Concreto Armado - Dimensionamento ELU

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS 
 
 
 
 
SET 409 – Estruturas de Concreto Armado I 
 
 
 
 
 
Concreto Armado: 
Dimensionamento considerando o estado limite último de elementos 
estruturais lineares submetidos à ação de momento fletor 
 
 
 
 
 
 
José Samuel Giongo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Carlos, 25 de Maio de 2009 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
Este texto apresenta a rotina para o dimensionamento de elementos estruturais 
lineares (vigas) submetidos à ação de momento fletor com as hipóteses do Estado 
Limite Último. As lajes, que são elementos bidimensionais com ação perpendicular ao 
plano médio, quando submetidas à ação de momento fletor terão as suas seguranças 
estruturais verificadas com os mesmos procedimentos aqui estudados, conforme 
analisado em capítulo próprio. 
No programa da disciplina estuda-se a capacidade resistente das seções 
transversais de vigas submetidas à ação de momento fletor. Em outra oportunidade 
serão analisados os critérios para verificar a capacidade resistente dos elementos 
estruturais lineares com relação à ação de força cortante. Posteriormente a este estudo 
será possível analisar o projeto de vigas em concreto armado desde o cálculo dos 
esforços solicitantes, áreas das armaduras longitudinal e transversal e o detalhamento 
destas armaduras. 
Este trabalho considera nas análises os conceitos e termos apresentados na 
ABNT NBR 6118:2003 – Projeto de estruturas de concreto (ABNT, 2004), que é uma 
norma de Procedimento. 
Em relação à versão anterior (2006) foram incorporados capítulos relativos às 
análises de área de armadura mínima e de arranjos das barras de armadura, com 
vistas ao detalhamento das vigas. Os exemplos de dimensionamentos foram 
modificados e outros foram incluídos. 
 Colaboraram na elaboração deste texto o Engenheiro Rodrigo Gustavo 
Delalibera, na época pós-graduando – doutorado, e, Walter Luiz de Andrade Oliveira, 
pós-graduando – doutorado, que no primeiro semestre de 2005 foi participante do 
Plano de Aperfeiçoamento de Ensino, na disciplina SET 404 – Estruturas de Concreto 
A, com orientação da Professora Ana Lúcia Homce de Cresci El Debs. Colaborou, 
também, o Engenheiro Petrus Vinicius Silveira Daniel, na época aluno de graduação e 
monitor da disciplina SET 404, que elaborou os desenhos do texto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
1 Introdução 1
 
2 Hipóteses de cálculo 1
 
3 Análise da resistência da seção transversal 5
3.1 Compatibilidade de deformações 6
3.2 Equações de equilíbrio 7
3.3 Balanço do número de equações e incógnitas 7
3.4 Equações constitutivas dos materiais 8
3.5 Domínios de deformações 8
3.5.1 Limites para os valores da linha neutra nos três domínios de deformações 10
 
4 Profundidade da linha neutra e condições de dutilidade 11
 
5 Limites para redistribuição de momentos 13
 
6 Análise da necessidade de barras comprimidas 13
6.1 Exemplo 14
6.2 Considerações para projetos de vigas 15
6.3 Determinação das expressões para Mdlim de seções de apoio com dutilidade 15
 
7 Área de armadura mínima 16
7.1 Preâmbulo 16
7.2 Valores limites para as áreas das armaduras longitudinais das vigas 16
7.2.1 Área mínima de armadura de tração 16
7.2.2 Área total de armadura 17
7.2.3 Área de armadura de pele 17
7.2.4 Diâmetro das barras da armadura 18
 
8 Espaçamento entre as barras da armadura 18
 
9 Posição correta do centro geométrico das barras da armadura 20
 
10 Exemplos de dimensionamento de vigas de concreto armado 20
10.1 Exemplo 1 21
10.2 Exemplos 2, 3 e 4 25
10.3 Exemplo 5 27
10.4 Exemplo 6 29
 
11 Dimensionamento de vigas submetidas à flexão simples com armadura dupla 30
11.1 Equações de equilíbrio 31
11.2 Balanço do número de equações e de incógnitas 32
11.3 Exemplo 7 32
 
12 Dimensionamento de vigas de seção retangular mediante o uso de tabelas 35
12.1 Armadura simples 35
12.2 Armadura dupla 37
 
13 Dimensionamento de vigas de seção transversal em forma de mediante o uso de tabelas 39
13.1 Considerações iniciais 39
13.2 Expressões para o dimensionamento 43
13.2.1 Viga com seção T considerada como seção retangular (T falso) 44
13.2.2 Seção T (seção T verdadeiro) 45
13.3 Exemplo de projetos de viga T 47
13.3.1 Exemplo 1 48
13.3.2 Exemplo 2 49
13.3.3 Exemplo 3 50
 
 Referências bibliográficas 51
 
 Anexo – Tabelas A-1
 
 
 
 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor - ELU 
1
1. Introdução (Versão: 25 de Maio de 2009) 
 
A segurança de elementos estruturais é verificada com os critérios indicados na 
ABNT NBR 6118:2003 com relação aos estados limites último e de serviço. Os 
elementos estruturais submetidos à flexão simples são solicitados por tensões normais 
oriundas da ação de momento fletor e tensões tangenciais por conta da ação de força 
cortante. Para efeito da verificação das resistências das seções transversais 
submetidas a esses esforços solicitantes é possível, e os códigos normativos permitem, 
verificar cada um separadamente. Este capítulo estuda os critérios para o 
dimensionamento de seções transversais de vigas de concreto armado solicitadas por 
momento fletor. 
Os momentos fletores solicitantes são equilibrados por momentos resistentes 
gerados por binários cujas forças, uma de tração e outra de compressão, são as 
resultantes das tensões normais. 
Como o material concreto resiste a tensões de tração de pequena intensidade, 
com pouca capacidade de deformação, na região tracionada delimitada pela linha 
neutra da seção transversal, há necessidade de dispor barras de aço (posicionadas 
próximas da borda tracionada) com resistência suficiente para compor o tirante cuja 
resultante equilibra a resultante de compressão. 
Analisa-se a viga biapoiada indicada na figura 1, submetida a ação de força 
uniformemente distribuída e concentrada com o respectivo diagrama de momentos 
fletores solicitantes. A segurança estrutural precisa ser verificada para cada seção 
transversal, inclusive para as seções de apoio onde os momentos fletores solicitantes 
são iguais à zero, pois há necessidade de se verificarem as áreas de armaduras para a 
correta ancoragem das barras, conforme será estudado em capítulo relativo a este 
tema. 
Considere-se a seção transversal da viga da figura 1 que está solicitada à ação 
do momento fletor de maior intensidade e para esta seção verificam-se as condições 
de segurança com as hipóteses do estado limite último. Entende-se que se os valores 
das resistências e deformações últimas dos materiais forem atingidas sob ação do 
momento fletor solicitante, o elemento estrutural terá uma situação de ruína, ou seja, 
deixará de cumprir a sua finalidade estrutural. A ruína pode se dar de modo real, 
desintegração de uma seção transversal formando um mecanismo hipoestático, no 
caso de viga biapoiada, ou de modo convencional, quando as resistências e as 
deformações do concreto e das barras de aço atingirem valores convencionais 
definidos por normas, aquém dos valores últimos reais. 
Na figura 1 nota-se que a viga é apoiada sobre os pilares, sem ligação monolítica 
entre os elementos estruturais, pois há a colocação sobre os pilares de aparelhos de 
apoio (por exemplo, de neoprene), que permitem os giros e o deslocamentohorizontal 
da viga, os pilares considerados rígidos não permitem deslocamentos verticais dos 
apoios. 
O objetivo é escrever as equações que representam as condições de equilíbrio de 
uma seção transversal e, por meio delas, determinar a sua capacidade resistente 
quando solicitada por momento fletor. Com as equações deduzidas e mediante análise 
das indicações da ABNT NBR 6118:2003 desenvolve-se rotina de projeto de vigas de 
concreto armado sob ação de momento fletor. 
 
2. Hipóteses de cálculo 
 
Considere-se a seção transversal mais solicitada da viga da figura 1 submetida ao 
momento fletor solicitante característico MSk, determinado considerando as ações 
atuantes e as condições de contorno do elemento estrutural. 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Último - ELU 2
No estado limite último a segurança da seção transversal é verificada majorando-
se o valor do momento fletor solicitante característico MSk por um coeficiente de 
majoração das solicitações γf e, minorando as resistências características dos materiais 
por coeficientes de ponderação dos materiais. Assim, a resistência característica à 
compressão do concreto precisa ser dividida pelo coeficiente γc igual a 1,4 e a 
resistência característica à tração das barras de aço é dividida por γs igual a 1,15. 
 
(g+q)2
MSk
VSd
MSd
V01 (bw x h)
P01
(g+q)1
a
L
V02
Fk
Fd
MSd
b
P02
MSd
bw
h
 
Figura 1 - Viga biapoiada com forças distribuídas e concentrada 
 
A figura 2 ilustra a idéia de verificação da segurança e dimensionamento da seção 
transversal, onde se vê que a solicitação é majorada e os valores das resistências 
características dos materiais são minoradas. 
Resistêcias dos materiais
Dimensionamento
Verificação da Segurança
Solicitações Características
fcd 
MSk
gf
fyd
gc gs
fck fyk
MSd
 
 
Figura 2 - Condições de segurança para o dimensionamento 
 
A condição de segurança, com relação a seção transversal, especificada pela 
ABNT NBR 8681:2003, é que a solicitação de cálculo Sd precisa ser menor ou igual que 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor - ELU 
3
a resistência de cálculo Rd. No caso de seção transversal submetida a momento fletor 
solicitante de cálculo a verificação da segurança é dada por: 
 
RdSkfSd MMM ≤⋅γ= [1] 
 
O valor do momento resistente de cálculo (MRd) é determinado considerando os 
momentos das forças resultantes das tensões de compressão no concreto e das 
tensões nas barras das armaduras comprimidas e tracionadas. A força resultante das 
tensões de compressão no concreto situa-se no centro geométrico do diagrama de 
tensões, de área Acc, sendo que a linha neutra (x) é medida a partir da borda 
comprimida. As forças resultantes das tensões de compressão nas barras das 
armaduras de compressão de área Asc e de tração de área Ast também nos centros 
geométricos das barras, que podem ser arranjadas em uma ou mais camadas, 
conforme sejam as dimensões da seção transversal da viga, largura bw e altura h. As 
resultantes das forças de compressão (no concreto comprimido e nas barras da 
armadura posicionadas junto a borda comprimida) e a força de tração formam o binário 
interno que gera o momento resistente de cálculo. 
A figura 5 mostra uma seção transversal retangular de viga de concreto armado 
submetida a ação de momento fletor de cálculo (MSd), com intensidade máxima no 
tramo, conforme figura 1. São desenhados, também, os diagramas de deformações, de 
tensões no concreto com distribuições parábola-retângulo e retangular, que pode 
substituir a esse, com as respectivas forças resultantes das tensões. 
As hipóteses básicas indicadas na ABNT NBR 6118:2003 para determinação do 
momento fletor resistente são: 
 - as seções transversais consideradas planas antes da deformação por ação do 
momento fletor solicitante se mantêm planas após a deformação; 
- a deformação das barras passivas submetidas a tração ou compressão é a 
mesma do concreto em seu entorno, que é a hipótese básica (aderência) da existência 
do concreto armado; 
- as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser 
desprezadas, por ser pequena a sua contribuição no estado limite último; 
- a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama 
parábola-retângulo da figura 3 com tensão máxima igual a 0,85 fcd, com fcd calculado 
pela expressão 2. 
 
c
ck
cd
ff γ= [2] 
 
sendo, fck a resistência característica à compressão do concreto. 
 
(MPa)
O
fck
0,85⋅fcd
sc
3,5‰2‰
(‰)vc
D
BA
C
 
 
Figura 3 - Diagrama tensão - deformação do concreto 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Último - ELU 4
 
O diagrama da figura 3, indicado na ABNT NBR 6118:2003, apresenta o trecho 
OA em que a tensão varia com a deformação segundo a expressão 3: 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⋅⋅=
2
c
cdcd 2‰
ε11f0,85σ [3] 
 
O coeficiente 0,85 é o produto de três outros que levam em conta a perda de 
resistência por solicitação mantida ao longo do tempo (Efeito Rüsch) igual a 0,75, o 
ganho de resistência do concreto ao longo do tempo em virtude da reação química do 
cimento igual a 1,2 e, por último, o coeficiente 0,95 que considera a relação entre 
resistência do concreto na estrutura e a medida em corpos-de-prova moldados no dia 
da moldagem da estrutura. 
O diagrama parábola-retângulo pode ser substituído pelo diagrama retangular de 
tensões com altura calculada por: 
 
x,y ⋅= 80 [4] 
 
sendo x igual a profundidade da linha neutra. 
 
A tensão na borda mais comprimida a considerar nas verificações de segurança 
da seção transversal é igual a, conforme indicação da ABNT NBR 6118:2003: 
 
- σcd = 0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, 
não diminuir a partir desta para a borda comprimida, ou sejam seções retangulares, 
seções T, seções trapezoidais, com a menor dimensão do trapézio não coincidindo 
com a borda comprimida, seções triangulares também com o vértice do triângulo não 
coincidindo com a borda comprimida; 
 
- σcd = 0,80 fcd em caso contrário, ou sejam, por exemplo, seções transversais 
trapezoidais, com a menor dimensão do trapézio coincidindo com a borda comprimida, 
seções triangulares com o vértice do triangulo coincidindo com a borda comprimida. 
 
Considera-se, na verificação da segurança de elementos estruturais submetidos a 
ação de momento fletor o diagrama retangular de tensões, em substituição ao 
diagrama parábola-retângulo, para facilitar o cálculo da força resultante. No caso do 
diagrama parábola-retângulo há necessidade de montar uma expressão de integração 
na área de concreto comprimido Acc, para o cálculo da força resultante. A diferença não 
é significativa e a consideração do diagrama retangular pode ser aceita sem prejuízo 
do resultado. 
As tensões nas barras de aço das armaduras podem ser obtidas a partir do 
diagrama tensão-deformação indicado na ABNT NBR 6118:2003 , com valores de 
cálculo, conforme figuras 4 e 6. 
 
 
Es
vyd
fyk
fyd
ss
vuk = 10‰
(‰)vs
(MPa)
 
 
Figura 4 - Diagrama tensão - deformação para as barras de aço 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor - ELU 
5
 
O estado limite último é atingido de modo convencional quando a distribuição das 
deformações na seção transversal pertencer a um dos limites dos domínios definidos 
na figura 7. Lembra-se que as deformações não podem ser adotadas com valores 
maiores do que 3,5‰ para o concreto, quando comprimido exclusivamente por ação demomento fletor, e 10‰ nas barras de aço. Este limite é considerado para que os 
elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor não apresentem fissuras 
com grandes aberturas. 
 
3. Análise da resistência da seção transversal 
 
As equações de equilíbrio são escritas considerando que as forças resultantes 
das tensões internas se equilibram e, que os momentos (MRd) destas forças calculados 
em relação a um pólo escolhido está em equilíbrio com o momento solicitante de 
cálculo (MSd). 
 A figura 5 mostra a força resultante das tensões de compressão no concreto Rcc, 
a força resultante das tensões nas barras da armadura comprimida (Rsc) de área Asc e 
a força resultante das tensões nas barras da armadura tracionada (Rst) de área Ast. A 
largura da alma da viga é bw, h é altura da seção transversal e d é a altura útil, ou seja, 
a distância da borda comprimida até ao centro geométrico das barras da armadura 
tracionada, x é a medida da profundidade da linha neutra, a partir da borda 
comprimida, y é a altura do diagrama retangular de tensões de compressão e d’ é a 
distância dos centros das barras das armaduras até a borda mais próxima. Portanto, d’ 
é a soma do cobrimento, do diâmetro do estribo e metade do diâmetro da barra da 
armadura longitudinal (quando se tem uma única camada de barras) à qual se refere 
d’. 
 
Ast
d´
d h
x
vst
vcc
MSd
Asc
scd
sst Rst
Rcc
Rsc
y/2
L.N.
bw
MSd
scd
d´
0,2x
y/2
 
 
Figura 5 - Seção transversal retangular – momento fletor resistente 
 
Como as forças resultantes das tensões internas têm que estar em equilíbrio 
pode-se escrever a expressão 5. 
 
stsccc RRR =+ [5] 
 
Considerando o equilíbrio dos momentos das forças resultantes internas em 
relação ao ponto de aplicação da força resultante das tensões nas barras de tração, 
distante a altura útil (d) da borda comprimida, com o momento solicitante de cálculo 
(MSd) pode-se escrever: 
 
[ ]d'dR
2
ydRM scccSd −+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −= [6] 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Último - ELU 6
 
 
A área de concreto comprimido pode ser calculada pela expressão 7, 
considerando o diagrama retangular de tensões (ver figura 5), e, substituindo a altura 
(y) deste diagrama pela expressão 4, vem: 
 
x0,8bA wcc ⋅⋅= [7] 
 
A força resultante das tensões de compressão no concreto é dada por 8: 
 
cdcccc .σAR = [8] 
 
A força resultante nas barras da armadura de compressão posicionadas próximas 
da borda comprimida, distante a medida d’ desta, é calculada pela expressão 9: 
 
scscsc .σAR = [9] 
 
A força resultante nas barras da armadura de tração posicionada na região 
tracionada da viga com altura útil d, que é a medida da distância da borda comprimida 
até o centro geométrico das barras desta armadura, é calculada pela expressão 10: 
 
ststst .σAR = [10] 
 
Substituindo a expressão 7 em 8 e fazendo σcd = 0,85 fcd obtem-se: 
 
cdwcc f0,85x0,8bR ⋅⋅⋅⋅= [11] 
 
ou, efetuando o produto, resulta: 
 
cdwcc fxb0,68R ⋅⋅⋅= [12] 
 
3.1. Compatibilidade de deformações 
 
Considerando a proporcionalidade entre os lados dos triângulos retângulos no 
diagrama de deformações (figura 5), pode-se escrever a expressão 13 que relaciona a 
posição da linha neutra (x), a altura útil (d) e as deformações na borda mais 
comprimida e nos centros de gravidade das barras das armaduras comprimida e 
tracionada. 
 
xd
ε
dx
ε
x
ε st
'
sccc −=−= [13] 
 
A relação entre a profundidade da linha neutra (x) e a altura útil (d) é a posição 
relativa da linha neutra (βx) calculada por: 
 
d
x
βx = [14] 
 
E, multiplicando membro a membro a expressão 13 por 1/(1/d) e substituindo x/d 
por βx tem-se a expressão 15: 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor - ELU 
7
x
st
x
sc
x
cc
β1
ε
d
d'
β
ε
β
ε
−=−
= [15] 
 
3.2 Equações de equilíbrio 
 
 A expressão 12 pode ser escrita como segue, multiplicando-se o segundo 
membro por d/d. 
 
cdwcc fd
dxb0,68R ⋅⋅⋅⋅= [16] 
 
Lembrando que βx (expressão 14) é igual a x/d e substituindo na expressão 16 
resulta: 
 
cdxwcc fβdb0,68R ⋅⋅⋅⋅= [17] 
 
Substituindo convenientemente as expressões 17, 9 e 10 em 5, vem: 
 
ststscsccdxw σAσAfβdb0,68 ⋅=⋅+⋅⋅⋅⋅ [18] 
 
que é a expressão que relaciona a força resultante das tensões no concreto, a 
força resultante das tensões nas barras da armadura comprimida e a força resultante 
das tensões nas barras da armadura tracionada. As forças resultantes nas barras estão 
escritas em função das suas áreas e das respectivas tensões. A força no concreto foi 
escrita considerando a resistência de cálculo à compressão do concreto, a largura da 
alma da viga (bw), a altura útil (d) e a posição relativa da linha neutra (βx). 
Substituindo as expressões 17 e 9 em 6, e usando as expressões 4 e 14, vem: 
 [ ] [ ]d'dσAβ0,41fdβb0,68M scscxcd2xwSd −⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= [19] 
 
Esta expressão relaciona o módulo do momento fletor solicitante de cálculo com 
os momentos das força resultantes das tensões de compressão no concreto e nas 
barras da armadura comprimida. 
 
3.3. Balanço do número de equações e incógnitas 
 
Supondo que as dimensões das seções transversais são conhecidas (pois, na 
fase de anteprojeto das estruturas de concreto é feito o pré-dimensionamento das 
dimensões das seções transversais dos elementos estruturais) têm-se duas equações 
de equilíbrio (18 e 19) e duas outras que relacionam as deformações (13), totalizando 
quatro equações. As incógnitas são: x (βx), Asc, Ast, σsc dependente da deformação nas 
barras comprimidas (εsc) e σst dependente da deformação nas barras tracionadas (εst), 
pois os diagramas tensão – deformação das barras de aço são conhecidos. 
Assim, têm-se cinco (5) incógnitas e quatro (4) equações. 
Para se verificar a segurança da seção transversal, ou seja, determinar se o 
momento fletor resistente de cálculo (MRd) é maior ou igual que o momento fletor 
solicitante de cálculo (MSd) é necessário adotar uma das incógnitas. Conhecendo-se as 
deformações e, portanto, as tensões, ficam para serem determinadas a posição da 
linha neutra e as áreas das armaduras (duas). Como solução pode ser adotada a 
posição relativa da linha neutra que, para isto, precisa garantir as condições de 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Último - ELU 8
segurança da seção transversal e, assim, determinar as duas incógnitas que são as 
áreas das armaduras. 
 
3.4 Equações constitutivas dos materiais 
 
A ABNT NBR 6118:2003 indica os diagramas tensão – deformação do concreto 
(figura 3) e o diagrama das barras de aço para serem adotados na verificação dos 
estados limites últimos. As condições do diagrama para as barras de aço da figura 4 
foram aqui consideradas para se obterem os diagramas da figura 6, relativos aos aços 
nacionais indicados na ABNT NBR 7480:1996, respectivamente os aços das categorias 
CA-25, CA-50 e CA-60. 
 
10
(MPa)ss
vs (‰)
fyk
1,03
217
CA-25
2,07
435
fyk
ss (MPa)
(‰)
CA-50
10
vs
2,49
522
fyk
ss (MPa)
(‰)
CA-60
10
vs
 Figura 6 - Diagramas tensão - deformação para os aços da ABNT NBR 7480:1996 
 
As deformações últimas dos materiais consideradas no cálculo são, portanto: 
 
- no concreto, nos casos de elementos estruturais submetidos a flexão simples; 
 
3,5‰εε cucc == [20] 
 
- nas barras de aço tracionadas; 
 
10‰εε sust == [21] 
 
Para as barras de aço tracionadas a deformação é limitada a esse valor 
(expressão21) para que as fissuras, inerentes ao material concreto armado, fiquem 
com suas aberturas controladas para evitar danos ao elemento estrutural. As 
deformações nas barras posicionadas na borda da viga e na região comprimida, são 
calculadas com as equações da expressão 13 e, portanto, considerando o diagrama 
tensão – deformação da barra de aço, determina-se a tensão (σsc). 
 
3.5 Domínios de deformações 
 
Considera-se então que, se esses valores das deformações no concreto e nas 
barras tracionadas forem atingidos, por si ou simultaneamente, ocorrerá ruína da viga, 
ou seja, a viga atingirá um estado limite último convencional, que pode ser por: 
 
- deformação plástica das barras tracionadas, quando a deformação for de 10‰, 
com deformação no concreto na borda comprimida de qualquer valor maior do 
que zero e menor do que 3,5‰. Estas situações de deformações definem o 
domínio 2 de deformações; 
 
- deformação plástica das barras tracionadas, variando entre εyd e 10‰ com 
simultânea ruptura do concreto (3,5‰), definindo o domínio 3; 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor - ELU 
9
 
- ruptura do concreto (3,5‰), com deformação nas barras de aço menor do que 
εyd e maior do que zero, sendo este o domínio 4. 
 
As deformações nas barras da armadura tracionada (εst), segundo o diagrama 
tensão – deformação que representa a lei constitutiva das barras de aço, variam entre 
0 e εyd que é a deformação de escoamento, região em que vale a Lei de Hooke, e entre 
εyd e 10‰, limite superior convencionado pelas normas brasileiras e estrangeiras com a 
finalidade de limitar os valores das aberturas das fissuras. A figura 6 mostra os 
diagramas tensão – deformação das barras de aço para concreto armado da ABNT 
NBR 7480:1996, onde são indicados os valores das resistências características (fyk) e 
de cálculos (fyd) e as deformações de escoamento (εyd) que são, também, as de limite 
de proporcionalidade entre as tensões e as deformações. 
A figura 7 apresenta as três condições possíveis para escolha das deformações 
na borda comprimida do concreto e no centro geométrico das barras da armadura de 
tração, no caso de elemento estrutural submetido a ação de momento fletor (flexão 
simples), sendo claro que a deformação no centro geométrico das barras da armadura 
comprimida depende das outras duas deformações. 
O projetista pode, portanto, adotar qualquer uma das infinitas condições possíveis 
para a posição da linha neutra, em qualquer um dos domínios de deformações. A 
decisão de projeto a ser tomada é no sentido de atender outros parâmetros, tais como, 
as dimensões da seção transversal inicialmente adotadas na fase de anteprojeto, de 
menor consumo de material e de altura da viga compatível com as alturas da demais 
vigas do projeto. 
 Analisando as infinitas posições que a linha neutra pode ocupar, para garantir o 
equilíbrio da seção transversal e, portanto, a segurança com relação ao estado limite 
último, percebe-se que no: 
 
 domínio 2 - as barras de aço apresentam deformação última convencional (εst) 
igual a 10‰ e a deformação na borda comprimida (εcc) pode ter valores maiores 
que zero e menores que 3,5‰, ou seja, as deformações na borda comprimida 
não atingem a deformação ultima convencional no concreto (ver figura 7). Neste 
caso de domínio 2 a capacidade resistente do concreto fica pouco aproveitada; 
 
 domínio 3 - para qualquer posição da linha neutra a deformação na borda 
comprimida (εcc) é adotada igual a deformação última de 3,5‰ e as deformações 
nas barras podem variar entre a deformação de escoamento (εyd) e a última 
convencional de 10‰. Ao adotar, no projeto de viga, a posição limite superior da 
linha neutra no domínio 3 estão sendo consideradas as capacidades máximas 
permitidas de deformações dos materiais. É, portanto, a solução que atende as 
condições de economia de materiais; 
 
 domínio 4 - a deformação na borda comprimida (εcc) é adotada igual a 3,5‰ e as 
deformações nas barras de aço (εst) podem assumir valores maiores que zero e 
menores que εyd. Não é, portanto, uma solução adequada, embora possível em 
termos de segurança estrutural, pois, as barras de aço ficam com deformações 
aquém da sua capacidade de deformação e, por conseguinte, pouco 
aproveitadas, com grande área de barras e não atendendo fator econômico de 
projeto. 
 
 A decisão na escolha da posição da linha neutra e, portanto, do domínio de 
deformações depende de cada projeto de viga (ou laje) em particular entendendo que, 
se possível, será adotada a posição limite do domínio 3 (βx34 = βxlim) em virtude do 
melhor aproveitamento das resistências dos materiais. 
 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Último - ELU 10
3.5.1 Limites para os valores da linha neutra nos três domínios de deformações 
 
Os limites para os valores da linha neutra entre os três domínios de deformações 
que regem os elementos estruturais submetidos a flexão simples podem ser calculados 
pela expressão 15, considerando a primeira e a terceira frações: 
 
x
st
x
cc
β1
ε
β
ε
−= [22] 
 
e, multiplicando o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda e 
o denominador da primeira pelo numerador da segunda e, explicitando βx, resulta a 
expressão que relaciona a posição relativa da linha neutra (βx) com as deformações do 
concreto na borda comprimida (εcc) e das barras tracionadas da armadura (εst). 
 
stcc
cc
x εε
ε
d
x
β +== [23] 
 
 Com a expressão 23 é possível determinar as posições limites da linha neutra 
para os domínios 2 e 3 e 3 e 4. 
A posição relativa da linha neutra limite entre os domínios 2 e 3 depende do valor 
último convencional da deformação na borda comprimida do concreto que é igual a 
εcc = εcu = 3,5‰, e a deformação de escoamento das barras é igual a deformação 
última convencional de 10‰, resultando a expressão 24: 
 
0,259=
10+3,5
3,5
=βx23 [24] 
 
 O estado limite último de ruína no domínio 2 ocorre de modo convencional (pois, 
os corpos-de-prova das barras de aço ao romperem em ensaios de tração podem 
atingir deformações maiores do que 10‰) com deformações na borda comprimida do 
concreto menores do que 3,5‰. 
Para o cálculo do valor de βx34 considera-se εcc = εcu = 3,5‰ e εst = εyd que é 
função da categoria das barras de aço, indicadas na ABNT NBR 7480:1996. Os 
digramas tensão - deformação das barras de aço para concreto armado normalizados 
no Brasil são os indicados na figura 6, cujos valores das resistências de escoamento de 
cálculo são iguais às resistências características à tração divididas pelo coeficiente de 
minoração das resistências igual a 1,15. 
Retomando a expressão 23 vem: 
 
yd
x34 ε3,5
3,5
β += [25] 
 
 Analisando a figura 6 podem-se determinar os valores de εyd que resultam iguais 
a: 
 
 ‰03,125CA yd =ε→− [26] 
 
‰07,250CA yd =ε→− [27] 
 
 ‰49,260CA yd =ε→− [28] 
 
 que, substituindo-os na expressão 25, determinam-se os valores das posições 
relativas limites entre os domínios 3 e 4 considerando as categorias das barras de aços 
nacionais, resultando: 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor - ELU 
11
0,772β25-CA x34 =→ [29] 
 
0,628β50-CA x34 =→ [30] 
 
0,585β60-CA x34 =→ [31] 
 
 Esses limites podem orientar os valores adotados em projetos de vigas de 
concreto armado desde que não ultrapassem os valores da profundidade relativa da 
linha neutra indicados na ABNT NBR 6118:2003 e, neste texto, no item 4 (seguinte), 
quando se tratarem de seções transversais de apoio devigas contínuas ou de seção 
que pertençam a ligações entre elementos estruturais (nós de pórticos). 
 O estado limite último de ruína no domínio 3 ocorre de modo convencional (pois, 
as barras de aço ao romperem em ensaios de tração podem atingir deformações 
maiores do que 10‰) com deformações na borda comprimida do concreto igual a 3,5‰ 
e, simultaneamente, nas barras de aço com deformações de 10‰. 
 No domínio 4 o estado limite último de ruína ocorre de modo convencional por 
ruptura do concreto com deformações 3,5‰, sendo que as deformações nas barras de 
aço ficam menores do que o valor de εyd relativos a cada categoria de aço, conforme 
indicados pelas expressões 26, 27 e 28. 
 Conforme será analisado nos exemplos do item 7, e adiantando o raciocínio a 
seguir no dimensionamento de seções transversais de vigas e lajes, submetidas a ação 
de momento fletor, o domínio 4 de deformações precisa ser evitado, pois há mal 
aproveitamento das resistências dos materiais, principalmente das barras de aço e, 
principalmente, por conta das pequenas deformações das barras de aço com valores 
menores do que εyd. 
 Além disso, as ruínas ocorrem por ruptura do concreto sem que ocorra o 
alongamento máximo permitido para as barras de aço. Com as barras com pouco 
alongamento (εst < εyd) as fissuras aparentes no elemento estrutural submetido a ação 
de momento fletor não aparecem visivelmente, e, a ruína real se dá de modo brusco. 
 
4. Profundidade da linha neutra e condições de dutilidade 
 
A ABNT NBR 6118:2003 indica que a capacidade de rotação dos elementos 
estruturais lineares é função da posição da linha neutra no estado limite último. Quanto 
menor for o valor relativo da profundidade da linha neutra βx = x/d, maior é a 
capacidade de rotação. 
Conforme já estudado neste texto essa situação de maior capacidade de rotação 
ocorre quando as deformações atendem as hipóteses do domínio 2, isto é, a 
deformação no concreto está aquém da deformação última convencional de 3,5‰ e a 
deformações nas barras de aço são consideradas iguais a 10‰. 
Ou seja, para controlar a rotação da viga é conveniente limitar a posição da linha 
neutra diminuindo, assim, as deformações. 
Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas ou de 
ligações com outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas 
redistribuições de esforços solicitantes, a posição da linha neutra no estado limite 
último precisa obedecer aos seguintes limites: 
 
a. βx = x/d ≤ 0,50 no caso de estruturas com concretos de fck ≤ 35 MPa; 
 [32] 
 
b. βx = x/d ≤ 0,40 no caso de estruturas com concretos de fck > 35 MPa. 
 [33] 
 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Último - ELU 12
10
‰
10
‰
bo
rd
a 
su
pe
rio
r
bo
rd
a 
in
fe
rio
r
3,
5‰
x2
3
2
3,
5‰ 3
x3
4
v
yd
3,
5‰
4
v
yd
d
h
v
st
v
cc
 
 v
cu
= 
3,
5‰
D
ef
or
m
aç
ão
 P
lá
st
ic
a 
E
xc
es
si
va
 c
om
 R
up
tu
ra
 
do
 C
on
cr
et
o
D
ef
or
m
aç
ão
 P
lá
st
ic
a 
 
 
 
 
E
xc
es
si
va
s
s
fyd
v
yd
10
s
s
fyd
v
s
(‰
)
v
yd
v
st
 =
 1
0‰
v
cc
 <
v
cu
 =
 3
,5
‰
v
yd
 
R
up
tu
ra
 d
o 
C
on
cr
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o 
se
m
 
D
ef
or
m
aç
ão
 P
lá
st
ic
a 
E
xc
es
si
va
s
s
fyd
v
s
10
(‰
)
v
yd
10
v
s
(‰
)
10
‰
v
st
v
yd
ze
ro
 <
ze
ro
 <
=
v
cc
 
 v
cu
= 
3,
5‰
=
 
Figura 7 – Diagramas de deformações para os domínios 2, 3 e 4 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor - ELU 
13
 
 A ductilidade de elementos lineares de concreto armado é função da resistência 
do concreto, tanto maior a resistência do concreto menor será a dutilidade do elemento 
estrutural e, portanto, da estrutura. 
 Nas vigas, principalmente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuição de 
esforços solicitantes, é importante garantir boas condições de ductilidade, sendo 
adotada, se necessário, armadura de compressão que garanta a posição adequada da 
linha neutra (x), conforme expressões 32 ou 33. 
A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores 
menores de (x), posição da linha neutra, que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz 
a elementos estruturais com ruptura frágil (usualmente chamados de superarmados). A 
ruptura frágil está associada a posições da linha neutra no domínio 4, com ou sem 
armadura de compressão. 
 Podem ser adotadas barras de armadura com detalhes especiais como, por 
exemplo, as que produzem confinamento nas regiões comprimidas das vigas. 
 Pesquisa feita no Laboratório de Estruturas da EESC – USP por Delalibera (2002) 
mostra que estribos posicionados na região comprimida, confinando-a, de altura igual a 
profundidade da linha neutra definida com as hipóteses do estado limite último, levam a 
uma estrutura de comportamento dúctil. 
 
5. Limites para redistribuição de momentos 
 
 Nos casos de estruturas constituídas por vigas com continuidade com os pilares, 
em pórticos, por exemplo, ou vigas contínuas, a ABNT NBR 6118:2003 indica que 
quando for efetuada uma redistribuição, reduzindo-se um momento fletor solicitante de 
MSk para δ MSk, em uma determinada seção transversal, e isto é feito nas seções 
transversais dos apoios, a relação entre o coeficiente de redistribuição δ e a posição 
relativa da linha neutra βx = x/d nessa seção, para o momento reduzido δ MSk, pode 
ser calculada por: 
 
a. δ ≥ 0,44 + 1,25 x/d no caso de estruturas com concretos de fck ≤ 35 MPa; 
 [34] 
 
b. δ ≥ 0,56 + 1,25 x/d no caso de estruturas com concretos de fck > 35 MPa. 
 [35] 
 
O coeficiente de redistribuição precisa, ainda, obedecer aos seguintes limites: 
 
a. δ ≥ 0,90 para estruturas de nós móveis; [36] 
 
b. δ ≥ 0,75 em qualquer outro caso, por exemplo, estruturas de nós fixos.[37] 
 
Pode ser adotada redistribuição fora dos limites estabelecidos na ABNT NBR 
6118:2003, desde que a estrutura seja calculada mediante o emprego de análise não-
linear ou de análise plástica, com verificação explícita da capacidade de rotação de 
rótulas plásticas. 
 
6. Análise da necessidade de barras comprimidas (Asc) 
 
 Nas deduções das expressões que retratam o equilíbrio da seção transversal 
retangular submetida à ação de momento fletor de cálculo, consideraram-se barras da 
armadura comprimida com área Asc, cuja tensão depende da deformação εsc que, por 
sua vez, depende do diagrama de deformações e da posição da linha neutra. Com a 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Último - ELU 14
deformação determinada pode-se calcular, considerando o diagrama tensão – 
deformação, a tensão (σsc) e verificar o equilíbrio. 
 Porém, a adoção de barras comprimidas só é necessária quando a seção de 
concreto comprimido (Acc) com tensão (σcd) não for suficiente para absorver a força de 
compressão resultante ( cdcc A σ⋅ ) necessária para o equilíbrio no domínio 3. 
 Assim, tem-se um momento fletor resistente limite (MRd,lim) que se for menor que o 
momento fletor solicitante (MSd) a viga não necessita de armadura comprimida 
(armadura dupla) para o equilíbrio da seção transversal. 
 Para escrever a expressão com qual se determina o momento resistente de 
cálculo limite, na expressão 18 faz-se a área da armadura comprida igual a zero 
(Asc=0) e considera-se a posição da linha neutra entre os domínios 3 e 4, isto significa 
adotar: 
 
limx,x,34x β=β=β [38] 
 
 que é o limite da profundidadeda linha neutra (βx,lim) para a qual há total 
aproveitamento das capacidades resistentes do concreto e das barras de aço, ou seja, 
o concreto fica com a deformação convencional de ruptura e as barras de aço ficam 
com deformações que definem o início de escoamento (εyd). 
Obtem-se, portanto, a expressão 39 com a qual se calcula o módulo do momento 
fletor resistente de cálculo limite (MRd,lim). 
 [ ]xcd2limx,wlimRd, β0,41fdβb0,68M ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= [39] 
 
 Para os elementos estruturais lineares (vigas) submetidos a ação de momento 
fletor é usual adotarem-se barras de aço CA-50 para as quais já se encontrou o valor 
de βx,lim = 0,628, que substituído na expressão 39, resulta a expressão 40 com a qual 
se calcula o módulo de MRd,lim para esta classe de aço. 
 
cd
2
wlimRd, fdb0,32M ⋅⋅⋅= [40] 
 
Nota-se na expressão 40 que o valor de MRd,lim depende das dimensões da seção 
transversal bw e h (pois, de depende de d) e da resistência de cálculo à compressão do 
concreto (fcd). 
 
6.1 Exemplo 
 
Determinar o módulo do momento fletor resistente de cálculo limite para uma viga 
com espessura (bw) igual 20cm, altura (h) adotada igual a 45cm, altura útil (d) igual a 
41cm, concreto de resistência característica à compressão de 30MPa (C30) e aço de 
resistência característica à tração de 500MPa (CA-50). 
Como as barras de aço são da classe CA-50 pode-se usar a expressão 40, com 
bw = 20cm; d = 41cm e fcd = fck/1,4 = 30/1,4 = 21,43MPa = 2,14kN/cm2, e, substituindo, 
resulta: 
 
kNm,23.023kNcm2,144100,32M 2limRd, 22302 ==⋅⋅⋅= 
 
Na avaliação da altura útil, a partir da altura total da seção transversal, é 
necessário considerar-se que a viga, quando completamente dimensionada e 
detalhada, têm estribos constituídos por dois ramos, para absorver as tensões de 
tração oriundas da ação da força cortante, cujas distâncias das bordas, que é o 
cobrimento das barras da armadura, precisa atender critérios indicados na ABNT NBR 
6118:2003 para garantir a durabilidade do elemento estrutural. 
Para vigas e pilares é adotado cobrimento nominal (c) das barras da armadura 
mais próxima da borda de 30mm quando a classe de agressividade ambiental é a II, 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor - ELU 
15
considerada moderada e que para efeito de projeto esta classe é para atender uma 
estrutura a ser construída em região urbana. O diâmetro mínimo para as barras dos 
estribos é adotado igual a 5mm de acordo com a ABNT NBR 6118:2003 e, para efeito 
de anteprojeto, é possível adotar diâmetro das barras longitudinais de 12,5mm, 
resultando, portanto, para calculo do valor da altura útil (d) a expressão: 
 
 
2
--c-h d lonest
φφ= 
 
 substituindo os dados do exemplo tem-se: 
 
cm,
2
,-,5-3-45 d 88402510 == 
 
 e, assim, a medida da altura útil adotada igual a 41cm, e agora avaliada, está 
adequada, pois 40,88cm é aproximadamente igual a 41cm. 
 
6.2 Considerações para projetos de vigas 
 
Quando a viga apresentar 
 
limRd,Sd MM ≤ [41] 
 
tem-se o caso de flexão simples com armadura simples, pois não há necessidade 
de considerar a área de armadura comprimida para garantir o equilíbrio da seção 
transversal; 
e, quando 
 
limRd,Sd MM > [42] 
 
tem-se caso de flexão simples com armadura dupla pois há necessidade desta 
para o equilíbrio da viga considerando o domínio 3 de deformações. Como alternativa à 
armadura dupla pode-se aumentar as dimensões da seção transversal, sendo que na 
maioria dos projetos não é possível aumentar a altura (h), por questões arquitetônicas. 
 
6.3 Determinação das expressões para MRd,lim de seções de apoio com dutilidade 
 
Retomando a expressão 39 e as condições descritas no item 4, pode-se escrever 
a expressão 43 com a qual se determina o valor do momento fletor de cálculo limite, 
para as seções transversais de apoio para as quais a ABNT NBR 6118:2003 indica que 
condições de dutilidade precisam ser consideradas, para permitir rotação da estrutura. 
 No caso de se adotar concreto com resistência característica à compressão 
menor do que 35MPa a profundidade relativa (βx) da linha neutra precisa ficar menor ou 
igual do que 0,50, resultando: 
 
 ],[fdb,M dut.lim,xcddut.lim,xwC,apoiolim,,Rd β⋅−⋅⋅⋅β⋅⋅=≤ 401680 235 [43] 
 
 Substituindo βx = 0,50 vem: 
 
 cdwC,apoiolim,,Rd fdb,M ⋅⋅⋅=≤ 235 270 [44] 
 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Último - ELU 16
 Para o caso de concreto com resistência característica à compressão maior do 
que 35MPa a profundidade relativa (βx) da linha neutra precisa ficar menor ou igual do 
que 0,40, e usando a expressão 39 resulta: 
 
 cdwC,apoiolim,,Rd fdb,M ⋅⋅⋅=> 235 230 [45] 
 
 Nos casos de projetos de elementos lineares (vigas, pilares, pórticos, grelhas) as 
seções transversais dos apoios de vigas e ligações (nós de pórticos, por exemplo) 
precisam ter altura compatível com os valores dos momentos fletores resistentes de 
cálculo limites, para ter garantia de dutilidade e, portanto, de rotação. 
 Lembra-se que para diminuir os valores dos momentos fletores negativos nos 
apoios ou nas ligações é possível promover a redistribuição de momentos fletores com 
o conseqüente aumento dos módulos dos momentos fletores positivos, conforme visto 
no item 5 deste texto. 
 
7. Limites para as áreas de armadura, armadura de pele e diâmetro das barras 
 
7.1 Preâmbulo 
 
A ruptura frágil das seções transversais, quando da formação da primeira fissura, 
deve ser evitada considerando-se, para o cálculo das armaduras um momento fletor 
resistente mínimo definido pelo valor correspondente ao momento que produziria a 
ruptura da seção de concreto simples, pro tração na flexão, adotando para a resistência 
à tração do concreto a resistência característica superior do concreto à tração (fctk,sup), 
obedecendo, também, às condições relativas ao controle da abertura de fissuras, 
conforme será estudado posteriormente no capítulo que analisa os estados limites de 
serviço. 
 
7.2 Valores limites para as áreas das armaduras longitudinais de vigas 
 
7.2.1 Área mínima de armadura de tração 
 
De acordo com o indicado na ABNT NBR 6118:2203, a área de armadura mínima 
de tração, em elementos estruturais armados ou protendidos deve ser determinada 
pelo dimensionamento da seção para um momento fletor mínimo dado pela expressão 
46, respeitada a taxa geométrica (ρmin=Asmin/Ac) mínima absoluta de 0,15%. 
 
 sup,ctkmin,dR fW,M ⋅⋅= 080 [46] 
 
sendo: 
 
W0 o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto relativo à fibra 
mais tracionada; 
 
fctk,sup a resistência característica superior do concreto à tração, calculada pela 
expressão 47: 
 
 3/2ckm,ctsup,ctk f3,03,1f3,1f ⋅⋅=⋅= [47] 
 
O dimensionamento da área da armadura mínima para MRd,mín pode ser 
considerado atendido se forem respeitadas as taxas geométricas mínimas de armadura 
da tabela 1. 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor - ELU 
17
Tabela 1 - Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas [ABNT NBR 6118:2003] 
Valores de ρmin = As,min/Ac [em porcentagem (%)] 
Forma da seção fck 
ωmín 20 25 30 35 40 45 50 
Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 
T 
(mesa 
comprimida) 
0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197 
T 
(mesa tracionada) 0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255 
Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575 
Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, 
15141 ,e, sc =γ=γ . Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado 
com baseno valor de ωmín indicado nesta tabela. 
Observação: Nas seções tipo T, a área da seção é calculada considerando a área da 
alma acrescida da área da mesa colaborante, composta pela(s) parte(s) da(s) laje(s). 
 
A ABNT NBR 6118:2003 indica que em elementos estruturais dimensionados no 
domínio 4 pode ser utilizada armadura menor que a mínima, com valor obtido a partir 
de um momento fletor igual ao dobro de MSd. Neste caso, a determinação dos esforços 
solicitantes precisa considerar de forma rigorosa todas as combinações possíveis das 
ações, assim como os efeitos de temperatura, deformações diferidas e recalques de 
apoio. É preciso ter ainda especial cuidado com o diâmetro e espaçamento das 
armaduras de limitação de fissuração. 
 
7.2.2 Área total de armadura 
 
 Quando a viga precisa ser armada com barras tracionadas (Ast) e comprimidas 
(Asc), casos de vigas com armadura dupla, a soma das taxas geométricas das barras 
das armaduras não pode ter valor maior do que 4%, isto é: 
 
 %4ρ ρ scst ≤+ [48] 
 
7.2.3 Área de armadura de pele 
 
 Em vigas com altura superior a 60cm há necessidade de se considerar barras 
distribuídas em cada face da alma da viga, cuja finalidade é limitar as aberturas de 
fissuras que ocorrem em região entre o plano horizontal que contem a linha neutra e a 
borda tracionada da viga. A área das barras da armadura de pele (figura 8) é calculada 
pela expressão 49. 
 
 alma,cpele,s A100
10,0A ⋅= (em cada face da viga) [49] 
 
 ou seja, essa área é igual a 0,10% da área da seção transversal da alma da viga. 
 As barras que compõem a armadura de pele precisam ser de alta aderência 
(η1 ≥ 2,25). O espaçamento entre as barras, medido na vertical, não pode ser maior do 
que um terço da medida da altura útil (d/3) considerando o valor absoluto máximo de 
20cm, respeitando os critérios de verificação de aberturas de fissuras que será 
estudado em época oportuna do curso. 
 Os critérios para cálculo dos valores mínimos da área da armadura de tração 
quando o elemento está sob deformação imposta pode ser estudado na ABNT NBR 
6118:2003. 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Último - ELU 18
 
7.2.4 Diâmetro das barras da armadura 
 
 A ABNT NBR 6118:2003 não apresenta nenhuma restrição quanto aos diâmetros 
mínimo e máximo de barras para vigas. Assim, desde que sejam satisfeitas condições 
construtivas qualquer diâmetro normalizado pela ABNT NBR 7480:1996 pode ser 
adotado. 
 Ao se realizar um projeto é conveniente consultar as empresas construtora e a 
fornecedor de barras de aço da região onde a obra será construída a respeito da 
disponibilidade dos diâmetros das barras e classe do aço. 
 É conveniente adotar diâmetro (φ) mínimo de 8,0mm para as barras de aço das 
armaduras tracionadas das vigas; para as barras da armadura de montagem (porta 
estribos) sugere-se que o diâmetro seja igual ou maior que o diâmetro das barras ou 
fios adotados para os estribos. 
 
8. Espaçamentos entre as barras da armadura 
 
 As vigas depois de terem a(s) área(s) da(s) barra(s) da(s) armadura(s) 
corretamente dimensionadas para absorver o momento fletor solicitante de cálculo 
(MSd), precisam ser convenientemente detalhadas. A distribuição das barras das 
armaduras, para absorver as tensões de tração ou de compressão, esta no caso de 
vigas com armadura dupla, é feita seguindo critérios que consideram as condições de 
moldagem na obra e adensamento realizado por meio mecânico com auxílio de 
vibrador. 
 Assim, os espaçamentos entre as barras precisam levar em conta o diâmetro 
nominal do agregado graúdo adotado para o concreto, o diâmetro do vibrador e a 
direção e sentido da concretagem que é a vertical. O arranjo das barras tem que ser 
estudado com cuidado para que durante a moldagem o concreto preencha toda a 
fôrma, de tal modo que as posições das barras das armaduras não prejudiquem este 
procedimento, ainda, estas posições permitam a passagem do vibrador para 
conveniente adensamento. 
 A segurança estrutural depende de fatores como a correta avaliação das ações 
que irão atuar no elemento estrutural quando em serviço, do processo de determinação 
dos esforços solicitantes, das condições de contorno (análises das vinculações), das 
equações constitutivas dos materiais, das hipóteses para o dimensionamento das 
áreas das barras das armaduras, o detalhamento com criteriosa análise dos arranjos 
das barras, do processo de construção como moldagem, adensamento, cura, desforma 
e retirada do cimbramento. 
A distribuição das barras na seção transversal em vigas, é de suma importância 
para a correta moldagem e adensamento do concreto. As barras podem ficar 
justapostas formando feixes de barras, conforme será estudado no capítulo de 
ancoragem por aderência de barras, sendo que esta fica comprometida por diminuir a 
área de contato entre o concreto e as barras do feixe. Assim, o comprimento de 
ancoragem precisa ser aumentado quando se tratar de feixe de barra. 
 A ABNT NBR 6118:2003 indica que os espaçamentos mínimos livres entre as 
faces das barras longitudinais (figura 8), medidos no plano da seção transversal, 
precisam ser iguais ou superiores aos maiores dos seguintes valores: 
 
a.- no sentido horizontal (ah): 
 
20 mm = 2cm; 
 
diâmetro da barra (φ), do feixe de barras ou da luva de emenda das barras; 
 
1,2 vez o diâmetro máximo do agregado (φagr) usado no concreto. 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor - ELU 
19
b.- no sentido vertical (av): 
 
20 mm = 2cm; 
 
diâmetro da barra (φ), do feixe ou da luva; 
 
0,5 vez o diâmetro máximo do agregado usado (φagr) no concreto. 
 
Para feixes de barras é preciso considerar o diâmetro do feixe φn = φ . n0,5, sendo 
n o número de barras do feixe e φ o diâmetro das barras que compõem o feixe. É 
importante salientar que essas indicações se aplicam também às regiões de emendas 
por traspasse das barras. 
 O arranjo das barras das armaduras precisa atender não só a sua função 
estrutural como também às condições adequadas de construção, particularmente com 
relação ao lançamento e ao adensamento do concreto. 
 Nos projetos as espessuras das vigas são previamente pré-dimensionadas 
(bw,min = 12cm) observando detalhes arquitetônicos tais como dimensões das paredes 
de alvenaria e compatibilidade com o projeto geral. Também, em função da intensidade 
do momento fletor o número de barras pode ser tal que não permita o alojamento de 
todas as barras em uma única camada, precisando, portanto, serem alojadas em várias 
camadas. Isso acarreta mudança na posição da altura útil (d) inicialmente adotada fato 
que exigirá verificação específica como será estudado. 
Para alojar corretamente as barras em uma camada com as condições indicadas 
anteriormente é preciso que a largura da viga (bw) seja compatível com os diâmetros e 
quantidades de barras, espaçamentos horizontais (ah) e com o cobrimento especificado 
para a classe de agressividade ambiental, conforme indicado na figura 8. 
 
h
L.N.
As, pele
A = As,pele
A ou Asc s, mon
h = hf laje
d
wb
c
Ø estr
c
0,10
100
c
c
c
< 10100 hA > Ast st, min
CG
Ø
Ø
a 
 
 
 
v 
 
 
 
 a h 
Ø Ø estr
 
Figura 8 - Arranjo das barras da armadura longitudinal 
 
 Considerando a figura 8 é possível escrever a inequação 50 que relaciona a 
largura da viga (bw), o diâmetro das barras (φ), o espaçamento entre as barras e os 
cobrimentos das barras, lembrando que o cobrimento é sempre medido a partir da face 
do elemento estrutural até a barra mais próxima, no caso o estribo. 
 Assim, para alojar um número (n) de barras em uma única camada tem-se:hbarlonbarestw a)1n(n2c2b ⋅−+φ⋅+φ⋅+⋅≥ [50] 
 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Último - ELU 20
 ou seja: 
 
 hhbarlonbarestw aann2c2b −⋅+φ⋅+φ⋅+⋅= [51] 
 
 Trabalhando a expressão 51 determina-se a expressão 52 que permite calcular o 
número de barras por camada de armadura. 
 
 
hlon
hestw
bar a
a2c2bn +φ
+φ⋅−⋅−= [52] 
 
A distribuição longitudinal das barras nos elementos estruturais submetidos à 
ação de momento fletor é feita considerando o diagrama de momentos fletores de 
cálculo, após a correta análise do deslocamento deste diagrama (decalagem do 
diagrama de momentos fletores). Esse deslocamento depende da análise do equilíbrio 
da seção transversal submetida a ação do momento fletor e da força cortante. Assim, a 
distribuição longitudinal das barras será estudada em capítulo futuro. 
No caso de vigas com grande número de barras o alojamento é feito em várias 
camadas, por exemplo em vigas de pontes, sendo necessário prever distâncias entre 
as barras para a introdução do vibrador e de modo a impedir a segregação dos 
agregados e a ocorrência de vazios no interior do elemento estrutural. 
 
9. Posição correta do centro geométrico das barras da armadura 
 
 Nos projetos de estruturas de concreto armado é comum considerarem-se as 
alturas das vigas em função de detalhes arquitetônicos, tais como as cotas das faces 
superiores das janelas e das portas, o que faz com que o projetista adote as alturas 
úteis (dest) em função da espessura do cobrimento, dos diâmetros das barras 
longitudinais e transversais, ambos estimados. 
 Após os cálculos serem feitos a área de armadura longitudinal pode ser 
distribuída em várias camadas, o que acarreta uma altura útil real (d) menor do que a 
altura útil estimada (dest). Portanto, há necessidade de se verificar se a relação entre 
essas alturas úteis fica aquém do limite permitido pela ABNT NBR 6118:2003. Se o 
limite da relação não for atendido há que se efetuarem novos cálculos, adotando nova 
altura útil (dest) e realizar outra verificação. 
 A ABNT NBR 6118:2003 prescreve que a força resultante das tensões de tração 
nas barras das armaduras podem ser consideradas concentradas no centro de 
gravidade correspondente, se a distância deste centro ao ponto da seção de armadura 
mais afastada da linha neutra, medida normalmente a esta, for menor que 10% de h. 
As armaduras laterais (armadura de pele) de vigas podem ser consideradas no 
cálculo dos esforços resistentes, desde que estejam convenientemente ancoradas e 
emendadas. 
 A figura 8 mostra que a distância do centro geométrico das barras da armadura 
de tração até o plano horizontal tangente às barras da primeira camada tem que 
cumprir a medida especificada ( h, ⋅100 ). 
 Nos casos de projetos de vigas em que a altura útil (d) calculada pode ser 
adotada, por não haver imposição arquitetônica, a altura (h) pode ser definida a partir 
dessa com conveniente arranjo das barras longitudinais e depois de adotado o 
diâmetro dos estribos e a espessura do cobrimento de concreto. 
 
10. Exemplos de dimensionamento de vigas de concreto armado 
 
Neste item apresentam-se exemplos de projetos de vigas de concreto armado, 
nos quais se verifica a segurança no estado limite último, com solicitação de momento 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor - ELU 
21
fletor. Os problemas resolvidos são de dimensionamento, isto é, calculam-se as alturas 
úteis (d) e as áreas das barras das armaduras a partir do conhecimento, por meio de 
pré-dimensionamento, medida da largura da seção transversal. 
Para a viga da figura 9, considerada apoiada nos pilares, pedem-se determinar a 
altura útil (d) e a área de armadura de tração (Ast), optando-se por considerar armadura 
simples, isto é, sem que seja necessária armadura na região comprimida (Asc) para 
equilibrar as tensões normais. 
Os dados geométricos da viga da figura 9 são mantidos para todos os exemplos 
seguintes, sendo alteradas as intensidades das forças uniformemente distribuídas 
atuantes. O objetivo em alterar a intensidade da ação em cada exemplo é para que o 
leitor perceba as variações nos valores da altura útil (d) e, portanto da altura total (h), e 
da área de armadura de tração (Ast). 
Considerando que a viga é apoiada nos pilares a posição da linha neutra não 
precisa ser limitada para que a capacidade de rotação aumente a ductilidade. As vigas 
dos exemplos podem ser associadas a vigas de estruturas pré-fabricadas, apoiadas em 
pilares, interpostos entre eles aparelhos de apoio feitos com neoprene, capazes de 
permitir as rotações das seções de apoio. 
As forças uniformemente distribuídas na viga são relativas às ações permanentes 
(g) e as variáveis normais (q) que são as de utilização. 
Adota-se concreto com resistência característica à compressão de 25MPa (C25) e 
aço categoria CA-50 com resistência característica ao escoamento das barras da 
armadura igual 500MPa. 
O cobrimento das barras da armadura é adotado igual a 3cm nos casos de vigas 
e pilares para atender critério indicado na ABNT NBR 6118:2003, que especifica 
Classe de Agressividade Ambiental II, com grau de agressividade moderada, relativo 
ao ambiente urbano, o que significa que a barra que estiver mais próxima das faces da 
viga precisa ser detalhada distando desta 3cm. A ABNT NBR 6118:2003 permite que 
se faça uma redução no valor do cobrimento de Δc = 0,5cm quando na obra houver 
controle de qualidade e rígidos limites de tolerância de variabilidade das medidas 
durante a construção, explicitadas nos desenhos de projeto. 
 
10.1 Exemplo 1 – Ação g + q = 10kN/m 
 
 Como o objetivo é determinar a altura útil (d) e a área das barras da armadura de 
tração (Ast), considerando que a área de armadura de compressão é adotada igual a 
zero, ou seja, não se pretende contar com a contribuição desta para absorver as 
tensões de compressão, são usadas as expressões 18 e 19 com Rsc igual a zero. 
Lembrando o balanceamento do número de equações e incógnitas, faz-se 
necessário adotar uma das incógnitas para dimensionar a viga. 
Pode ser adotado, portanto, a posição relativa da linha neutra igual ao valor limite 
entre os domínios 3 e 4, βx = βxlim = 0,628 para CA-50, assim têm-se melhor 
aproveitamento dos materiais. 
Considerando a força uniformemente distribuída g + q = 10kN/m e viga biapoiada 
o módulo do momento fletor atuante na seção de meio de vão, máximo neste caso, é 
dado por [(g + q) . l2] / 8 igual a 80kNm. Para verificar o estado limite último é preciso 
determinar o momento fletor solicitante de cálculo dado por 
 
112kNm801,4MSd =⋅= 
 
Reescrevendo a expressão 18, com Rsc igual a zero, vem: 
 
ststcdxw σAfβdb0,68 ⋅=⋅⋅⋅⋅ (expressão 18) 
 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Último - ELU 22
VSd
MSd
MSd
VSd
MSk
P01 P02
VT (bw x h)
L=8m
g+q
MSd
20
c
c
d h
C25; CA-50
c
 
 
Figura 9 - Exemplo de viga apoiada 
 
 A expressão 17 é o primeiro membro da expressão 18, portanto: 
 
cdxwcc fdβb0,68R ⋅⋅⋅⋅= (expressão 17) 
 
 E, substituindo os valores de bw = 20cm, βx = βxlim = 0,628 e fcd = 2,5 / 1,4, vem: 
 
1,4
2,50,628d020,68Rcc ⋅⋅⋅⋅= (expressão 17) 
 
 Efetuando os produtos resulta a expressão seguinte que relaciona Rcc e a altura 
útil (d). 
 
d25,51Rcc ⋅= (expressão 17) 
 
 Escrevendo a expressão 19, com Rsc igual a zero, e substituindo os valores de 
bw = 20cm, βx = βxlim = 0,628 e fcd = 2,5 / 1,4, vem: 
 
[ ]0,6280,41
1,4
2,5d0,62820,68M 2Sd ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= 0 (expressão 19) 
 
 Efetuando as operações algébricas resulta: 
 
 24211 d,MSd ⋅= (expressão 19) 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 
Concreto armado: dimensionamento deelementos estruturais submetidos a ação de momento fletor - ELU 
23
 Considerando que neste exemplo 1 MSd = 112kNm = 11200kNcm e substituindo 
na expressão anterior (relativa a expressão 19) resulta: 
 
11,42
11.200d2 = 
 
ou seja: 
 
cm31,31d = 
 
 Adota-se d = 32cm. 
Substituindo os valores calculados na expressão 18, com Rsc igual a zero, vem: 
 
 stst σAd25,15 ⋅=⋅ (expressão 18) 
 
 Analisando a figura 7 e tendo sido adotado βx = βxlim = 0,628, ou seja domínio 3 de 
deformações, sabe-se que a tensão nas barras da armadura tracionada é igual à 
resistência de cálculo igual a fyd = fyk = 500/1,15 = 435MPa = 43,5kN/cm2, resultando: 
 
 5,43A3225,15 st ⋅=⋅ (expressão 18) 
 
 ou seja: 
 
 2st cm2,11A = 
 
 que pode ser representada pela área efetiva das barras da armadura igual a: 
 
 2efes, 12,06cmA = 
 
 sendo a armadura tracionada constituída por 6 barras de 16mm (6 φ 16,0mm) 
lembrando que cada barra de 16mm tem 2,01cm2 de área (ver tabela A-3 no anexo). 
 De acordo com o especificado pela ABNT NBR 6118:2003, e estudado na sessão 
7 deste texto, há necessidade de se verificar se essa área de barras é menor que a 
área mínima, lembrando que se for menor há que se adotar esta como armadura da 
viga. 
 Neste caso de viga de seção retangular e concreto C25 a taxa geométrica mínima 
(ρmin) de armadura é igual a 0,15, conforme tabela 1, assim, a área mínima de barras 
resulta: 
 
 
3720100
150
⋅===ρ
min,s
c
min,s
min
A
A
A, 
 
 Portanto: 
 
 2111 cm,A min,s = 
 
 que representa área menor que a efetiva (12,06cm2). 
 O projeto da viga se completa quando se faz o detalhamento das barras das 
armaduras longitudinais e transversais, estas com a finalidade de absorver as tensões 
de tração oriundas da ação de força cortante. O detalhamento é mostrado na figura 10 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Último - ELU 24
e, de posse dos desenhos, os engenheiros de obra orientam os armadores a corta-las, 
dobra-las, monta-las de acordo com os desenhos e posicionar o conjunto de barras na 
fôrma da viga. 
Os detalhamentos das vigas são feitos por meio de dois desenhos: um 
longitudinal da viga na escala 1:50 e um corte transversal na escala 1:20. 
 O desenho longitudinal da viga mostra a vista da forma, as suas medidas, e a 
distribuição das barras dos estribos (barras N1), cujo desenho em verdadeira grandeza 
e a posição que eles ocupam na seção transversal são vistos no corte transversal da 
viga à direita da figura 10. A título de ilustração foi adotado diâmetro dos estribos de 
5,0mm distribuídos ao longo do eixo da viga um a cada 15cm. As medidas dos estribos 
estão de acordo com os cobrimentos de 2,5cm adotados e os comprimentos levam em 
conta as medidas para dobrar dois ganchos nas extremidades para garantir as suas 
ancoragens. Será estudado em capítulo próprio o dimensionamento e detalhamento de 
vigas submetidas a ação de força cortante. 
 As barras N2, em verdadeira grandeza no desenho da vista longitudinal a viga, 
são as barras de porta estribos, necessárias para posicionar corretamente os estribos. 
As barras N3 e N4 são necessárias para absorver as tensões de tração por ação de 
momento fletor, e têm seus comprimentos definidos segundo a análise da decalagem 
do diagrama de momentos fletores de cálculo e do conveniente comprimento de 
ancoragem. Por isso os comprimentos das barras N3, no caso duas apenas para 
ilustração, não estão indicados no desenho. Os comprimentos das barras N4 estão 
indicados, pois são barras que, também a título de ilustração do exemplo, ocupam todo 
o comprimento da viga (de face a face) respeitando os medidas dos cobrimentos. Os 
ganchos foram detalhados com as indicações da ABNT NBR 6118:2003, conforme será 
estudado no capítulo de ancoragem de barras por aderência. 
 Na seqüência do projeto é preciso estudar o arranjo das barras da armadura 
tracionada na seção transversal para se verificarem as condições estudadas no item 8 
deste trabalho e definir a altura (h) da viga. 
 
P01 P02
780
53 N1 c / 15 cm
VT 01 (20 x 37)
N2 - 2 ø 5 mm (815 cm)
N3 - 2 ø 16 mm ( ) - 2ª camada
N4 - 4 ø 16 mm (855 cm)
815
20 20
37
1,6
10
20
2,5
2
5
32
0,5
CG
0,5
2,
5
0,
5
1,6
1,
6
N4
N3
N2
N1 32
15
N1 - 53 ø 5 mm (105 cm)
2,5 2,5
20 20 2,53
 
 
Figura 10 - Viga do exemplo 1 – Detalhamento 
 
Analisando a figura 10 e considerando que os cobrimentos das barras são iguais 
a 2,5cm (c – Δc = 3,0cm – 0,5cm), o diâmetro estimado para as barras da armadura 
transversal (estribos) é 5,0mm, que o diâmetro do agregado graúdo é de 19mm e o 
diâmetro das barras longitudinais é 16,0mm calcula-se, usando a expressão 52, o 
número de barras que podem ser alojadas em uma camada, resultando: 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor - ELU 
25
 barras2,4
3,26,1
3,25,025,2220nbar =+
+⋅−⋅−= 
 
 portanto, é possível alojar 4 barras de diâmetro de 16,0mm em uma camada e na 
segunda camada 2 barras, conforme pode ser visto na figura 10. Pode-se adotar, 
também, 3 barras nas primeira e segunda camadas, aumentando as distâncias 
horizontais entre as barras. 
 Calcula-se, agora, a distância do plano tangente às barras da primeira camada 
até o centro geométrico das barras, que dista d = 32cm da face superior da viga, 
considerando que a soma dos momentos estáticos das barras em cada camada é igual 
ao momento estático da área total de barras concentrada no centro geométrico, 
resultando: 
 
 CG
222
y
4
6,16
2
6,10,26,1
4
6,12
2
6,1
4
6,14 ⋅⋅π⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++⋅⋅π⋅+⋅⋅π⋅ 
 
 portanto: 
 
 cm0,2yCG = 
 
 Assim a altura (h) da viga é calculada por (observar a figura 10): 
 
 cm375,25,00,20,32h =+++= 
 
 A altura calculada para a viga deste exemplo 1 não pode ser considerada 
definitiva para a construção, pois é preciso verificar os estados limites de serviço, 
particularmente os de aberturas de fissuras (ELS-W) e de deformações excessivas 
(ELS-DEF), que podem indicar altura maior do que 37cm. 
 
10.2 Exemplos 2, 3 e 4 
 
 Os três exemplos de vigas deste item foram feitos adotando-se os mesmos 
critérios para determinar a altura útil (d), em função da profundidade da linha neutra 
com βx = βxlim, e seguem a mesma rotina do exemplo 1. 
 Para diâmetro das barras que compõem as áreas das armaduras de tração 
adotou-se φ 16,0mm, para melhor entendimento dos resultados, facilitando a 
comparação entre os números de barras. 
 Os resultados são apresentados na tabela 2. 
 
Tabela 2 - Exemplos de dimensionamento das vigas 1, 2, 3 e 4 
bw = 20cm, C25, CA-50 
 
 A tabela 3 mostra os dimensionamentos das vigas analisadas nos exemplos 1, 2, 
3, e 4, porém a resistência característica do concreto foi adotada igual a 30MPa (C30). 
Percebe-se que com concreto C30 as alturas úteis (d) resultam menores e as áreas 
E 
x 
e 
m 
p 
l 
o 
 
g + q. 
 
kN/m 
 
MSk 
 
kNm 
 
MSd 
 
kNm 
 
βx=βx,lim
 
d 
 
cm 
 
h 
 
cm 
 
Ast, efe 
 
cm2 
 
n φ 
 
φ em mm 
1 10 80 112 0,628 32 37 12,06 6 φ 16,0 
2 20 160 224 0,628 45 51 16,08 8 φ 16,0 
3 40 320 448 0,628 63 70 22,11 11 φ 16,0 
4 80 640 896 0,628 89 98 32,16 16 φ 16,0 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Último - ELU 26
das barras das armaduras são maiores do que as áreas calculadas para as vigas onde 
se adotou concreto C25. 
 
Tabela 3 - Exemplos de dimensionamento das vigas 1a, 2a, 3a e 4a 
bw = 20cm, C30, CA-50 
 
As alturas (h) das vigas foram determinadas somando-se à altura útil (d) 
calculada, a distância do centro de gravidade das barras da armadura de tração até o 
plano tangente à primeira camadadessas barras, o diâmetro estimado dos estribos e a 
medida do cobrimento. 
Se as barras da armadura longitudinal ficarem alojadas em uma única camada, 
basta somar à medida da altura útil a metade da medida do diâmetro, o diâmetro 
estimado dos estribos e o cobrimento. 
No caso de se adotar um valor para a altura útil (dest), após o cálculo da área das 
barras e estudado o arranjo das armaduras, é preciso verificar o valor da altura útil real 
(dreal) e sua relação com a altura útil estimada, de acordo com o que foi indicado no 
item 9. 
Para que as alturas (h) das vigas sejam consideradas como definitivas é preciso 
considerar outros fatores, como padronização de alturas escolhidas entre projetista, 
arquiteto e construtor, e, se for o caso, considerar para as alturas das vigas números 
inteiros que pode facilitar a construção, lembrando que estas alturas precisam ser 
verificadas com relação a altura útil efetiva definida após a análise dos arranjos das 
várias camadas de barras dispostas na seção transversal. 
Observam-se que as alturas das vigas são proporcionais às intensidades dos 
momentos fletores solicitantes de cálculo (MSd) que, para serem absorvidos, precisam 
que as vigas apresentem valores de momento resistente de cálculo MRd proporcionais a 
intensidade de MSd, o que significa que as forças resultantes no concreto e nas barras 
da armadura precisam ter as intensidades aumentadas. As alturas úteis (d) e as áreas 
de armaduras aumentaram, sendo que a área de concreto comprimido também 
aumentou, pois as medidas das profundidades das linhas neutras aumentaram, embora 
tenha sido adotado como critério de projeto βx = βxlim. 
Analisando as alturas das vigas dos exemplos, observa-se que, mantida a 
distância entre os centros dos apoios, a espessura da viga (bw), as resistências do 
concreto e das barras de aço, aumentando as intensidades das forças uniformemente 
distribuídas os momentos fletores aumentam e, por conseguinte os momentos 
resistentes precisam aumentar. Isto fica claro notando-se o aumento das alturas úteis e 
das áreas das barras das armaduras longitudinais. 
As alturas efetivas das vigas adotadas em projetos precisam respeitar as 
indicações dos projetos arquitetônicos com relação às distâncias entre os pisos 
horizontais que, para os casos de edifícios residências ou comerciais, costumam medir 
em torno de 3m, alguns com 2,8m. Assim, considerando as alturas das faces 
superiores de caixilhos e portas que costumam ser de 2,15m (computando os 
batentes), e, considerando que as alturas das vigas são medidas desde a face inferior 
até a face superior da viga que coincide com a face superior das lajes (figura 9), as 
E 
x 
e 
m 
p 
l 
o 
 
g + q 
 
kN/m 
 
MSk 
 
kNm 
 
MSd 
 
kNm 
 
βx=βx,lim d 
 
cm 
h 
 
cm 
 
Ast, efe 
 
cm2 
 
n φ 
1a 10 80 112 0,628 29 34 12,06 6 φ 16,0 
2a 20 160 224 0,628 41 49 18,09 9 φ 16,0 
3a 40 320 448 0,628 53 60 22,11 11 φ 16,0
4a 80 640 896 0,628 81 101 34,09 17 φ 16,0
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor - ELU 
27
alturas das vigas ficam limitadas a dimensões práticas que não podem ser maiores do 
que 85cm. 
 
10.3 Exemplo 5 
 
 Para este exemplo considera-se que a altura (h) da viga não pode ser maior do 
que 85cm, para atender as indicações do projeto arquitetônico. É adotado concreto 
C25 e aço CA-50. 
 O projeto da viga 5 (mesmos dados da viga 4) considera o vão efetivo (l) de 8m e 
uma força uniformemente distribuída g + q = 80kN/m. O momento fletor solicitante de 
cálculo é igual a 896kNm e pede-se calcular a área das barras da armadura 
longitudinal (Ast). Considera-se que as barras posicionadas junto a borda comprimida 
(Asc) não são necessárias para determinação do momento resistente de cálculo. 
 É necessário avaliar a medida da altura útil (d), pois a altura (h) é conhecida 
(adotada igual a 85cm). A viga 4, igual a viga 5 a menos da imposição da altura, exigiu 
uma altura de 98cm. Portanto, para avaliar a altura útil (d) pode-se considerar que a 
viga 5 terá área de barras da armadura tracionada maior do que a obtida no exemplo 4. 
A altura útil pode ser avaliada considerando feixes de duas barras de 32,0mm (área de 
cada barra igual a 8,04cm2) e alojadas nas quinas dos estribos, resultando: 
 
 cm,,,,chd lonest 8782035052852
=−−−=φ−φ−−= 
 
 ou seja, d pode ser adotado igual a 79cm. 
 Na expressão anterior 3,20cm é a distância do centro geométrico do feixe de 
barras de 32,0mm até o plano tangente à primeira camada. 
 
 Retomando as expressões 18 e 19, com Asc = zero, vêm: 
 
ststcdxw σAfβdb0,68 ⋅=⋅⋅⋅⋅ (expressão 18 com Asc = 0) 
 [ ]xcd2xwdS β0,41fdβb0,68M ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= (expressão 19 com Asc = 0) 
 
 Analisando as expressões 18 e 19 percebe-se que, conhecendo a altura útil 
avaliada inicialmente e querendo determinar a área de armadura tracionada, é 
necessário conhecer a medida da profundidade da linha neutra (x), ou sua posição 
relativa βx, lembrando que os demais parâmetros envolvidos nas equações são 
conhecidos ou calculáveis. 
 Na expressão 19, substituindo os valores conhecidos, tem-se: 
 [ ]2xx2 β0,4-β 1,42,579020,68600.98 ⋅⋅⋅⋅⋅= 
 
 que, resolvendo a equação do segundo grau obtem-se as seguintes raízes: 
 
 
 970541 21 ,e, xx =β=β 
 
 A primeira raiz (βx1) se constitui em um absurdo físico, pois: 
 
 5411 ,x =β é maior do que βx4,4a = 1 
 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Último - ELU 28
e a viga submetida a flexão simples pode ter deformações relativas aos domínios 
2, 3 e 4 e o limite do domínio 4 é βx = 1, ou seja o limite entre os domínios 4 e 4a. 
 A segunda raiz (βx2) pode ser aceita, pois tem justificativa física, ou seja: 
 
 19706280 4421 =β<=β<=β a,xxx ,, 
 
 A linha neutra da viga no estado limite último ocupa uma posição relativa ao 
domínio 4 de deformações, sendo que a ruína é atingida por ruptura do concreto, com 
pequenas deformações nas barras das armaduras de tração (εst < εyd). Lembra-se que 
no domínio 4 a ruína convencional ocorre por ruptura do concreto, sem deformação 
plástica das barras, isto faz com que se tenha pequena probabilidade de ocorrer 
fissuração na face tracionada da viga. 
 Mesmo entendendo que não é um dimensionamento adequado se procederá ao 
cálculo da área das barras da armadura de tração. 
A tensão nas barras da armadura de tração pode ser determinada calculando-se 
a deformação nas barras, o que é feito usando a expressão 22, reescrita a seguir: 
 
x
st
x
cc
β1
ε
β
ε
−= (expressão 22) 
 
substituindo, βx por 0,97 e εcc por 3,5‰ (domínio 4), resulta para a deformação 
nas barras da armadura tracionada: 
 
εst = 0,11‰ 
 
Considerando o diagrama tensão - deformação para as barras de aço CA-50 
(figura 11) e usando a expressão seguinte e considerando como valor do módulo de 
elasticidade das barras 210GPa, resulta: 
 
sts.εEσ st = 
 
2kN/cm2,3MPa,
1.000
0,11210.000σ
st
==⋅= 123 
 
(MPa)
fyd
ss
102,07 vs (‰)1,29
270,9
23,10
0,11 
 
Figura 11 - Diagrama tensão – deformação para barras de aço CA-50 
 
A área das barras da armadura tracionada é calculada com a expressão 18, 
substituindo os valores de bw, d, βx, fcd e σst: 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Maio de 2009 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais submetidos a ação de momento fletor - ELU 
29
3,2A
4,1
5,297,0792068,0 st ⋅=⋅⋅⋅⋅ (expressão 18) 
 
portanto, a área das barras é igual a: 
 
Ast = 809cm2 
 
 O equilíbrio ocorre com uma taxa de armadura de tração impossível de ser 
construída para esta viga de 20cm de largura e 85cm de altura. A taxa de armadura de 
tração ultrapassa o limite indicado na expressão 48. Como alternativas