GabL3 LinII mat 19I

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IME-UERJ-DEP II
Prof. Jessica Gavia
GABARITO 3a LISTA DE A´LGEBRA LINEAR II
1. (b)
• u = (x1, y1), v = (x2, y2), z = (x3, y3),
〈u+ v, z〉 = 〈(x1 + x2, y1 + y2), (x3, y3)〉
= 2(x1 + x2)x3 − (x1 + x2)y3 − x3(y1 + y2) + 2(y1 + y2)y3
= (2x1x3 − x1y3 − x3y1 + 2y1y3) + (2x2x3 − x2y3 − x3y2 + 2y2y3)
= 〈(x1, y1), (x3, y3)〉+ 〈(x2, y2), (x3, y3)〉
= 〈u, z〉+ 〈v, z〉
• u = (x1, y1), v = (x2, y2), λ ∈ R,
〈λu, v〉 = 〈λ(x1, y1), (x2, y2)〉 = 〈(λx1, λy1), (x2, y2)〉
= 2λx1x2 − λx1y2 − x2λy1 + 2λy1y2
= λ(2x1x2 − x1y2 − x2y1 + 2y1y2)
= λ 〈u, v〉
• u = (x1, y1), v = (x2, y2)
〈u, v〉 = 〈(x1, y1), (x2, y2)〉 = 2x1x2 − x1y2 − x2y1 + 2y1y2
= 2x2x1 − x2y1 − x1y2 + 2y2y1
= 〈v, u〉
• u = (x1, y1)
〈u, u〉 = 〈(x1, y1), (x1, y1)〉 = 2x1x2 − x1y2 − x2y1 + 2y1y2
= 2x21 − 2x1y1 + 2y21
= (x1 − y1)2 + x21 + y21 ≥ 0,
Claramente 〈u, u〉 = 0⇒ x1 = y1 = 0⇒ u = 0
2. • A = [aij], B = [bij], C = [cij ],
〈A+B,C〉 = (a11 + b11)c11 + 2(a12 + b12)c12 + 3(a21 + b21)c21 + (a22 + b22)c22
= (a11c11 + 2a12c12 + 3a21c21 + a22c22) + (b11c11 + 2b12c12 + 3b21c21 + b22c22)
= 〈A,C〉+ 〈B,C〉
• A = [aij], B = [bij], λ ∈ R,
〈λA,B〉 = λa11b11 + 2λa12b12 + 3λa21c21 + λa22b22
= λ(a11b11 + 2a12b12 + 3a21b21 + a22b22)
= λ 〈A,B〉
1
•
〈A,B〉 = a11b11 + 2a12b12 + 3a21c21 + a22b22
= a11b11 + 2a12b12 + 3a21b21 + a22b22
= b11a11 + 2b12a12 + 3b21a21 + b22a22
= 〈B,A〉
•
〈A,A〉 = a11a11 + 2a12a12 + 3a21a21 + a22a22
= |a11|2 + 2|a12|2 + 3|a21|2 + |a22|2 ≥ 0
E´ claro que 〈A,A〉 = 0⇒ aij = 0⇒ A = 0
3. temos 〈u− v, w〉 = 0, ∀w ∈ X. Para todo z ∈ V , temos z = ∑i=ki=1 aiwi,
onde wi ∈ X, logo:
〈u− v, z〉 =
〈
u− v,∑i=ki=1 aiwi〉 = ∑i=ki=1 ai 〈u− v, wi〉 = 0, pois wi ∈ X.
Tomando z = u− v, obtemos 〈u− v, u− v〉 = 0⇒ u− v = 0⇒ u = v.
4. 〈‖u‖ v + ‖v‖u, ‖u‖ v − ‖v‖u〉 = ‖u‖2 〈v, v〉−‖u‖ ‖v‖ 〈v, u〉︸ ︷︷ ︸
〈u,v〉
+ ‖v‖ ‖u‖ 〈u, v〉−
‖v‖2 〈u, u〉 = ‖u‖2 〈v, v〉−‖v‖2 〈u, u〉 = ‖u‖2 ‖v‖2−‖v‖2 ‖v‖2 = 1−1 = 0,
pois o p.i. e´ real.
5. 〈u+ v, u+ v〉 + 〈u− v, u− v〉 = 〈u, u〉 + 〈u, v〉 + 〈v, u〉 + 〈v, v〉 + 〈u, u〉 −
〈u, v〉 − 〈v, u〉+ 〈v, v〉 =
= 〈u, u〉+ 〈v, v〉+ 〈u, u〉+ 〈v, v〉 = 2 ‖u‖2 + 2 ‖v‖2
6. Feito em aula.
7. A rec´ıproca: u = λv ⇒ |〈u, v〉| = |〈λv, v〉| = |λ| ‖v‖2 = ‖λv‖ ‖v‖ =
‖u‖ ‖v‖.
Para implicac¸a˜o direta, encontraremos λ tal que u = λv,
u = λv ⇔ 0 = 〈u− λv, u− λv〉 = ‖u‖2 − 2Re(λ 〈v, u〉) + |λ|2 ‖v‖2 ,
a igualdade acima verifica-se com λ =
〈v, u〉
‖v‖2 , verifique.
8. (a) Na˜o e´ ortogonal, pois u • w = 3 6= 0
(b) E´ ortogonal
(c) E´ ortonormal
2
9. cosθ =
〈1 + t, 1− t〉
‖1 + t‖ ‖1 + bt‖ =
2√
7
⇒ θ = 73, 4o. Procurando h(t) = 1 + bt tal
que
〈1 + t, 1 + bt〉
‖1 + t‖ ‖1 + bt‖ =
1
2 , resulta h(t) = 1− 43 t.
10. Feito em aula.
11. CORREC¸A˜O: Considere R3 com p.i. usual. Dados os vetores u = (2,−1, 2),
v = (1, 2, 1), w = (−2, 3, 3), determine o vetor projec¸a˜o ortogonal de w
sobre o plano gerado por u e v.
Resposta: projW (w) =
1
2 (1, 6, 1).
12. (a) u1 = (3, 0, 0), u2 = (0, 3, 0), u3 = (0, 0, 1),
(b) u1 = (−1, 1, 0), u2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 0, 3).
13. (a) v1 =
1
7 (2, 6, 3), v2 =
1
7 (−3,−2, 6), w = 17 (6,−3, 2),
(b) u = 113 (3, 4, 12), v =
1
13 (4,−12, 3), w = 113 (−12,−3, 2).
14. CORREC¸A˜O: V e´ um espac¸o vetorial real.
ui = 0 · u1 + · · ·+ 1 · ui + · · ·+ 0 · un ⇒ ‖ui‖2 = 12 = 1⇒ ‖ui‖ = 1.
Se i 6= j, ‖ui + uj‖2 = 12+12 = 2, logo, 2 = ‖ui + uj‖2 = 〈ui + uj , ui + uj〉 =
‖ui‖2 +‖uj‖2 +2 〈ui, uj〉 = 2+2 〈ui, uj〉 ⇒ 〈ui, uj〉 = 0, portanto α e´ base
α e´ ortonormal.
15. ‖u‖ = ‖v + (u− v)‖ ≤ ‖v‖+ ‖u− v‖,
‖v‖ = ‖u+ (v − u)‖ ≤ ‖u‖+ ‖v − u‖ = ‖u‖+ ‖u− v‖, logo
−‖u− v‖ ≤ ‖u‖ − ‖v‖ ≤ ‖u− v‖.
16. A dimensa˜o do complemento ortogonal e´ 6− 2 = 4.
17. (a) Feito em aula.
(b) dimZ = n2 − 1, dimZ⊥ = 1.
18. W o espac¸co das matrizes diagonais. dimW = n, dimW⊥ = n2 − n, o
espac¸o W⊥ e´ o espac¸o das matrizes com diagonal nula.
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