Resumo Projeção Estereográfica

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Introdução 
Esfera de 
referência 
Plano de 
projeção 
S e N são os 
polos do plano 
de projeção 
• Imagine o cristal de um sistema cúbico no centro de uma esfera, e as retas que representam 
as várias direções e planos cristalográficos sendo prolongadas até a superfície da mesma. Esses 
pontos de interseção (chamados “polos”) são representados na projeção estereográfica, assim 
como as interseções dos planos com a esfera (“traços dos planos”). 
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Introdução 
• No exemplo abaixo, o plano de projeção é o plano (0 0 1), aqui mostrado com a cor 
“cinza”. O ponto de projeção é o ponto S (polo Sul), e o observador está ollhando por cima da 
esfera na direção norte-sul (N-S). A figura da direita mostra o plano de projeção como visto 
pelo observador, com os vários polos e traços dos principais planos representados. 
• A projeção fica definida ao se informar qual é o plano de projeção e qual é o polo superior. 
Esse grande círculo é 
o traço do plano (011) 
A circunferência 
é o traço do 
plano de 
projeção (001) 
Polo do plano de 
projeção (001) 
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Rede de Wulff 
• Serve como uma referência para medir os 
ângulos entre os polos relacionados às direções 
ou aos planos. 
• Os meridianos e os paralelos (linhas de 
latitude) são mutuamente perpendiculares. 
• Os meridianos são grandes círculos, 
pois têm o mesmo diâmetro da esfera. 
• O ângulo entre os meridianos 
(linhas de longitude) é de 2 graus, 
assim como o ângulo entre os 
paralelos (linhas de latitude). 
• A projeção estereográfica desenhada 
em papel transparente e colocada 
sobre uma Rede de Wulff com mesmo 
diâmetro, permite medir os ângulos 
entre os polos, desde que estejam 
localizados num mesmo grande círculo 
(meridiano ou equador). 
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Rotações da projeção 
• Algumas vezes é necessário fazer a rotação da projeção estereográfica de uma orientação 
para outra. É importante lembrar que só se pode fazer rotação em torno do polo do plano 
de projeção ou em torno do eixo entre o polo superior e o inferior da projeção. 
• Abaixo é visto um exemplo de rotação em torno do eixo superior-inferior (eixo [001]). 
[001] 
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Planos de uma mesma Zona 
• Planos de uma mesma zona são todos perpendiculares ao plano que representa essa zona. 
• Como os planos são representados pelas direções normais a eles, os polos de tais direções 
se encontram sobre o traço do plano que representa a zona. 
• Abaixo é vista a Zona (111) numa Projeção Padrão 100 e vários planos a ela pertencentes. 
Zona 
Eixo da Zona 
Planos 
da Zona 
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          0 .1 3 .1 1 1 . 2 1 1 1 . 3 1 2 Planos de uma mesma Zona • Como os planos são representados pelas direções normais a eles, tais direções são perpendiculares ao eixo da zona. Portanto, o produto escalar é zero entre a normal ao plano de uma zona e o eixo dessa zona, como mostrado abaixo. • O eixo da zona é encontrado pelo produto vetorial entre as direções de 2 planos da zona. 
• Exemplos: 
 O produto escalar igual a zero indica 
que a direção pertence à zona (1 1 1). 
     
    1 1 1 3k 3j i 3 
 k 3 0 j 1 2 i 0 -3 
1 0 1 
2 3 1 
 k j i 
 


 O produto vetorial entre as duas 
direções determina o eixo da zona dos 
planos à qual elas pertencem. 
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Medindo o ângulo entre polos 
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Medindo o ângulo entre polos 
• Também pode calcular o ângulo através da Lei dos Cossenos: α = 35,3 º 
    
     
    
0,816 
6
2 
1 1 1 . 1 1 0
1.1 1.1 0.1
 
 w v u . w v u
w . w v . v u . u
 α cos 
1/22222221/22
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 






Qual é o ângulo entre [011] e [111] ? 
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• Também pode calcular o ângulo através da Lei dos Cossenos: α = 106,8 º 
    
      
     
0,289- 
12
1- 
1 2 1 . 1 1 0
1.1 2-1. 0.1
 
 w v u . w v u
w . w v . v u . u
 α cos 
1/22222221/22
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 






Qual é o ângulo entre [011] e [111] ? 
Medindo o ângulo entre polos 
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Medindo o ângulo entre polos 
• Também pode calcular o ângulo através da Lei dos Cossenos: α = 106,8 º 
    
      
     
0,289- 
12
1- 
1 2 1 . 1 1 0
1.1 2-1. 0.1
 
 w v u . w v u
w . w v . v u . u
 α cos 
1/22222221/22
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 






Qual é o ângulo entre [011] e [111] ? 
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Rotação em torno de um eixo 
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Rotação em torno de um eixo 
• Exemplo: Girar de 40º o polo A1 em torno de B1 no sentido horário. 
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Rotação em torno de um eixo 
• 1º Passo: Girar a projeção em torno do seu 
centro (polo do plano de projeção) até o polo B1 
ficar sobre o equador da Rede de Wulff. 
• 2º Passo: Rotação de 48º em torno do eixo 
Norte-Sul da Rede de Wulff, fazendo o polo B1 
se deslocar para a posição B2 (centro da 
projeção). Com isso, o polo A1 vai para A2. 
• 3º Passo: Agora, a rotação solicitada de 
40º pode ser feita em torno de B2. Assim, 
o polo A2 se desloca para a posição A3. 
• 4º Passo: Retorno do polo B para 
a sua posição original. Primeiro, 
deslocar o polo B2 de 48º para a 
esquerda, gerando a posição B3 no equador. 
Também é desfeita a rotação do polo A, com 
A3 se deslocando 48º até a posição A4. 
• 5º Passo: Por fim, girar a projeção em torno do seu 
centro, de modo a retornar o polo B3 para a posição 
original de B1. 
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Regra da complicação de Goldschmidt 
• Todas as faces de um cristal podem ser indexadas pela complicação das 4 faces simples 
(100), (010), (001) e (111). 
111 
100 110 010 
001 
101 
011 (011) (010) (001) :(100) Zona  (111) (010) (101) :)1(10 Zona  (110) (010) (100) :(001) Zona  (101) (001) (100) :(010) Zona  (111) (011) (100) :)1(01 Zona (111) (110) (001) :0)1(1 Zona 
• Exemplo: Indexação do ponto de interseção entre os traços 
dos planos de duas zonas, pela complicação dos índices (h k l) 
dos planos pertencentes a essas zonas. 
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Projeção Padrão 100 para cristais cúbicos 
• Os polos que representam as faces do cubo são circundados por quadrado (simetria 
quádrupla); os que representam eixos (diagonais das faces, por ex.) por elipse (simetria 
dupla); os polos que representam vértices são circundados por triângulo (simetria tripla). 
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Elementos de simetria em cristais cúbicos 
• Um elemento de simetria é uma entidade geométrica (ponto, eixo ou plano) em 
relação à qual uma ou mais operações de simetria podem ser realizadas. 
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Triângulos de Projeção 
• Nos cristais cúbicos, os traços dos planos das famílias {1 0 0} e {1 1 0} dividem o círculo 
principal (traço do plano de projeção) em 24 triângulos esféricos. Cada triângulo tem sempre 
vértices nos polos das famílias {1 0 0} , {1 1 0} e {1 1 1}. 
• Características microestruturais do material, tais 
como orientações cristalográficas mais frequentes 
dos seus grãos (textura), são representadas num 
único triângulo, como o mostrado abaixo. 
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Exercícios resolvidos 
• Exercício 1: Qual é a direção comum aos planos ? Qual direção é a 
interseção dos planos ? Quais são os índices do plano que contém as 2 
direções citadas? 
Resposta : Se a direção pertence aos dois planos, ela é perpendicular às direções 
normais a esses planos, ou seja, às direções . Portanto, a direção pedida 
pode ser obtida pelo produto vetorial das duas direções, como mostrado a seguir: 
 1)1(2 e 1)1(0 11)1( e (101) 
 1]1[2 e 1]1[0 
      1] 1 [0 k] 2 j 2 i [0 k 2 0 j 0- 2 i 11- 
1 1 2 
1 1 0 
 k j i 
 
O mesmo procedimento é usado para encontrar a interseção dos outros dois planos: 
      1] 2 1[ k] 1 j 2- i [-1 k 0-1 j 1- 1- i 1-0 
1 1 1 
1 0 1 
 k j i 
 
O plano que contém as 2 direções encontradas acima tem a sua normal perpendicular 
às mesmas. Logo, os índices do plano também são obtidos pelo produto vetorial delas: 
      1) 1 (3 k) 1 j 1- i (3 k 10 j 0 1- i 21 
1 2 1 
1 1 0 
 k j i 
 
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Exercícios resolvidos 
• Exercício 2: Mostre no estereograma abaixo a projeção estereográfica de um cristal cúbico, cujo plano de 
projeção é o (001), os polos dos planos das famílias {100}, {110} e {111}. 
• Exercício 3: Um monocristal de cobre deforma plasticamente ao mesmo tempo nos planos de 
deslizamento . Quando as discordâncias nesses planos chegam na superfície do cristal, os traços 
dos planos ficam visíveis na superfície externa do cristal. Faça um desenho esquemático do cristal de cobre, 
mostrando os traços daqueles planos na superfície externa do cristal. 
• Exercício 4: Mostre no estereograma os traços dos planos do exercício anterior, e também do plano . 
Encontre o polo da reta interseção entre os planos , assim como o polo da reta interseção entre 
os planos . Determine o ângulo entre essas retas. 
Respostas : 
 1)1(1 e (111) 
 2)11( 2)11( e (111) 2)11( e 1)1(1 
X 
Y 
Z 
 2)11(
 (111) 1)1(1
• A interseção de é , o 
polo B. Ele é obtido pelo produto vetorial de 
 2)11( e 1)1(1 [132] . 2)11( e 1)1(1
• A interseção de é , 
 ou seja, o polo A. 
 2)11( e (111) 10]1[• O polo é obtido pela complicação entre . Girando o polo até o equador e medindo 90º é determinado o meridiano do seu traço. Depois é feita a rotação do polo de volta à posição original. 
 2)11( (001) e 1)11(
• O ângulo entre os polos A e B pode 
ser medido com a rede de Wulff, com o 
traço de como meridiano. Ou: 
 2)11(
     
    
 
28
2 
2 3 1 . 0 1 1-
0.2 1.3 1.1-
 α cos 
1/2222222




 67,8 α 0,378 
28
2 α cos