Aula_4_Matem_tica_Financeira_A (1)

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05/04/2022 
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Matemática Financeira – ARA 0065 
 
Aula 4: Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
 
Profª Drª Ralyne Guerreiro 
As Séries de Pagamento / Recebimentos podem ser: 
Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
Postecipadas (pagamento 
inicia na data 1) 
Antecipadas (pagamento 
inicia da data zero) 
Os pagamentos começam a ocorrer no final do primeiro 
período, ou seja, a prestação inicial do financiamento é paga no 
final do primeiro período do prazo contratado. 
O valor presente pode ser calculado pela fórmula: 
 
 
 
2.1 Série Uniforme de Pagamentos Postecipada (pagamentos 
iniciam na data 1) 
Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 ×
(𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏× 𝒊
 
Sendo que: 
PV (ou A) = Valor presente, valor atual, valor inicial ou valor que será financiado 
PMT (ou P) = Pagamentos ou recebimentos (prestações) 
i = taxa de juros 
n = período 
2.1 Série Uniforme de Pagamentos Postecipada (pagamentos 
iniciam na data 1) 
Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
Exemplo 1: Um carro é vendido à vista por R$ 35.000,00. Um 
comprador deseja financiá-lo em 36 meses pagando uma taxa de 
1,99% ao mês. Calcule o valor da prestação sabendo que a primeira 
prestação foi paga um mês após a compra: 
 
PV = 35.000 
n = 36 meses 
i = 1,99 % a.m. 
PMT = ? 
𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 ×
(𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏× 𝒊
 
35.000 = 𝑃𝑀𝑇 ×
(1 + 0,0199)36−1
(1 + 0,0199)36× 0,0199
 
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2.1 Série Uniforme de Pagamentos Postecipada (pagamentos 
iniciam na data 1) 
Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
35.000 = 𝑃𝑀𝑇 ×
1,032700080
0,040450732
 
35.000 = 𝑃𝑀𝑇 × 25,52982454 
𝑃𝑀𝑇 =
35.000
25,52982454
 
𝑃𝑀𝑇 = 1.370,945575 ≅ 𝟏. 𝟑𝟕𝟎, 𝟗𝟓 
O comprador irá pagar uma prestação de R$ 1.370,95. 
2.1 Série Uniforme de Pagamentos Postecipada (pagamentos 
iniciam na data 1) 
Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
Exemplo 2: Um apartamento custa à vista R$ 200.000,00, mas pode 
ser adquirido com uma entrada de 20% e o financiamento do saldo 
restante em 60 prestações iguais mensais a uma taxa de juros de 2% 
ao mês. Calcule o valor das parcelas. 
 
PV = 200.000 
20% de 200.000= 40.000 
PV = 200.000-40.000 
PV = 160.000 
 
n= 60 m 
i = 2% a.m. 
PMT = ? 
𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 ×
(𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏× 𝒊
 
160.000 = 𝑃𝑀𝑇 ×
(1 + 0,02)60−1
(1 + 0,02)60× 0,02
 
2.1 Série Uniforme de Pagamentos Postecipada (pagamentos 
iniciam na data 1) 
Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
160.000 = 𝑃𝑀𝑇 ×
2,281030788
0,065620616
 
160.000 = 𝑃𝑀𝑇 × 34,76088667 
𝑃𝑀𝑇 =
160.000
34,76088667
 
𝑃𝑀𝑇 = 4.602,874532 ≅ 𝟒. 𝟔𝟎𝟐, 𝟖𝟕 
O valor de cada prestação será R$ 4.602,88. 
2.1 Série Uniforme de Pagamentos Postecipada (pagamentos 
iniciam na data 1) 
Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
Exemplo 3: Uma moto usada está sendo vendida por R$1.000,00 de 
entrada mais 12 pagamentos iguais mensais de R$ 500,00. Sabendo-
se que a taxa de juros de mercado é de 3,5% ao mês, determine o 
valor do preço à vista da moto. 
 
PV = ? 
i = 3,5% a.m. 
PMT = 500 
n=12 
𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 ×
(𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏× 𝒊
 
P𝑉 = 500 ×
(1 + 0,035)12−1
(1 + 0,035)12× 0,035
 
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2.1 Série Uniforme de Pagamentos Postecipada (pagamentos 
iniciam na data 1) 
Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
P𝑉 = 500 ×
0,511068657
0,052887403
 
P𝑉 = 500 × 9,663334328 
𝑃𝑉 = 4831,667164 ≅ 4.831,67 
𝟏. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟒. 𝟖𝟑𝟏, 𝟔𝟔 =5.831,66 
O valor à vista da noto é R$ 5.831,66. 
Agora, somando com o valor da entrada, temos: 
1. Ao comprar um par de tênis, paguei 5 parcelas mensais iguais 
de R$ 80,00 sem entrada. A loja cobrou uma taxa de juros de 
2,5% a.m. Qual seria o valor do par de tênis se quisesse tê-lo 
adquirido à vista? 
2. O preço de um apartamento à vista é de R$ 300.000,00. Um 
comprador ofereceu R$ 70.000,00 de entrada e o pagamento 
do saldo restante em 60 prestações iguais mensais financiado 
a uma taxa de juros de 3% a.m. Calcule o valor das prestações 
que o comprador deverá pagar. 
 
 
 
ATIVIDADE (pag. 84) 
O primeiro pagamento ocorre no ato de contratação do 
empréstimo ou financiamento, mas vale ressaltar que o valor 
desta primeira prestação é igual aos demais pagamentos com 
entrada. 
Temos agora: 
 
 
 
2.2 Série Uniforme de Pagamentos Antecipada (pagamentos 
iniciam na data zero) 
Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 ×
(𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏× 𝒊
 
Sendo que: 
PV (ou A) = Valor presente, valor atual, valor inicial ou valor que será financiado 
PMT (ou P) = Pagamentos ou recebimentos (prestações) 
i = taxa de juros 
n = período 
Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
Exemplo 1: Um carro é vendido à vista por R$ 35.000,00. Um 
comprador deseja financiá-lo em 36 meses pagando uma taxa de 
1,99% ao mês. Calcule o valor da prestação sabendo que a primeira 
prestação foi paga no ato da compra: 
 
PV = 35.000 
n = 36 meses 
i = 1,99 % a.m. 
PMT = ? 
𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 ×
(𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏× 𝒊
 
35.000 = 𝑃𝑀𝑇 ×
(1 + 0,0199)36−1
(1 + 0,0199)35× 0,0199
 
2.2 Série Uniforme de Pagamentos Antecipada (pagamentos 
iniciam na data zero) 
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Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
35.000 = 𝑃𝑀𝑇 ×
1,032700080
0,039661468
 
35.000 = 𝑃𝑀𝑇 × 26,03786829 
𝑃𝑀𝑇 =
35.000
26,03786829
 
𝑃𝑀𝑇 =≅ 𝟏. 𝟑𝟒𝟒, 𝟏𝟗𝟔𝟎𝟔𝟏 ≅ 𝟏. 𝟑𝟒𝟒, 𝟐𝟎 
O comprador irá pagar uma prestação de R$ 1.344,18. 
2.2 Série Uniforme de Pagamentos Antecipada (pagamentos 
iniciam na data zero) 
Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
Exemplo 2: Uma loja oferece um liquidificador a ser pago em 4 
parcelas iguais mensais de R$ 30,00 sendo a primeira parcela paga 
no ato da compra (1+4). Sabendo que a taxa de juros cobrada pela 
loja é de 3% ao mês, qual o valor do liquidificador à vista? 
 
n= 4 meses 
PMT= 30,00 
i= 3% a.m. 
PV=? 
 
𝑷𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 ×
(𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏× 𝒊
 
P𝑉 = 30 ×
(1 + 0,03)4−1
(1 + 0,03)3× 0,03
 
2.2 Série Uniforme de Pagamentos Antecipada (pagamentos 
iniciam na data zero) 
Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
P𝑉 = 30 ×
0,125508810
0,032781810
 
P𝑉 = 30 × 3,828611355 
𝑃𝑉 = 114,8583406 ≅ 114,86 
O valor de cada prestação será R$ 114,86. 
2.2 Série Uniforme de Pagamentos Antecipada (pagamentos 
iniciam na data zero) 
ATIVIDADE pag. 84 
3. Uma loja vende notebooks em quatro pagamentos mensais 
iguais, sendo 1+3 pagamentos. O valor à vista do computador é 
de R$ 2.199,00, a loja opera a uma taxa de juros compostos de 
4% ao mês. Nessas condições, qual o valor de cada prestação? 
5. Uma TV LCD de 32 polegadas é oferecida em duas lojas nas 
seguintes condições: 
Loja A – 3 parcelas mensais de R$ 600,00, sendo uma destas 
prestações consideradas como entrada. 
Loja B – 5 parcelas mensais de R$ 250,00, com uma entrada de 
700,00. 
Qual é a melhor proposta de compra, sabendo-se que a taxa 
utilizada foi de 2,5% ao mês? 
 
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Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
2.3 Plano de Poupança 
Pode ser que haja o interesse em calcular o Valor Futuro. Este é 
encontrado pelo somatório dos valores futuros (montantes) de 
cada um dos termos (PMT) da série de pagamentos/recebimentos. 
Isso chamamos de Plano de Poupança. 
Então, temos: 
 
 
 
 
 
 
*Para série postecipada, onde os depósitos são efetuados no final 
do período. 
 
 
𝑭𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 ×
(𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏
𝒊
 
Sendo que: 
FV = Valor futuro, montante acumulado. 
PMT= Pagamentos / depósitos 
i = taxa de juros 
n = período / número de prestações em determinado período 
Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
Exemplo 1: Pretendo depositar R$ 100,00 durante 3 meses na 
poupança a uma taxa de 2% ao mês. Qual o valor acumulado na 
poupança ao final dos 3 meses? 
 
PMT = 100 
n = 3 meses 
i = 2 % a.m. 
FV = ? 
𝑭𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 ×
(𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏
𝒊
 
F𝑉 = 100 ×
(1 + 0,02)3−1
0,02
 
2.3 Plano de Poupança 
F𝑉 = 100 ×
0,061208
0,02
 F𝑉 = 100 × 3,0604 = 306,04 
O valor acumulado na poupança será de R$306,04. 
Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
Exemplo 2: Se meu filho entrar na faculdade daqui 5 anos pretendodar um carro a ele no valor de R$ 30.000,00. Quanto devo depositar, 
mensalmente para obter o montante necessário ao final deste 
período, supondo que a taxa mensal de recuperação da poupança é 
de 0,6% ao mês? 
 
n = 5 anos →60m 
FV= 30.000 
PMT=? 
i = 0,6 % a.m. 
 
𝑭𝑽 = 𝑷𝑴𝑻 ×
(𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏
𝒊
 
30.000 = 𝑃𝑀𝑇 ×
(1 + 0,006)60−1
0,006
 
2.3 Plano de Poupança 
30.000 = 𝑃𝑀𝑇 ×
0,431788412
0,006
 
Série de Pagamentos / 
Recebimentos 
2.3 Plano de Poupança 
Deverei depositar mensalmente R$ 416,87. 
30.000 = 𝑃𝑀𝑇 × 71,96473533 
𝑃𝑀𝑇 =
30.000
71,96473533
 
𝑃𝑀𝑇 = 416,8708445 ≅ 416,87 
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ATIVIDADE pag. 84 
4. Quanto uma pessoa tem que aplicar no final de cada mês para 
acumular R$ 10.000,00 para viajar à Europa daqui a 2 anos, 
sabendo que a taxa de juros da aplicação é de 2% ao mês? 
6. Um investidor aplicará, no final de cada mês, a quantia de R$ 
1.500,00 em uma alternativa de poupança que rende 0,7% ao 
mês. Que montante irá resgatar após 3 anos? 
 
Referências Bibliográficas 
PACIFICO, Ornella. Matemática financeira. Rio de Janeiro: SESES, 
2014.