Aula 06 - Série Pagamentos Uniformes

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
AULA 6 – SÉRIE PAGAMENTOS UNIFORMES
Conteúdo Programático desta aula
 Uma Série Prestações Iguais; 
 Fator de Capitalização para prestações iguais; 
 Cálculo do Calor Atual.
Série de pagamentos uniformes – AULA 06 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
O objetivo da série uniforme é obter fatores capazes de realizar a capitalização e o desconto de uma série de prestações iguais. 
A
...
1
2
3
4
n
5
i %
P P P P P . . . P 
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Taxa de juros
VALOR DO DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO
Antes de iniciarmos a série uniforme, vamos reforçar o conceito do valor do dinheiro no tempo.
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Taxa de juros
Exercício 1: Calcular o valor correspondente a um investimento de R$1.000,00 na data de hoje, à taxa de juros compostos de 3% ao mês, ao fim de 20 meses.
C = 1000
i = 3% am
M
n = 20 
M = o valor futuro
C = o valor presente investido
i = a taxa de juros
n = número de períodos
M = C . (1 + i ) n
M = 1000 ( 1 + 0,03 ) = 1000 . (1,03) = 1000 . 1,806111
M = 1806,11
Resp: O valor do investimento ao final dos 20 meses será de R$1.806,11
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Taxa de juros
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Taxa de juros
Exercício 2:
Qual o valor a ser investido na data de hoje à taxa de 2% ao mês para que ao final de um ano e meio o montante seja de R$1.428,24.
C 
i = 2% am
M = 1428,24
n = 18 meses
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Taxa de juros
M = C . (1 + i )
1428,24 = C ( 1 + 0,02 ) 
1428,24 = C ( 1,02 )
1428,24 = C . 1,428246 (da Tabela)
C = 1000
Resp: O valor a ser investido é R$1.000,00
n
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Taxa de juros
Exercício 3:
Um laptop foi comprado a prazo com dois cheques pré-datados: um de R$1.000,00 para 30 dias e outro de R$1.5000,00 para 60 dias. Supondo que a taxa de juros compostos foi de 3% ao mês, calcule o valor à vista.
i = 3% am
P1 =1000
P2 = 1500
A = A1 + A2
0
1
2
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Taxa de juros
Considerando cada parcela isoladamente: 
o 1º montante é P1 e 
O 1º capital é A1. 
Nesse caso, n = 1. 
M = C . (1 + i )
P1 = A1 ( 1 + 0,03 ) 
1000 = A1 . 1,03 
A1 = 
A1 = 970,87
P1=1000
P2=1500
A =A1 + A2
0
1
2
n
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Taxa de juros
A1 = 970,87
O preço à vista do laptop é:
A = A1 + A2 = 970,87 + 1413,89 = R$2.384,76
P1=1000
P2=1500
A =A1 + A2
0
1
2
2
2
O 2º montante é P2 e o 2º capital é A2. Nesse caso, n = 2. 
P2 = A2 ( 1 + 0,03 ) 
1500 = A2 . (1,03) 
A2 = 
A2 = 1413,89
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Taxa de juros
SÉRIES DE PAGAMENTO UNIFORMES
Para uma série de pagamentos uniformes (prestação fixa), aplicamos a fórmula:
 	 	A = P . a
a é o fator de valor atual de uma série de pagamentos uniformes (da Tabela).
“a cantoneira i” ou “a, n, i”.
A
...
1
2
3
4
n
5
i %
 P P P P P . . . P 
A = P .
(1 + i) - 1 
i (1 + i) 
n
n
n¬i
n¬i
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Taxa de juros
FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES
a = 
(1 + i) - 1 
i . (1 + i) 
n
n
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Taxa de juros
SÉRIES DE PAGAMENTO UNIFORMES
Exemplo: Um automóvel custa R$30.000,00 à vista, mas foi financiado em 18 parcelas mensais iguais, a uma taxa de juros de 2% am. Qual o valor da prestação?
A
...
1
2
3
4
n = 18
5
i %
P P P P P . . . P 
Quando não há referência ao regime de juros, assume juros compostos. 
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Taxa de juros
Vamos cálculo do valor da prestação do automóvel:
a = a = 14,992031 (da Tabela: n=18 e i = 2%)
A = P . a
Logo: 30000 = P . 14,992031  P = R$ 2.001,06
E se fosse em 3 parcelas mensais?
n¬i
18¬2
n¬i
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Taxa de juros
FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES
a = 
(1 + i) - 1 
i . (1 + i) 
n
n
n¬i
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Taxa de juros
n = 3
A = P .
A = P . = = = 2,883883
 P = 30.000 / 2,883883 = R$10.402,64
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Taxa de juros
FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES
a = 
(1 + i) - 1 
i . (1 + i) 
n
n
n¬i
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Taxa de juros
Exercício 1:
Um certa quantia foi financiada em cinco prestações mensais e consecutivas de R$1.000,00, sendo a primeira 30 dias após a liberação do dinheiro. Se a taxa de juros compostos é 8% am, qual o valor do empréstimo?
A
1
2
3
4
5
1000 1000 1000 
1000 1000 
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Taxa de juros
i = 8% a.m.
n = 5
A = valor do empréstimo
a  a 
A = P . a
A = 1000 x 3,992710 (da Tabela de Valor Atual)
A = R$3.992,71
5¬8
5¬8
n¬i
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Taxa de juros
FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES
a = 
(1 + i) - 1 
i . (1 + i) 
n
n
n¬i
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Taxa de juros
Exercício 2:
Um equipamento foi vendido com R$1.500,00 de entrada e três prestações mensais iguais de R$1.225,48. Sabendo-se que os juros são 2% am, calcule o preço à vista.
Chamando a entrada de E e as prestações de P:
E
P1
P2
P3
A
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Taxa de juros
 O principal (A) corresponde ao valor atual das prestações na data zero somado à entrada (E):
A = E + P a
Onde: E = 1500 P = 1225.48
a = 2,883883 (da Tabela)
Logo:
A = 1500 + 1225,48 x 2,883883
A = R$5.000,00
3¬2
3¬2
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Taxa de juros
1 – Um imóvel foi comprado com R$65.000,00 de entrada e cinco prestações mensais iguais de R$10.225,48. Sabendo-se que os juros são 2% am, 
Dado que a = 4,713460, calcule o preço à vista. 
 
A = E + P . a
A = 65000 + 10225,48 x 4,713460
A = 65000 + 48197,39
A = R$113.197,39
5¬2
5¬2
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Taxa de juros
Exercícios
2 – Um serviço foi contratado por R$50.000,00 de entrada e três prestações mensais iguais de R$1.225,48. Sabendo-se que os juros são 2,5% am, calcule o preço à vista. 
Obs: da Tabela de Série de Pagamentos: 
a = 2,856024 
Resp: R$53.500,00
3¬2,5
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Taxa de juros
3 – Um caminhão foi comprado com R$60.000,00 de entrada e três prestações mensais iguais de R$1.225,48. Sabendo-se que os juros são 2,5% am, calcule o preço à vista. 
Obs: da Tabela Série de Pagamentos: 
a = 2,856024 
Resp: R$63.500,00
3¬2,5
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Taxa de juros
4 – Um equipamento foi comprado com R$70.000,00 de entrada e três prestações mensais iguais de R$1.225,48. Sabendo-se que os juros são 2,5% am, calcule o preço à vista. 
Obs: da Tabela Série de Pagamentos: 
a = 2,856024 
Resp: R$73.500,00
3¬2,5
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Taxa de juros
Resumo desta aula
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