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Álgebra Linear II - Turma_001 Atividades Av PERGUNTA 1 1. Considere os seguintes subconjuntos do espaço vetorial E = R2: A = {(x,y) ∈ R2:x = y} B = {(x,y) ∈ R2:x = -y} C = {(x,y) ∈ R2:x+y =2} D = {(x,y) ∈ R2:x-3y = 0} E = {(x,y) ∈ R2:|x-y| = 1} Em relação à afirmação "São subespaços vetoriais do R2", assinale a alternativa correta: a. Apenas o subconjunto A. b. Os subconjuntos A, B e C. c. Os subconjuntos A, B e D. d. Todos os subconjuntos, exceto o subconjunto E. e. Todos os subconjuntos, exceto o subconjunto C. 0,25 pontos PERGUNTA 2 1. Vimos que os espaços euclidianos Rn são espaços vetoriais sobre R. Em particular, o próprio conjunto de números reais R é um espaço vetorial sobre si mesmo, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar (escalar real), o que significa, neste caso específico, as operações usuais de adição e multiplicação de números reais. Vimos, também, que alguns subconjuntos de um espaço vetorial herdam essa estrutura, sendo assim considerados subespaços vetoriais. Considere Q o conjunto dos números racionais, Q ⊂ R e escolha a alternativa certa. a. Q é subespaço vetorial de R, pois como subconjunto herda as operações usuais de R. b. Q não é subespaço vetorial de R, pois nem sempre a soma de dois números racionais é um número racional. c. Q não é subespaço vetorial de R, pois nem sempre a multiplicação de dois números racionais é um número racional. d. Q não é subespaço vetorial de R, pois nem todos os números racionais têm seu inverso multiplicativo. e. Q não é subespaço vetorial de R, pois pode existir um escalar real que, multiplicado por um número racional, resulta em um número irracional. 0,25 pontos PERGUNTA 3 1. Assinale a alternativa verdadeira. a. Dados S e T, dois subespaços vetoriais de E, seja W = S ∩ T ≠ ∅. Então W é subespaço vetorial de E. b. Dados S e T, dois subespaços vetoriais de E, seja W = S ∪ T, então W é subespaço vetorial de E. c. V = R2 é um subespaço vetorial do espaço vetorial R3. d. Seja E = Pn o espaço vetorial dos polinômios p(x) de grau menor ou igual a n, n ≥ 0. Considere o subconjunto V de E, definido por V = {p(x) ∈ Pn: p(x)=ax2 + 1, a ∈ R}, com as operações usuais de E de adição de polinômios e multiplicação de polinômio por escalar real. Então V é subespaço vetorial de E. e. Seja E = M2x2 o espaço vetorial das matrizes 2x2 com elementos reais. Considere o subconjunto V de E, definido V ={ , a, b ∈ R}, com as operações usuais de E de adição de matrizes e multiplicação de matriz por escalar real. Então V é subespaço vetorial de E. 0,25 pontos PERGUNTA 4 1. Seja E = R2 espaço vetorial sobre R com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Das alternativas a seguir, assinale a única que representa um subespaço vetorial de E. a. W = {(x,y) ϵ R2:y ≥ 0} b. W = {(x,y) ∈ R2:x < 0} c. W = {(x,y) ∈ R2:y = x + 2} d. W = {(x,y) ∈ R2:y = 2x} e. W = {(x,y) ∈ R2:y = 2} Unidade II PERGUNTA 1 1. Assinale a alternativa correta: a. Se S e T são dois subconjuntos finitos e não vazios, com S ⊂ T, se S é L. I., então T também é L. I. b. Se S e T são dois subconjuntos finitos e não vazios, com S ⊂ T, se T é L. D., então S também é L. D. c. Se S e T são dois subconjuntos finitos e não vazios, com S ⊂ T, se S é L. I., então T é L. I. d. Se S e T são dois subconjuntos finitos e não vazios, com S ⊂ T, se T é L. I., então S é L. D. e. Se S e T são dois subconjuntos finitos e não vazios, com S ⊂ T, se T é L. I., então S também é L. I. 0,25 pontos PERGUNTA 2 1. Dado E = P2(t) o espaço vetorial de todos os polinômios de grau ≤ 2, com coeficientes reais, sejam os polinômios p(t) = t + t2 e q(t) = 1 + t. Considere ainda o espaço vetorial gerado S = [ p(t), q(t) ] Assinale a alternativa falsa: a. S = E, pois qualquer polinômio de E pode ser escrito como combinação linear de p(t) e q(t). b. S ≠ E porque dim S = 2 < dim E c. Os polinômios p(t) e q(t) são L. I., mas não geram E d. O polinômio r(t) = 2t2 – t – 3 pertence a S e. O polinômio z(t) = t2 + t + 2 não pertence a S 0,25 pontos PERGUNTA 3 1. Sejam E = R2 e V = {(1,1), (2, -1)} uma base de E. Dado o vetor W = (2, 5), se as coordenadas de W em relação à base V é dada por , assinale a resposta correta: a. b. c. ,- 1, - 1) d. e. 0,25 pontos PERGUNTA 4 1. Seja E = R3 e o subconjunto W de E, W = {(1,0,1), (1,1,1), (0,1,0)}. Assinale a alternativa correta. a. W gera E b. W é uma base de E c. W é L. I. d. dim(W) = 2 e. W ∪ {(2, 2,2)} é base de E Unidade III PERGUNTA 1 1. Seja uma transformação linear T: R2→ R2 e considere o triângulo △ABC do desenho a seguir. Então, assinale a alternativa CORRETA: a. T (x,y) = (-2x, 2y) amplia em dobro a figura do △ABC e rebate o △ABC em relação ao eixo Y. b. T (x,y) = (-2x, 2y) amplia em dobro a figura do △ABC e rebate o △ABC em relação ao eixo X. c. T (x,y) = (-2x, y) amplia em dobro a figura do △ABC e rebate o △ABC em relação ao eixo X. d. T (x,y) = (2x, -y) amplia em dobro a figura do △ABC e rebate o △ABC em relação ao eixo Y e. T (x,y) = (-x, 2y) amplia em dobro a figura do △ABCe rebate o △ABC em relação ao eixo X 0,25 pontos PERGUNTA 2 1. Seja T: R2→ R2 tal que a matriz [T] associada à transformação linear T é dada por . Assinale a alternativa que indica o vetor u tal que T(u) = u. a. u = (-1, 3). b. u = (1, -3). c. u = (3, -1). d. u = (-3, 3). e. u = (3, 3). 0,25 pontos PERGUNTA 3 1. Dada a matriz , considere a transformação linear TA associada à matriz A. Assinale a alternativa CORRETA: a. TA(0,1) = (0, -2). b. N(TA) ≠ 0, em que 0 é o vetor nulo e N(TA) é o núcleo de TA. c. O conjunto {TA(1,0), TA(0,1)} é base do R2. d. TA é sobrejetora. e. TA é injetora. 0,25 pontos PERGUNTA 4 1. Dados U e V dois espaços vetoriais sobre R, considere uma transformação linear T: U →V. Sabendo que N(T) representa o núcleo de T e Im(T) a imagem de T, assinale a alternativa FALSA. a. Para o vetor 0 ∈ U, T(0) = 0 ∈ V. b. T sempre leva base de U em base de V. c. Se T é injetora, então N(T) = {0}, 0 ∈ U. d. dim N(T) + dim Im(T) = dim (U). e. Se T é sobrejetora, então Im(T) = V. Unidade IV PERGUNTA 1 1. Veja a imagem a seguir e assinale a alternativa correta que indica a transformação T que transporta o círculo em vermelho de centro (0,0) para a posição do círculo em azul, cujo centro é o ponto (3,4). a. A transformação T(x,y) = (3x , 4y) b. A transformação T(x,y) = (4y , 3y) c. A transformação T(x,y) = (x+4y , y+3x) d. A transformação T(x,y) = (x+3 , y+4) e. A transformação T(x,y) = (3 , 4) 0,25 pontos PERGUNTA 2 1. Seja T: R3 → R2 definida por T(x,y,z) = (x+z , y-z) uma transformação linear. Se α = {(1,1,1),(1,0,1),(-1,2,1)} e β = {(1,0),(1,1)} são bases de R3 e R2, respectivamente, assinale a alternativa que exibe a matriz de T em relação às bases α e β, [T]β,α. B) a. 0,25 pontos PERGUNTA 3 1. Seja T um operador linear definido no R2. Sabendo que sua matriz em relação à base α = {(1,-1),(1,1)} é , assinale a alternativa que define T. a. T(x,y) = (x + y , y) b. T(x,y) = (-x + y , x) c. T(x,y) = (-y , x + y) d. T(x,y) = (x , x + y) e. T(x,y) = (-y , x - y) 0,25 pontos PERGUNTA 4 1. Assinale a alternativa correta acerca da transformação linear T(x,y) = (y,x): a. T é uma rotação de um ângulo . b. T é uma rotação de um ângulo . c. T é uma reflexão em torno do eixo coordenado vertical. d. T é uma reflexão em torno do eixo coordenado horizontal. e. T é uma reflexão em torno da reta y = x, bissetriz dos primeiro e terceiro quadrantes do plano cartesiano.
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