Massa-mola

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Sistemas massa-mola 
Gustavo Cândido, Luca Corsi, Eduardo Plastino e Rodrigo Franzin 
Departamento de Engenharia de Produção 
Universidade Federal de São Carlos – campus Sorocaba 
 
RESUMO 
Neste estudo iremos desenvolver o sistema massa-mola. Mostraremos a origem da equação do 
movimento livre não amortecido, os tipos e formulas do movimento livre amortecido e 
algumas aplicações com gráficos. Na análise dos resultados será evidenciado as diferenças 
dos movimentos harmônicos simples e a relação massa com o tipo de movimento. 
Palavras chave: massa-mola, movimento harmônico simples, equação diferencial, 
movimento livre não amortecido, movimento livre amortecido. 
 
Introdução 
Lei de Hooke: 
Em 1678, Robert Hooke enunciou sobre a forma de um anagrama os dizeres “como a 
deformação, assim a força”, ou seja, a força é proporcional à deformação. A força citada por 
Hooke é a força restauradora que age de forma oposta vetorialmente ao alongamento. A partir 
disto Hooke construiu uma lei que descreve a força restauradora de todo sistema quando 
comprimido ou estendido. 
O material que sofre o alongamento pode estar em dois tipos de regime, elástico ou 
plástico, quando a deformação é restaurada naturalmente pela força restauradora ou quando a 
deformação se torna permanente, respectivamente. É no regime linear que ocorre a Lei de 
Hooke, um comportamento que tende a fazer o material voltar a posição inicial, descrito pela 
formula: 
F= ks 
Onde k é a constante de proporcionalidade chamada de constante elástica da mola 
Movimento harmônico simples – MHS: 
Movimento harmônico é todo e qualquer movimento que se repete em intervalos de 
tempos iguais e é expresso em função de senos e cossenos. Quando o móvel percorre dentro do 
MHS a mesma trajetória o movimento também é oscilatório, e muitos 
comportamentos oscilatórios surgem a partir da existência de forças restauradoras, que tendem 
a trazer ou manter sistemas em certos estados ou posições. Portanto, obedecendo a Lei de 
Hooke. 
Sistema massa-mola: 
Um sistema massa- mola consiste em um corpo de massa M qualquer presa a uma 
extremidade de uma mola também qualquer, que tem sua outra extremidade presa a um ponto 
fixo. Quando livre de forças externas e desconsiderando qualquer força de retardamento do 
2 
 
movimento este sistema consiste em um movimento oscilatório periódico. A imagem a seguir 
representa um sistema massa-mola. 
 
Este sistema quando analisado considerando possíveis formas de retardar o movimento 
se transforma em um movimento livre amortecido. Toda força de amortecimento é assumida 
como potência da velocidade instantânea, então por simplicidade adotaremos como força de 
amortecimento F= -β 
𝑑𝑥
dt
, onde β é positivo e chamada de constante de amortecimento. 
Estes fatos geram a necessidade de desenvolver equações dos movimentos possíveis do 
sistema massa-mola para promover melhor compreensão dos termos aqui descritos. 
 
Objetivos 
Neste trabalho mostraremos a equação geral do movimento livre não amortecido originada 
da segunda Lei de Newton, tipos de movimento livre amortecido evidenciando suas diferenças através 
de suas equações. E para melhor compreender tais sistemas será feito alguns exemplos práticos com 
gráficos. 
 
Metodologia 
Iniciamos o estudo assentando a base teórica exposta na introdução. Após isto, por meio 
da segunda Lei de newton, soma das forças sobre a partícula, chegamos a uma equação 
diferencial de segunda ordem. Solucionando essa equação chegamos a equação do sistema 
massa-mola para movimentos não amortecidos. Posteriormente foi feito um exercício prático 
com construção de gráfico para melhor compreensão do movimento. 
Para o estudo dos movimentos amortecidos também foi utilizado a segunda Lei de 
Newton, agora com a presença da força restauradora. Com a resolução da EDO mostrou-se 3 
tipos de equações gerais possíveis, dependendo do sinal algébrico do ∆ da equação 
3 
 
característica. Esses 3 casos representam os possíveis tipos e movimento amortecido, após o 
desenvolvimento das equações gerais dos casos foi executado 3 práticas para auxiliar na 
distinção dos movimentos. 
 
Resultados 
De acordo com a segunda Lei de Newton: 
Fr=ma 
Por conveniência usaremos a=
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
, então: 
Fr = m
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
 
Fazendo a soma das forças temos: 
m
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
 = +mg -k(s+x) 
Onde -k(s+x) é a força restauradora e x a quantidade deslocada da massa. Como na 
condição inicial mg = ks, mg –ks = 0, logo: 
m
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
 = -ks 
Para simplicidade dividir a equação por m e considerando w2 = 
𝑘
𝑚
, teremos uma EDO: 
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
 + w² = 0 
Obtendo a forma geral da solução da equação: 
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
 + w² = 0 
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
 + w² = 0 = x” + x’.0 + x.w² = 0, equação característica: r² + w² = 0 
∆ = - 4w² , 𝑟 =
±√− 4 w²
2
 ; r = 
± 2iw²
2
 ; r = ± i.w² 
X(t) = c1. 𝑒0𝑡. cos( w.t ) + c2. 𝑒0𝑡. sen(w.t) 
X(t) = c1. cos( w.t ) + c2. sen(w.t) 
Tem se por conclusões óbvias que X(0)=X0, e que a derivada de X(t) é a velocidade que 
será representada por X1, ou seja, X’(0) = X1. Desta forma: 
 
(I) X(0) = Xo ; (II) X’(0) = X1 ; (III) X(t) = c1. cos( w.t ) + c2. sen(w.t) 
 
(I) X(0) = c1. 1 + c2. 0 = Xo , Xo = c1 . 
 
(II) X’(t) = - c1.w.sen( w.t ) + c2.w.cos(w.t) ; X’(0) = c2.w 
c2.w = X’(0) ; X1 = c2.w ; c2 = X1/w 
Substituindo (I) e (II) em (III) : 
X(t) = Xo. cos( w.t ) +
𝑋1
𝑤
. sen(w.t)  Equação do movimento livre não amortecido. 
4 
 
Sabe-se que todo movimento não amortecido age de forma harmônica e tem valores de 
X(t) que se repetem, assim possui 2 pontos máximos. O intervalo de tempo entre esses máximos 
de x(t) é denominado período e é representado por T = 2 
𝜋
𝜔
. Além disso, sabe-se que frequência 
significa quantidade de oscilações que um corpo sofre em um determinado tempo, e é descrito 
como F= 
1
𝑇
= 
𝜔
2𝜋
. 
Com isto podemos solucionar um exercício prático para construção de um gráfico para 
avaliarmos tal movimento no sistema. O exercício em questão diz: 
Uma massa pesando 1N distende uma mola em 0.15m. Em t = 0 a massa é solta de um 
ponto 0.2m abaixo da posição de equilíbrio, a uma velocidade de 0.4m/s, para cima. Usando o 
resultado obtido no Bloco 1, determine a equação do movimento, o período e a frequência de 
oscilação do sistema mola-massa. Represente graficamente a solução. 
No equilíbrio, temos: 
P = Fel ; P = 1N ; Fel = ks = k.0,15 ; 1 = k. 0,15 ; k = 6,67 
w = √𝑘/𝑚 ; m = P/g ; m = 1/9,8 ; m = 0,102 Kg ; w=√6,67/0,102 ; w = 8,08 
 
Xo = deslocamento inicial ; X1 = velocidade inicial. 
Xo = 0,2m , X1= -0,4 m/s 
Substituindo na equação do movimento X(t) = c1. cos( w.t ) + c2. sen(w.t) , temos : 
X(t) =
𝟏
𝟓
.𝐜𝐨𝐬 𝟖, 𝟎𝟖𝒕 + 
𝟏
𝟐𝟎
.𝐬𝐢𝐧 𝟖, 𝟎𝟖𝒕 
Na construção do gráfico da função obtemos 
 
Gráfico 1 
Nota-se claramente que há oscilação e que a massa varia de posição de forma periódica 
e com uma determinada frequência. Vale lembrar que isto só ocorre porque é considerado um 
sistema sem forças de amortecimento. 
Período: T=2π /w , T = 0,77 s 
Frequência: F = w/2π = 1/T , F = 1,28 s‾ ¹ 
5 
 
Como discutido anteriormente casos como este acima é irreal, a não ser que esteja em 
um vácuo perfeito sem a presença de forças de retardamento. Tomando o fato que os 
movimentos do sistema massa-mola real possuem forças de retardamento as forças resultantes 
se alteram, temos agora: 
m
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
 = -ks -β 
𝑑𝑥
dt
 
Como vimos anteriormente -β 
𝑑𝑥
dt
 representa força de retardamento, assima equação a 
cima também é uma EDO: 
m
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
 +β 
𝑑𝑥
dt
+kx = 0 
Dividindo a equação por m, fazendo a substituição ω2 =
𝑘
𝑚
 e por conveniência algébrica 
substituir λ = 
𝛽
𝑚
, resulta em: 
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
+λ
𝑑𝑥
dt
+ ω2x = 0 
Obtendo a equação geral: 
x” + 2λ x’ + w²x = 0 ; Equação característica: r² + 2λr + w² = 0 
∆ = 4λ² - 4w² ; r = 
−2λ±√4λ²−4w²
2
 ; r1 = - λ + √λ² − w² r2 = - λ - √λ² − w² 
 
Com base nos meios de resoluções de EDOs sabe-se que há 3 equações possíveis, 
dependendo do sinal algébrico de λ² - w². 
 
1º caso: 
λ² - w² > 0 
X(t) = c1. 𝑒𝑟1.𝑡 + c2. 𝑒𝑟2.𝑡 
Este caso evidencia-se por um movimento onde a força amortecedora é maior que a 
força restauradora, ou seja, mais importante. Não há movimento periódico e a partícula move-
se lentamente para a sua posição de início sem oscilar, por isto chama-se movimento 
superamortecido. 
Como exemplo deste movimento temos a equação: 
𝑑²𝑥
𝑑𝑡²
 + 5
𝑑𝑥
dt
+ 4x = 0, x(0) =1, x’(0) = 1. 
x” + 5x’ + 4x = 0 
Equação característica: r² + 5r + 4 = 0 
∆ = 25 – 4.1.4 = 9 
r = 
−5±√9
2
 , r1 = - 1 r2 = - 4 
X(t) = c1. 𝑒−𝑡 + c2. 𝑒−4𝑡 
6 
 
 X(o) = 1 ; X(o) = c1 + c2 ; c1 + c2 = 1 (I) 
X’(o) = 1 ; X’(t) = - c1 – 4 c2; X’(o) = 1 ; - c1 – 4c2 = 1 (II) 
Substituindo (I) em (II), temos: - ( 1 – c2) – 4c2 = 1 , c2 = - 2/3 e c1 = 5/3 
Equação do movimento: X(t) = 
𝟓
𝟑
. 𝒆−𝒕 + 
−𝟐
𝟑
. 𝒆−𝟒𝒕 
Construindo o gráfico da função temos: 
 
 Gráfico 2 
Analisando o gráfico nota-se que após a massa chegar à sua amplitude máxima ela 
retorna a sua posição de origem sem ultrapassa-la e sem oscilar. A força de amortecimento é 
maior que a força restauradora, assim pode-se chamar este movimento de superamortecido. 
 
2º caso: 
λ² - w² = 0 , 
X(t) = c1. 𝑒−𝜆.𝑡 + c2. 𝑒−𝜆.𝑡.t 
Neste caso as duas forças são comparáveis, parecido com o superamortecido, agora a 
massa passa pela posição de início no máximo uma vez, chamado de amortecimento cítrico. 
Para exemplificar este caso resolveremos o exercício: 
Uma massa pesando 49N alonga uma mola em 0.6125m. Supondo que uma força 
amortecedora igual a 40 vezes a velocidade instantânea aja sobre o sistema, determine a 
equação de movimento se a massa for inicialmente solta de uma posição de equilíbrio a uma 
velocidade de 0.3m/s, para cima. 
No equilíbrio, temos: P=Fel 
m = P/g = 49/9,8 = 5 Kg 
P = Fel ; 49 = k. 0,6125 , k = 80 
w = √k/m ; w = √80/5 ; w = 16 
β = 40 
Velocidade = -0,3 m/s 
7 
 
Utilizando a equação do movimento livre amortecido: mx” + βx’ + kx = 0 
5x” + 40x’ + 80x = 0 , equação característica: 5r² + 40r + 80 = 0 
∆ = 0 , r = - 40/10 = - 4 
X(t) = c1. 𝑒−4𝑡 + c2. 𝑒−4𝑡.t 
Admitindo o fato que X(o) será a posição inicial (no caso a posição de equilíbrio 0,6125) 
e que X’(o) será a velocidade inicial, visto que 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 = v, temos : 
X(o) = c1 = 0,6125 (I) 
X’(t) = -4.c1. 𝑒−4𝑡 + c2𝑒−4𝑡 + -4.c2.𝑒−4𝑡. t ; X’(o) = - 4 c1 + c2 
X’(o) = -0,3; - 0,3 = - 4 c1 + c2 (II) 
Substituindo (I) em (II), temos : c2 = 2,15 
Assim: X(t) = 0,6125. 𝒆−𝟒𝒕 + 2,15. t . 𝒆−𝟒𝒕 
Construindo o gráfico temos: 
 
Gráfico 3 
Neste gráfico notasse um comportamento muito parecido com o caso anterior onde o 
material após chegar a máxima amplitude retorna à posição inicial, mas considerando a equação 
geral da equação denominasse movimento cítrico devido ao mesmo formato da equação geral 
dos movimentos cítricos. Portanto não há oscilação e o material só ultrapassa o ponto de origem 
no máximo uma vez. 
 
3º caso: 
λ² - w² < 0 , as raízes da equação ( r1 e r2 ) serão complexas : 
X(t) = c1. 𝑒−𝜆.𝑡 .cos( √λ² − w² t ) + c2. 𝑒−𝜆.𝑡. sen( √λ² − w² t ) 
8 
 
Agora a força restauradora é maior que a força amortecedora, e a massa terá seu 
movimento oscilatório cada vez menor até que a força amortecedora faça como que ela pare na 
posição de equilíbrio. Por isso o nome desse movimento é subamortecido. 
Neste caso a exemplificação vem por meio do exercício prático: 
Uma massa pesando 7.2N é presa a uma mola de 1.5m de comprimento. Na posição de 
equilíbrio, o comprimento da mola chega a 2.5m. Se a massa for puxada para cima e solta do 
repouso, de um ponto 0.6m acima da posição de equilíbrio, qual será o deslocamento x(t) 
sabendo que o meio oferece uma resistência numericamente igual à velocidade instantânea? 
Faça o gráfico da solução obtida. 
Na situação de equilíbrio, temos: 
P = Fel, sendo P = 7,2 N e a mola em possui comprimento 1,5m, porém ao suspender a 
massa ela passa a ter 2,5m, portanto s = 1m (2,5-1,5). 
7,2 = 1.k , k=7,2 
P = m.g ; m = 7,2/9,8 = 0,734 Kg 
Fresistencia = - β dx/dt 
As forças de amortecimento são proporcionais a velocidade instantânea (dx/dt), 
assumindo β uma constante de amortecimento, porém nesse caso o meio oferece uma resistência 
numericamente igual à velocidade, assim β = 1. 
Utilizando a equação do movimento livre não amortecido: mx” + βx’ + kx = 0, temos: 
0,734x” + 1x’ + 7,2x = 0, equação característica: 0,734 r² + r + 7,2 = 0 
0,734 r² + r + 7,2 = 0, dividindo por 0,734 para facilitar o cálculo  
r² + 1,36r + 9,8 = 0 
∆ = 1,36² -4.1.9,8 = - 37,35 
𝑟 =
−1,36±√−37,35
2
 = 
−1,36±6,11 i
2
 = 0,68 ± 3,05i 
 
X(t) = c1. 𝒆−𝟎,𝟔𝟖.𝒕 .cos( 3.05 t) + c2. 𝒆−𝟎,𝟔𝟖.𝒕. sen( 3.05 t) 
 
Agora precisamos determinar os valores de c1 e c2. Admitindo o fato que X(o) será a 
posição inicial (no caso a posição de equilíbrio, no caso 0,6) e que X’(o) será a velocidade 
inicial, visto que 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 = v, que no caso é 0, visto que a massa foi solta do repouso. 
X(o) = -0,6 e X’(o) = 0 
X(o) = c1. 𝑒−0,68.0 .cos( 3,05 . 0) + c2. 𝑒−0,68.0. sen( 3,05. 0) = c1 = 0,6 ; c1=-0,6 (I) 
X’(t) = - 0,68.c1. 𝑒−0,68.𝑡. cos( 3,05.t ) – 3,05. c1 .sen(3,05t) . 𝑒−0,68.𝑡 - 0,68.c2. 𝑒−0,68.𝑡.sen( 
3,05.t ) + 3,05. c2 .cos(3,05t) . 𝑒−0,68.𝑡 
X’(o) = - 0,68c1 + 3,05c2 = 0 (II) 
9 
 
Substituindo (I) em (II): 
0,68.0,6/3,05 = c2, c2 = 0,13 
 
X(t) = 0,6. 𝒆−𝟎,𝟔𝟖.𝒕 .cos( 3.05 t) + 0,13. 𝒆−𝟎,𝟔𝟖.𝒕. sen( 3.05 t) 
 
 
Construindo o gráfico da equação temos: 
 
 
 Gráfico 4 
 
 
No gráfico é visível que o corpo apresenta oscilação, sendo esta decrescente até que o 
corto chegue a posição inicial e fique em repouso. Assim pode-se dizer que a força restauradora 
é maior que a força amortecedora, ou seja, o corpo sofre retardamento no seu movimento só 
que de intensidade menor que a força que o faz oscilar, caracterizando um movimento 
subamortecido. 
 
Conclusões 
Podemos inferir que a segunda Lei de Newton e a Lei de Hooke nos serve de fundamento 
para a elaboração de todas as equações dos movimentos livres, tanto não amortecido como 
amortecidos. Independente da existência ou não da força de amortecimento foi preciso utilizar 
conhecimentos matemáticos para chegar nas equações gerais, portanto o estudo se mostra 
multidisciplinar. 
 Além disso conclui-se que o tipo de movimento apresenta estreita relação com as forças 
sobre a massa, ou seja, num sistema massa-mola, uma vez que é preciso da massa para existirem 
forças, a massa se mostra fundamental para todo e qualquer tipo de movimento. Dentro desta 
conclusão cria-se outra sobre as forças sobre a massa, sendo estas a força peso, restauradora e 
amortecedora, quando existente. A força que faz com queexista oscilações é a restauradora, e 
a que interrompe as oscilações é a amortecedora, portanto conforme uma se sobrepõe a outra o 
movimento muda de característica. 
 
 
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Referências 
NUSSENZVEIG, H.M. Curso de física básica. 4. Ed. São Paulo: Blucher, 2002. Vol.1. 
NUSSENZVEIG, H.M. Curso de física básica. 4. Ed. São Paulo: Blucher, 2002. Vol.2. 
BOYCE,W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de 
Valores de Contorno, LTC, 2010. 
SCHICEL,D. O Movimento Massa-Mola e a Lei de Hooke. Disponível em:< 
http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2002/massamola/massamola.html> . Acesso em 
11/11/2014.