Lista 4 - Cálculo III

Prévia do material em texto

4a Lista de Cálculo Diferencial e Integral III
1. Represente graficamente o campo vetorial dado
(a) F (x, y) = x2j
(b) F (x, y) = i+ j
(c) F (x, y) = xi− yj
(d) F (x, y) = 4xi+ yj
(e) F (x, y) = (1− x2)j, |x| < 1
(f) F (x, y) =
x√
x2 + y2
i+
y√
x2 + y2
j
(g) F (x, y) =
−y√
x2 + y2
i+
x√
x2 + y2
j
2. Considere o campo vetorial F (x, y) = i + (x − y)j. Desenhe F (x, y) nos pontos da
reta
(a) y = x
(b) y = x− 1
(c) y = x− 2
3. Em cada caso, determine rotF
(a) F (x, y, z) = xi+ yj+ zk
(b) F (x, y, z) = yzi+ xzj+ xyk
(c) F (x, y, z) = (x2 + y2 + z2)(3i+ 4j+ 5k)
(d) F (x, y, z) =
yzi− xzj+ xyk
x2 + y2 + z2
4. Seja F (x, y) = P (x, y)i + Q(x, y)j campo vetorial de classe C1 no plano, podemos
considerar F como um campo vetorial no espaço cuja componente k é zero e as outras
independem de z. Então, rotF se reduz a
rotF =
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
k
com direção k. A função
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
de x e y é chamada rotacional escalar de F .
Em cada caso, calcule o rotacional escalar de F
(a) F (x, y) = sen xi+ cosxj
(b) F (x, y) = yi− xj
(c) F (x, y) = xyi+ (x2 − y2)j
(d) F (x, y) = xi+ yj
5. Em cada caso, calcule o divergente do campo vetorial F
(a) F (x, y) = x3i− x sen(xy)j
(b) F (x, y) = yi− xj
(c) F (x, y) = sen(xy)i− cos(x2y)j
(d) F (x, y) = xeyi− y
x+ y
j
(d) F (x, y, z) = exyi− exyj+ eyzk
(e) F (x, y, z) = yzi+ xzj+ xyk
(f) F (x, y, z) = xi+ (y + cosx)j+ (z + exy)k
(g) F (x, y, z) = x2i+ (x+ y)2j+ (x+ y + z)2k
6. Em cada caso, determine se o campo vetorial é conservativo. Caso sua resposta seja
afirmativa ache a respectiva função potencial f
(a) F (x, y) = 2xyi+ x2j
2
(b) F (x, y) =
1
y2
(yi− 2xj)
(c) F (x, y) = xex2y(2yi+ xj)
(d) F (x, y) =
2y
x
i− x
2
y2
j
7. Calcule
∫
C
f ds, onde
(a) f(x, y) = x− y e C : α(t) = 4ti+ 3tj, t ∈ [0, 2]
(b) f(x, y) = 4xy e C : α(t) = ti+ (2− t)j, t ∈ [0, 2]
(c) f(x, y) = (x2 + y2 + z2) e C : α(t) = sen ti+ cos tj+ 8tk, t ∈ [0, pi/2]
(d) f(x, y) = 8xyz e C : α(t) = 12ti+ 5tj+ 3k, t ∈ [0, 2]
(e) f(x, y) = y2 e C : α(t) = (a((t− sen t), a(1− cos t)), t ∈ [0, 2pi] e a > 0;
(f) f(x, y) = x2 + y2 e C : α(t) = (cos t+ t sen t, sen t− t cos t), t ∈ [0, 2pi];
(g) f(x, y) = (x2 + y2)n e C : α(t) = (a cos t, a sen t), t ∈ [0, 2pi];
(h) f(x, y, z) = x+ y + z e C : α(t) = (sen t, cos t, t), t ∈ [0, 2pi];
(i) f(x, y, z) = cos z e C como no item anterior;
f(x, y, z) = x cos z e C : α(t) = (t, t2, 0), t ∈ [0, 1];
(j) f(x, y, z) = e
√
z e C : α(t) = (1, 2, t2), t ∈ [0, 1];
(k) f(x, y, z) = yz e C : α(t) = (t, 3t, 2t), t ∈ [1, 3];
(l) f(x, y, z) = (x+ y)/(y + z) e C : α(t) = (t, 2
3
t3/2, t), t ∈ [1, 2].
8. Calcule
∫
C
(x2 + y2) ds, onde C é
(a) o segmento de (0, 0) a (3, 0)
(b) o segmento de (0, 1) a (0, 10)
3
(c) a circunferência x2 + y2 = 1 percorrida em sentido anti-horário, de (1, 0) a (0, 1)
(d) a circunferência x2 + y2 = 4 percorrida em sentido anti-horário de (2, 0) a (0, 2).
9. Calcule
∫
C
(x2 + y2) ds, onde C é
(a) o segmento de (0, 0) a (1, 1)
(b) o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1), percorrida em sentido anti-horário.
(c) o quadrado de vértices (0, 0), (2, 0), (2, 2) e (0, 2) percorrida em sentido anti-horário.
10. Seja f(x, y, z) = y e α(t) = (0, 0, t); t ∈ [0, 1]. Prove que
∫
α
f ds = 0.
11. Seja f : R3−{plano xz} −→ R definida por f(x, y, z) = 1/y3. Calcule
∫
α
f ds, onde
α(t) = (ln t, t, 2), t ∈ [1, e].
12. Calcule
∫
α
f ds, onde f(x, y, z) = z e α(t) = (t cos t, t sen t, t), t ∈ [0, t0].
13. Calcule
∫
C
f ds, onde
(a) f(x, y) = x + y, e C é a fronteira do triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 1)
percorrida em sentido anti-horário;
(b) f(x, y) =
1
x− y , e C é o segmento que liga os pontos (0,−2) e (4, 0)(considere
(0,−2) como ponto inicial e (4, 0) como ponto final);
(c) f(x, y) = xy e C é a parte da elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 situada no primeiro quadrante
percorrida em sentido anti-horário;
(d) f(x, y) = x− y e C é a circunferência x2 + y2 = ax com a > 0;
(e) f(x, y) = x4/3+y4/3 e C é o arco da astróide x2/3+y2/3 = a2/3 no primeiro quadrante
percorrida em sentido anti-horário.
4