Rede Reciproca

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Rede recRede recííprocaproca
Cap 2 KITTEL
Cap 5 ASHCROFT- MERMIN
Cap 4 IVAN
�� DefiniDefiniçção rede recão rede recííprocaproca
�� Planos de BraggPlanos de Bragg
�� Zonas de Zonas de BrillouinBrillouin
�� Planos de rede; Planos de rede; ííndices de Millerndices de Miller
Algumas definições
Rede recíproca
difração em cristais
cálculo de estruturas de bandas de energia
leis de conservação de momentum
Funções com periodicidade da rede
etc...
O conjunto de todos os vetores de onda que dão 
origem à ondas planas
Definição
Considere um conjunto de pontos constituindo 
uma rede de Bravais.
R
r
K
r
rKie
rr
.
( ) rKiRrKi ee
rrrrr
.. =+ Re RKi
rrr
∀= ,1.
com a periodicidade da respectiva rede de Bravais é
conhecido como a rede recíproca (da rede de Bravais).
( )
( )
( )321
21
3
321
13
2
321
32
1
.
2
.
2
.
2
aaa
aa
b
aaa
aa
b
aaa
aa
b
rrr
rr
r
rrr
rr
r
rrr
rr
r
×
×
=
×
×
=
×
×
=
π
π
π
{ }321 ,, aaa
rrr
Rede de Bravais
(rede direta)
Rede recíproca
{ }321 ,, bbb
rrr
332211 bkbkbkK
rrrr
++=
ijji ab πδ2. =
rr



=
≠
=
ji
ji
ij
1
0
δonde
(delta de Kronecker)
332211 anananR
rrrr
++=
1. =RKie
rr
, ∀∀∀∀ R def. rede recíproca
RnnknknkRK
rrr
∀=++= ,2)(2. 332211 ππ
=321 ,, kkk inteiros quaisquer
inteiro
A rede recíproca é uma rede de Bravais!
332211 bnbnbnG
rrrr
++=
{ }321 ,, bbb
rrr
: vetores primitivos da rede recíproca
A rede recíproca da rede recíproca é a rede direta original
1
321
32
).(
2 a
bbb
bb r
rrr
rr
=
×
×
π , etc...
{ } { }RKGe KGi rrrrr =⇒∀= ´,1´.
Mostrar ⇒ Cap5 Problema 1
Exemplos
Rede recíproca para a rede cúbica simples (SC)
zaayaaxaa ˆ,ˆ,ˆ 321 ===
rrr
( )
z
a
by
a
bx
aaaa
aa
b ˆ
2
,ˆ
2
,ˆ
2
.
2 32
321
32
1
πππ
π ===
×
×
=
rr
rrr
rr
r
SC
Rede recíproca é cúbica simples com parâmetro de rede
a
π2
( ) 333 /2 aVeav π== ( ) vV /2 3π=
Mostrar ⇒ Cap5 Problema 1
( ) ( ) ( )zyxaayxzaaxzyaa ˆˆˆ
2
,ˆˆˆ
2
,ˆˆˆ
2
321 −+=−+=−+=
rrr
a
( ) ( ) ( )yx
a
bzx
a
bzy
a
b ˆˆ
2
,ˆˆ
2
,ˆˆ
2
321 +=+=+=
πππ rrr Célula cúbica : 
FCC a
π4
( )
2
.
3
321
a
aaav =×=
rrr
( )
3
321
4
4
1
. 




=×=
a
bbbV
πrrr
( )32
v
V
π
=
Rede recíproca para a rede BCC 
Célula cúbica :
BCC
Rede recíproca para a rede BCC é a rede FCC
( ) ( ) ( )yxaazxaazyaa ˆˆ
2
,ˆˆ
2
,ˆˆ
2
321 +=+=+=
rrr Célula cúbica : 
FCC
( ) ( ) ( )zyx
a
byxz
a
bxzy
a
b ˆˆˆ
2
,ˆˆˆ
2
,ˆˆˆ
2
321 −+=−+=−+=
πππ rrr Célula cúbica : 
BCC a
π4
( )32
v
V
π
=
Rede recíproca para a rede FCC 
a
( )
4
.
3
321
a
aaav =×=
rrr
( )
3
321
4
2
1
. 




=×=
a
bbbV
πrrr
Rede recíproca para a rede FCC é a rede BCC 
yaaxaa ˆ,ˆ 21 ==
rr
y
a
bx
a
b ˆ
2
,ˆ
2
21
ππ
==
rr
rede quadrada, 
rede quadrada, 
a
π2
xaa ˆ=
r
x
a
b ˆ
2π
=
r
Rede recíproca para a rede 2D quadrada 
a
Rede recíproca para a rede 1D 
zcay
a
x
a
axaa ˆ,ˆ
2
3
ˆ
2
,ˆ 321 =+==
rrr
z
c
by
a
byx
a
b ˆ
2
,ˆ
3
4
,ˆ
3
3
ˆ
2
321
πππ
==







−=
rrr
rede hexagonal, 
ca
ππ 2
,
3
4
Rede recíproca para a rede hexagonal
a, c
Mostrar ⇒ Cap5 Problema 2
rede hexagonal com eixo x girado de 30º
PLANO DE BRAGG
Plano perpendicular a linha bissetriz 
que liga a origem a um ponto da 
rede recíproca K
K
espaço recíproco
ZONAS DE BRILLOUINZONAS DE BRILLOUIN
A célula primitiva de Wigner-Seitz da rede recíproca é chamada de 
PRIMEIRA ZONA DE BRILLOUIN 
PRIMEIRA ZONA DE 
BRILLOUIN
de uma rede de 
Bravais no espaço 
direto
1ª Zona de Brillouin : conjunto de pontos no espaço recíproco que pode ser
alcançado da origem sem cruzar nenhum plano de Bragg.
célula de Wigner-Seitz
da rede recíproca
respectiva
Rede unidimensional
a
π2
a
Rede direta
Rede recíproca
a
k
π
=
a
k
π
−=
1ª zona de Brillouin
0
a
b
π2
=
Rede quadrada 
Rede cúbica: 1ª zona de Brillouin também é cúbica, de lado 
a
b
π2
=
Rede BCC
Rede direta: BCC Rede recíproca: FCC
a
π4
1ª zona de Brilloun: rhombic dodecaehedron
( ) ( ) ( )zy
a
zx
a
yx
a
ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ ±±±±±±
πππVetores que ligam a origem ao 
centro das faces:
(12 vetores)
Rede FCC
Rede direta: FCC Rede recíproca: BCC
a
π4
1ª zona de Brilloun: octaedro truncado
( ) ( ) ( ) ( )zyx
a
z
a
y
a
x
a
ˆˆˆ
2
,ˆ2
2
,ˆ2
2
,ˆ2
2
±±±±±±
ππππVetores que ligam a origem ao 
centro das faces:
Espaço recíproco: dinâmica dos elétrons na rede tratada no 
espaço dos momentos
Zonas de Zonas de BrillouinBrillouin
Kk
rr
+
k
r
K
r
Um vetor de onda na 1ª ZB
É equivalente a 
todos os vetores onde
É um vetor da 
rede recíproca
De maneira equivalente: 
um vetor de onda 
k
r
fora da 1ª ZB
Pode ser “rebatido” para a 1ª
ZB subtraindo-se o K
r
apropriado
Esfera de Fermi e 1Esfera de Fermi e 1ªª zona de zona de BrillouinBrillouin
Zonas de Zonas de BrillouinBrillouin para uma rede para uma rede 
quadrada e esfera de Fermiquadrada e esfera de Fermi
11ªª zona de zona de BrillouinBrillouin e superfe superfíície cie 
de Fermi no esquema reduzido de Fermi no esquema reduzido 
( )3
1
23 nkF π=
r
DependeDepende apenas de apenas de nn
DependeDepende apenas da geometriaapenas da geometriaZBV1
Esfera de Fermi e 1Esfera de Fermi e 1ªª zona de zona de BrillouinBrillouin
PLANOS DE REDEPLANOS DE REDE
FamFamíília de planos de redelia de planos de rede: conjunto de planos de rede, paralelos, 
igualmente espaçados que contém todos os pontos da rede de Bravais.
“Para cada família de planos de rede, separados pela distância d, existem 
vetores da rede recíproca perpendiculares aos planos, sendo o de menor 
tamanho de comprimento .”
“Para cada vetor da rede recíproca, existe uma família de planos 
de rede normais à K e separados pela distância d, onde 
é o comprimento do menor vetor da rede recíproca // a K .”
d
π2
d
π2
ÍÍNDICES DE MILLER PARA PLANOS DE REDENDICES DE MILLER PARA PLANOS DE REDE
Um plano com índices de Miller (h k l) é normal ao vetor da rede
recíproca 
Note que os índices de Miller dependem da escolha particular dos vetores 
primitivos.
Índices de Miller : conjunto de inteiros sem fatores comuns, inversamente 
proporcionais às intersecções do plano cristalino com os eixos
do cristal.
321 blbkbh
rrr
++
321 ,, aaa
rrr
321
1
:
1
:
1
::
xxx
lkh =
Na prática, somente na descrição de cristais não cúbicos é que se deve 
lembrar que os índices de Miller são as coordenadas da normal no sistema 
dado pela rede recíproca e não pela rede direta. 
Faces do cubo para um cristal cúbico :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }100100,010,001,001,010,100 ⇔rrr
(equivalentes por simetria)
DIREÇÃO NO ESPAÇO REAL : [ ]321 nnn 332211 anananR
rrrr
++=
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 100100,010,001,001,010,100 ⇔rrr
Em cristais cúbicos a direção é ⊥⊥⊥⊥ ao plano
tendo os mesmos índices; isto não é, em geral, verdade para outros
sistemas.
[ ]lkh ( )lkh
DeverDever de casa:de casa:
Ashcroft – capítulo 5
Problemas 1, 2 e 3
LER TODO!!
DeterminaDeterminaçção da estrutura ão da estrutura 
cristalina por difracristalinapor difraçção de raiosão de raios--XX
Cap 4- MARDER
Cap 6 ASHCROFT- MERMIN
Apêndice A- IVAN
Seminário: 
difração de raios-X, 
difração de neutrons, 
difração de elétrons 
(LEED - low energy electron diffraction)
(RHEED- reflection high energy electron diffraction)