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Terceira lista de Exerc´ıcios de CEME I: Transformadores
Exerc´ıcio 1
Fazer as seguintes questo˜es do livro Fitzgerald, Ma´quinas ele´tricas, 6ed.
Problema: 2.1, 2.3, 2.7, 2.8, 2.9, 2.10, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.17, 2.19, 2.20, 2.21, 2.24, 2.25,
2.26, 2.28, 2.29, 2.32
Exerc´ıcio 2
Utilizando as te´cnicas de rebatimento de tenso˜es e impedaˆncias, obtenha os circuitos equivalentes
vistos das regio˜es 1, 2 e 3 dos circuitos das figuras 2. Considere os transformadores ideais.
Figure 1: Circuitos do Exerc´ıcio 2
Exerc´ıcio 3
Calcule as correntes nos prima´rios e secunda´rios de cada um dos transformadores dos circuitos do
Exerc´ıcio 2.
Exerc´ıcio 4
Determine as correntes consumidas pelas fontes dos circuitos da Figura 2.
Figure 2: Circuitos do Exerc´ıcio 4
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Exerc´ıcio 5
Determine as tenso˜es e correntes nos prima´rios e secunda´rios dos transformadores dos circuitos da
Figura 3.
Figure 3: Circuitos do Exerc´ıcio 5
Exerc´ıcio 6
Um transformador monofa´sico de 75kVA, 240:7970V tem os seguintes paraˆmetros de circuito equiv-
alente referidos ao lado de alta tensa˜o:
R1 R2 X1 X2 Rc Xm
5, 93Ω 3, 39Ω 43, 2Ω 40, 6Ω 244kΩ 114kΩ
a) Obtenha o circuito equivalente visto do lado de baixa tensa˜o.
b) Considerando que o transformador e´ alimentado com tensa˜o nominal, determine a corrente de
entrada e a tensa˜o terminal do secunda´rio caso o transformador alimente cada uma das seguintes
cargas:
i - Z = 700∠0◦Ω
ii - Z = 700∠45◦Ω
iii - Z = 700∠− 45◦Ω
Utilize para os ca´lculos o circuito equivalente simplificado com o ramo central deslocado.
c) Esboce os diagramas fasoriais de cada um dos casos do item anterior.
Exerc´ıcio 7
Desenhe os diagramas fasoriais para cada um dos circuitos equivalentes de transformador mostrados
nas figuras seguintes. Fac¸a para os treˆs casos: carga capacitiva, carga indutiva e carga resistiva.
(a) Modelo com ramo central deslo-
cado para esquerda
(b) Modelo com ramo central deslo-
cado para direita
(c) Modelo Completo
Figure 4: Circuitos do Exerc´ıcio 7
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Exerc´ıcio 8
Considere dois modelos de transformador monofa´sico de 2300:230V:
Modelo Poteˆncia
Impedaˆncia Se´rie
(Referida ao lado de alta)
Modelo 1 15kVA 3, 5 + j17, 6 Ω
Modelo 2 10kVA 5, 3 + j26, 5 Ω
O dono de uma fabrica precisa ligar dois transformadores em paralelo para atender uma carga de
2, 59 + j1, 50 Ω. Considerando a tensa˜o de entrada da fabrica igual a 2300V , calcule as correntes nos
secunda´rios dos dois transformadores, a corrente e a tensa˜o na carga se:
a) Dois transformadores do modelo 1 forem ligados como na figura 5(a);
b) Dois transformadores, um do modelo 1 e outro do modelo 2, forem ligados como na figura 5(a);
c) Dois transformadores do modelo 1 forem ligados, de forma equivocada, com as polaridades inver-
tidas, como na figura 5(b);
d) Dois transformadores, um do modelo 1 e outro do modelo 2, forem ligados, de forma equivocada,
com as polaridades invertidas, como na figura 5(b);
e) Quais concluso˜es podemos tirar analisando os quatro itens anteriores?
(a) Ligac¸a˜o Correta (b) Ligac¸a˜o Errada
Figure 5: Circuitos do Exerc´ıcio 8
Exerc´ıcio 9
Considere um transformador cuja curva de magnetizac¸a˜o pode ser dada por:
im 0, 00 0, 30 0, 50 0, 60 0, 80 0, 90 1, 00 1, 50 2, 00 3, 00 4, 00 5, 00 6, 00 7, 00 8, 00 9, 00 10, 00
λm 0, 00 0, 23 0, 35 0, 40 0, 45 0, 46 0, 47 0, 49 0, 50 0, 52 0, 54 0, 56 0, 57 0, 58 0, 59 0, 60 0, 61
Utilizando a linguagem de programac¸a˜o Python, fac¸a os seguintes itens:
a) Plote a curva de magnetizac¸a˜o dada, ou seja, crie um gra´fico de λm× im. Dica: use o Numpy para
criar os dois vetores com os dados apresentados na tabela e o Matplotlib para plotar a curva;
b) Escreva uma func¸a˜o para calcular a corrente de magnetizac¸a˜o, no domı´nio do tempo, do transfor-
mador. Esta func¸a˜o devera´ retornar um vetor com a corrente de magnetizac¸a˜o e devera´ ter como
entrada dois vetores a amplitude e frequeˆncia da tensa˜o induzida ale´m de um par de vetores (λm
e im) que representam a curva de magnetizac¸a˜o do transformador e um vetor de tempo. Dicas:
i- Considerando que a tensa˜o induzida e´ dada por e1(t) = Epsen (ωt), onde ω e´ a frequeˆncia
angular e Ep, escreva uma linha de co´digo para criar um vetor de fluxo concatenado em func¸a˜o
do tempo.
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ii- Em um loop for, utilize a func¸a˜o interp do Numpy para combinar o vetor de fluxo concatenado
com os vetores da curva de magnetizac¸a˜o para obter a corrente de magnetizac¸a˜o
iii- Considere que a curva de magnetizac¸a˜o tem a mesma caracter´ıstica na regia˜o negativa. Ou
seja, se im = 0.30 A→ λm = 0.23Wbe, enta˜o im = −0.30 A→ λm = −0.23Wbe
c) Utilizando a func¸a˜o anterior, compute e plote a corrente de magnetizac¸a˜o para cinco diferentes casos
(todos com frequeˆncia de 60Hz): Ep = 50V , Ep = 100V , Ep = 150V , Ep = 200V e Ep = 220V .
Observe a distorc¸a˜o harmoˆnica em cada um dos casos.
d) Plote o espectro harmoˆnico de cada uma das correntes. Use a seguinte func¸a˜o para obter as se´ries
de Fourier das correntes de magnetizac¸a˜o;
1 import numpy as np
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3 # Funcao para computar a s e r i e de f o u r i e r de um s i n a l
4 # entrata − vetor do s i n a l que s e ra ana l i s ado
5 # tempo − vetor de tempo
6 # O vetor de entrada tem que t e r o mesmo tamanho do vetor de tempo
7 de f s e r i e F o u r i e r ( entrada , tempo ) :
8 f o u r i e r = np . f f t . f f t ( entrada )
9 pas sode in teg racao = tempo [1]− tempo [ 0 ]
10 f r e q u e n c i a s = np . f f t . f f t f r e q ( l en ( entrada ) , d=pas sode in t eg racao )
11 re turn f r equenc i a s , abs ( f o u r i e r /( l en ( entrada ) /2) )
e) Quais as amplitudes e frequeˆncias das componentes harmoˆnicas da corrente de magnetizac¸a˜o para
cada um dos casos? O que voceˆ pode concluir disso?
Exerc´ıcio 10
Um transformador de 50kV A, 127 : 13800V e 60Hz tem os seguintes resultados para os ensaios
em vazio e de curto-circuito:
Ensaio de curto-circuito: Lado de baixa curto-circuitado
Vrms = 1025V Irms = 3, 76A P = 807W
Ensaio em vazio: Lado de alta aberto
Vrms = 125, 9V Irms = 29, 1A P = 1645W
a) Obtenha o circuito equivalente referido ao lado de baixa;
b) Obtenha o circuito equivalente referido ao lado de alta;
c) Calcule a regulac¸a˜o de tensa˜o se o transformador e´ utilizado na configurac¸a˜o abaixadora entregando
tensa˜o nominal a uma carga que consome poteˆncia nominal com:
i- Fator de poteˆncia unita´rio;
ii- Fator de poteˆncia 0,8 indutivo;
iii- Fator de poteˆncia 0,8 capacitivo.
d) calcule a eficieˆncia do transformador para cada um dos casos anteriores.
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