Dada f : X → R uniformemente contínua, defina φ : X → R pondo φ(x) = f(x) se x ∈ X é um ponto isolado e φ(x) = lim t→x f(t) se x ∈ X′. Prove q...

Para provar que φ é uniformemente contínua, precisamos mostrar que para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que, para todo x, y ∈ X com d(x, y) < δ, temos |φ(x) - φ(y)| < ε. Se x e y são pontos isolados, então φ(x) = f(x) e φ(y) = f(y), e como f é uniformemente contínua, temos que |f(x) - f(y)| < ε para d(x, y) < δ / 2, onde δ é o valor correspondente à ε / 2 da definição de uniforme continuidade de f. Se x e y são pontos de acumulação, então φ(x) = lim t→x f(t) e φ(y) = lim t→y f(t). Como f é uniformemente contínua, temos que |f(t) - f(s)| < ε / 2 para d(t, s) < δ / 2, onde δ é o valor correspondente à ε / 2 da definição de uniforme continuidade de f. Além disso, como φ(x) = lim t→x f(t), existe um valor de r > 0 tal que |f(t) - φ(x)| < ε / 2 para todo t ∈ X com 0 < d(t, x) < r. Da mesma forma, existe um valor de s > 0 tal que |f(t) - φ(y)| < ε / 2 para todo t ∈ X com 0 < d(t, y) < s. Escolhendo δ = min{r, s}, temos que |φ(x) - φ(y)| ≤ |φ(x) - f(t)| + |f(t) - f(s)| + |f(s) - φ(y)| < ε para todo t ∈ X com d(t, x) < δ e d(t, y) < δ. Portanto, φ é uniformemente contínua. Além disso, se x ∈ X é um ponto isolado, então φ(x) = f(x) por definição. Se x ∈ X′, então φ(x) = lim t→x f(t) por definição, mas como f é uniformemente contínua, temos que lim t→x f(t) = f(x), então φ(x) = f(x). Portanto, φ(x) = f(x) para todo x ∈ X.