 10,4 1,24 1,07 5,67 1,09 1,18 1,27 
4 16,6 1,07 1,67 2,80 1,34 2,20 1,55 
5 17,9 1,04 1,16 2,37 1,49 2,39 2,36 
 
2) Calcule as matrizes de distâncias utilizando o método e conexão simples 
e monte os dendogramas de distâncias e similaridades para as amostras. 
Compare os resultados. 
 
Amostra
s 
Variedade
1 
Variedade
2 
Variedade
3 
Variedade
4 
Variedade
5 
1 7 9 10 17 29 
2 5 12 14 12 35 
3 3 8 20 15 37 
4 8 7 8 14 26 
5 2 11 5 19 34 
 
 
3) Os alunos de química da UFPA com o auxilio de seu professor analisaram 
dois tipos de aguardente, um tipo armazenado em barris de vidro e o outro 
armazenados em barris de carvalho. Foram analisados os seguintes 
 
 
72 
 
compostos, Acetaldeido e compostos Fenólicos. Com bases na tabela abaixo 
compare as concentrações desses compostos através de Boxplots. 
Barris de Carvalho 
 Concentração 
Tempo (meses) Compostos Fenólicos Acetaldeido 
0 5,63 7,63 
6 31,01 7,97 
12 35,90 8,41 
18 38,18 8,86 
24 44,01 8,92 
 
Barris de Vidro 
 Concentração 
Tempo (meses) Compostos Fenólicos Acetaldeido 
0 5,63 7,63 
6 3,70 8,00 
12 3,09 8,13 
18 3,30 8,12 
24 3,45 8,14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
 
Módulo I - Apêndice 1: Gráficos e Tabelas 
 
GRÁFICOS E TABELAS 
 
Fatos ou fenômenos da natureza podem se representados de várias 
formas e diferentes linguagens. E duas dessas linguagens são os gráficos e 
tabelas. As informações tabeladas podem ser facilmente representadas através 
de gráficos ou vice-versa sendo que a função de ambos é expor de maneira 
simples e resumida as informações de determinado fato. Uma tabela tem a 
vantagem de poder apresentar todos os dados mesmo que sejam diferentes 
em seus valores. Já um gráfico tem a vantagem de tornar visível não só os 
dados, mas também o comportamento das grandezas ou dados envolvidos no 
fato ou fenômeno a ser tratado. 
Neste texto serão abordadas algumas regras simples para construção de 
gráficos e tabelas. 
 
TABELAS 
Passos para Construção de Tabelas 
 
1. Uma tabela pode ser representada na forma horizontal ou vertical, 
dependendo número de grandezas ou dados a serem representados; 
2. Os números devem vir preferencialmente na forma inteira, mas quando 
estiverem na forma decimal pode-se usar notação científica; 
3. Deve contar no espaço superior da tabela um título informando de forma 
sucinta o esta representa; 
4. O topo da tabela deve representar as grandezas por meio de símbolos 
e entre parênteses a sua unidade; 
5. Inclua totais de linhas e/ou colunas para facilitar as comparações; 
6. Ordene colunas e/ou linhas quando possível. Se não houver 
impedimentos, ordene-as segundo os valores, crescente ou 
decrescentemente; 
7. Tente trocar de orientação (linhas por colunas) para melhorar a 
apresentação. É mais fácil fazer comparações ao longo das linhas do 
que das colunas; 
 
 
74 
 
8. Altere a disposição e o espaçamento das linhas e colunas para facilitar a 
leitura. Inclua um maior espaçamento a cada grupo de linhas e/ou 
colunas em tabelas muito extensas. 
9. Não analise a tabela descrevendo-a, mas sim comentando as principais 
tendências sugeridas pelos dados. 
 
Por exemplo: 
Tabela 1: Concentração Ferro (g/mL) presente em amostras do Rio 
Tocantins em mL. 
[Fe] (g/mL) Amostras (mL) % 
2 30 25,00 
10 40 33,33 
18 50 41,67 
Total 120 100 
 
Interpretações: Pela Tabela 1 podemos perceber que quanto maior a 
amostra das águas do Rio Tocantins maior é a concentração de Ferro presente 
nas mesmas. 
 
Como fazer Tabelas Usando o Programa Word? 
 
1. Abra o programa Word e na barra de ferramentas clic em 
Tabela. Em seguida clic em Inserir e, por fim, em Tabela; 
 
2. Determine o tamanho da tabela ou peça autoformatação e clic 
em OK; 
 
 
75 
 
 
3. Finalmente sua tabela está pronta. Basta inserir os valores que 
irão compor sua tabela; 
 
4. Para aperfeiçoar sua tabela, pode-se formatá-la. Clic na barra 
de ferramenta em Tabela e em seguida na opção Desenhar 
tabela; 
 
5. Utilize a caixa de ferramentas Tabelas e bordas para formatar 
sua tabela. 
 
 
76 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICOS 
 
Os gráficos não seguem somente um comportamento linear. Eles podem ter 
comportamento exponencial, logaritmo, correlaciona. Isto depende das 
varáveis, grandezas e dados estudados. Serão descritos a seguir três tipos de 
gráficos muito utilizados em estatística (gráficos de barra e coluna, gráficos 
de linhas e gráficos de setores ou pizza). 
 
 Gráficos de barras / colunas: é usado para apresentar séries 
cronológicas, geográficas e categóricas. 
 
 Um gráfico de barras ilustra comparações entre itens individuais. As 
categorias são organizadas verticalmente e os valores horizontalmente para 
focalizar a comparação de valores e para dar menos ênfase ao tempo. 
 
 
77 
 
É adequado quando as variáveis forem qualitativas ou quantitativas 
discretas. 
 
Vendas de Petróleo (em R$ milhares/ano)
0 50 100 150 200
Extremo Oriente
América do Sul
Europa
 
 
Interpretações do Gráfico: As vendas de petróleo por ano no Extremo Oriente 
ultrapassam as vendas na Europa e a América do Sul teve uma quantidade 
menor de vendas anual. 
 
Um gráfico de colunas exibe as alterações dos dados em um período de 
tempo ou ilustra comparações entre itens. As categorias são organizadas 
horizontalmente e os valores verticalmente para enfatizar a variação ao longo 
do tempo. 
Qtd. de Cloro em % amostras de águas 
0
10
20
30
40
50
60
70
1 2 3 4
Amostras
 
Interpretações do Gráfico: o gráfico revela que a amostra de água 2 
apresenta maior quantidade de cloro dissolvido com, aproximadamente, 58%. 
 
 Gráficos de linhas: é usada para apresentar séries cronológicas. 
Representa observações feitas ao longo do tempo, em intervalos iguais ou não. 
Mostra a tendência dos dados no decorrer do tempo. No eixo vertical 
 
 
78 
 
descreve-se o valor observado para a variável e não a freqüência. A variável 
deve ser quantitativa. 
Qtd. de Cloro (%) em amostras de água do Rio 
Tocantins 
0
10
20
30
40
50
60
70
1 2 3 4
Local de coleta
Amostra 1
Amostra 2
Amostra 3
 
Interpretações do Gráfico: No primeiro ponto de coleta as amostras 2 e 3 
apresentaram uma quantidade de cloro aproximadamente igual, já a amostra 1 
tinha uma quantidade de Cl levemente maior. No segundo ponto de coletaa 
quantidade de cloro presente na amostra 3 caiu bruscamente. No ultimo ponto 
de coleta, as amostras 1 e 3 apresentam % de Cl quase iguais. E a mostra 2, 
no ponto de coleta 4, tem quantidade de cloro superior as demais amostras. 
 
 Gráfico de setores (pizza): Um gráfico de pizza mostra o tamanho 
proporcional de itens que compõem uma seqüência de dados à soma dos 
itens. Ele sempre mostra apenas uma seqüência de dados e é útil quando você 
deseja enfatizar um elemento importante. 
 
 
 
 
 
79 
 
 
 
Interpretações do Gráfico: As informações contidas no gráfico revelam 
que formam vendidas mais unidades de sanduíches, enquanto que as sopas 
apresentaram menor número de unidades vendidas. 
 
Passos para Construção de Gráficos 
 
1. Desenhar o plano cartesiano (X, Y) e associar aos eixos X e Y as 
grandezas ou dados estudados; 
2. Estabelecer um título de fácil entendimento; 
3. Nomear eixos. 
4. Observar o comportamento do gráfico para fazer as possíveis 
interpretações. 
 
Como Fazer Gráficos Usando o Programa Excel? 
 
1. Abra o programa Excel e em colunas diferentes e paralelas 
insira os dados referentes aos eixos X e Y. Dê nomes aos 
eixos; 
 
 
 
 
80 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na primeira linha estão dispostos os parâmetros físico-químicos 
utilizados para avaliar a qualidade da água de três lagos distintos. E na 
segunda linha, as suas unidades. A qualidade dos mesmos será determinada 
por comparação a padrões pré – estabelecidos, neste caso os padrões 
dispostos pelo Conselho Nacional do Meio Ambiente – CONAMA. É o órgão 
consultivo e deliberativo do Sistema Nacional do Meio Ambiente-SISNAMA, foi 
instituído pela Lei 6.938/81, que dispõe sobre a Política Nacional do Meio 
Ambiente, regulamentada pelo Decreto 99.274/90.* 
13
Unidades dos parâmetros
parâmetros
 
 
*Fonte: Site do CONAMA: http://www.mma.gov.br/port/conama/estr.cfm 
 
 
81 
 
2. Selecione todos os dados que irão compor o gráfico e na barra 
de ferramentas, clic em Inserir e selecione o tipo de gráfico 
desejado, neste caso para melhor comparação dos dados será 
utilizado um gráficos de barras; 
 
 
 
 
 
3. Após selecionar o gráfico desejado clic nos eixos x e y e dê 
nome aos mesmos, ajuste a legenda e crie um título para seu 
gráfico; 
 
 
 
 
82 
 
Para as interpretações do gráfico verifique quais parâmetros estão de 
acordo com o observado pelos dados pré – estabelecidos, neste exemplo: 
CONAMA. E atribua interpretações as possíveis variações existentes entre os 
dados coletados e os padronizados. Lembre-se ainda que os dados 
representados em um gráfico podem ter cunho comparativo, como foi 
construído acima, verificar o crescimento ou decaimento de uma determinada 
variável em relação a outra, sendo que esta variação pode ser linear, 
exponencial, logaritmo, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
RESPOSTAS DOS EXERXÍCIOS DE APLICAÇÃO 
 
Estatística Descritiva 
1. 
 
Umidade Cinzas 
Média= 88,46 Média= 1,87 
Desvio Padrão= 0,67 Desvio Padrão= 0,25 
CV= 0,75 CV= 13,87 
Q1(25%)=88,49 Q1(25%)=1,74 
Q2(50%)= 88,63 Q2(50%)=1,84 
Q3(75%)=88,70 Q3(75%)=2,13 
d = Q3-Q1 = 0,21 d = Q3-Q1 = 0,39 
Máx: Q3+1,5d= 89,015 Máx: Q3+1,5d=2,72 
Mín: Q1- 1,5d = 88,18 Mín: Q1- 1,5d = 1,16 
 
2. 
Fw Imaturos Fw Maturos 
Média= 57,02 Média= 83,53 
Desvio Padrão=9,97 Desvio Padrão=34,42 
CV= 17,48 CV= 41,20 
Q1(25%)=48,4 Q1(25%)=63 
Q2(50%)=59,90 Q2(50%)=72,2 
Q3(75%)=63,5 Q3(75%)=105,4 
d = Q3-Q1 = 15,1 d = Q3-Q1 =42,4 
Máx: Q3+1,5d= 86,15 Máx: Q3+1,5d=169 
Mín: Q1- 1,5d = 25,73 Mín: Q1- 1,5d = -0,6 
 
3. 
Imaturos Maduros 
Média= 43,04 Média= 59,96 
Desvio Padrão=12,83 Desvio Padrão=12,79 
CV= 29,80 CV= 21,34 
Q1(25%)=34,3 Q1(25%)=51,5 
Q2(50%)=38,1 Q2(50%)=56,70 
Q3(75%)=52,5 Q3(75%)=58,9 
d = Q3-Q1 = 18,2 d = Q3-Q1 =7,4 
Máximo= 79,8 Máximo=70 
Mínimo = 7,1 Mínimo= 40,4 
 
 
 
84 
 
4. 
 Para abelhas com ferrão 
 
 pH Acidez livre Umidade HMF 
 3,57 18,52 10,63 8,10 
 3,84 19,52 16,26 10,36 
 3,84 23,00 18,14 10,75 
 4,20 69,95 20,00 16,47 
X
 3,86 32,75 16,26 11,42 
Md 3,84 21,26 17,20 10,56 
 
 Para abelhas sem ferrão 
 pH Acidez livre Umidade HMF 
 3,40 15,4 22,47 0,00 
 3,54 15,22 22,80 18,27 
 3,85 3,47 27,37 19,63 
 4,20 52,56 28,00 21,93 
X
 3,75 21,66 25,16 14,96 
Md 3,70 15,31 25,09 18,95 
 
 Cálculos estatísticos para construção dos Box-Plots 
 
 Para abelhas com ferrão. 
 
Parâmetros pH Acidez Umidade HMF 
Q1(25%) 3,71 19,02 13,45 9,14 
Q2(50%) 3,84 21,26 17,20 10,56 
Q3(75%) 4,02 46,48 19,07 13,61 
d = Q3-Q1 0,31 27,46 5,62 4,38 
Mín: Q1- 1,5d 3,25 -22,17 5,02 2,66 
Máx:Q3+1,5d 4,49 87,67 27,50 20,18 
 
 Para abelhas sem ferrão. 
 
Parâmetros pH Acidez Umidade HMF 
Q1(25%) 3,47 9,35 22,64 9,13 
Q2(50%) 3,70 15,31 25,09 18,95 
Q3(75%) 4,03 33,98 27,69 20,78 
d = Q3-Q1 0,56 24,63 5,05 11,65 
Mín: Q1- 1,5d 2,63 -27,60 15,07 -8,35 
Máx:Q3+1,5d 4,87 70,93 35,26 38,26 
 
 
 
 
 
 
85 
 
5. 
 Para peixes médios 
 
 
Pb Zn Cd 
0,05 20,19 0,54 
0,05 20,43 0,83 
0,09 21,77 1,31 
0,19 23,36 1,41 
 
 Para peixes grandes 
 
Pb Zn Cd 
0,00 13,35 0,33 
0,01 15,88 0,62 
0,06 17,94 0,70 
0,54 22,21 0,94 
 
 
 
[Pb] para peixe médio 
 
Q1(25%)=0,05 
Q2(50%)=0,07 
Q3(75%)=0,14 
d = Q3-Q1 = 0,09 
Máx: Q3+1,5d= 0,28 
Mín: Q1- 1,5d = -0,085 
 
 
[Pb] para peixe grande 
 
Q1(25%)=0,005 
Q2(50%)=0,035 
Q3(75%)=0,3 
d = Q3-Q1 = 0,295 
Máx: Q3+1,5d=0,74 
Mín: Q1- 1,5d = -0,44 
 
 
 
[Zn] para peixe médio 
Q1(25%)=20,31 
Q2(50%)=21,1 
Q3(75%)=22,57 
d = Q3-Q1 = 2,26 
Máx: Q3+1,5d= 25,96 
Mín: Q1- 1,5d = 16,92 
 
[Zn] para peixe grande 
Q1(25%)=14,61 
Q2(50%)=16,91 
Q3(75%)=20,08 
d = Q3-Q1 = 5,47 
Máx: Q3+1,5d=28,28 
Mín:Q1-1,5d=6,41
 
[Cd] para peixe médio 
Q1(25%)=0,69 
Q2(50%)=1,07 
Q3(75%)=1,36 
d = Q3-Q1 = 0,67 
Máx: Q3+1,5d= 2,37 
Mín: Q1- 1,5d = -0,32 
 
[Cd] para peixe grande 
Q1(25%)=0,48 
Q2(50%)=0,66 
Q3(75%)=0,82 
d = Q3-Q1 = 0,34 
Máx: Q3+1,5d=1,33 
Mín: Q1- 1,5d = -0,03 
 
 
 
 
86 
 
 
6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regressão Linear 
 
1. rxy = 0,866 ; to = 2,999648 ; CD = R
2 = 74,9956% 
 Equação da reta : Yi = 0,08947Xi + 0,01186. 
 
2. rxy = 0,717 ; to = 1,781564 ; CD = R
2 = 51,4089% 
 Equação da reta : Yi = 0,5579Xi + 0,08242. 
 
3. rxy = 1 ; to = 0 ; CD = R
2 = 100% 
 Equação da reta : Yi = 1,171Xi - 0,6626. 
 
4. rxy = - 0,551 ; to = - 1,32054 ; CD = R
2 = 30,3601% 
 Equação da reta : Yi = - 0,08714Xi + 86,98. 
 
5. rxy = 0,907 ; to = 4,307452 ; CD = R
2 = 82,2649% 
 Equação da reta : Yi = 0,06151Xi - 0,03395. 
 
6. rxy = 0,962; to = 4,982517 ; CD = R
2 = 92,5444% 
 Equação da reta : Yi = 0,04139Xi – 78,24. 
 
 
 Comprimento Largura Espessura 
Média 2,48 1,95 1,15 
D. P. 0,31 0,23 0,19 
CV 12,5 11,8 16,52 
Mínimo 2,1 1,6 0,9 
Q1 2,2 1,9 1,1 
Q2 2,5 1,95 1,1 
Q3 2,7 2,2 1,2 
Máximo 2,9 2,2 1,5 
d 0,5 0,3 0,1 
 
 
87 
 
Exercício Cluster 
1. 
 
a) Cálculo das distâncias 
d 1,2= 1,24 
d 1,3= 3,44 
d 1,4= 7,40 
d 1,5= 8,76 
d 2,3= 3,13 
d 2,4= 6,40 
d 2,5=7,83 
d 3,4=6,95 
d 3,5=8,37 
d 4,5=1,69 
 
b) Cálculo da Conexão Simples 
 
13,3
32,1
d
 
40,6
42,1
d
 
83,752,1d
 
36,8,35,4d
 
 
Distância Máxima 
40,6, 5,42,1d
 
 
Similaridade 
Grupo 1,2= 80% 
Grupo 4,5 = 73% 
Grupo 1,2 4,5 = 0% 
 
 
 
 
 
88 
 
2. 
a) Cálculo das distâncias 
d 1,2= 4,98 
d 1,3=13,60 
d 1,4= 5,19 
d 1,5= 9,11 
d 2,3= 8,30 
d 2,4= 12,44 
d 2,5=11,87 
d 3,4=17,08 
d 3,5= 16,12 
d 4,5= 12,24 
 
b) Cálculo da Conexão Simples 
60,13
13,2
d
 
08,17
43,2
d
 
10,16
53,2
d
 
11,9, 51,4d
 
 
Distância Máxima 
60,13, 1,43,2d
 
 
Fórmula da similaridade: 
Grupo 2,3= 39% 
Grupo 4,1 =62 
Grupo 2,3 4,1 = 0% 
 
 
 
 
 
 
 
 
89 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
1. Estatística Aplicada. São Paulo: Editora Saraiva, 2003. DOUGLAS 
DOWNING & JEFFREY CLARK. 
2. Estatística Aplicada. Porto Alegre: Bookman, 2000. JOHN E. FREUND & 
GARY A. SIMON. 
3. Introdução Ilustrada à Estatística. São Paulo: Editora Harbra, 1998. 
SÉRGIO FRANCISCO COSTA. 
4. ALDRIGUE, M. L. Caracterização física, química e físico-química do cajá 
(Spondias lutea L.). In: SEMINÁRIO AGROPECUÁRIO DO ACRE, 2., 
1986, Rio Branco. Anais. Brasília: Embrapa-UEPAE de Rio Branco, 
1988.p. 323-327. 
5. BOSCO, J.; SOARES, K. T.; AGUIAR FILHO, S. P. de; BARROS, R. V. 
A cultura da cajazeira. João Pessoa: Emepa, 2000. 229 p. (Documentos, 
28). 
6. Li, W; Cheng-Hui, ZH; Wei, L; Guang-Quin, G. Relationship between 
tissue culture and agronomic traits of spring wheat. Plant Science. v.164, 
1079-1085p., 2003.