Somatórios e produtórios

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Somatórios e Produtórios – Teoria e exercícios 
Por Ricardo L. Bertolucci Filho. 
 
Sumário: 
Capítulo 0 – Noções gerais e revisão: 
I – Visão geral; 
II – Indexadores (Limites Inferiores e Superiores); 
III – O Princípio da Indução Finita (P.I.F); 
IV – Exercícios gerais. 
 
Capítulo 1 – Somatórios: 
I – Introdução e notação Sigma (Σ); 
II – Definição intuitiva de somatório; 
III – Definição formal de somatório; 
IV – Propriedades; 
V – Frações Parciais e a Soma Telescópica; 
VI – Introdução às Séries e o Limite de uma soma; 
VII – Exercícios resolvidos; 
VIII – Exercícios propostos. 
 
Capítulo 2 – Produtórios: 
I – Introdução e notação Pi (∏); 
II – Definição intuitiva de produtório; 
III – Definição formal de produtório; 
IV – Propriedades; 
V – Logaritmos (revisão e propriedades) e o Produto Telescópico; 
VI – Exercícios resolvidos; 
VII – Exercícios propostos. 
 
Capítulo 3 – Exercícios de aprofundamento, gabarito e resoluções. 
 
* Para uma melhor compreensão, os exercícios serão divididos em três categorias 
principais e uma adicional, da seguinte maneira: 
⊕− Fácil; 
⊕⊕− Intermediário; 
⊕⊕⊕− Difícil; 
† − Desafio em nível olímpico ou pré-universitário. 
Capítulo 0 – Noções gerais e revisão 
 
I. Visão geral 
Os conceitos de Somatório e Produtório, como veremos a seguir, são relativamente 
modernos, algo que fora intensivamente difundido com o decorrer dos avanços da 
construção do formalismo e rigor matemático, como nos adventos do Cálculo 
Diferencial e Integral, no aprimoramento da Álgebra, Análise, Combinátoria, etc. 
Porém, a ideia por trás destes conceitos é algo intrínseco à matemática pois, antes 
mesmo de nos aprofundarmos nesta ciência, somos introduzidos a conceitos 
“primitivos” como o conceito de soma, subtração, multiplicação e divisão. 
Ao nos iniciarmos na Matemática, somos guiados por noções básicas de abstração 
numérica, como por exemplo: 
1 + 1 = 2, 2 − 1 = 1, 3.3 = 9 e 
5
10
=
1
2
. 
Tais noções são o “coração” dos conceitos de Somatório e Produtório que serão, mais 
adiante, apresentados. 
Tomemos o seguinte problema: 
“1. Ao entrar na universidade, Silas terá cinco disciplinas na parte da manhã, duas na 
parte da tarde e uma na parte da noite. 
Quantas serão as disciplinas de Silas?” 
Este problema explora noções triviais da adição numérica, uma vez que a totalidade de 
disciplinas do curso de Silas é tal que: 
Sendo 𝑛 o número total de disciplinas de Silas, temos que: 
𝑛 = 5 + 2 + 1 = 8 disciplinas. 
Agora, vejamos o seguinte problema: 
“2. Morgana, para comparecer à festa de sua formatura, dispõe de quatro pares de 
sapatos, dois vestidos, três colares e dois brincos. 
De quantas maneiras possíveis Morgana poderá se vestir para ir à festa?” 
Este problema explora a noção de contagem, da Combinátoria, uma vez que a 
quantidade de maneiras com as quais Morgana poderá se vestir é tal que: 
Sendo 𝑛 o número total de maneiras possíveis para Morgana se vestir, temos que: 
𝑛 = 4.2.3.2 = 48 maneiras possíveis. 
Dito isto, a familiarização com os futuros conceitos de Somatório e Produtório virá de 
maneira direta e rápida. 
 
II. Indexadores (Limites Inferiores e Superiores) 
A noção de indexador é, também, algo de fácil compreensão, pois nada mais são do 
que a quantidade inicial com a qual estaremos trabalhando (limite inferior) e a 
quantidade final com a qual também estaremos trabalhando (limite superior). 
As definições Limite Inferior e Limite Superior também são intuitivas, pois o corpo de 
nossa operação (seja esta soma ou multiplicação) é composto de duas quantidades: 
1 – A quantidade inicial a ser trabalhada; 
2 – A quantidade final a ser trabalhada. 
Por exemplo, seja o problema: 
“1. Qual é a soma dos seis primeiros números naturais?” 
O problema nos pede para encontrar a soma dos seis primeiros números naturais, o 
qual, traduzido para a linguagem matemática, se torna: 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = S, S = 21. 
Neste problema, temos que nosso limite inferior é o número 1, pois é o primeiro 
número natural a ser somado, e o número 6 é nosso limite superior, pois é o último 
número natural a ser somado. 
“2. Encontre o produto dos 5 primeiros números ímpares menores do que 17 e maiores 
do que 3.” 
O problema nos pede o produto dos cinco primeiros ímpares menores que 17 e 
maiores que 3, ou seja: 
Seja P o produto pedido, P = 5.7.9.11.13.15, pois 5 > 3 e 15 < 17. 
Neste caso, 5 é o nosso limite inferior, pois é o primeiro número ímpar maior do que 3 
e menor do que 17 e 15 é o nosso limite superior, pois é o último ímpar que é maior do 
que 3 e menor do que 17. 
 
III. O Princípio da Indução Finita (P.I.F) 
O denominado Princípio da Indução Finita é um método de demonstração matemática 
de extrema importância, pois dispensa esforço e algebrismo desnecessários, além de 
propiciar uma elegante demonstração matemática. 
O conceito de demonstração matemática é, também, algo intrínseco a esta, pois, como 
o próprio nome sugere, é a ideia de provar a validade de teoremas, lemas, fórmulas, 
etc. 
Alguns dos métodos mais conhecidos da prova matemática são: 
Prova por indução (a qual veremos a seguir); 
Prova por redução ao absurdo; 
Prova direta, e etc. 
O Princípio da Indução Finita nos possibilita, de maneira rápida e concisa, a resolução 
de problemas como: 
1. Prove que 1² + 2² +⋯+ 𝑛2 =
1
6
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1). 
2. Prove que (1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛)𝑛 = (
1
2
𝑛(𝑛 + 1))
𝑛
. 
3. Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais e 𝑛 um natural qualquer, prove que: 
𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑏 +⋯+ 𝑏𝑛−2𝑎 + 𝑏𝑛−1). 
4. Prove que, para todo 𝑛 natural, vale que 𝑥𝑛 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−2 +⋯+ 1). 
Em geral, numa situação que nos pede algo como: 
Prove que 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), a ferramenta a ser utilizada é o P.I.F. 
Seja 𝑓(𝑥) um lema qualquer a ser provado, o Princípio da Indução Finita (P.I.F) é 
composto de três etapas: 
1. (Verificação) – Verificar a validade de 𝒇(𝒙) para 𝒙 = 𝟏, ou seja, calcular 𝒇(𝟏); 
2. (Hipótese de indução) – Supor a validade de 𝒇(𝒙) para um número 𝒌 qualquer, 
ou seja, supomos que para este número k qualquer, o lema é válido. 
3. (Demonstração ou conclusão) – Constatar que, se para o número 𝒌 o lema é 
válido, então este também é válido para o número 𝒌 + 𝟏 e, consequentemente, é 
válida para qualquer outro número. 
 
Façamos alguns exemplos: 
1. Prove que 1² + 2² +⋯+ 𝑛2 =
1
6
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1). 
Passo 1 – Verificar a validade para 𝒏 = 𝟏: 
1² =
1
6
(1 + 1)(2.1 + 1) =
6
6
= 1, ✓. 
Passo 2 – Supor a validade para um número natural 𝒌 qualquer: 
1² + 2² +⋯+ 𝑘2 =
1
6
𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1), ✓. 
Passo 3 – Provar que para o natural 𝒌 + 𝟏, a relação também é válida: 
1² + 2² +⋯+ 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 =
1
6
(𝑘 + 1)(𝑘 + 1 + 1)(2(𝑘 + 1) + 1); 
1² + 2² +⋯+ 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 =
1
6
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(2𝑘 + 2 + 1); 
1² + 2² +⋯+ 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 =
1
6
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(2𝑘 + 3); 
1² + 2² +⋯+ 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 =
1
6
(𝑘 + 1)(2𝑘2 + 3𝑘 + 4𝑘 + 6); 
𝟏² + 𝟐² +⋯+ 𝒌𝟐 + (𝑘 + 1)2 =
1
6
(𝑘 + 1)(2𝑘2 + 7𝑘 + 6); 
Temos, no primeiro membro (lado esquerdo) da igualdade, a soma 𝟏² + 𝟐² +⋯+ 𝒌𝟐, 
a qual é igual a 
𝟏
𝟔
𝒌(𝒌 + 𝟏)(𝟐𝒌 + 𝟏), assim: 
1² + 2² +⋯+ 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 =
1
6
(𝑘 + 1)(2𝑘2 + 7𝑘 + 6); 
1
6
𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1) + (𝑘 + 1)2 =
1
6
(𝑘 + 1)(2𝑘2 + 7𝑘 + 6); 
𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)
6
+ (𝑘 + 1)2 =
1
6
(𝑘 + 1)(2𝑘2 + 7𝑘 + 6); 
𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)+6(𝑘+1)2
6
=
1
6
(𝑘 + 1)(2𝑘2 + 7𝑘 + 6); 
Coloquemos o termo (𝑘 + 1) em evidência: 
(𝑘+1)(𝑘(2𝑘+1)+6(𝑘+1))
6
=
1
6
(𝑘 + 1)(2𝑘2+ 7𝑘 + 6); 
(𝑘+1)(2𝑘2+𝑘+6𝑘+6)
6
=
1
6
(𝑘 + 1)(2𝑘2 + 7𝑘 + 6); 
1
6
(𝑘 + 1)(2𝑘2 + 7𝑘 + 6) =
1
6
(𝑘 + 1)(2𝑘2 + 7𝑘 + 6), ✓. 
O primeiro membro da igualdade é igual ao segundo (lado esquerdo igual ao direito), 
portanto, a igualdade foi provada para 𝑘 + 1 e, por conseguinte, demonstramos a 
validade da igualdade para qualquer número natural. 
É comum, ao final de uma demonstração, terminarmos com as iniciais C.Q.D (como 
queríamos demonstrar) ou Q.E.D (Quod Erat Demonstrandum – latim para “como 
queríamos demonstrar”). 
 
2. Prove que 1 + 2 +⋯+ 𝑛 =
1
2
𝑛(𝑛 + 1). 
Passo 1 – Verificar a validade para 𝒏 = 𝟏: 
1 =
1
2
(1 + 1) = 1, ✓. 
Passo 2 – Supor a validade para um número natural 𝒌 qualquer: 
1 + 2 +⋯+ 𝑘 =
1
2
𝑘(𝑘 + 1), ✓. 
Passo 3 – Provar que para o natural 𝒌 + 𝟏, a relação também é válida: 
1 + 2 +⋯+ 𝑘 + (𝑘 + 1) =
1
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 1 + 1); 
𝟏 + 𝟐 +⋯+ 𝒌 + (𝑘 + 1) =
1
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2); 
Temos que 𝟏 + 𝟐 +⋯+ 𝒌 =
1
2
𝑘(𝑘 + 1): 
1
2
𝑘(𝑘 + 1) + (𝑘 + 1) =
1
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2); 
Colocando o termo (𝑘 + 1) em evidência, obtemos: 
(𝑘 + 1) (
1
2
𝑘 + 1) =
1
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2); 
(𝑘 + 1) (
𝑘+2
2
) =
1
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2); 
(𝑘 + 1) (
1
2
(𝑘 + 2)) =
1
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2); 
1
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2) =
1
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2), ✓. 
Q.E.D. 
 
3. Prove que, para todo 𝑚 natural, o produto: 
𝑚(𝑚 + 1)(𝑚 + 2)(𝑚 + 3) é divisível por 12, ou seja, prove que o produto de quatro 
números naturais consecutivos é divisível por 12. 
Passo 1 – Verificar a validade para 𝒎 = 𝟏: 
1(1 + 1)(1 + 2)(1 + 3) = 2.3.4 = 24, 24 é divisível por 12, ✓. 
Passo 2 – Supor a validade para um número natural 𝒌 qualquer: 
𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3) é divisível por 12, onde 𝑘 é um natural qualquer, ✓. 
Passo 3 – Provar que para o natural 𝒌 + 𝟏, a relação também é válida: 
(𝑘 + 1)(𝑘 + 1 + 1)(𝑘 + 1 + 2)(𝑘 + 1 + 3) = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(𝑘 + 3)(𝑘 + 4) 
= (𝑘2 + 2𝑘 + 𝑘 + 2)(𝑘2 + 4𝑘 + 3𝑘 + 12) = (𝑘2 + 3𝑘 + 2)(𝑘2 + 7𝑘 + 12); 
𝑘4 + 7𝑘3 + 12𝑘2 + 3𝑘3 + 21𝑘2 + 36𝑘 + 2𝑘2 + 14𝑘 + 24; 
 
Chamemos 𝑥 = 𝑘4 + 7𝑘3 + 12𝑘2 + 3𝑘3 + 21𝑘2 + 36𝑘 + 2𝑘2 + 14𝑘 + 24 para 
facilitar os cálculos. 
Temos que 𝑥 = 𝑘4 + 10𝑘3 + 35𝑘2 + 50𝑘 + 24; 
𝑥
12
=
𝑘4+10𝑘3+35𝑘2+50𝑘+24
12
; 
𝑥
12
=
𝑘4+10𝑘3+35𝑘2+50𝑘
12
+
24
12
; 
Segundo nossa hipótese de indução (passo 2), o número 𝑘4 + 10𝑘3 + 35𝑘2 + 50𝑘 é 
divisível por 12 e 24 também é, ✓. 
Logo, demonstramos que o produto de quatro naturais consecutivos é divisível por 12. 
Q.E.D. 
 
IV. Exercícios gerais 
⊕− 1. Prove que, para todo natural 𝑛, a soma 
2𝑛 + 1 + 2𝑛 + 3 é um número par. 
 
⊕− 2. Mostre que a soma de 4 números ímpares é um número par. 
 
⊕⊕− 3. Mostre que a soma de 2𝑘 números ímpares, onde 𝑘 é um número natural, é 
um número par. 
 
⊕⊕⊕− 4. Seja 𝑟 um número real, 𝑟 > 0. 
Prove que 1 + 𝑟 + 𝑟2 +⋯+ 𝑟𝑛 = −
1−𝑟𝑛
1−𝑟
. 
* Sugestão: Soma dos termos de uma progressão geométrica. 
 
⊕⊕⊕− 5. Mostre que 2 + 4 + 6 +⋯+ 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1). 
 
⊕⊕− 6. Mostre que 1 + 3 + 5 +⋯+ (2𝑛 − 1) = 𝑛2. 
 
⊕⊕⊕− 7. (SIMULADO ITA) Mostre que para cada inteiro 𝑛, com 𝑛 ≥ 0, o inteiro 
9𝑛 − 1 é divisível por 8. 
 
⊕⊕− 8. 𝑎) Demonstre a desigualdade das médias de Cauchy: 
Sendo 𝑎 e 𝑏 números reais, vale que 
𝑎 + 𝑏 ≥ 2√𝑎𝑏. 
𝑏) Demonstre a desigualdade da soma de um número real 𝑎 com seu inverso 
1
𝑎
: 
𝑎 +
1
𝑎
≥ 2. 
⊕⊕− 9. Prove que 13 + 23 +⋯+ 𝑛3 = (
1
2
𝑛(𝑛 + 1))
2
. 
Capítulo 1 – Somatórios 
 
I. Introdução e notação Sigma (𝚺) 
Como já dito anteriormente, o conceito de soma é algo primitivo na aritmética. 
Podemos dizer que a noção de Somatório é a evolução natural deste conceito, pois nos 
possibilita, de maneira prática e formal, um vasto ferramental teórico, o qual está 
presente nas mais diversas áreas, como na álgebra, na computação, no Cálculo, etc. 
A ideia fundamental por trás do Somatório é a compactação de uma soma por meio de 
uma notação denominada Notação Sigma: ∑. 
Esta notação foi introduzida pelo matemático Joseph Fourier, em 1829. 
A letra grega Sigma corresponde, no alfabeto grego, a nossa letra S. 
Seja: 
S = ∑𝑎𝑘
𝒏
𝒌=𝟏
= 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛. 
As três partes principais que compõem o Somatório são: 
1 – O argumento do somatório nos indica o que irá ser somado, no caso acima, 
todos os números 𝒂𝒌. 
2 – O somatório se inicia em 𝒌 = 𝟏 (limite inferior). 
3 – O somatório termina em 𝒌 = 𝒏 (limite superior). 
Dito isto, vejamos a definição intuitiva de Somatório. 
 
II. Definição intuitiva de somatório 
Consideremos o seguinte problema: 
“1. Calcule a soma dos 50 primeiros números naturais.” 
O problema nos pede a seguinte soma: 
S = 1 + 2 +⋯+ 50. 
Da maneira convencional, é uma soma relativamente grande, porém, utilizando a 
notação de somatório, obtemos: 
S = 1 + 2 +⋯+ 50; 
S = ∑𝑘
50
𝑘=1
= 1 + 2 +⋯+ 50. 
O número 1 é o limite inferior, pois é o primeiro número a ser somado e o número 50 é 
o limite superior, pois é o último número a ser somado. 
A letra 𝑘 é o argumento do somatório, que irá assumir os valores de 1 até 50. 
“2. Coloque na notação de somatório a soma dos logaritmos, na base 10, de 10 a 20.” 
O problema nos pede para colocarmos na notação sigma a soma dos logaritmos de 10 
até 20 na base 10, de tal maneira: 
log10 10 + log1011 + log1012 +⋯+ log1020. 
Nosso índice 𝑘 irá variar de 10 a 20, logo: 
log10 10 + log1011 + log1012 +⋯+ log1020 =∑log10𝑘
20
10
. 
“3. Coloque na notação sigma a soma dos senos dos arcos de 15° até 30°.” 
O problema nos pede para colocarmos na notação sigma a soma dos senos dos arcos 
de 15° até 30°: 
⟹ sen 15° + sen 16° + sen 17° + ⋯+ sen 30°. 
O índice 𝑘 irá variar de 15° até 30°, assim: 
sen 15° + sen 16° + sen 17° + ⋯+ sen 30° =∑sen 𝑘
30°
15°
. 
“4. A soma S = 2 + 4 + 6 +⋯+ 2𝑛, quando colocada na notação de somatório, é 
equivalente a?” 
Temos a seguinte soma S = 2 + 4 + 6 +⋯+ 2𝑛. 
É fácil perceber que é a soma dos primeiros 𝑛 primeiros números pares. 
Um número par qualquer pode ser escrito da seguinte maneira: 
par = 2𝑘, onde 𝑘 pode assumir qualquer valor inteiro. 
Dito isto, temos: 
2 + 4 + 6 +⋯+ 2𝑛 =∑2𝑘.
𝑛
1
 
O argumento 2𝑘, para 𝑘 = 1, torna-se: 2.1 = 2. 
Para 𝑘 = 2 ⟹ 2.2 = 4. 
𝑘 = 3 ⟹ 2.3 = 6. 
𝑘 = 4 ⟹ 2.4 = 8. 
𝑘 = 𝑛 ⟹ 2. 𝑛 = 2𝑛. 
“5. Coloque na forma de somatório a seguinte soma: 
S = 1 + √2 + √3 + √4 +⋯+ √𝑛.” 
Temos a soma das raízes dos 𝑛 primeiros números naturais, ou seja: 
S =∑√𝑘
𝑛
1
. 
“6. Coloque na forma de somatório a seguinte soma: 
S = 𝜋 +
𝜋
2
+
𝜋
3
+⋯+
𝜋
𝑛
.” 
Temos a soma das frações de numerador 𝜋 e denominador na forma 
𝜋
𝑘
, no qual o 
número 𝑘 varia de 1 até 𝑛, ou seja: 
 S =∑
𝜋
𝑘
𝑛
1
. 
“7. Coloque na forma de somatório a seguinte soma: 
S = arc tg(0) + arc tg(1) + arc tg(2) + ⋯+ arc tg(𝑛).” 
Temos a soma dos arcos cuja tangente varia de 0 até 𝑛, ou seja: 
S =∑arc tg(𝑘)
𝑛
0
. 
“8. Coloque na forma de somatório: 
S = (1
1
) + (2
1
) + (3
1
) + ⋯+ (𝑛
1
).” 
Temos a soma dos 𝑛 números binomiais localizados na primeira coluna do Triângulo 
de Pascal, ou seja: 
S =∑(
𝑘
1
)
𝑛
1
. 
Ou seja, o grande feito desta notação é a simplificação de operações de soma 
relativamente grandes. 
Tal simplificação também garante o uso de certas propriedades, as quais serão vistas 
no item IV. 
 
III. Definição formal de somatório 
Ampliando a noção de Somatório, façamossua definição formal. 
Seja A ⊂ ℝ, e ℤ ⊂ A, com 𝑎 e 𝑏 ∈ ℤ, tal que: 
𝑓: A → ℝ⟹ ∑ 𝑓(𝑘) = 𝑓(𝑎) + ⋯+ 𝑓(𝑏)𝑏𝑎 . 
Sendo 𝑛 o número de termos da soma, este é calculado, segundo o termo geral de uma 
progressão aritmética de razão 1 (𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)), da seguinte maneira: 
𝑏 = 𝑎 + (𝑛 − 1); 𝑛 = 𝑏 − 𝑎 + 1. 
Deste modo, temos que: 
{
 
 
 
 ∑𝑓(𝑘)
𝑎
𝑘=𝑎
= 𝑓(𝑎)
∑ 𝑓(𝑘) = 𝑓(𝑏) +∑𝑓(𝑘)
𝑏−1
𝑖=𝑎
𝑏
𝑘=𝑎
 
Estas definições nos serão úteis na resolução de inúmeros problemas, os quais podem 
pedir para demonstrarmos propriedades, lemas, calcularmos somas com mais de 𝑛 
termos, etc. 
As propriedades, de importância crucial para esta teoria, serão discutidas e 
demonstradas a seguir, no item IV, com exceção da Propriedade Telescópica, a qual, 
por se tratar de uma das mais importantes propriedades desta teoria, com inúmeras 
aplicações em diversas áreas da Matemática, será discutida de maneira intensa 
(incluindo suas aplicações no Cálculo das Séries, progressões, etc, e demonstrada no 
item V da teoria e, no último capítulo, será introduzido o conceito de 
Série Telescópica, estendendo este para o caso no qual o limite superior é o próprio 
infinito. 
 
IV. Propriedades 
Discutiremos, agora, as propriedades recorrentes dos somatórios. 
Tais propriedades são de absoluta importância para esta teoria, pois poupam esforço 
matemático desnecessário. 
Tais propriedades são: 
P1. – Somatório de uma constante (linearidade); 
P2. – Somatório de uma constante por uma variável; 
P3. – Somatório de uma soma ou uma diferença (∑ (𝒇(𝒌) ± 𝒈(𝒌)𝒃𝒌=𝒂 ); 
P4. – Soma vazia e propriedade recursiva. 
Existem outras propriedades, como o somatório duplo, que fogem do escopo desta 
teoria e, portanto, não serão discutidas. 
Agora, estudaremos cada uma destas propriedades. 
 
P1. – Somatório de uma constante: 
“O somatório de uma constante é igual ao produto da constante pelo número de 
termos do somatório.” 
Em linguagem matemática, o caso geral (𝑎 ≠ 1) do somatório de uma constante é tal 
que: 
∑𝛼 = (𝑏 − 𝑎 + 1)𝛼
𝑏
𝑘=𝑎
. 
Onde 𝛼 é uma constante real qualquer não nula, 𝛼 ∈ ℝ∗, e (𝑏 − 𝑎 + 1) é o número de 
termos a serem somados. 
No caso no qual o somatório se inicia no limite inferior igual a 1, vale que: 
∑𝛼
𝑛
𝑘=1
= 𝑛𝛼. 
Demonstração: 
Demonstraremos ambos os casos, a começar pelo caso particular do limite inferior ser 
igual a 1: 
∑𝛼
𝑛
𝑘=1
= 𝛼 + 𝛼 +⋯+ 𝛼. 
Temos que 𝑛 = 1 + (𝑛𝑡 − 1) ∴ 𝑛𝑡 = 𝑛; 
Assim, 
∑𝛼
𝑛
𝑘=1
= 𝑛𝛼. 
Agora, o caso geral: 
∑𝛼
𝑏
𝑘=𝑎
= 𝛼 + 𝛼 +⋯+ 𝛼. 
O número de termos 𝑛 deste somatório é dado por 𝑏 = 𝑎 + (𝑛 − 1) 
(novamente o termo geral de uma progressão aritmética de razão 1), 
 𝑛 = 𝑏 − 𝑎 + 1. 
Assim: 
∑𝛼 = 𝑛.
𝑏
𝑘=𝑎
𝛼 = (𝑏 − 𝑎 + 1)𝛼. 
 
Agora, vejamos alguns exemplos: 
“1. Calcule o valor da soma: 
∑ 525𝑘=1 .” 
Temos que o número de termos desta soma é dado por 25 = 1 + (𝑛 − 1), 𝑛 = 25. 
Assim: 
∑5
25
𝑘=1
= 25.5 = 125. 
“2. Calcule: ∑ 413𝑘=5 .” 
Temos que o número de termos desta soma é dado por 13 = 5 + (𝑛 − 1), 𝑛 = 9. 
Assim: 
∑4
13
𝑘=5
= 9.4 = 36. 
“3. Calcule o valor de 𝑥 em: 
𝑥 = ∑ 4253 − ∑ 7
3
1 + ∑ 5
9
2 .” 
Calculando cada uma das somas separadamente, temos: 
Definindo ∑ 4253 = 𝒂, ∑ 7
3
1 = 𝒃 e ∑ 5
9
2 = 𝒄, temos que 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 e, sejam: 
 𝒏𝒂 (número de termos da soma 𝒂); dado por 25 = 3 + (𝑛𝑎 − 1), 
𝑛𝑎 = 22. 
Assim, 𝑎 = 22.4 = 88. 
𝒏𝒃 (número de termos da soma 𝒃); dado por 3 = 1 + (𝑛 − 1), 
𝑛𝑏 = 3. 
Assim, 𝑏 = 3.7 = 21. 
𝒏𝒄 (número de termos da soma 𝒄); dado por 9 = 2 + (𝑛 − 1), 
𝑛𝑐 = 8. 
Assim, 𝑐 = 8.5 = 40. 
Por fim, 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 88 − 21 + 40 = 100. 
“4. (CHINA JÚNIOR) – Se 𝛼, 𝛽 e 𝛾 são constantes reais não nulas tais que 
 ∑ 𝛼𝑚2 = 7, ∑ 𝛽 = 14
𝑚−1
4 e ∑ 𝛾
𝑚−3
3 = 18, calcule o valor de 𝛼 + 𝛽 + 𝛾, 
sabendo-se que a soma dos números de termos das três somas é igual a 20.” 
O problema nos pede a soma das constantes 𝛼, 𝛽 e 𝛾. 
Sejam 𝑛1, 𝑛2 e 𝑛3 os números de termos da primeira, segunda e terceira soma. 
Temos que: 
 {
𝑛1: 𝑚 = 2 + (𝑛1 − 1), 𝑛1 = 𝑚 − 1.
𝑛2:𝑚 − 1 = 4 + (𝑛2 − 1), 𝑛2 = 𝑚 − 4.
𝑛3:𝑚 − 3 = 3 + (𝑛3 − 1), 𝑛3 = 𝑚 − 5.
 
O problema nos informa que 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 = 20; 
3𝑚 − 10 = 20; 𝑚 = 10. 
Assim, como a primeira sola vale 7, a segunda 14 e a terceira 18, temos que: 
7 = 𝑛1. 𝛼; 7 = (𝑚 − 1)𝛼; 𝛼 =
7
𝑚−1
. 
14 = 𝑛2. 𝛽; 14 = (𝑚 − 4)𝛽; 𝛽 =
14
𝑚−4
. 
18 = 𝑛3. 𝛾; 18 = (𝑚 − 5)𝛾; 𝛾 =
18
𝑚−5
. 
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 =
7
𝑚−1
+
14
𝑚−4
+
18
𝑚−5
; 
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 =
(𝑚−4)(𝑚−5)7+(𝑚−1)(𝑚−5)14+(𝑚−1)(𝑚−4)18
(𝑚−1)(𝑚−4)(𝑚−5)
; 
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 =
(10−4)(10−5).7+(10−1)(10−5).14+(10−1)(10−4).18
(10−1)(10−4)(10−5)
; 
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 =
6.5.7+9.5.14+9.6.18
9.6.5
=
302
45
. 
 
P2. – Somatório de uma constante por uma variável: 
“O somatório de uma constante por uma variável é o produto da constante pelo 
somatório da variável.” 
Em linguagem matemática, temos que: 
∑𝛼. 𝑓(𝑘) = 𝛼 [∑𝑓(𝑘)
𝑏
𝑎
]
𝑏
𝑎
. 
Demonstração: 
A demonstração desta propriedade é deveras simples, basta expandir o somatório e 
colocar em evidência a constante multiplicativa 𝛼: 
∑𝛼. 𝑓(𝑘) =
𝑏
𝑎
𝛼. 𝑓(𝑎) + 𝛼. 𝑓(𝑎 + 1) + 𝛼. 𝑓(𝑎 + 2) +⋯+ 𝛼. 𝑓(𝑏) 
= 𝛼(𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑎 + 1) + 𝑓(𝑎 + 2) +⋯+ 𝑓(𝑏)) = 𝛼∑𝑓(𝑘)
𝑏
𝑎
. 
 
Agora, façamos uns exemplos: 
“1. Calcule ∑
1
5
9
5
(𝑘2 + 5𝑘).” 
Temos que: 
∑
1
5
9
5 (𝑘
2 + 5𝑘) =
1
5
(∑ 𝑘2 + 5𝑘95 ) =
1
5
(52 + 25 + 62 + 30 + 72 + 35 + 82 + 40 + 92 + 45) = 86. 
(Veremos que a próxima propriedade nos poupará tais operações.) 
 
“2. Calcule ∑ 4𝑘31 .” 
Temos que: 
∑4𝑘 = 4∑𝑘
3
1
3
1
= 4(1 + 2 + 3) = 24. 
“3. Calcule ∑
1
√5
√(𝑗2 + 5𝑗)3𝑗=1 .” 
Temos que: 
∑
1
√5
3
𝑗=1
(√𝑗2 + 5𝑗) =
1
√5
∑√𝑗2 + 5𝑗
3
𝑗=1
=
1
√5
(√6 + √14 + √24) 
=
√6 + √14 + √24
√5
.
√5
√5
=
√30 + √70 + √120
5
=
3√30 + √70
5
. 
 
P3. – Somatório de uma adição ou uma diferença (propriedade aditiva): 
“O somatório de uma adição ou de uma diferença é a adição ou diferença dos 
somatórios.” 
Matematicamente: 
∑(𝑓(𝑘) + 𝑔(𝑘))
𝑏
𝑎
=∑𝑓(𝑘)
𝑏
𝑎
+∑𝑔(𝑘)
𝑏
𝑎
. 
É necessária a compreensão da reversão da propriedade, ou seja: 
Passar de ∑ 𝒇(𝒌)𝒃𝒂 + ∑ 𝒈(𝒌)
𝒃
𝒂 para ∑ (𝒇(𝒌) + 𝒈(𝒌))
𝒃
𝒂
. 
Demonstração: 
A demonstração desta propriedade também é relativamente simples, pois: 
∑(𝑓(𝑘) + 𝑔(𝑘))
𝑏
𝑎
 
= (𝑓(𝑎) + 𝑔(𝑎)) + (𝑓(𝑎 + 1) + 𝑔(𝑎 + 1)) + (𝑓(𝑎 + 2) + 𝑔(𝑎 + 2)) + ⋯+ (𝑓(𝑏) + 𝑔(𝑏)) 
= (𝒇(𝒂) + 𝒇(𝒂 + 𝟏) + 𝒇(𝒂 + 𝟐) +⋯+ 𝒇(𝒃)) + (𝒈(𝒂) + 𝒈(𝒂 + 𝟏) + 𝒈(𝒂 + 𝟐) +⋯+ 𝒈(𝒃)) 
=∑𝒇(𝒌)
𝒃
𝒂
+∑𝒈(𝒌)
𝒃
𝒂
. 
 
“𝟏. Calcule ∑
1
5
9
5 (𝑘
2 + 5𝑘).” 
Esta questão já fora resolvida na propriedade 2, porém, mostraremos como a aplicação 
da propriedade 3 facilita em sua resolução. 
Da P2, temos: 
∑
1
5
9
5
(𝑘2 + 5𝑘) =
1
5
(∑(𝑘2 + 5𝑘)
9
5
) . 
 
Aplicando, agora, a P3: 
1
5
(∑(𝑘2 + 5𝑘)
9
5
) =
1
5
(∑𝑘2
9
5
+∑5𝑘
9
5
) . 
Observe, ainda, que podemos aplicar a P2 novamente em ∑ 5𝑘95 . 
Obtemos, então: 
1
5
(∑𝑘2
9
5
+∑5𝑘
9
5
) =
1
5
(∑𝑘2 + 5∑𝑘
9
5
9
5
) . 
=
1
5
∑𝑘2
9
5
+∑𝑘
9
5
. 
=
1
5
(52 + 62 + 72 +82 + 92) + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 86. 
Insistimos que é necessária a compreensão da reversão da propriedade, ou seja: 
De ∑ 𝑓(𝑘)𝑏𝑎 + ∑ 𝑔(𝑘)
𝑏
𝑎 , realizar a passagem para ∑ (𝑓(𝑘) + 𝑔(𝑘))
𝑏
𝑎 . 
 
P4. – Soma vazia e propriedade recursiva (ou de recorrência): 
1 – “Uma soma é dita vazia, se e somente se, esta soma é nula.” 
Matematicamente: 
∑𝑓(𝑘)
𝑏
𝑘=𝑎
= 0 ⟺ 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑎 + 1) +⋯+ 𝑓(𝑏 − 1) + 𝑓(𝑏) = 0. 
 
Antes de entrarmos na demonstração da Soma Vazia propriamente dita, 
demonstraremos a recursividade de um somatório. 
Define-se recursividade como o uso de definições prévias para a construção de 
definições posteriores, em função destas. 
Por exemplo, seja a sequência: 
𝑎𝑛: ℕ − {0} → ℝ | 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 − 𝑎𝑛−2. 
Tomando 𝑛 = 5, temos que: 
𝑎5 = 𝑎4 − 𝑎3; 
Tomando 𝑛 = 6: 
𝑎6 = 𝑎5 − 𝑎4; 
Ou seja, podemos definir qualquer termo da sequência (obedecendo as restrições do 
domínio da mesma) a partir de seus termos anteriores. 
A definição recursiva de um somatório segue o mesmo princípio demonstrado acima 
nas sequências numéricas, pois utilizamos um número qualquer (este número deve 
pertencer ao domínio da função argumento da soma) para “perturbar” a soma 
em um determinado momento ao nosso bel-prazer e, então, utilizamos seu 
sucessor para a finalizarmos. 
Considerando os números 𝒂 (limite inferior) e 𝒃 (limite superior), seja A*1 o conjunto 
no qual os argumentos 𝑘 da soma estão definidos. 
Seja, também, o conjunto dos números reais como o conjunto que contém os 
equivalentes 𝑓(𝑘). 
 Seja 𝑝 um número real qualquer, tal que 𝑝 pertence a A, e 𝒇(𝒑) pertence aos reais. 
Temos, então, que: 
Seja 𝑝 ∈ A ⊂ ℝ, tal que ∃ 𝑓(𝑝) ∈ ℝ. 
Se as condições acima são satisfeitas, vale que: 
∑𝒇(𝒌)
𝒃
𝒌=𝒂
=∑𝒇(𝒌)
𝒑
𝒌=𝒂
+ ∑ 𝒇(𝒌)
𝒃
𝒌=𝒑+𝟏
. 
A seguir, proporemos a demonstração da propriedade acima. 
Demonstração da propriedade recursiva: 
Dado que: 
∑𝑓(𝑘)
𝑏
𝑎
=∑𝑓(𝑘)
𝑝
𝑎
+∑𝑓(𝑘);
𝑏
𝑝+1
 
Vale que: 
𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑎 + 1) +⋯+ 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑎 + 1) +⋯+ 𝑓(𝑝) + 𝑓(𝑝 + 1) + 𝑓(𝑝 + 2) +⋯+ 𝑓(𝑏); 
𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑎 + 1) +⋯+ 𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑎 + 1) +⋯+ 𝑓(𝑏) + 𝑓(𝑝) + 𝑓(𝑝 + 1) +⋯; 
∑𝑓(𝑘) =∑𝑓(𝑘) +∑𝑓(𝑘).
𝑥
𝑝
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
 
Como o término da soma dos 𝑝 é indeterminado (não sabemos onde esta termina), 
tomaremos este como a letra 𝑥. 
Assim, obtemos: 
∑𝑓(𝑘) = 0.
𝑥
𝑝
 
Ou seja, se esta soma é nula, ela não interfere na primeira. 
Assim, demonstramos a propriedade recursiva de maneira intuitiva. 
(A demonstração da propriedade recursiva é semelhante a demonstração da 
propriedade da soma vazia.) 
 
Demonstração da propriedade da soma vazia: 
Sabemos que: 
∑𝑓(𝑘) =∑𝑓(𝑘)
𝑝
𝑎
+∑𝑓(𝑘)
𝑏
𝑝+1
𝑏
𝑎
. 
 Tendo isto em mente, podemos tomar qualquer valor de 𝒑. 
Tomemos, então, 𝑝 = 𝑎 − 1. 
 
1 A é o conjunto, ou domínio de todos os argumentos 𝒌 que terão um equivalente 𝒇(𝒌). 
Assim: 
∑𝒇(𝒌)
𝒃
𝒂
=∑𝑓(𝑘)
𝑎−1
𝑎
+∑𝒇(𝒌).
𝒃
𝒂
 
Deste modo, verificamos que 
∑𝑓(𝑘)
𝑎−1
𝑎
= 0. 
Esta soma é denominada soma vazia. 
 
“1. – Se: 
∑(2𝑘 + 5) = 72
𝑚
1
; 
Obtenha o valor de 
𝑚
2𝑚−6
.” 
Típico exercício de somatórios. 
Para resolvê-lo, devemos ter em mente que: 
∑(2𝑘 + 5) =
𝑚
1
∑2𝑘
𝑚
1
+∑5.
𝑚
1
 
∑2𝑘
𝑚
1
+∑5 = 72;
𝑚
1
 
2∑𝑘
𝑚
1
+∑5 = 72;
𝑚
1
 
2(1 + 2 + 3 +⋯+𝑚) + 5𝑚 = 72; 
𝟐 (
𝟏
𝟐
(𝟏 +𝒎)𝒎) + 5𝑚 = 72; 
* Expandimos a primeira soma e aplicamos a soma de uma progressão aritmética de razão 1. 
𝑚(1 +𝑚) + 5𝑚 = 72; 
𝑚(1 +𝑚 + 5) = 72; 
𝑚(𝑚 + 6) = 72; 
𝑚² + 6𝑚 = 72; 
𝑚² +
2
2
6𝑚 = 72; 
𝑚² + 6𝑚 + 9 = 72 + 9; 
(𝑚 + 3)2 = 81; 
𝑚 + 3 = ± 9; 
𝒎 = 𝟔 ou 𝑚 = − 12. 
Como 𝑚 deve ser um número inteiro maior do que zero, temos que 𝑚 = 6. 
Assim: 
𝑚
2𝑚−6
=
6
12−6
= 𝟏. 
 
“2. – Obtenha o valor de: 
(𝑥 − 𝑎)∑ (𝑛
𝑘
)𝑛0 𝑥
𝑛−𝑘(− 𝑎𝑘).” 
Aplicação direta do conceito de Binômio de Newton. Temos que: 
(𝑥 − 𝑎)∑(
𝑛
𝑘
)
𝑛
0
𝑥𝑛−𝑘(− 𝑎𝑘) = (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑎)𝑛 = (𝑥 − 𝑎)𝑛+1. 
“3. Se 𝑎 é uma constante não nula, obtenha o valor da soma S, sabendo-se que: 
S − 𝑎 =
1
𝑎+𝑎2+⋯+𝑎𝑛
∑ (𝑘 + 𝑘2)
𝑛
1
.” 
Se 𝑎 é uma constante, então a parcela 
1
𝑎+𝑎2+⋯+𝑎𝑛
 também é. 
Assim, tomemos 
1
𝑎+𝑎2+⋯+𝑎𝑛
= 𝑣. 
S − 𝑎 = 𝑣∑(𝑘 + 𝑘2)
𝑛
1
; 
S = 𝑣∑(𝑘 + 𝑘2) + 𝑎;
𝑛
1
 
S = 𝑣 (∑𝑘
𝑛
1
+∑𝑘²
𝑛
1
) + 𝑎. 
De acordo com nossa teoria a respeito do Princípio da Indução Finita, 
demonstramos que: 
1: 
∑𝒌²
𝒏
𝟏
= 𝟏² + 𝟐² +⋯+ 𝒏𝟐 =
𝟏
𝟔
𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟐𝒏 + 𝟏); 
2: 
∑𝒌 = 𝟏 + 𝟐 +⋯+ 𝒏 =
𝟏
𝟐
𝒏(𝒏 + 𝟏).
𝒏
𝟏
 
Obtemos, então: 
S = 𝑣 (
1
2
𝑛(𝑛 + 1) +
1
6
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)) + 𝑎; 
S = 𝑣 (
1
3
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)) + 𝑎; 
S =
𝑣
3
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) +
3𝑎
3
=
1
3
(𝑣(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) + 3𝑎); 
S =
1
3
((
1
𝑎+𝑎2+⋯+𝑎𝑛
) (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) + 3𝑎); 
S =
1
3
(
(𝑛+1)(𝑛+2)
𝑎+𝑎2+⋯+𝑎𝑛
+ 3𝑎). 
 
No próximo item, proporemos a definição da Propriedade Telescópica e teceremos 
comentários a respeito de sua importância na teoria dos somatórios, além de 
estudarmos as Frações Parciais, também de grande importância para a teoria. 
V. Frações Parciais e a Soma Telescópica 
1. – Apêndice sobre Frações Parciais 
O conceito de Fração Parcial é, também, algo de fácil compreensão. 
Tal conceito ganha força com o advento do Cálculo, nas derivadas e nas integrais 
polinomiais do tipo 
𝑟(𝑥) =
𝑝(𝑥)
𝑔(𝑥)
, 𝑔(𝑥) ≠ 0. 
Tal ferramenta é muito útil em problemas de polinômios, e de crucial importância na 
vindoura Soma Telescópica. 
A ideia por trás deste conceito é transformar a fração 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 em: 
𝐀𝟏
𝒈(𝒙)
+
𝐀𝟐
𝒈(𝒙)
+⋯+
𝐀𝒏
𝒈(𝒙)
, 
onde A1, A2,..., A𝑛 são constantes reais não nulas. 
O caso que será abordado mais comumente por nossa teoria é do tipo: 
𝑟(𝑥) =
𝑝(𝑥)
(𝑥−𝑎1)(𝑥−𝑎2)…(𝑥−𝑎𝑛)
, onde o denominador deverá ser um polinômio cujas raízes 
deverão ser diferentes de 𝑎1, 𝑎2,..., 𝑎𝑛, e o grau do numerador deverá ser menor 
que o grau do denominador. ← Importante! 
Será abordado com mais frequência o caso no qual o denominador é um 
polinômio quadrático do tipo 
𝒈(𝒙) = (𝒙 − 𝒂𝟏)(𝒙 − 𝒂𝟐). 
O método de obtenção das constantes segue os seguintes passos: 
1. – Multiplicar os membros da igualdade por (𝒙 − 𝒂𝒌); 
2. – Simplificar os equivalentes; 
3. – Escolher as constantes 𝐀𝟏, 𝐀𝟐, ..., 𝐀𝒏 de modo que a escolhe de uma ocasione 
na anulação das outras, seguindo as condições de existência. 
4. – Propor as igualdades de forma a obter todas as outras constantes. 
 
Façamos um exemplo: 
“1. Se 
4
(𝑥−2)(𝑥−3)
=
A
𝑥−2
+
B
𝑥−3
, onde A e B são constantes reais, qual o valor de 
A + B?” 
Multiplicando 
A
𝑥−2
 por 
𝑥−3
𝑥−3
 e 
B
𝑥−3
 por 
𝑥−2
𝑥−2
, obtemos: 
4
(𝑥−2)(𝑥−3)
=
A
𝑥−2
(
𝑥−3
𝑥−3
) +
B
𝑥−3
(
𝑥−2
𝑥−2
); 
4
(𝑥−2)(𝑥−3)
=
A(𝑥−3)+B(𝑥−2)
(𝑥−2)(𝑥−3)
; 
Multiplicamos ambos os lados pelo fator (𝑥 − 2)(𝑥 − 3) para eliminá-lo dos dois 
denominadores, obtendo: 
4 = A(𝑥 − 3) + B(𝑥 − 2). 
Notemos que, quando ainda havia este fator como denominador, a condição de 
existência deste era 𝒙 ≠ 𝟐 e 𝒙 ≠ 𝟑, porém, ao eliminarmos estesdenominadores, a 
variável 𝑥 poderá assumir qualquer valor em 4 = A(𝑥 − 3) + B(𝑥 − 2), incluindo 
𝒙 = 𝟐 e 𝒙 = 𝟑. 
Deste modo, para obtermos qualquer uma das constantes acima, devemos tomar um 
valor de 𝑥 de tal modo que esta escolha afete na outra parcela e, consequentemente, 
promova sua anulação. 
Primeiramente, vamos encontrar o valor da constante A. 
Temos a igualdade 𝟒 = 𝐀(𝒙 − 𝟑) + 𝐁(𝒙 − 𝟐). 
Para encontrarmos o valor de A, deveremos tomar 𝒙 = 𝟐 para que a parcela 
𝐁(𝒙 − 𝟐) se anule. 
Dito isto, temos, para 𝑥 = 2: 
4 = A(2 − 3) + 𝐁(𝟐 − 𝟐). 
4 = A(−1) ⇒ 4 = − A ∴ 𝐀 = − 𝟒. 
Obtendo o valor de A, devemos tomar o valor de 𝒙 para o qual a parcela 
multiplicativa de A se anule e, no caso, 𝑥 = 3. 
Para 𝑥 = 3: 
4 = 𝐀(𝟑 − 𝟑) + B(3 − 2); 
4 = B. 
Assim, obtemos o valor das constantes A e B. 
4
(𝑥−2)(𝑥−3)
=
A
𝑥−2
+
B
𝑥−3
; 
4
(𝑥−2)(𝑥−3)
= −
4
𝑥−2
+
4
𝑥−3
 ; 
𝟒
(𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟑)
=
𝟒
𝒙 − 𝟑
−
𝟒
𝒙 − 𝟐
. 
O valor da soma pedida é 𝐀 + 𝐁 = − 𝟒 + 𝟒 = 𝟎. 
“ 2. Obtenha o valor das constantes 𝛼 e 𝛽, sabendo que: 
𝑥−5
𝑥2−5𝑥+6
=
𝛼
𝑥−2
+
𝛽
𝑥−3
.” 
Tirando o M.M.C do lado esquerdo da igualdade, temos: 
𝑥−5
𝑥2−5𝑥+6
=
𝛼(𝑥−3)+𝛽(𝑥−2)
(𝑥−2)(𝑥−3)
. 
Do teorema da decomposição de polinômios, temos que o polinômio 
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 é equivalente a (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟑). 
Logo, multiplicando ambos os lados da igualdade pelo fator (𝑥 − 2)(𝑥 − 3): 
𝒙 − 𝟓 = 𝜶(𝒙 − 𝟑) + 𝜷(𝒙 − 𝟐). 
Para obtermos o valor da constante 𝜶, tomemos 𝒙 = 𝟐, para que eliminemos a 
parcela 𝜷(𝒙 − 𝟐). 
2 − 5 = 𝛼(2 − 3) + 𝛽(2 − 2); 
− 3 = − 𝑎; 𝛼 = 3. 
Tendo o valor da constante 𝛼, tomemos, agora, 𝒙 = 𝟑, para que anulemos a parcela 
𝜶(𝒙 − 𝟑). 
3 − 5 = 𝛼(3 − 3) + 𝛽(3 − 2); 
− 2 = 𝛽. 
Então, temos que ; 𝛼 = 3 e 𝛽 = − 2. 
A fração dada, em formato de Fração Parcial é: 
𝑥−5
𝑥2−5𝑥+6
=
3
𝑥−2
−
2
𝑥−3
. 
Fica como curiosidade que, no Cálculo, o método das Frações Parciais é aplicado 
exaustivamente em integrais do tipo 
∫
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 𝑑𝑥 . 
Além de ser uma ferramenta útil na resolução de equações diferenciais como, por 
exemplo: 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
=
𝑑𝑥
(𝑥 − 5)(𝑥 − 3)
+
𝑑𝑡
5 ln 𝑥
. 
 
Exercícios gerais – Frações Parciais 
⊕− 1. Seja: 
𝑥−1
𝑥²−4
=
A
𝑥+2
+
B
𝑥−2
. 
Obtenha o valor de 
1
A+B
(A − B). 
 
⊕⊕− 2. Dado que: 
𝑥+1
𝑥²−6𝑥
=
A
6(𝑥−6)
−
B
6𝑥
, prove que: 
|B − A| > 4. 
 
⊕⊕⊕− 3. Coloque em Frações Parciais: 
a) 
3
𝑥2−9
; 
𝑏)
(𝑥−𝑎)
(𝑥−𝑏)(𝑥−𝑐)
; 
c) 
𝑥2−5𝑥+6
(𝑥−1)(𝑥−6)
; 
𝑑)
𝑥3−5𝑥+6
𝑥2−5𝑥
; 
* Releia a teoria. 
e) 
𝑥+1
𝑥2+2𝑥+1
; 
𝑓)
(𝑥−𝑎)
(𝑥−𝑏)(𝑥−𝑐)(𝑥−𝑑)
. 
 
⊕⊕− 4. 
Dado que 
8
𝑥3−4𝑥
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥−2
+
𝐶
𝑥+2
, obtenha o valor da soma: 
1
1 + A
+
1
1 + B
+
1
1 + C
. 
 
2. − A Soma Telescópica 
Podemos afirmar, com certa prudência, que nossa teoria acerca dos somatórios 
converge para este ponto. 
A denominada Propriedade Telescópica, ou simplesmente Soma Telescópica é uma 
técnica de absoluta importância pois promove uma simplificação inteligente e, em 
alguns casos, extremamente necessária. 
Quando adentramos na disciplina do Cálculo Diferencial e Integral, mais precisamente 
no estudo das Séries Matemáticas, Nos deparamos com problemas como: 
S𝑛 =∑
1
𝑘(𝑘 + 1)
∞
0
. 
Esta soma recebe o nome de Série, pois seu limite superior é infinito e, se tivéssemos 
que calcular o “valor exato” desta Série, tal operação nos levaria muito tempo. 
Por ser uma Série, seu valor cresce indefinidamente a medida que nos aproximamos 
do infinito, não sendo correto falar em um valor exato para esta, e sim em um limite 
para o qual esta se aproxima (ou converge), quando mais nos aproximamos do infinito. 
Ou seja: 
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝐒𝒏. 
Portanto, a aplicação de métodos algébricos comuns como o uso das propriedades dos 
somatórios, simplificações e mudanças de variável não nos levariam a lugar algum 
pois, para chegarmos a um valor concreto para o qual esta série converge, teríamos 
que utilizar métodos estudados no Cálculo, como o Teste de Convergência por 
Integral, Limite da Soma, Critério de D’Alembert, Testes de Abel e Dirichlet, 
entre outros, os quais fogem absolutamente do escopo desta teoria. 
Assim, a ferramenta correta a ser aplicada é a Propriedade Telescópica. 
 
Definição intuitiva da Propriedade Telescópica – Somatórios: 
Consideremos uma sequência 𝑎𝑛 tal que seus termos são dados por: 
𝒂𝒏 = 𝒂𝒌+𝟏 − 𝒂𝒌. 
A Soma Telescópica, em resumo, é a soma de uma sequência de termos deste tipo, que 
pode ser escrita da seguinte forma: 
Stelescópica = (𝒂𝟐 − 𝑎1) + (𝒂𝟑 − 𝒂𝟐) + (𝒂𝟒 − 𝒂𝟑) + ⋯+ (𝒂𝒏 − 𝒂𝒏−𝟏) + (𝑎𝑛+1 − 𝒂𝒏). 
Observe que esta soma pode ser simplificada em: 
𝐒𝐭𝐞𝐥𝐞𝐬𝐜ó𝐩𝐢𝐜𝐚 = 𝒂𝒏+𝟏 − 𝒂𝟏. 
Ou seja, a dita Soma Telescópica é uma soma que pode ser resumida em apenas 
 dois termos. 
 
Definição formal da Propriedade Telescópica – Somatórios: 
Consideremos uma sequência qualquer 𝑎𝑛 de números reais tal que: 
𝑎𝑛: ℤ
∗ → ℝ∗, 𝑎𝑛 = 𝑎𝑘+1 − 𝑎𝑘. 
Seja S𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛. 
Definamos um operador algébrico ∆ denominado Operador Diferença tal que: 
∆ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒌+𝟏 − 𝒂𝒌. 
O qual aplicado a soma S𝑛 resulta em: 
∆ S𝑘 = (𝑎2 − 𝑎1) + (𝑎3 − 𝑎2) + ⋯+ (𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1) + (𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛); 
∆ 𝐒𝒌 = 𝒂𝒏+𝟏 − 𝒂𝟏. 
Na notação de somatório, temos que, se aplicada a definição de Soma Telescópica: 
S𝑘 =∑𝑎𝑘
𝑛
𝑘=1
. 
⟹ ∆ 𝐒𝒌 =∑∆ 𝒂𝒌 = 𝒂𝒏+𝟏 − 𝒂𝟏
𝒏
𝒌=𝟏
. 
Ou, de maneira equivalente: 
S𝑘 =∑𝑓(𝑘)
𝑏
𝑎
. 
⟹ ∆ 𝐒𝒌 =∑∆𝒇(𝒌) =∑(𝒇(𝒌 + 𝟏) − 𝒇(𝒌))
𝒃
𝒂
= 𝒇(𝒃 + 𝟏) − 𝒇(𝒂)
𝒃
𝒂
. 
Demonstração: 
Temos que: 
∆ S𝑘 =∑(𝑓(𝑘 + 1) − 𝑓(𝑘))
𝑏
𝑎
 
= (𝑓(𝑎 + 1) − 𝑓(𝑎)) + (𝑓(𝑎 + 2) − 𝑓(𝑎 + 1)) +⋯+ (𝑓(𝑏 + 1) − 𝑓(𝑏)). 
Todos os termos se anulam, com exceção de 𝑓(𝑎) e 𝑓(𝑏 + 1). 
Obtemos, então: 
∆ 𝐒𝒌 =∑(𝒇(𝒌 + 𝟏) − 𝒇(𝒌))
𝒃
𝒂
= 𝒇(𝒃 + 𝟏) − 𝒇(𝒂). 
Este resultado é comumente utilizado em provas olímpicas, vestibulares mais 
tradicionais como o ITA e o IME, no Cálculo, Álgebra Linear, etc. 
O estudo desta propriedade é feito de maneira rápida nas universidades, portanto é 
interessante um conhecimento prévio desta. 
Fica, também, como curiosidade, que a denominação Telescópica se dá em razão do 
antigos telescópios, ou lunetas, utilizados na época das grandes navegações, o qual, 
quando fechado, se resumia em duas partes: 
O cabo do telescópio e seu visor. 
Portanto, como a soma acima se resume a apenas duas parcelas, os antigos 
matemáticos a batizaram de Soma Telescópica. 
Para conseguirmos aplicar este conceito, é necessário manipular a estrutura de uma 
soma a fim de chegar em 𝑓(𝑘 + 1) − 𝑓(𝑘) e, como já estudamos as Frações Parciais, 
estas nos serão de extrema utilidade no cômputo de uma Soma Telescópica. 
“1. (ÍNDIA) – Calcule o valor da soma: 
∑ −
2
(𝑘+1)(𝑘+2)
𝑛
𝑘=2
.” 
Temos a seguinte soma: 
∑−
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
𝑛
𝑘=2
. 
Primeiramente, devemos utilizar a decomposição em Frações Parciais para transformar 
a função 
2
(𝑘+1)(𝑘+2)
 em 
A
𝑘+1
+
B
𝑘+2
, sendo A e B constantes reais. 
Assim, temos: 
2
(𝑘+1)(𝑘+2)
=
A
𝑘+1
+
B
k+2
; 
2
(𝑘+1)(𝑘+2)
=
A(𝑘+2)+B(𝑘+1)
(𝑘+1)(𝑘+2)
; 
2 = A(𝑘 + 2) + B(𝑘 + 1); 
Para 𝑘 = − 1, temos: 
2 = A(− 1 + 2) + B(− 1 + 1); 
2 = A. 
Agora, para obtermos B, seja𝑘 = − 2: 
2 = A(− 2 + 2) + B(− 2 + 1); 
2 = − B; 
B = − 2. 
Então: 
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
=
2
𝑘 + 1
+
− 2
𝑘 + 2
=
2
𝑘 + 1
−
2
𝑘 + 2
. 
Então, a soma pode ser escrita como: 
∑−
2
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
𝑛
𝑘=2
=∑−(
2
𝑘 + 1
−
2
𝑘 + 2
)
𝑛
𝑘=2
=∑(
2
𝑘 + 2
−
2
𝑘 + 1
)
𝑛
𝑘=2
. 
Observe que, simplesmente por utilizarmos a decomposição em frações parciais, já 
obtivemos o padrão 𝑓(𝑘 + 1) − 𝑓(𝑘), onde 𝑓(𝑘) = 
2
𝑘
. 
Porém, antes, façamos uma breve expansão desta soma para estudarmos seu padrão. 
∑(
2
𝑘 + 2
−
2
𝑘 + 1
)
𝑛
𝑘=2
= (
𝟐
𝟐 + 𝟐
−
2
2 + 1
) + (
𝟐
𝟑 + 𝟐
−
𝟐
𝟑 + 𝟏
) + (
𝟐
𝟒 + 𝟐
−
𝟐
𝟒 + 𝟏
) 
+(
𝟐
𝟓 + 𝟐
−
𝟐
𝟓 + 𝟏
) + (
𝟐
𝟔 + 𝟐
−
𝟐
𝟔 + 𝟏
) +⋯+ (
𝟐
𝒏 + 𝟏
−
𝟐
𝒏
) + (
2
𝑛 + 2
−
𝟐
𝒏 + 𝟏
) . 
Percebamos que, os fatores em negrito irão todos se cancelar, sobrando apenas os 
fatores –
𝟐
𝟐+𝟏
 e 
𝟐
𝒏+𝟐
. 
Assim, nossa soma se torna: 
 ∑ (
𝟐
𝒌+𝟐
−
𝟐
𝒌+𝟏
)
𝒏
𝒌=𝟐
=
𝟐
𝒏+𝟐
−
𝟐
𝟑
. 
Veja que, em somas mais fáceis, não é necessário a aplicação da definição de 
Soma Telescópica 𝒇(𝒃 + 𝟏) − 𝒇(𝒂) pois, ao fazermos a expansão de seus termos, só 
restarão dois termos. 
Porém, esta também pode ser calculada pela definição: 
∑(
2
𝑘 + 2
−
2
𝑘 + 1
)
𝑛
𝑘=2
. 
Temos que os limites são 2 e 𝑛, assim: 
∑ (
2
𝑘+2
−
2
𝑘+1
)
𝑛
𝑘=2
= 𝑓(𝑛 + 1) − 𝑓(2), onde 𝑓(𝑘) =
2
𝑘+1
. 
Então: 
∑(
2
𝑘 + 2
−
2
𝑘 + 1
)
𝑛
𝑘=2
=
𝟐
𝒏 + 𝟐
−
𝟐
𝟑
. 
“2. (UEPG) – Seja a soma: 
S = log (
7
6
) + log (
8
7
) + log (
9
8
) +⋯+ log (
𝑛+1
𝑛
), onde 𝑛 é um número natural. 
Qual o valor de 𝑛 para o qual S = 1?” 
Primeiramente, passemos a soma S para a notação sigma: 
S = log (
7
6
) + log (
8
7
) + log (
9
8
) +⋯+ log (
𝑛
𝑛 + 1
) =∑log (
𝑘 + 1
𝑘
)
𝑛
6
. 
Agora, a chave deste exercício é o uso das propriedades dos logaritmos, 
principalmente: 
𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂 − 𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒃 = 𝐥𝐨𝐠𝒄 (
𝒂
𝒃
), onde (𝒂, 𝒃) > 𝟎, 𝒄 ≠ 𝟏 e 𝒄 > 𝟎 e 𝐥𝐨𝐠𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝒙. 
Então: 
log (
𝑘+1
𝑘
) = log(𝑘 + 1) − log 𝑘. 
Assim: 
∑log (
𝑘 + 1
𝑘
)
𝑛
6
=∑log(𝑘 + 1) − log 𝑘.
𝑛
6
 
Observe que obtivemos o formato da soma telescópica, assim: 
∑(𝒇(𝒌 + 𝟏) − 𝒇(𝒌))
𝒃
𝒂
= 𝒇(𝒃 + 𝟏) − 𝒇(𝒂). 
∑log(𝑘 + 1) − log 𝑘 = log(𝑛 + 1) − log 6
𝑛
6
. 
O exercício nos pede o valor de 𝑛 para o qual se verifica S = 1. 
Assim: 
log(𝑛 + 1) − log 6 = 1; log (
𝑛+1
6
) = 1; 
Da definição de logaritmo: 10 =
𝑛+1
6
 ⟹ 𝒏 = 𝟓𝟗. 
“3. (TAIWAN) – 
Sabendo-se que 𝑚 é do tipo: 
𝑚 = −
𝑎
𝑏
, onde 𝑎 e 𝑏 são números reais, 𝑏 ≠ 0 e que 
∑
3
(3𝑘+4)(3𝑘+7)
= 2016
𝑚+5
𝑘=1
. 
Obtenha o valor de: 
𝑎 + 𝑏.” 
Expandindo 
3
(3𝑘+4)(3𝑘+7)
 em frações parciais: 
3
(3𝑘+4)(3𝑘+7)
=
A
3𝑘+4
+
B
3𝑘+7
; 
3
(3𝑘+4)(3𝑘+7)
=
A(3𝑘+7)+B(3𝑘+4)
(3𝑘+4)(3𝑘+7)
; 
3 = A(3𝑘 + 7) + B(3𝑘 + 4). 
Para obtermos o valor de A, devemos tomar 𝒌 = −
𝟒
𝟑
, pois: 
B(3𝑘 + 4) = 0, 3𝑘 + 4 = 0, 𝒌 = −
𝟒
𝟑
. 
Assim: 
3 = A(3 (−
4
3
) + 7) + B(3 (−
4
3
) + 4); 
3 = A(− 4 + 7); A = 𝟏. 
Para obtermos B, devemos tomar 𝒌 = −
𝟕
𝟑
, pois: 
A(3𝑘 + 7) = 0, 3𝑘 + 7 = 0, 𝒌 = −
𝟕
𝟑
. 
Assim: 
3 = A(3 (−
7
3
) + 7) + B(3 (−
7
3
) + 4); 
3 = B(− 7 + 4); B = − 𝟏. 
Assim, a fração 
3
(3𝑘+4)(3𝑘+7)
, quando expandida em frações parciais, é tal que: 
𝟑
(𝟑𝒌 + 𝟒)(𝟑𝒌 + 𝟕)
=
𝟏
𝟑𝒌 + 𝟒
+
(−𝟏)
𝟑𝒌 + 𝟕
=
𝟏
𝟑𝒌 + 𝟒
−
𝟏
𝟑𝒌 + 𝟕
. 
Então: 
∑
3
(3𝑘 + 4)(3𝑘 + 7)
𝑚+5
𝑘=1
= ∑ (
𝟏
𝟑𝒌 + 𝟒
−
𝟏
𝟑𝒌 + 𝟕
)
𝑚+5
𝑘=1
. 
Observe que, para obtermos o padrão 𝒇(𝒌 + 𝟏) − 𝒇(𝒌), devemos 
manipular algebricamente o fator 𝟑𝒌 + 𝟕. 
Consideremos 𝒇(𝒌) =
𝟏
𝟑𝒌+𝟒
, observe que: 
𝟏
𝟑𝒌 + 𝟕
=
𝟏
𝟑𝒌 + 𝟒 + 𝟑
=
𝟏
𝟑(𝒌 + 𝟏) + 𝟒
= 𝒇(𝒌 + 𝟏). 
Assim: 
∑ (
𝟏
𝟑𝒌+𝟒
−
𝟏
𝟑𝒌+𝟕
)
𝒎+𝟓
𝒌=𝟏
=∑ (𝒇(𝒌) − 𝒇(𝒌 + 𝟏))
𝒎+𝟓
𝒌=𝟏
, onde 𝑓(𝑘) =
1
3𝑘+4
. 
Note que obtivemos 𝒇(𝒌) − 𝒇(𝒌 + 𝟏), o oposto de 𝒇(𝒌 + 𝟏) − 𝒇(𝒌). 
Então, de acordo com a P2 (vista no item IV), devemos fatorar a constante 
multiplicativa – 𝟏, para que obtenhamos o padrão 𝒇(𝒌 + 𝟏) − 𝒇(𝒌) e, então, 
apliquemos a Propriedade Telescópica. 
Assim: 
∑ (
1
3𝑘 + 4
−
1
3𝑘 + 7
)
𝑚+5
𝑘=1
= −∑ (
1
3𝑘 + 7
−
1
3𝑘 + 4
)
𝑚+5
𝑘=1
. 
Mas, temos que: 
−∑ (
1
3𝑘+7
−
1
3𝑘+4
)
𝑚+5
𝑘=1
= 2016. 
Lembrando que a Propriedade Telescópica é tal que: 
∑(𝒇(𝒌 + 𝟏) − 𝒇(𝒌))
𝒃
𝒌=𝒂
= 𝒇(𝒃 + 𝟏) − 𝒇(𝒂). 
Aplicando-a, enfim: 
−∑ (
1
3𝑘+7
−
1
3𝑘+4
) = −∑ (𝑓(𝑘 + 1) − 𝑓(𝑘))
𝑚+5
𝑘=1
= 2016
𝑚+5
𝑘=1
; 
onde 𝑓(𝑘) =
1
3𝑘+4
. 
Então: 
−∑ (
1
3𝑘 + 7
−
1
3𝑘 + 4
) = − (
1
3(𝑚 + 5 + 1)
−
1
(3.1 + 4)
)
𝑚+5
𝑘=1
= 2016; 
−(
1
3(𝑚+6)+4
−
1
7
) = 2016; 
1
7
−
1
3𝑚+18+4
= 2016; 
1
7
−
1
3𝑚+22
= 2016; 
𝒎 = −
𝟏𝟎𝟑𝟒𝟖𝟑
𝟏𝟒𝟏𝟏𝟏
. 
Se 𝑚 = −
𝑎
𝑏
= −
103483
14111
, então 𝒂 + 𝒃 = 𝟏𝟎𝟑𝟒𝟖𝟑 + 𝟏𝟒𝟏𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟕𝟓𝟗𝟒. 
“4. Calcule: 
∑
1
𝑘(𝑘+1)
2016
1
.” 
1
𝑘(𝑘+1)
=
A
𝑘
+
B
𝑘+1
; 
1
𝑘(𝑘+1)
=
A(𝑘+1)+B𝑘
𝑘(𝑘+1)
; 
1 = A(𝑘 + 1) + B𝑘; 
P/ 𝑘 = 0; 
1 = A(0 + 1); 
A = 1. 
 
P/ 𝑘 = − 1; 
1 = A(− 1 + 1) + B(− 1); 
B = − 1. 
1
𝑘(𝑘+1)
=
1
𝑘
+
(− 1)
𝑘+1
=
1
𝑘
−
1
𝑘+1
; 
∑
1
𝑘(𝑘 + 1)
= ∑ (
1
𝑘
−
1
𝑘 + 1
)
2016
𝑘=1
2016
𝑘=1
. 
Lembrando que: 
∑(𝒇(𝒌 + 𝟏) − 𝒇(𝒌))
𝒃
𝒌=𝒂
= 𝒇(𝒃 + 𝟏) − 𝒇(𝒂). 
∑ (
1
𝑘
−
1
𝑘 + 1
)
2016
𝑘=1
= − ∑ (
1
𝑘 + 1
−
1
𝑘
)
2016
𝑘=1
 
= − (𝒇(𝒌 + 𝟏) − 𝒇(𝒌)), onde 𝑓(𝑘) =
1
𝑘
. 
Assim: 
− ∑ (
1
𝑘 + 1
−
1
𝑘
)
2016
𝑘=1
= − (
1
2016 + 1
−
1
1
) = 1 −
1
2017
=
𝟐𝟎𝟏𝟔
𝟐𝟎𝟏𝟕
. 
“5. (BRILLIANT) – Calcule o valor da soma: 
S =
3
1.2.3
+
5
2.3.4
+
7
3.4.5
+⋯+
81
40.41.42
.” 
Primeiramente, em notação sigma, perceba o padrão: 
Temos, no numerador, um número ímpar da forma 2𝑘 + 1, onde 𝑘 = [1, 2, 3, ..., 40], 
pois: 
𝑘 = 1 ⇒ 𝟐. 𝟏 + 𝟏 = 𝟑; 
𝑘 = 2 ⇒ 𝟐. 𝟐 + 𝟏 = 𝟓; 
𝑘 = 3 ⇒ 𝟐. 𝟑 + 𝟏 = 𝟕; 
... 
𝑘 = 40 ⇒ 𝟐. 𝟒𝟎 + 𝟏 = 𝟖𝟏. 
No denominador, temos o produto de três números na forma 𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2), onde 
𝑘 = [1, 2, 3, ..., 40], pois: 
𝑘 = 1 ⇒ 𝟏(𝟏 + 𝟏)(𝟏 + 𝟐) = 𝟏. 𝟐. 𝟑; 
𝑘 = 2 ⇒ 𝟐(𝟐 + 𝟏)(𝟐 + 𝟐) = 𝟐. 𝟑. 𝟒; 
𝑘 = 3 ⇒ 𝟑(𝟑 + 𝟏)(𝟑 + 𝟐) = 𝟑. 𝟒. 𝟓; 
... 
𝑘 = 40 ⇒ 𝟒𝟎(𝟒𝟎 + 𝟏)(𝟒𝟎 + 𝟐) = 𝟒𝟎. 𝟒𝟏. 𝟒𝟐. 
Assim, a soma S é equivalente a: 
S =
3
1.2.3
+
5
2.3.4
+
7
3.4.5
+ ⋯+
81
40.41.42
=∑
𝟐𝒌 + 𝟏
𝒌(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐)
𝟒𝟎
𝟏
. 
 
É importante notar que, pela propriedade das frações: 
𝒂 + 𝒃
𝒄
=
𝒂
𝒄
+
𝒃
𝒄
. 
Assim: 
∑
𝟐𝒌+ 𝟏
𝒌(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐)
𝟒𝟎
𝟏
=∑
𝒌+ 𝒌 + 𝟏
𝒌(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐)
𝟒𝟎
𝟏
 
=∑[
𝒌
𝒌(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐)
+
𝒌 + 𝟏
𝒌(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐)
]
𝟒𝟎
𝟏
 
=∑[
𝟏
(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐)
+
𝟏
𝒌(𝒌 + 𝟐)]
𝟒𝟎
𝟏
=∑
𝟏
(𝒌 + 𝟏)(𝒌 + 𝟐)
𝟒𝟎
𝟏
+∑
𝟏
𝒌(𝒌 + 𝟐)
𝟒𝟎
𝟏
. 
A seguir, faremos a decomposição em Frações Parciais de ambas as funções, 
1
(𝑘+1)(𝑘+2)
 e 
1
𝑘(𝑘+2)
. 
Omitiremos este passo pois, subentende-se que você, leitor, já está familiarizado 
com este conceito. 
Assim, temos que, em Frações Parciais: 
{
𝟏
(𝒌+𝟏)(𝒌+𝟐)
=
𝟏
𝒌+𝟏
−
𝟏
𝒌+𝟐
𝟏
𝒌(𝒌+𝟐)
=
𝟏
𝟐𝒌
−
𝟏
𝟐(𝒌+𝟐)
; 
Então: 
∑
𝟏
(𝒌+ 𝟏)(𝒌 + 𝟐)
𝟒𝟎
𝟏
+∑
𝟏
𝒌(𝒌 + 𝟐)
𝟒𝟎
𝟏
=∑(
𝟏
𝒌 + 𝟏
−
𝟏
𝒌 + 𝟐
)
𝟒𝟎
𝟏
+∑(
𝟏
𝟐𝒌
−
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟐)
)
𝟒𝟎
𝟏
. 
Veja que já obtivemos o padrão para o uso da Propriedade Telescópica: 
∑ (𝒇(𝒌 + 𝟏) − 𝒇(𝒌))
𝒃
𝒂
= 𝒇(𝒃 + 𝟏) − 𝒇(𝒂). 
Observe que: 
∑(𝒇(𝒌 + 𝟏) − 𝒇(𝒌))
𝒃
𝒂
= 𝒇(𝒃 + 𝟏) − 𝒇(𝒂) 
⇒ −∑(𝒇(𝒌 + 𝟏) − 𝒇(𝒌)) = 𝒇(𝒂) − 𝒇(
𝒃
𝒂
𝒃 + 𝟏) 
⇒∑(𝒇(𝒌) − 𝒇(𝒌 + 𝟏)) = 𝒇(𝒂) − 𝒇(𝒃 + 𝟏)
𝒃
𝒂
. 
Então: 
∑ (
𝟏
𝒌+𝟏
−
𝟏
𝒌+𝟐
)
𝟒𝟎
𝟏
= 𝒇(𝟏) − 𝒇(𝟒𝟎 + 𝟏), onde 𝑓(𝑘) =
1
𝑘+1
. 
 
 
Assim, a primeira soma é: 
∑ (
𝟏
𝒌+𝟏
−
𝟏
𝒌+𝟐
)
𝟒𝟎
𝟏
= 𝒇(𝟏) − 𝒇(𝟒𝟏) =
𝟏
𝟏+𝟏
−
𝟏
𝟏+𝟒𝟏
=
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟒𝟐
. 
A segunda soma é tal que: 
∑(
𝟏
𝟐𝒌
−
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟐)
)
𝟒𝟎
𝟏
. 
Para obtermos o padrão da Soma Telescópica, temos que somar e subtrair o fator 
1
2(𝑘+1)
, da seguinte maneira: 
∑(
𝟏
𝟐𝒌
−
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟐)
) =∑[(
𝟏
𝟐𝒌
−
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟏)
) + (
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟏)
−
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟐)
)]
𝟒𝟎
𝟏
𝟒𝟎
𝟏
. 
Assim, utilizando a P3 (somatório de uma adição), obtemos: 
∑[(
𝟏
𝟐𝒌
−
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟏)
) + (
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟏)
−
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟐)
)]
𝟒𝟎
𝟏
 
=∑(
𝟏
𝟐𝒌
−
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟏)
) +∑(
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟏)
−
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟐)
)
𝟒𝟎
𝟏
𝟒𝟎
𝟏
. 
Observe que já obtivemos o padrão da Soma Telescópica, assim: 
∑ (
𝟏
𝟐𝒌
−
𝟏
𝟐(𝒌+𝟏)
) = 𝒇(𝟏) − 𝒇(𝟒𝟎 + 𝟏)
40
1
, onde 𝑓(𝑘) =
1
2𝑘
. 
Deste modo: 
∑(
𝟏
𝟐𝒌
−
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟏)
)
40
1
=
1
2
−
1
82
. 
E, para a segunda parcela: 
∑ (
𝟏
𝟐(𝒌+𝟏)
−
𝟏
𝟐(𝒌+𝟐)
)
𝟒𝟎
𝟏
= 𝒇(𝟏) − 𝒇(𝟒𝟎 + 𝟏), onde 𝑓(𝑘) =
1
2(𝑘+1)
. 
Igualmente: 
=∑(
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟏)
−
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟐)
) =
𝟏
𝟐(𝟐)
−
𝟏
𝟐(𝟒𝟏 + 𝟏)
𝟒𝟎
𝟏
=
𝟏
𝟒
−
𝟏
𝟖𝟒
. 
Finalmente, temos que a soma pedida é: 
∑
2𝑘 + 1
𝑘(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
40
1
=∑(
𝟏
𝒌 + 𝟏
−
𝟏
𝒌 + 𝟐
)
𝟒𝟎
𝟏
+∑(
𝟏
𝟐𝒌
−
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟐)
)
𝟒𝟎
𝟏
 
=∑(
𝟏
𝒌 + 𝟏
−
𝟏
𝒌 + 𝟐
)
𝟒𝟎
𝟏
+∑(
𝟏
𝟐𝒌
−
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟏)
) +∑(
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟏)
−
𝟏
𝟐(𝒌 + 𝟐)
)
𝟒𝟎
𝟏
𝟒𝟎
𝟏
 
= (
1
2
−
1
42
) + (
1
2
−
1
82
) + (
1
4
−
1
84
) =
𝟑𝟒𝟓
𝟐𝟖𝟕
. 
 
Exercício de altíssimo nível, pois exige um grande conhecimento algébrico, como, por 
exemplo, o conhecimento das Frações Parciais, 
propriedades operatórias dos somatórios, manipulação numérica e a Propriedade 
Telescópica, além de uma enorme carga aritmética. 
Podemos afirmar que, apenas por meio dos métodos convencionais da álgebra dos 
somatórios, este exemplo é impraticável, fazendo do conhecimento da 
Propriedade Telescópica algo imprescindível. 
Este exercício é um exemplo típico de atividade em nível olímpico. 
“6. (PUTNAM – EUA/CANADÁ) – Prove que: 
1
1+√2
+
1
√2+√3
+⋯+
1
√99+√100
= 9.” 
Veja que esta soma é tal que: 
1
1 + √2
+
1
√2 + √3
+⋯+
1
√99 + √100
= ∑
1
√𝑘 + √𝑘 + 1
99
𝑘=1
=∑
1
√𝑘 + 1 + √𝑘
99
𝑘=1
. 
Multiplicando numerador e denominador por (√𝑘 + 1 − √𝑘) (raízes conjugadas), 
obtemos: 
∑
1
√𝑘 + 1 + √𝑘
99
𝑘=1
.
√𝑘 + 1 − √𝑘
√𝑘 + 1 − √𝑘
= ∑
√𝑘 + 1 − √𝑘
𝑘 + 1 − 𝑘
99
𝑘=1
=∑√𝑘 + 1 − √𝑘.
99
𝑘=1
 
Observe que já obtivemos o padrão 𝑓(𝑘 + 1) − 𝑓(𝑘) para a aplicação da Soma 
Telescópica. 
Então, temos que: 
∑(𝒇(𝒌 + 𝟏) − 𝒇(𝒌)) = 𝒇(𝒃 + 𝟏) − 𝒇(𝒂).
𝒃
𝒂
 
Assim: 
∑ √𝑘 + 1 − √𝑘 = 𝑓(100) − 𝑓(1)
99
𝑘=1
, onde 𝑓(𝑘) = √𝑘. 
Então, 
∑ √𝑘 + 1 − √𝑘 =
99
𝑘=1
√100 − √1 = 10 − 1 = 𝟗. 
Q.E.D. 
 
“7. (BRILLIANT – ADAPTADA) – Dada a função 𝑓(𝑘) = 4𝑘2 − 1, 
obtenha o valor de 
1
𝑓(1)
+
1
𝑓(2)
+
1
𝑓(3)
+⋯+
1
𝑓(100)
.” 
Nos foi fornecida a função 𝑓(𝑘) = 4𝑘2 − 1. 
Seja S =
1
𝑓(1)
+
1
𝑓(2)
+⋯+
1
𝑓(100)
. 
Temos que: 
 S =∑
1
𝑓(𝑘)
100
1
=∑
1
4𝑘2−1
100
1
=∑
1
(2𝑘+1)(2𝑘−1)
100
1
. 
Expandindo o denominador em Frações Parciais (este passo será omitido, novamente), 
obtemos: 
1
(2𝑘+1)(2𝑘−1)
=
1
2(2𝑘−1)
−
1
2(2𝑘+1)
. 
1
2(2𝑘−1)
−
1
2(2𝑘+1)
=
1
4𝑘−2
−
1
4𝑘+2
. 
Considerando a função 𝑔(𝑘) = 4𝑘 − 2, temos que 𝑔(𝑘 + 1) = 4(𝑘 + 1) − 2 
= 4𝑘 + 4 − 2 = 4𝑘 + 2. 
Ou seja, já obtivemos o padrão para o uso da Propriedade Telescópica. 
Assim: 
∑
1
(2𝑘 + 1)(2𝑘 − 1)
100
1
=∑(
1
2(2𝑘 − 1)
−
1
2(2𝑘 + 1)
)
100
1
=∑(
1
4𝑘 − 2
−
1
4𝑘 + 2
)
100
1
. 
Enfim: 
∑(
𝟏
𝟒𝒌 − 𝟐
−
𝟏
𝟒𝒌 + 𝟐
)
𝟏𝟎𝟎
𝟏
=
𝟏
𝟒. 𝟏 − 𝟐
−
𝟏
𝟒. 𝟏𝟎𝟏 − 𝟐
=
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟒𝟎𝟐
=
𝟏𝟎𝟎
𝟐𝟎𝟏
. 
“8. (EUA) – Obtenha o valor de: 
∑ ln(1 +
1
𝑘
)
2016
1
. " 
∗ 𝐥𝐧𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝒆 𝒙. 
Temos que 𝐥𝐧 (𝟏 +
𝟏
𝒌
) = 𝐥𝐧 (
𝒌+𝟏
𝒌
) = 𝐥𝐧(𝒌 + 𝟏) − 𝐥𝐧(𝒌). 
Assim: 
∑ ln(1 +
1
𝑘
)
2016
1
= ∑(ln(𝑘 + 1) − ln(𝑘)).
2016
1
 
Como já obtivemos o padrão da Soma Telescópica: 𝑓(𝑘 + 1) − 𝑓(𝑘), onde 
 𝑓(𝑘) = ln 𝑘, basta utilizarmos a propriedade: 
∑(𝑓(𝑘 + 1) − 𝑓(𝑘)) = 𝑓(𝑏 + 1) − 𝑓(𝑎).
𝑏
𝑎
 
Então: 
∑(ln(𝑘 + 1) − ln(𝑘)) = 𝐥𝐧(𝟐𝟎𝟏𝟔 + 𝟏) − 𝐥𝐧𝟏
2016
1
= ln(2017) − 0 = 𝐥𝐧(𝟐𝟎𝟏𝟕) . 
“9. Encontre o valor da soma abaixo: 
1
1+12+14
+
2
1+22+24
+
3
1+32+34
+⋯+
1
1+502+504
.” 
Veja que, no denominador, temos o número 1 em todas as parcelas da soma. 
Assim, este é uma constante e todos os outros números são variáveis. 
Então: 
1
1+12+14
+
2
1+22+24
+
3
1+32+34
+⋯+
50
1+502+504
=∑
𝑘
1+𝑘2+𝑘4
50
𝑘=1
. 
Façamos a seguinte manipulação algébrica: 
∑
𝑘
1+ 𝑘2 + 𝑘4
50
𝑘=1
=∑
𝑘
1 + 𝑘2 + 𝑘4 + 𝑘2 − 𝑘2
=∑
𝑘
1 + 2𝑘2 + 𝑘4 − 𝑘2
50
𝑘=1
50
𝑘=1
 
=∑
𝑘
(1 + 𝑘2)2 − 𝑘²
50
1
=∑
𝑘
(1 + 𝑘2 + 𝑘)(1 + 𝑘2 − 𝑘)
50
1
 
=∑
𝑘
(𝑘2+𝑘+1)(𝑘2−𝑘+1)
50
1
. 
A função 
𝑘
(𝑘2+𝑘+1)(𝑘2−𝑘+1)
, quando decomposta em Frações Parciais, se torna: 
𝒌
(𝒌𝟐+𝒌+𝟏)(𝒌𝟐−𝒌+𝟏)
=
𝟏−𝒌
𝟐(𝒌𝟐−𝒌+𝟏)
−
𝒌+𝟏
𝟐(𝒌𝟐+𝒌+𝟏)
. 
Assim: 
∑
𝑘
(𝑘2 + 𝑘 + 1)(𝑘2 − 𝑘 + 1)
50
1
=∑[
1 − 𝑘
2(𝑘2 − 𝑘 + 1)
−
𝑘 + 1
2(𝑘2 + 𝑘 + 1)
]
50
1
 
=∑[
1
2
1 − 𝑘
(𝑘2 − 𝑘 + 1)
+
1
2
𝑘 + 1
(𝑘2 + 𝑘 + 1)
]
50
1
=
1
2
∑[
1 − 𝑘
𝑘² − 𝑘 + 1
+
𝑘 + 1
𝑘² + 𝑘 + 1
]
50
1
 
=
1
2
∑ [
1−𝑘
𝑘²−2𝑘+1+𝑘
+
𝑘+1
𝑘²+2𝑘+1−𝑘
]
50
1
=
𝟏
𝟐
(𝟏 −
𝟏
𝟓𝟎.𝟓𝟎−𝟏
). 
“10. (OBM) – A soma 
1
1.4
+
1
4.7
+
1
7.10
+⋯+
1
2008.2011
 
pode ser escrita sob a forma de fração irredutível𝑝
𝑞
. 
Obtenha o valor de 𝑝 + 𝑞.” 
Veja que: 
1
1.4
+
1
4.7
+
1
7.10
+⋯+
1
2008.2011
=∑
1
(3𝑘 − 2)(3𝑘 + 1)
670
1
 
=∑ (
1
3(3𝑘−2)
−
1
3(3𝑘+1)
)
670
𝑘=1
. 
Sendo a função 𝑓(𝑘) =
1
9𝑘−6
, temos que esta soma é tal que: 
∑ (
1
3(3𝑘−2)
−
1
3(3𝑘+1)
)
670
𝑘=1
= 𝑓(1) − 𝑓(670) =
1
3
−
1
9.670−6
=
𝟐𝟕𝟎
𝟐𝟎𝟏𝟏
. 
𝒑 + 𝒒 = 𝟐𝟕𝟎 + 𝟐𝟎𝟏𝟏 = 𝟐𝟔𝟖𝟏. 
 
“11. (OBM – NÍVEL UNIVERSITÁRIO) – Calcule o valor da soma: 
1
1.4
+
1
4.7
+
1
7.10
+⋯+
1
2998.3001
.” 
Insistimos no fato de que exercícios deste tipo estão intimamente relacionados com 
os conceitos de sequência, principalmente com as Progressões Aritméticas. 
 
Pois, para determinarmos sua recorrência, seus limites, principalmente o limite 
superior, é necessário o uso das fórmulas da teoria das Progressões Aritméticas, as 
quais se encontram no apêndice do capítulo 3. 
Dito isto, temos a seguinte soma: 
1
𝟏. 𝟒
+
1
𝟒. 𝟕
+
1
𝟕. 𝟏𝟎
+⋯+
1
𝟐𝟗𝟗𝟖. 𝟑𝟎𝟎𝟏
. 
Perceba que, nos denominadores, temos as seguintes progressões aritméticas, ambas 
de razão 3: 
I: (𝟏, 𝟒, 𝟕,…, 𝟐𝟗𝟗𝟖); 
II: (𝟒, 𝟕, 𝟏𝟎,…, 𝟑𝟎𝟎𝟏). 
O termo geral da primeira P.A é: 
I: 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏𝒂 − 𝟏)𝒓 ⟹ 𝑎𝑛 = 1 + (𝑛𝑎 − 1)3. 
𝑎𝑛 = 1 + 3𝑛𝑎 − 3 = 𝟑𝒏𝒂 − 𝟐. 
O termo geral da segunda P.A é: 
II: 𝒃𝒏 = 𝒃𝟏 + (𝒏𝒃 − 𝟏)𝒓 ⟹ 𝑏𝑛 = 4 + (𝑏 − 1)3. 
𝑏𝑛 = 4 + 3𝑛𝑏 − 3 = 𝟑𝒏𝒃 + 𝟏. 
Agora, é necessário verificar se o número de termos das duas progressões são iguais: 
I: Temos que o último termo da primeira progressão é 2998 ⟹ 𝒂𝒏 = 𝟑𝒏𝒂 − 𝟐; 
2998 = 3𝑛𝑎 − 2; 
𝑛𝑎 = 1000. 
II: O último termo da segunda progressão é 3001 ⟹ 𝒃𝒏 = 𝟑𝒏𝒃 + 𝟏; 
3001 = 3𝑛𝑏 + 1; 
𝑛𝑏 = 1000. 
𝒏𝒂 = 𝒏𝒃 = 𝒏. 
Como verificamos que o número de termos é igual para as duas sequências, finalmente 
temos que: 
𝟏
𝟏. 𝟒
+
𝟏
𝟒. 𝟕
+
𝟏
𝟕. 𝟏𝟎
+⋯+
𝟏
𝟐𝟗𝟗𝟖. 𝟑𝟎𝟎𝟏
= ∑
𝟏
(𝟑𝒏 − 𝟐)(𝟑𝒏 + 𝟏)
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝒏=𝟏
. 
Assim, expandindo 
𝟏
(𝟑𝒏−𝟐)(𝟑𝒏+𝟏)
 em frações parciais, obtemos: 
𝟏
(𝟑𝒏 − 𝟐)(𝟑𝒏 + 𝟏)
=
𝟏
𝟑(𝟑𝒏 − 𝟐)
−
𝟏
𝟑(𝟑𝒏 + 𝟏)
. 
Assim: 
∑
𝟏
(𝟑𝒏− 𝟐)(𝟑𝒏 + 𝟏)
= ∑ (
𝟏
𝟑(𝟑𝒏 − 𝟐)
−
𝟏
𝟑(𝟑𝒏 + 𝟏)
)
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝒏=𝟏
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝒏=𝟏
. 
Seja 𝑓(𝑛) =
1
3(3𝑛−2)
, percebamos que: 
𝒇(𝒏 + 𝟏) =
𝟏
𝟑(𝟑(𝒏 + 𝟏) − 𝟐)
=
𝟏
𝟑(𝟑𝒏 + 𝟑 − 𝟐)
=
𝟏
𝟑(𝟑𝒏 + 𝟏)
. 
Assim, obtivemos o padrão para a aplicação da Propriedade Telescópica. 
∑ (
𝟏
𝟑(𝟑𝒏−𝟐)
−
𝟏
𝟑(𝟑𝒏+𝟏)
)
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝒏=𝟏
= 𝒇(𝒏) − 𝒇(𝒏 + 𝟏) = 𝒇(𝟏) − 𝒇(𝟏𝟎𝟎𝟎 + 𝟏) 
= 𝒇(𝟏) − 𝒇(𝟏𝟎𝟎𝟏), onde 𝑓(𝑛) =
1
3(3𝑛−2)
. 
∑ (
𝟏
𝟑(𝟑𝒏 − 𝟐)
−
𝟏
𝟑(𝟑𝒏 + 𝟏)
)
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝒏=𝟏
=
𝟏
𝟑(𝟑. 𝟏 − 𝟐)
−
𝟏
𝟑(𝟑. 𝟏𝟎𝟎𝟏 − 𝟐)
 
=
𝟏
𝟑
−
𝟏
𝟑(𝟑𝟎𝟎𝟏)
=
𝟏𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟎𝟎𝟏
. 
“12. (IIT – ÍNDIA) – Calcule o valor de: 
1
2√1+√2
+
1
3√2+2√3
+⋯+
1
100√99+99√100
.” 
Perceba que: 
1
2√1 + √2
+
1
3√2 + 2√3
+⋯+
1
100√99 + 99√100
 
=∑
1
(𝑘 + 1)√𝑘 + 𝑘√𝑘 + 1
99
1
. 
∑
1
(𝑘 + 1)√𝑘 + 𝑘√𝑘 + 1
99
1
=∑
1
√𝑘 + 1√𝑘 + 1√𝑘 + √𝑘√𝑘√𝑘 + 1
99
1
 
* Suporemos que você, leitor, está familiarizado com as propriedades da 
radiciação. 
=∑
1
√𝑘√𝑘 + 1(√𝑘 + 1 + √𝑘)
=∑
1
√𝑘√𝑘 + 1(√𝑘 + 1 + √𝑘)
.
√𝑘 + 1 − √𝑘
√𝑘 + 1 − √𝑘
99
1
99
1
 
=∑
√𝑘 + 1 − √𝑘
√𝑘√𝑘 + 1(𝑘 + 1 − 𝑘)
99
1
=∑
√𝑘 + 1 − √𝑘
√𝑘√𝑘 + 1
99
1
 
=∑(
√𝑘 + 1
√𝑘√𝑘 + 1
−
√𝑘
√𝑘√𝑘 + 1
)
99
1
=∑(
1
√𝑘
−
1
√𝑘 + 1
) .
99
1
 
Já obtivemos o padrão para a aplicação da Propriedade Telescópica. 
Sendo 𝑓(𝑘) =
1
√𝑘
, temos que: 
∑(𝒇(𝒌) − 𝒇(𝒌 + 𝟏)) = 𝒇(𝒂) − 𝒇(𝒃 + 𝟏)
𝒃
𝒂
. 
Assim: 
∑(
𝟏
√𝒌
−
𝟏
√𝒌 + 𝟏
) = 𝒇(𝟏) − 𝒇(𝟏𝟎𝟎) =
𝟏
√𝟏
−
𝟏
√𝟏𝟎𝟎
= 𝟏 −
𝟏
𝟏𝟎
=
𝟗
𝟏𝟎
.
𝟗𝟗
𝟏
 
 
O último item deste capítulo de Somatórios contém os exercícios propostos a serem feitos, com um 
enfoque maior nas propriedades e, principalmente, na Propriedade Telescópica e no conceito de 
limite de uma soma, ou soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica (Série Geométrica). 
A seguir faremos uma introdução às Séries, porém sem o emprego das rigorosas definições de 
Limites e Integrais, as quais permeiam o estudo das mesmas. 
Faremos uma definição intuitiva de Limite, sem nos aprofundarmos nesta, e apresentaremos, de 
maneira intuitiva, o conceito de Série, com um foco especial nas Séries Geométricas. 
 
VI. Introdução às Séries e o Limite de uma soma 
1. Noção intuitiva de Série Matemática 
Consideremos um antigo exemplo, que data da Grécia Pré-Socrática. 
O filósofo Zeno, famoso por sua formulação rigorosa dos denominados Paradoxos, 
intrigou a comunidade grega ao apresentar o seguinte problema: 
“O herói Aquiles é desafiado por uma tartaruga a uma corrida pelo território grego. 
Por ser obviamente mais lenta que o mítico guerreiro Aquiles, a tartaruga começará a 
corrida um trecho à frente deste e, além disto, Aquiles percorrerá sempre metade da 
distância percorrida pela tartaruga, da seguinte maneira: 
A tartaruga percorre uma distância 𝑑, então Aquiles percorrerá uma distância 
𝑑
2
. 
A tartaruga percorre uma distância 
𝑑
2
, então Aquiles percorrerá uma distância 
𝑑
4
. 
A tartaruga percorre uma distância 
𝑑
4
, então Aquiles percorrerá uma distância 
𝑑
8
. 
... 
A tartaruga percorre uma distância 
𝑑
2𝑛
, então Aquiles percorrerá uma distância 
𝑑
4𝑛
, onde 
𝑛 é um natural não nulo. 
E assim por diante, num processo infinito.” 
A comunidade grega, estarrecida com o paradoxo proposto por Zeno, concluiu que 
Aquiles nunca alcançará a tartaruga, pois quando este passa por uma posição 
hipotética A, a tartaruga se encontra na posição B, e quando Aquiles chega em B, a 
tartaruga está em C, e assim por diante, até o infinito. 
Atualmente, este problema conta com inúmeras propostas de solução, matemáticas, 
físicas (a citar a proposta extremamente rigorosa da Mecânica Quântica) e etc. 
O maior avanço com respeito a este problema ocorre com o advento dos limites, os 
quais estabelecem que, a soma das distâncias percorridas por Aquiles é tal que: 
S𝑛 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
+
1
128
+
1
256
+
1
512
+
1
1024
+⋯+
1
2𝑛
+⋯ = 𝟏. 
Ou seja, o limite desta soma, quando o número de termos desta se aproxima do 
infinito, é igual a 1. 
Empregando a linguagem matemática, temos que 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝐒𝒏 = 𝟏. 
Isto significa que, em algum momento, Aquiles alcançará a tartaruga, pois percorre as 
distâncias de tal forma que: 
𝟏
𝟐
𝒅 +
𝟏
𝟒
𝒅 +
𝟏
𝟖
𝒅 +⋯+
𝟏
𝟐𝒏
𝒅 +⋯ = 𝒅(
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟖
+⋯+
𝟏
𝟐𝒏
𝒅 +⋯) = 𝒅. 𝐒𝒏 = 𝒅. 
E assim, Aquiles percorrerá a mesma distância 𝑑 que a tartaruga, consequentemente a 
alcançando. 
Este paradoxo é uma interessante introdução às Séries. 
2. Definição de Série Matemática 
Utilizamos o nome Série para nos referirmos a uma soma cujo limite superior é o 
infinito. 
Como no exemplo acima, a Série em questão é: 
∑(
𝟏
𝟐𝒌
) =
∞
𝟏
∑𝟐−𝒌 
∞
𝟏
. 
Também são exemplos de Séries: 
1. ∑ 5−𝑘
∞
0
; 
2. ∑
1
𝑘!
∞
0 ; 
3. ∑
1
√𝑘
∞
1 . 
Em geral, uma Série é uma soma do tipo: 
S𝑛 =∑𝒇(𝒌)
∞
𝒂
. 
Uma importanteconsideração a respeito das Séries é o Critério de Convergência. 
I. Dizemos que uma Série é convergente, se e somente se, existe um único número 𝒑 
para o qual esta tende (se aproxima de maneira infinitesimal, porém nunca 
chegando, de fato, a este valor). 
Matematicamente: 
𝐒𝒏 é convergente ⇔ ∃ 𝒑: 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝐒𝒏 = 𝒑. 
II. Dizemos que uma Série é divergente, se e somente se, não existe um número 𝒑 
para o qual esta tende. 
Matematicamente: 
𝐒𝒏 é divergente ⇔ ∄ 𝒑: 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝐒𝒏 = 𝒑. 
É claro que, para efeitos de simplificação, omitimos os detalhes mais rigorosos para a 
classificação das Séries, os quais serão estudados na disciplina de Cálculo, nas 
universidades. 
Os tipos de Séries com os quais iremos nos preocupar nesta teoria são as denominadas 
Séries Geométricas, que, como o próprio nome sugere, são Séries relacionadas às 
Progressões Geométricas. 
Assumiremos que você, caro leitor, está familiarizado com o conceito geral de uma 
Progressão Geométrica, principalmente com a soma dos termos desta, pois não iremos 
nos preocupar com a demonstração da mesma. 
Aprendemos que a soma 𝑆𝑛 de uma progressão geométrica de 𝑛 termos (sendo, 
portanto, finita) é dada pela fórmula: 
𝐒𝒏 =
𝒂𝟏(𝒒
𝒏−𝟏)
𝒒−𝟏
, onde 𝒒 é a razão da progressão geométrica. 
Como frisamos anteriormente, esta é a fórmula da soma dos 𝑛 termos de uma 
progressão geométrica, com 𝒏 ∈ [𝟏,∞[, ou 𝑛 ≪ ∞. 
No caso de uma Série Geométrica, devemos ter que |𝒒| < 𝟏, para que esta seja 
convergente. 
Atenção leitor, utilizaremos a noção de Limite para demonstrarmos a fórmula de uma 
Série Geométrica, portanto, não se preocupe com este conceito, pois ficará mais claro 
com o decorrer da teoria. 
Consideremos a seguinte P.G: (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ..., 𝑎𝑛, ...) cujos termos vão até o infinito. 
Só faz sentido falarmos na soma desta P.G, se e somente se, sua razão tiver módulo 
menor que um, pois: 
Sabemos que a soma desta P.G é dada por 
 𝐒𝒏 =
𝒂𝟏(𝒒
𝒏−𝟏)
𝒒−𝟏
, porém, se esta P.G contém infinitos termos, esta não é a fórmula a 
ser aplicada para o cômputo da mesma. 
A fórmula a ser aplicada é obtida se fizermos sua razão se aproximar cada vez mais de 
zero e, para isso, devemos fazer o expoente 𝑛 tender a infinito, da seguinte maneira: 
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
 𝐒𝒏 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(
𝒂𝟏(𝒒
𝒏 − 𝟏)
𝒒 − 𝟏
) . 
Se a razão 𝑞 for um número cujo módulo é maior do que um, esta soma será 
estritamente divergente. 
Porém, como já explicitamos que |𝑞| < 1, faz sentido utilizarmos o limite tendendo ao 
infinito pois, um número muito próximo de zero, quando elevado a uma potência 
muito grande, tende a zero. 
Por exemplo, o número 0,00000001 = 10−8, quando elevado a um número 𝑛 
muito grande, por exemplo, para 𝑛 = 1099, se torna: 
(10−8)10
99
= (
1
108
)
1099
=
𝟏
(𝟏𝟎𝟖)
𝟏𝟎𝟗𝟗
. 
É fácil perceber que o denominador da fração obtida é muito próximo de zero, então 
dizemos que ele tende a zero. 
Dito isto, a demonstração da fórmula de uma Série Geométrica: 
𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ (
𝒂𝟏(𝒒
𝒏−𝟏)
𝒒−𝟏
) , |𝒒| < 𝟏; 
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(
𝒂𝟏(𝒒
𝒏 − 𝟏)
𝒒 − 𝟏
) = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
(
𝒂𝟏(𝟎 − 𝟏)
𝒒 − 𝟏
) =
𝒂𝟏
𝟏 − 𝒒
. 
Portanto, a fórmula de uma Série Geométrica de razão 𝑞, cujo módulo é menor do que 
um, é: 
𝐒𝒏 =∑𝒂𝒏 =
𝒂𝟏
𝟏 − 𝒒
.
∞
𝟏
 
Nossa teoria acerca das Séries termina aqui, pois, os outros tipos de Séries, como as 
Séries de Fourier, Séries de Taylor – MacLaurin e etc, fogem do escopo desta. 
No próximo subitem, veremos a definição do Limite de uma soma, lembrando que 
será apenas uma definição intuitiva, propondo uma melhor compreensão sobre a ideia 
de Limite, sem nos aprofundarmos neste. 
3. Intuição de Limite 
Imaginemos a função 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 3. 
O comportamento desta função, quando 𝑥 → 1 pode ser definido como o limite desta 
função quando seu valor 𝑥 tende ao número 1. 
Matematicamente: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
(𝟒𝒙 − 𝟑) . 
Quando tomamos 𝑥 = 0,9, temos que: 
𝒇(𝟎, 𝟗) = 𝟒(𝟎, 𝟗) − 𝟑 = 𝟎, 𝟔. 
Quando tomamos 𝑥 = 0,99, temos que: 
𝒇(𝟎, 𝟗𝟗) = 𝟒(𝟎, 𝟗𝟗) − 𝟑 = 𝟎, 𝟗𝟔. 
Quando tomamos 𝑥 = 0,999, temos que: 
𝒇(𝟎, 𝟗𝟗𝟗) = 𝟒(𝟎, 𝟗𝟗𝟗) − 𝟑 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟔. 
Quando tomamos 𝑥 = 0,9999, temos que: 
𝒇(𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗) = 𝟒(𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗) − 𝟑 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟔. 
Percebemos que, conforme o argumento 𝒙 se aproxima de 𝟏, o valor de 𝒇(𝒙) se 
aproxima do valor 1. 
Ou seja, dizemos que o limite para o qual a função 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟑 tende quando 𝒙 
se aproxima, de maneira infinitesimal, do número 1, é 1: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
(𝟒𝒙 − 𝟑) = 𝟏. 
Desta forma, o conceito de Limite pode ser entendido como um valor L para o qual 
uma função 𝒇(𝒙) qualquer tende quando seu argumento 𝒙 se aproxima de um 𝒂 
qualquer, pertencente ao domínio de 𝒇, sendo 𝑓 uma função contínua. 
E, quando estas condições são satisfeitas, dizemos que o limite existe e é tal que: 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) = 𝐋. 
A seguir, veremos este conceito aplicado às somas, também de maneira bem intuitiva 
e de fácil entendimento. 
 
4. Limite de uma soma 
Consideremos a seguinte soma: 
S = ∑𝑓(𝑘).
𝑏
𝑘=𝑎
 
Dizemos que a soma S possui como limite um número L, quando 𝑘 se aproxima de um 
número 𝑝, se e somente se: 
𝐥𝐢𝐦
𝒌→𝒑
𝐒 = 𝐋. 
De todo o conteúdo tratado neste capítulo VI, o conceito mais importante e que será cobrado nos 
exercícios é o conceito de Soma dos infinitos termos de uma Progressão Geométrica, ou 
simplesmente Limite de uma Série Geométrica. 
Os outros conceitos apresentados neste capítulo, como a intuição de limite e o limite de uma soma 
não serão tratados com profundidade, com exceção da Série Telescópica, a qual será apresentada 
num apêndice no capítulo 3. 
VII. Exercícios resolvidos 
1. Notação Sigma 
⊕− 1. Passe para a notação Sigma as seguintes somas: 
a) 1 + 4 + 9 +⋯+ 𝑛²; 
b) 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+⋯+
1
𝑛
; 
c) 0 + 0 + 0 +⋯; 
d) 𝑡𝑔 𝜋 + 𝑡𝑔
𝜋
3
+ 𝑡𝑔
𝜋
9
+⋯+ 𝑡𝑔
𝜋
3𝑛
; 
e) ln 1 + ln 2 + ln 3 +⋯+ ln(𝑛 − 1); 
f) 1 + 4 + 16 +⋯+ 4𝑛. 
 
R: 
Temos que: 
a) 1 + 4 + 9 +⋯+ 𝑛2 =∑ 𝑘²
𝑛
1
; 
b) 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+⋯+
1
𝑛
=∑
1
𝑘
𝑛
1
; 
c) 0 + 0 + 0 +⋯ = ∑ 0𝑛0 ; 
d) 𝑡𝑔 𝜋 + 𝑡𝑔
𝜋
3
+ 𝑡𝑔
𝜋
9
+⋯+ 𝑡𝑔
𝜋
3𝑛
=∑ 𝑡𝑔
𝜋
3𝑘
𝑛
0
; 
e) ln 1 + ln 2 + ln 3 +⋯+ ln(𝑛 − 1) = ∑ ln 𝑘𝑛−11 ; 
f) 1 + 4 + 16 +⋯+ 4𝑛 =∑ 4𝑘
𝑛
0
. 
 
⊕⊕− 2. Calcule o número de termos das seguintes somas: 
a) ∑ 𝑎𝑚−87 , 𝑎 ∈ ℝ+
∗ ; 
b) ∑ 31281 ; 
c) ∑ (3 + 𝑘𝑖)171 , 𝑖 = √− 1. 
 
R: 
a) Temos a soma da constante 𝑎. 
Do termo geral das progressões aritméticas, temos que: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 ⇒ 𝑚 − 8 = 7 + (𝑛 − 1); 
𝑛 = 𝑚 − 14 termos. 
b) Temos a soma da constante 3. 
128 = 1 + (𝑛 − 1); 
𝑛 = 128 termos. 
c) Temos a seguinte soma: 
(3 + 𝑖) + (3 + 2𝑖) + (3 + 3𝑖) + ⋯+ (3 + 17𝑖). 
É fácil concluir que o número de termos 𝑛 é dado por: 
3 + 17𝑖 = (3 + 𝑖) + (𝑛 − 1)𝑖; 
3 + 17𝑖 = 3 + 𝑖 + 𝑛. 𝑖 − 𝑖; 𝟑 + 𝟏𝟕𝒊 = 𝟑 + 𝒏. 𝒊. 
Da igualdade dos números complexos, temos que dois números complexos 𝑧 e 𝑤 são 
iguais se, e somente se, Re(𝑧) = Re(𝑤) e Im(𝑧) = Im(𝑤). 
Assim, temos os complexos 3 + 17𝑖 e 3 + 𝑛. 𝑖. 
3 + 17𝑖 = 3 + 𝑛. 𝑖; 
3 = 3; Re(3 + 17𝑖) = Re(3 + 𝑛. 𝑖); 
𝑛 = 17; Im(3 + 17𝑖) = Im(3 + 𝑛. 𝑖); 
Logo, 𝒏 = 𝟏𝟕. 
 
⊕⊕⊕− 3. Mostre que: 
𝑎) ∑ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑘 =
1
2
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
𝑛−1
𝑘=1
(𝑛2 − 𝑛), onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são constantes reais 
não nulas. 
𝑏)∑
𝑘
𝑎+𝑏+𝑐
=
(𝑚+𝑛)(𝑚+𝑛+1)
2(𝑎+𝑏+𝑐)𝑚+𝑛
𝑘=1
, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são constantes reais não nulas. 
 
R: 
𝑎) Sendo 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes, vale a P2: 
∑(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑘
𝑛−1
𝑘=1
= (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)∑𝑘
𝑛−1
𝑘=1
. 
Obtemos a seguinte soma: 
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)∑𝑘
𝑛−1
𝑘=1
= (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(1 + 2 +⋯+ (𝑛 − 1)). 
Da soma dos 𝑛 primeiros naturais (soma de uma P.A com 𝑛 termos e razão 1), temos 
que: 
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(1 + 2 +⋯+ (𝑛 − 1)) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(1 + 2 +⋯+ (𝑛 − 1) + 𝑛 − 𝑛) 
= (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)((1 + 2 +⋯+ 𝑛) − 𝑛) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) (
1
2
𝑛(𝑛 + 1) − 𝑛)
= (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(
𝑛(𝑛 + 1) − 2𝑛
2
) = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) (
𝑛2 + 𝑛 − 2𝑛
2
) 
= (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) (
𝑛2−𝑛
2
) =
1
2
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑛2 − 𝑛), Q.E.D. 
 
𝑏) Novamente, por 𝑎, 𝑏 e 𝑐 serem constantes, vale a P2: 
∑
𝑘
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
=
1
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
∑ 𝑘.
𝑚+𝑛
𝑘=1
𝑚+𝑛
𝑘=1
 
Assim, obtemos a relação: 
1
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
∑ 𝑘 =
1
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
(1 + 2 +⋯+ (𝑚 + 𝑛))
𝑚+𝑛
𝑘=1
. 
 
Temos a soma de uma progressão aritmética de razão 1, primeiro termo igual a 1 e 
último termo igual a (𝑚 + 𝑛). 
Seja 𝑥 o número de termos desta P.A. 
Assim: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 ⟹ (𝑚 + 𝑛) = 1 + (𝑥 − 1); 𝑥 = (𝑚 + 𝑛). 
Assim, pela fórmula dos termos de uma P.A: S𝑛 =
1
2
𝑛(𝑎1 + 𝑎𝑛), temos: 
1 + 2 +⋯+ (𝑚 + 𝑛) =
1
2
(𝑚 + 𝑛)(1 + (𝑚 + 𝑛)). 
Então: 
1
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
(1 + 2 +⋯+ (𝑚 + 𝑛)) =
1
2
(𝑚 + 𝑛)(1 + (𝑚 + 𝑛))
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
 
=
(𝑚+𝑛)(𝑚+𝑛+1)
2(𝑎+𝑏+𝑐)
, Q.E.D. 
 
2. Propriedades e Soma Telescópica 
 
⊕− 4. Obtenha o valor das somas: 
𝑎)∑
1
√3
(𝑘2 + 𝑘)
5
1
; 
𝑏) ∑ 2151 ; 
𝑐) 5 +∑𝑘
4
1
. 
 
R: 
𝑎)∑
1
√3
(𝑘2 + 𝑘)
5
1
=
1
√3
∑(𝑘² + 𝑘) =
1
√3
(∑𝑘2
5
1
+∑𝑘
5
1
)
5
1
 
=
1
√3
((12 + 22 + 32 + 42 + 52) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5)) =
70
√3
. 
𝑏)15 = 1 + (𝑛 − 1); 𝑛 = 15. 
∑2
15
1
= 15.2 = 30. 
𝑐) 5 +∑𝑘
4
1
= 5 + (1 + 2 + 3 + 4) = 15. 
 
⊕⊕⊕− 5. Obtenha o valor da soma: 
1
6.11
+
1
11.16
+
1
16.21
+
1
21.26
+⋯+
1
1001.1006
. 
 
R: 
Temos a seguinte soma: 
1
𝟔. 𝟏𝟏
+
1
𝟏𝟏. 𝟏𝟔
+
1
𝟏𝟔. 𝟐𝟏
+
1
𝟐𝟏. 𝟐𝟔
+ ⋯+
1
𝟏𝟎𝟎𝟏. 𝟏𝟎𝟎𝟔
. 
Observe que os números marcados em preto formam esta sequência I: 
I: (6, 11, 16, 21, ..., 1001), a qual é uma progressão aritmética de primeiro termo 
igual a 6, e razão igual a 5. 
Enquanto que os números marcados em vermelho formam esta sequência II: 
II: (11, 16, 21, 26, ..., 1006), a qual é uma progressão aritmética de primeiro termo 
igual a 11, e razão igual a 5. 
Temos que o termo geral da primeira sequência é dado por: 
I: 𝑎𝑛 = 6 + (𝑛𝑎 − 1)5 ⟹ 𝑎𝑛 = 6 + 5𝑛𝑎 − 5 = 𝟓𝒏𝒂 + 𝟏. 
O termo geral da segunda sequência é dado por: 
II: 𝑏𝑛 = 11 + (𝑛𝑏 − 1)5 ⟹ 𝑏𝑛 = 11 + 5𝑛𝑏 − 5 = 𝟓𝒏𝒃 + 𝟔. 
O número de termos da sequência I é dado por: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 ⟹ 1001 = 6 + (𝒏𝒂 − 1)5. 
𝒏𝒂 = 200. 
O número de termos da sequência II é dado por: 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 ⟹ 1006 = 11 + (𝒏𝒃 − 1)5. 
𝒏𝒃 = 200. 
Com base nos dados obtidos acima, podemos afirmar que esta soma é tal que: 
1
6.11
+
1
11.16
+
1
16.21
+
1
21.26
+⋯+
1
1001.1006
= ∑
𝟏
(𝟓𝒏 + 𝟏)(𝟓𝒏 + 𝟔)
𝟐𝟎𝟎
𝒏=𝟏
. 
Expandindo o argumento 
1
(5𝑛+1)(5𝑛+6)
 em frações parciais, obtemos: 
1
(5𝑛 + 1)(5𝑛 + 6)
=
𝟏
𝟓(𝟓𝒏 + 𝟏)
−
𝟏
𝟓(𝟓𝒏 + 𝟔)
. 
Então: 
∑
1
(5𝑛 + 1)(5𝑛 + 6)
= ∑(
𝟏
𝟓(𝟓𝒏 + 𝟏)
−
𝟏
𝟓(𝟓𝒏 + 𝟔)
)
𝟐𝟎𝟎
𝒏=𝟏
200
𝑛=1
. 
Temos que, da P2, podemos fatorar a constante 
1
5
, pois: 
∑(
𝟏
𝟓(𝟓𝒏 + 𝟏)
−
𝟏
𝟓(𝟓𝒏 + 𝟔)
) = ∑(
𝟏
𝟓
 
𝟏
(𝟓𝒏 + 𝟏)
−
𝟏
𝟓
 
𝟏
(𝟓𝒏 + 𝟔)
)
𝟐𝟎𝟎
𝒏=𝟏
𝟐𝟎𝟎
𝒏=𝟏
 
= ∑[
𝟏
𝟓
(
𝟏
𝟓𝒏 + 𝟏
−
𝟏
𝟓𝒏 + 𝟔
)]
𝟐𝟎𝟎
𝒏=𝟏
=
𝟏
𝟓
∑(
𝟏
𝟓𝒏 + 𝟏
−
𝟏
𝟓𝒏 + 𝟔
)
𝟐𝟎𝟎
𝒏=𝟏
. 
Observemos que, se considerarmos a função 𝑓(𝑛) = 5𝑛 + 1, e calcularmos 𝑓(𝑛 + 1), 
 obteremos o padrão da Soma Telescópica, pois: 
Seja 𝑓(𝑛) = 5𝑛 + 1, calculando 𝒇(𝒏 + 𝟏) ⟹ 𝑓(𝑛 + 1) = 5(𝑛 + 1) + 1 = 𝟓𝒏 + 𝟔. 
Então: 
𝟏
𝟓
∑(
𝟏
𝟓𝒏 + 𝟏
−
𝟏
𝟓𝒏 + 𝟔
)
𝟐𝟎𝟎
𝒏=𝟏
=
𝟏
𝟓
∑(𝒇(𝒏) − 𝒇(𝒏 + 𝟏)).
𝟐𝟎𝟎
𝒏=𝟏
 
Da Propriedade Telescópica, temos que: 
∑(𝒇(𝒌) − 𝒇(𝒌 + 𝟏)) = 𝒇(𝒂) − 𝒇(𝒃 + 𝟏)
𝒃
𝒂
. 
Assim: 
𝟏
𝟓
∑ (
𝟏
𝟓𝒏+𝟏
−
𝟏
𝟓𝒏+𝟔
)
𝟐𝟎𝟎
𝒏=𝟏
=
𝟏
𝟓
∑ (𝒇(𝒏) − 𝒇(𝒏 + 𝟏)) =
𝟏
𝟓
(𝒇(𝟏) − 𝒇(𝟐𝟎𝟎 + 𝟏))
𝟐𝟎𝟎
𝒏=𝟏
, 
onde 𝑓(𝑛) = 5𝑛 + 1. 
Enfim, 
𝟏
𝟓
∑(𝒇(𝒏) − 𝒇(𝒏 + 𝟏)) =
𝟏
𝟓
(
𝟏
𝟓. 𝟏 + 𝟏
−
𝟏
𝟓. 𝟐𝟎𝟏 + 𝟏
) =
𝟏
𝟓
𝟐𝟎𝟎
𝒏=𝟏
(
𝟏
𝟔
−
𝟏
𝟏𝟎𝟎𝟔
) =
𝟓𝟎
𝟏𝟓𝟎𝟗
. 
 
⊕⊕− 6. Demonstre que: 
𝑎) ∑ (cos 𝑘 − cos(𝑘 + 1)) = 2𝑠𝑒𝑛2 (
361°
2
)
360°
0°
; 
𝑏) ∑
1
𝑘(𝑘−1)
=
999
1000
1000
2
; 
𝑐) ∑ 47001 = 2800; 
𝑑) ∑ (𝑘² + 𝑘 + 1) + ∑ (𝑘2 + 𝑘 + 1)3𝑚+1
𝑚
1
, 𝑚 ∈ ℕ > 3 = 23. 
 
R: 
𝑎) Aplicação direta da Propriedade Telescópica. 
Temos, então, que: 
∑(cos 𝑘 − cos(𝑘 + 1))
360°
0°
= cos(0°) − cos(361°) . 
Das fórmulas de Prostaferese, temos que: 
𝐜𝐨𝐬𝒂 − 𝐜𝐨𝐬𝒃 = − 𝟐𝒔𝒆𝒏(
𝒂 + 𝒃
𝟐
) 𝒔𝒆𝒏(
𝒂 − 𝒃
𝟐
) . 
Assim: 
cos(0°) − cos(361°) = − 2𝑠𝑒𝑛 (
0° + 361°
2
) 𝑠𝑒𝑛 (
0° − 361°
2
)
= − 𝟐𝒔𝒆𝒏(
𝟑𝟔𝟏°
𝟐
) 𝒔𝒆𝒏 (−
𝟑𝟔𝟏°
𝟐
) . 
Da paridade da função seno, sabemos que: 
𝒔𝒆𝒏(− 𝒙) = − 𝒔𝒆𝒏 𝒙. 
 
Então: 
= − 𝟐𝒔𝒆𝒏(
𝟑𝟔𝟏°
𝟐
) 𝒔𝒆𝒏(−
𝟑𝟔𝟏°
𝟐
) = − 𝟐𝒔𝒆𝒏(
𝟑𝟔𝟏°
𝟐
) (− 𝒔𝒆𝒏(
𝟑𝟔𝟏°
𝟐
)) = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 (
𝟑𝟔𝟏°
𝟐
). 
𝑏) ∑
1
𝑘(𝑘 − 1)
=
1000
2
∑ (
1
𝑘 − 1
−
1
𝑘
)
1000
2
. 
Aplicando a Propriedade Telescópica e considerando a função 𝑓(𝑘) =
1
𝑘−1
, obtemos: 
∑ (
1
𝑘 − 1
−
1
𝑘
)
1000
2
= 1 −
1
1001 − 1
= 1 −
1
1000
=
𝟗𝟗𝟗
𝟏𝟎𝟎𝟎
. 
𝑐) ∑4
700
1
= 4.700 = 2800. 
𝑑) Fora demonstrado no item sobre as propriedades, que: 
∑𝒇(𝒌) +∑𝒇(𝒌) =∑𝒇(𝒌).
𝒃
𝒂
𝒃
𝒑+𝟏
𝒑
𝒂
 
Assim: 
∑(𝑘² + 𝑘 + 1) + ∑(𝑘2 + 𝑘 + 1) =∑(𝑘2 + 𝑘 + 1) = 3 + 7 + 13 = 𝟐𝟑.
3
1
3
𝑚+1
𝑚
1
 
 
3. Séries Geométricas 
 
⊕⊕⊕− 7. Se: 
1
3
+
1
4
+
1
9
+
1
16
+⋯+
1
3𝑛
+
1
4𝑛
+⋯ =
𝑝
𝑞
, obtenha o resto da divisão de 𝑝 por 𝑝 + 𝑞 
sabendo-se que esta soma é infinita. 
 
R: 
Veja que: 
𝟏
𝟑
+
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟗
+
𝟏
𝟏𝟔
+⋯+
𝟏
𝟑𝒏
+
𝟏
𝟒𝒏
+⋯
= (
𝟏
𝟑
+
𝟏
𝟗
+⋯+
𝟏
𝟑𝒏
+⋯) + (
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟏𝟔
+⋯
𝟏
𝟒𝒏
+⋯) 
=∑
𝟏
𝟑𝒌
+∑
𝟏
𝟒𝒌
∞
𝒌=𝟏
∞
𝒌=𝟏
. 
 
Sabemos que a razão da P.G (
1
3
, 
1
9
, ... ) é 
1
3
< 1, logo, a soma infinita de seus termos 
(ou o limite para o qual a soma de seus termos converge, quando o número de termos 
tende ao infinito) é dada por: 
lim
𝑛→∞
S𝑛 =
𝑎1
1 − 𝑞
=
1
3
1 −
1
3
=
𝟏
𝟐
. 
 
Do mesmo modo, a razão da PG (
1
4
, 
1
16
, ... ) é 
1
4
< 1, e o limite da soma dos termos 
desta P.G infinita é dado por: 
S𝑛 =
𝑎1
1 − 𝑞
=
1
4
1 −
1
4
=
𝟏
𝟑
. 
Assim, como 
1
2
+
1
3
=
𝑝
𝑞
, temos que 
𝑝
𝑞
=
5
6
. 
Então, 𝑝 = 5 e 𝑞 = 6. 
O resto da divisão de