Lista 1 de Cálculo I_ Limites

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Lista 1 de Ca´lculo I: Limites
Profa Roberta V. Garcia
Exerc´ıcios
1. Calcule os seguintes limites, caso existam:
(1) lim
x→−2
2x3 + 9x2 + 12x+ 4
−x3 − 2x2 + 4x+ 8
(2) lim
x→2
√
x2 + 12− 4
x−√x3 − 4
(3) lim
x→ 12
4
√
2x− 1√
2x− 1
(4) lim
x→0
(tg(3x) cossec(6x))
(5) lim
x→0
1− 3√cosx
x2
(6) lim
x→0
√
x4 + x2
x
(7) lim
x→1
(
1
x− 1 −
3
1− x3
)
(8) lim
x→+∞
x− senx
x+ senx
(9) lim
x→−∞
(√
x2 + 9 + x+ 3
)
(10) lim
x→1
√
x3 + x2 − 5x+ 3
x2 − 1
(11) lim
x→2
(
x2 + 4x
)
(12) lim
x→+∞ (3x− 7)
(13) lim
x→−∞ (−5x+ 4)
(14) lim
x→−∞
(
2x3 − x2 + 1)
(15) lim
x→+∞ (1− x
n)
(16) lim
x→1
x
(x− 1)2
(17) lim
x→0
x2 − 1
x
(18) lim
x→4
x2 − 16
(x− 4)2
(19) lim
h→0
x2h+ 3xh2 + h3
2xh+ 5h2
(20) lim
h→0
(x+ h)3 − x3
h
(21) lim
x→−∞
x2
x4 + 1
(22) lim
x→−∞
2x3 − 1
x2
(23) lim
x→−∞
2x+ 1
5x+ 1
(24) lim
h→+∞
3h+ 2xh2 + x2h3
4− 3xh− 2x3h3
(25) lim
x→a
n
√
x− n√a
x− a
(26) lim
x→3
√
x−√3
x− 3
(27) lim
x→a
x2 − a2√
x−√a
(28) lim
x→1
5
√
x− 1
x− 1
(29) lim
x→1
3
√
x− 1
4
√
x− 1
(30) lim
x→1
3
√
x2 − 2 3√x+ 1
(x− 1)2
(31) lim
x→+∞
√
x+
√
x+
√
x
√
x+ 1
(32) lim
θ→0
sen
√
2θ√
2θ
(33) lim
y→0
sen 3y
4y
(34) lim
x→0
tg 2x
x
(35) lim
x→0
x cossec 2x
cos 5x
(36) lim
x→0
x+ x cosx
senx cosx
(37) lim
x→0
sen ax
x
(38) lim
x→0
tg ax
x
(39) lim
x→0
1− cosx
x · senx
(40) lim
x→a
tg x− tg a
x− a
(41) lim
x→pi
sen(tg x)
tg x
(42) lim
x→1
tg
(
x2 − 1)
x2 − 1
(43) lim
x→0
arctg 2x
sen 3x
(44) lim
n→+∞
1 + 2 + · · ·+ n
n2
(45) lim
x→−∞
(
1 +
2
x
)x
(46) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)3x
(47) lim
x→pi2
(
1 +
1
tg x
)tg x
(48) lim
x→0
ln(1 + x)
x
(49) lim
x→0
eax − 1
x
(50) lim
x→0
abx − 1
x
(51) lim
x→0
esen x − 1
x
(52) lim
x→0
asen x − 1
senx
2. Sendo f(x) =
ax3 + bx2 + cx+ d
x2 + x− 2 , obter os reais a, b, c, d, sabendo-se que limx→+∞ f(x) = 1 e limx→1 f(x) = 0.
3. Determine a sabendo que lim
x→0
(
1− 1
x
)
tg ax = 3.
4. Sejam c, L ∈ R tais que lim
x→1
2x3 + cx+ c
x2 − 1 = L. Determine c e L.
1
5. Seja f : R→ R.
(a) Assumindo que lim
x→2
f(x)
x2
= 1, calcule lim
x→2
f(x)
x
.
(b) Assumindo que lim
x→0
f(x)
x
= 0, calcule lim
x→0
f(x).
(c) Assumindo que lim
x→+∞
f(x)
x2 + x
= +∞, calcule lim
x→+∞ f(x).
6. Mostre que se lim
x→a
f(x)
g(x)
= 1 e se g e´ limitada enta˜o lim
x→a (f(x)− g(x)) = 0.
7. Seja f : R→ R uma func¸a˜o tal que |f(x)| ≤ 2|x|, para todo x ∈ R. Calcule lim
x→0
f(x3)
x
.
8. Se 4x− 9 ≤ f(x) ≤ x2 − 4x+ 7 para x ≥ 0, encontre lim
x→4
f(x).
9. Demonstre que lim
x→0
x4 cos
2
x
= 0.
10. Encontre, quando existir, o limite. Caso na˜o exista, explique por queˆ.
(a) lim
x→3
(2x+ |x− 3|)
(b) lim
x→0−
(
1
x
− 1|x|
)
11. Demonstre cada afirmac¸a˜o usando a definic¸a˜o ε, δ de limite.
(a) lim
x→1
2 + 4x
3
= 2
(b) lim
x→2
x2 + x− 6
x− 2 = 5
12. Demonstre, por definic¸a˜o, que lim
x→−3
1
(x+ 3)4
=∞.
13. Encontre as ass´ıntotas horizontais e verticais de cada curva. Confira seu trabalho por meio de um gra´fico
da curva e das estimativas das ass´ıntotas.
(a) y =
2x+ 1
x− 2
(b) y =
2x2 + x− 1
x2 + x− 2
(c) y =
x3 − x
x2 − 6x+ 5
(d) y =
x2 + 4
x− 3
(e) y =
x2 − x− 2
x2 − 2x+ 1
(f) y =
x2 + x− 6
x2 + 2x− 8
14. Encontre uma fo´rmula para uma func¸a˜o f que sarisfac¸a as seguintes condic¸o˜es:
• lim
x→±∞ f(x) = 0
• lim
x→0
f(x) = −∞
• f(2) = 0
• lim
x→3−
f(x) =∞
• lim
x→3+
f(x) = −∞
15. (a) Fac¸a o gra´fico de f(x) =
{
x3, x 6= 1
0, x = 1
.
(b) Determine lim
x→1−
f(x) e lim
x→1+
f(x).
(c) Existe lim
x→1
f(x)? Em caso afirmativo, qual e´? Em caso negativo, por que na˜o?
16. Fac¸a o gra´fico de f(x) =

√
1− x2, 0 ≤ x < 1
1, 1 ≤ x < 2
2, x = 2
. Em seguida responda a`s questo˜es.
2
(a) Qual e´ o domı´nio e a imagem de f?
(b) Em que pontos c, se houver, lim
x→c f(x) existe?
(c) Em que pontos existe o limite a` esquerda?
(d) Em que pontos existe o limite a` direita?
17. A func¸a˜o sinal, denotada por sgn, e´ definida por
sgnx =

−1 se x < 0
0 se x = 0
1 se x > 0
(a) Esboce o gra´fico dessa func¸a˜o.
(b) Encontre ou explique por que na˜o existe cada um dos limites a seguir.
i. lim
x→0+
sgnx
ii. lim
x→0−
sgnx
iii. lim
x→0
sgnx
iv. lim
x→0
| sgnx|
18. Na Teoria da Relatividade, a fo´rmula da contrac¸a˜o de Lorentz
L = L0
√
1− v
2
c2
expressa o comprimento L de um objeto como uma func¸a˜o de sua velocidade v em relac¸a˜o a um observador,
onde L0 e´ o comprimento do objeto em repouso e c e´ a velocidade da luz. Encontre lim
v→c−
L e interprete o
resultado. Por que e´ necessa´rio o limite a` esquerda?
19. (a) Um tanque conte´m 5.000 litros de a´gua pura. A´gua salgada contendo 30 g de sal por litro de a´gua e´
bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 25 L/min. Mostre que a concentrac¸a˜o de sal depois
de t minutos (em gramas por litro) e´
C(t) =
30t
200 + t
(b) O que acontece com a concentrac¸a˜o quando t→∞?
Exerc´ıcios que necessitam de apoio computacional
Para a resoluc¸a˜o dos exerc´ıcios abaixo, utilize uma ferramenta gra´fica como o Winplot ou o GeoGebra, por
exemplo. Como sugesta˜o, utilize-a tambe´m para confirmar suas respostas dos exerc´ıcios anteriores.
1. Fac¸a o gra´fico da func¸a˜o f(x) = sen
(
pi
x
)
na janela retangular [−1, 1] por [−1, 1]. Enta˜o deˆ um zoom em
direc¸a˜o a` origem diversas vezes. Comente o comportamento dessa func¸a˜o.
2. (a) Trace o gra´fico da func¸a˜o
f(x) =
√
2x2 + 1
3x− 5
Quantas ass´ıntotas horizontais e verticais voceˆ observa? Use o gra´fico para estimar os valores dos
limites
lim
x→∞
√
2x2 + 1
2x− 5 e limx→−∞
√
2x2 + 1
3x− 5
(b) Calculando valores de f(x), deˆ estimativas nume´ricas dos limites na parte (a).
(c) Calcule os valores exatos dos limites na parte (a). Voceˆ obte´m os mesmos valores ou valores diferentes
para estes limites? [Em vista de sua resposta na parte (a), voceˆ pode ter de verificar seus ca´lculos
para o segundo limite.]
3
Respostas
1. (1) − 34
(2) − 16
(3) 0
(4) 12
(5) 16
(6) @
(7) @
(8) 1
(9) 3
(10) @
(11) 12
(12) +∞
(13) +∞
(14) −∞
(15) −∞
(16) +∞
(17) @
(18) @
(19) x2
(20) 3x2
(21) 0
(22) −∞
(23) 25
(24) − 12x
(25) 1
n
n√
an−1
(26) 1
2
√
3
(27) 4a
√
a
(28) 15
(29) 43
(30) 19
(31) 1
(32) 1
(33) 34
(34) 2
(35) 12
(36) 2
(37) a
(38) a
(39) 12
(40) sec2 a
(41) 1
(42) 1
(43) 23
(44) 12
(45) e2
(46) e3
(47) e
(48) 1
(49) a
(50) b ln a
(51) 1
(52) ln a
2. a = 0, b = 1, c = −2 e d = 1
3. −3
4. c = −1 e L = 52
5. (a) 2
(b) 0
(c) +∞
6.
7. 0
8. 7
9.
10. (a) 6
(b) −∞
11. (a)
(b)
12.
13. (a) y = 2; x = 2
(b) y = 2; x = −2, x = 1
(c) x = 5
(d) x = 3
(e) x = 1
(f) x = −4
14. f(x) =
2− x
x2(x− 3)
15. (a) (b) 1, 1
(c) Sim, 1
16. (a) Df = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 2} e Imf = {x ∈ |0 < y ≤ 1 e y = 2}
(b) (0, 1) ∪ (1, 2)
(c) x = 2
(d) x = 0
4
17. (a) (b) i. 1
ii. −1
iii. @
iv. 1
18. 0
19. (a)
(b) C(t)→ 30
5