Lista de Estatistica 2

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2ª LISTA DE EXERCÍCIOS - LOB1012 
Conceitos de Probabilidade 
Prof. Mariana Pereira de Melo 
Espaço amostral 
1. Três jogadores A, B, C disputam um torneio de tênis. Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga 
com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganhar duas vezes seguidas ou 
quando são disputadas, ao todo, quatro partidas. Quais são os resultados possíveis do torneio? 
 
2. Defina o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos aleatórios: 
(a) Observa-se as faces obtidas no lançamento de dois dados. 
(b) Urna máquina produz 20 peças por hora, escolhe-se um instante qualquer e observa-se o número 
de defeituosas na próxima hora. 
(c) Mede-se a duração de lâmpadas, deixando-as acesas até que se queimem. 
(d) Lança-se uma moeda até aparecer cara e anota-se o número de lançamentos. 
 
Eventos 
3. Sendo A e B dois eventos em um mesmo espaço amostral, "traduza" para a linguagem da Teoria 
dos Conjuntos, as seguintes situações: 
(a) Pelo menos um dos eventos ocorre; 
(b) O evento A ocorre, mas B não ocorre; 
(c) Exatamente um dos eventos ocorre; 
(d) Nenhum dos dois eventos ocorre. 
 
4. Considere o lançamento de dois dados. Sejam os eventos: A= soma dos números obtidos é igual a 
9, e B = número no primeiro dado maior ou igual a 4. Enumere os elementos de A e B. 
Obtenha A U B, A ∩ B e Ac. 
 
Probabilidade 
5. Sejam A e B dois eventos em um determinado espaço amostral, tais que 𝑃(𝐴) = 0,2, 𝑃(𝐵) = 𝑝, 
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,5 e 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,1. Determine o valor de 𝑝. 
 
6. Dentre seis números positivos e oito negativos, dois números são escolhidos ao acaso (sem 
reposição) e multiplicados. Qual a probabilidade de que o produto seja positivo? 
 
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7. Dois processadores tipos A e B são colocados em teste por 50 mil horas. A probabilidade de que 
um erro de cálculo aconteça em um processador do tipo A é de 1/30, no tipo B, 1/80 e, em ambos, 
1/1000. Qual a probabilidade de que: 
(a) Pelo menos um dos processadores tenha apresentado erro? 
(b) Nenhum processador tenha apresentado erro? 
(c) Apenas o processador A tenha apresentado erro? 
 
8. Considere uma urna contendo 3 bolas pretas e 5 bolas vermelhas. Retire duas bolas da urna: 
(a) Considerando a extração sem reposição, enumere os resultados possíveis e as respectivas 
probabilidades. Qual a probabilidade de se obter bolas pretas nas duas extrações? Agora, calcule a 
probabilidade de obter bola preta apenas na segunda extração. 
(b) Considerando a extração com reposição, enumere os resultados possíveis e as respectivas 
probabilidades. Qual a probabilidade de se obter bolas pretas nas duas extrações? Agora, calcule a 
probabilidade de obter bola preta apenas na segunda extração. 
 
9. A probabilidade de que A resolva um problema é de 2/3 e a probabilidade de que B o resolva é de 
3/4. Se ambos tentarem resolvê-lo, independentemente, qual a probabilidade do problema ser 
resolvido? 
 
10. Se 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,8, 𝑃(𝐴) = 0,5 e 𝑃(𝐵) = 𝑥, determine o valor de 𝑥 no caso de: 
(a) A e B serem disjuntos / mutuamente exclusivos. 
(b) A e B serem independentes. 
 
11. Se 𝑃(𝐵) = 0,4, 𝑃(𝐴) = 0,7 e 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,3, calcule 𝑃(𝐴|𝐵𝐶). 
 
12. Sejam A, B e C eventos pertencentes a um mesmo espaço amostral. Mostre que: 
(a) 𝑃(𝐴𝐶|𝐵) = 1 − 𝑃(𝐴|𝐵). 
(b) 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵𝐶) 
(c) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵|𝐶) = 𝑃(𝐴|𝐶) + 𝑃(𝐵|𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵|𝐶) 
(d) Se 𝐵 = 𝐴𝐶 então 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵|𝐶) = 1 
 
13. Na figura abaixo, temos um sistema com três componentes funcionando independentemente com 
probabilidades p1, p2 e p3 ,respectivamente . Qual a probabilidade do sistema funcionar? 
 
 
 
 
 
 
 
14. Supondo que todos os componentes do sistema da figura abaixo tenham a mesma confiabilidade p 
(isto é, a probabilidade de que cada componente funcione é p) e funcionem independentemente, 
obtenha a confiabilidade do sistema. 
 
 
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Assunto: Probabilidade Condicional / Teorema de Bayes 
15. Uma companhia produz circuitos em três fábricas: I, II, e III. A fábrica I produz 40% dos circuitos, 
enquanto a II e III produzem 30% cada uma. As probabilidades de que um circuito integrado 
produzido por essas fábricas não funcione são 0,01, 0,04 e 0,03, respectivamente. 
(a) Escolhido um circuito da produção conjunta das três fábricas, qual a probabilidade deste circuito 
não funcionar? 
(b) Suponha agora que um circuito escolhido ao acaso seja defeituoso. Determine qual a probabilidade 
de ele ter sido fabricado pela fábrica I. 
 
16. Num mercado, três corretoras A, B e C são responsáveis por 20%, 50% e 30% do volume total de 
contratos negociados, respectivamente. Do volume de cada corretora, 20%, 5% e 2%, 
respectivamente, são contratos futuros em dólares. Um contrato é escolhido ao acaso e este é 
futuro em dólares. Qual é a probabilidade de ter sido negociado pela corretora A? E pela corretora 
C? 
 
Exercícios Complementares 
 
17. Três candidatos disputam as eleições para o Governo do Estado. O candidato do partido de direita 
tem 30% da preferência eleitoral, o de centro tem 30% e o da esquerda 40%. Sendo eleito, a 
probabilidade de dar efetivamente prioridade para Educação e Saúde é de 0,4, 0,6 e 0,9 para os 
candidatos de direita, centro e esquerda, respectivamente. 
(a) Qual é a probabilidade de não ser dada prioridade a essas áreas no próximo governo? 
(b) Se a área teve prioridade, qual é a probabilidade do candidato de direita ter ganhado a eleição? 
Respostas: (a) 0,34 ; (b) 0,18. 
 
18. Uma família viaja ao litoral para passar um fim de semana. A probabilidade de congestionamento 
na estrada é de 0,6. Havendo congestionamento, a probabilidade dos seus dois filhos brigarem no 
carro é de 0,8 e, sem congestionamento, a briga pode aparecer com probabilidade 0,4. Quando há 
briga, com ou sem congestionamento, a probabilidade do pai perder a paciência com os filhos é de 
0,7. É claro que havendo congestionamento o pai pode perder a paciência com os filhos mesmo 
sem brigas, o que aconteceria com probabilidade 0,5. Quando não há nem briga nem 
congestionamento, o pai dirige tranquilo e não perde a paciência. 
Determine a probabilidade de não ter havido congestionamento sabendo que o pai não perdeu a 
paciência com seus filhos. 
Dica para solução: Use o diagrama de árvore; Resposta: 0,58. 
 
19. As probabilidades de três motoristas serem capazes de guiar até suas respectivas residências com 
segurança depois de beber são 1/3, 1/4 e 1/5, respectivamente. Se decidirem guiar até em casa, 
depois de beber numa festa, qual a probabilidade de todos os três motoristas sofrerem acidentes? 
Qual a probabilidade de pelo menos um dos motoristas guiar até em casa a salvo? 
 
20. Duas lâmpadas queimadas foram acidentalmente misturadas com seis lâmpadas boas. Se vamos 
testando as lâmpadas, uma por uma, até encontrar duas defeituosas, qual é a probabilidade de que 
a última defeituosa seja encontrada no quarto teste? E no sexto teste? 
 
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21. Um sistema é composto de três componentes 1, 2 e 3, com confiabilidade 0,9, 0,8 e 0,7, 
respectivamente. O componente 1 é indispensável ao funcionamento do sistema; se 2 ou 3 não 
funcionam, o sistema funciona, mas com um rendimento inferior. A falha simultânea de 2 e 3 
implica o não-funcionamento do sistema. Supondo que os componentes funcionem 
independentemente, calcular a probabilidade de o sistema funcionar. 
 
22. Um grupo de 12 homens e 8 mulheres concorre a três prêmios através de um sorteio, sem 
reposição de seus nomes. Qual é a probabilidade de: 
(a) Nenhum homem ser sorteado? 
(b) Um prêmio serganho por homem e dois por mulheres? 
(c) Dois homens serem premiados? 
 
23. Um empreiteiro apresentou orçamentos separados para a execução da parte elétrica e da parte de 
encanamento de um edifício. Ele acha que a probabilidade de ganhar a concorrência da parte 
elétrica é 1/2. Caso ele ganhe a parte elétrica, a probabilidade de ganhar a parte de encanamento é 
3/4; caso contrário, essa probabilidade é de 1/3. Qual é a probabilidade dele: 
(a) Ganhar os dois contratos? 
(b) Ganhar apenas um contrato? 
(c) Não ganhar nada? 
 
24. Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25%, 35% e 40% do total, 
respectivamente. Da produção de cada máquina, 5%, 4% e 2%, respectivamente, são parafusos 
defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que é defeituoso. Qual é a 
probabilidade de que o parafuso venha 
(a) da máquina A? 
(b) da máquina B? 
(c) da máquina C? 
 
25. Considere os conjuntos A, B e C. 
(a) Se A, B e C são independentes, prove que A e (B ∩ C) são independentes; 
(b) Nas mesmas condições, prove que (A U B) e C são independentes.