UNIVESP - Prova Física II - 2019 - Gabarito

Prévia do material em texto

1 de 11 
 
CADERNO DE PERGUNTAS 
Avaliação Regular 
CURSO Engenharia de Computação TURMA 2018.2 APLICAÇÃO 1º bim/2019 CÓDIGO DA PROVA 
R001 DISCIPLINA FCO001 - Física II 
INSTRUÇÕES AO ALUNO 
1. Você só poderá levar o caderno de questões depois de 3 horas do início da prova. 
2. Está autorizada a entrada de alunos até 1 hora depois do início marcado da prova. 
3. Você só poderá sair depois de transcorridas 1 hora e 15 minutos do início marcado da prova. 
MATERIAL EXTRA: É permitido o uso de calculadora simples ou científica. 
QUESTÕES OBJETIVAS 
Questão 1 
A massa m pendurada na extremidade de uma mola, encontra-se em repouso na posição indicada pela 
figura. A massa é puxada para baixo e solta. O sistema massa-mola oscila na direção vertical em 
Movimento Harmônico Simples (MHS), com período T. A mola tem constante elástica k e o campo 
gravitacional local tem intensidade g. 
 
Analise as alternativas abaixo, e assinale a VERDADEIRA. 
a) T independe da massa m. 
b) T depende da amplitude de oscilação. 
c) T é diretamente proporcional a constante elástica k da mola. 
d) O período T é igual ao inverso da frequência f do MHS. 
e) Dobrando-se a massa m, o período diminui pela metade. 
 
Questão 2 
Uma onda transversal senoidal de frequência 𝑓𝑓 = 1,25 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘, e comprimento de onda 𝜆𝜆 = 30,0𝑐𝑐𝑐𝑐, se 
propaga numa corda fina e muito longa. Considere o eixo x paralelo à direção da corda estendida, e 
positivo no sentido da propagação da onda. A equação que descreve o movimento transversal do 
ponto da corda 𝑥𝑥 = 0 é: 
𝑦𝑦(0, 𝑡𝑡) = 1𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝜔𝜔𝑡𝑡) 
Adotamos a seguir, o sistema SI. A partir dos dados: 
I. Determine a velocidade de propagação da onda na corda, V. 
II. Calcule a velocidade dos pontos da corda em função do tempo, 𝑣𝑣𝑦𝑦(𝑥𝑥, 𝑡𝑡). 
2 de 11 
 
a) 𝑣𝑣 = 475 𝑐𝑐/𝑠𝑠 
𝑣𝑣𝑦𝑦 = −785 cos(20,9𝑥𝑥 − 7,85103𝑡𝑡) 
b) 𝑣𝑣 = 175 𝑐𝑐/𝑠𝑠 
𝑣𝑣𝑦𝑦 = −78,5 cos(20,9𝑥𝑥 − 7,85103𝑡𝑡) 
c) 𝑣𝑣 = 375 𝑐𝑐/𝑠𝑠 
𝑣𝑣𝑦𝑦 = −785 cos(20,9𝑥𝑥 − 7,85𝑡𝑡) 
d) 𝑣𝑣 = 375 𝑐𝑐/𝑠𝑠 
𝑣𝑣𝑦𝑦 = −7,85 ∙ 103 cos(20,9𝑥𝑥 − 7,85103𝑡𝑡) 
e) 𝑣𝑣 = 275 𝑐𝑐/𝑠𝑠 
𝑣𝑣𝑦𝑦 = −78,5 cos(20,9𝑥𝑥 − 7,85103𝑡𝑡) 
 
Questão 3 
Um mol de um gás ideal diatômico, com calor especifico molar dado por 𝑐𝑐𝑣𝑣 = 52 𝑅𝑅, descreve um ciclo 
retangular ABCDA no diagrama PV. Os valores das pressões e dos volumes nos vértices do ciclo são: 
1 ; 20 ; 2 ; 20A D A B B C C DP P bar V V L P P bar V V L= = = = = = = = 
Dados: 
 ( )51 10bar Pa= 
P Vc c R= + 
( )8,314 :R J mol K= ⋅ 
C nc= 
 
I. Calcule explicitamente as variações de entropia em cada etapa do processo. 
II. Adotando o SI, de quanto variou a entropia no ciclo? 
 
a) ∆𝑆𝑆𝐴𝐴→𝐵𝐵 = 121𝑠𝑠(2) ∆𝑆𝑆𝐵𝐵→𝐶𝐶 = 291𝑠𝑠(2) ∆𝑆𝑆𝐶𝐶→𝐷𝐷 = 121𝑠𝑠(2) ∆𝑆𝑆𝐷𝐷→𝐴𝐴 = −291𝑠𝑠(2) ∆𝑆𝑆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷𝐴𝐴 = 0 
b) ∆𝑆𝑆𝐴𝐴→𝐵𝐵 = −16,81𝑠𝑠(2) ∆𝑆𝑆𝐵𝐵→𝐶𝐶 = −29,081𝑠𝑠(1.5) ∆𝑆𝑆𝐶𝐶→𝐷𝐷 = 16,81𝑠𝑠(2) ∆𝑆𝑆𝐷𝐷→𝐴𝐴 = 291𝑠𝑠(1.5) ∆𝑆𝑆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷𝐴𝐴 = 0 
c) ∆𝑆𝑆𝐴𝐴→𝐵𝐵 = 14,81𝑠𝑠(1,5) ∆𝑆𝑆𝐵𝐵→𝐶𝐶 = 191𝑠𝑠(1.5) ∆𝑆𝑆𝐶𝐶→𝐷𝐷 = 14,81𝑠𝑠(1.5) ∆𝑆𝑆𝐷𝐷→𝐴𝐴 = −191𝑠𝑠(1.5) ∆𝑆𝑆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷𝐴𝐴 = 0 
d) ∆𝑆𝑆𝐴𝐴→𝐵𝐵 = 20,81𝑠𝑠(2) ∆𝑆𝑆𝐵𝐵→𝐶𝐶 = 291𝑠𝑠(1.5) ∆𝑆𝑆𝐶𝐶→𝐷𝐷 = −20,81𝑠𝑠(2) ∆𝑆𝑆𝐷𝐷→𝐴𝐴 = −291𝑠𝑠(1.5) ∆𝑆𝑆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷𝐴𝐴 = 0 
e) ∆𝑆𝑆𝐴𝐴→𝐵𝐵 = 191𝑠𝑠(2) ∆𝑆𝑆𝐵𝐵→𝐶𝐶 = 161𝑠𝑠(1.5) ∆𝑆𝑆𝐶𝐶→𝐷𝐷 = −191𝑠𝑠(2) ∆𝑆𝑆𝐷𝐷→𝐴𝐴 = −161𝑠𝑠(1.5) ∆𝑆𝑆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷𝐴𝐴 = 0 
 
 
3 de 11 
 
Questão 4 
Uma membrana quadrada de lados iguais a 20 cm está fixa pelas suas extremidades. Mediante uma 
percussão, pode-se gerar ondas estacionárias de velocidade 40 m/s, as quais são dadas pela 
expressão: 
𝑘𝑘(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑡𝑡) = 10−2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑘𝑘𝑥𝑥𝑥𝑥𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑘𝑘𝑦𝑦𝑦𝑦 cos𝜔𝜔𝑡𝑡 
Em que x e y são as coordenadas de um ponto no interior da membrana ou sobre os pontos fixos da 
mesma. 
 
Levando em conta que em 𝑥𝑥 = 0 e 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎, bem como 𝑦𝑦 = 0 e 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎, devemos ter 𝑘𝑘(0,𝑦𝑦) = 𝑘𝑘(𝑎𝑎,𝑦𝑦) =
𝑘𝑘(𝑥𝑥, 0) = 𝑘𝑘(𝑥𝑥, 𝑎𝑎) = 0 qual é a menor frequência que essa membrana pode produzir? 
Obs: Utilizar a equação de ondas 
2 2 2
2 2 2
1 0z z z
x y v t
∂ ∂ ∂
+ − =
∂ ∂ ∂
. 
Fig. Oscilações numa membrana retangular. 
 
a) 𝑓𝑓 = 150√2 𝑘𝑘𝑘𝑘 
b) 𝑓𝑓 = √2 𝑘𝑘𝑘𝑘 
c) 𝑓𝑓 = 100 𝑘𝑘𝑘𝑘 
d) 𝑓𝑓 = 100√2 𝑘𝑘𝑘𝑘 
e) 𝑓𝑓 = 200√2 𝑘𝑘𝑘𝑘 
 
QUESTÕES DISSERTATIVAS 
Questão 5 
Uma corda de um instrumento musical tem comprimento de 60 cm e tem massa de 2g. Ela fica sujeita 
a uma tensão de 120N. 
Determine: 
a) A velocidade de propagação da onda na corda. 
b) O comprimento de onda destes sons. 
c) As frequências dos sons que ela produz. 
4 de 11 
 
Questão 6 
Considere as situações dos itens a e b. Estime o número médio de moléculas por 𝑐𝑐𝑐𝑐3, e o espaçamento 
médio entre as moléculas. Determine o volume médio ocupado por molécula, e considere o 
espaçamento como sendo o tamanho da aresta de um cubo que contenha uma molécula. 
 
Densidade da água liquida: 𝜌𝜌 = 1𝑔𝑔/𝑐𝑐𝑐𝑐3. 
236,02 10AN mol= × 
Massa molecular da água: 𝑀𝑀 = 18𝑔𝑔/𝑐𝑐𝑚𝑚𝑚𝑚. 
 
a) Em água líquida. 
b) Em vapor d’água a 1 atm e 100ºC (tratado como gás ideal). 
 
FORMULÁRIO 
( ) ( )
2
2
d x t
m kx t
dt
= − ( ) ( )0cosx t A t= ω + θ ( ) sen cosx t C t D t= ω + ω 
k
m
ω = 
2 2 mT
k
π
= = π
ω
 
1 1
2 2
kf
T m
ω
= = =
π π
 2( )
2
kU x x= 2 2
2 2
m kE v x= + 
2
2
dl g
dt
θ
= − θ ( ) ( )0 cost tθ = θ ω +α 
g
l
ω = 
2 2 lT
g
π
= = π
ω
 
1 1
2 2
gf
T l
ω
= = =
π π
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
0 0 02
1 cos
d x t dx t F t
x t F t
dt dt m m
+ γ +ω = = ω +ϕ F bv= − 20 e 
k b
m m
ω = γ = 
( )
( ) ( )( )
0
0 1
2 222 2
0
1, FA
m
ω ω ≡
ω −ω + ωγ
( ) ( )2.visP t F v bv t= − = ( )
12 2
2 0
0
0
1 
2
kP bmF
Q
−
    ω ω ω = − +    ω ω    
 
 
2 2
2 2 2
( , ) 1 ( , ) 0x t x t
x V t
∂ ∂
− =
∂ ∂
η η
 
( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2 2
, , , , , ,1 0
z x y t z x y t z x y t
x y V t
∂ ∂ ∂
+ − =
∂ ∂ ∂
 ( ) ( ), , , i k r tx y z t Ae ⋅ −ωΨ =


 
x y zk k i k j k k= + +
 
 
 ( )k Vkω = 
( ), cos( )u x t A kx t= −ω ( ) [ ]( ), cosu x t A k x vt= − 
( ) ( ) ( ), sen sen 2 sen cosy x t A kx t A kx t A kx t= −ω + +ω = ω ( ), ( )seny x t A x t= ω 
( ) 2 senA x A kx= 1
1
2
 Tf
L
=
µ
 1nf nf= 2n
Vf n
l
= 
2 1
2 4n
n Vf
l
+  =  
 
 1
2 1
2n
nf f+= 
( ) ( )
2
2
2 2
,1, 0
P x y
P x y
V t
∂
∇ − =
∂
 ( ) ( )
2
2
2 2
,1, 0
x y
x y
V t
∂ ρ
∇ ρ − =
∂
 
1 1
2 2
n
n
=
ν
ν
 122 440nf Hz= 
0
10 log I
I
α = ( ) 0, , ,P x y z t P= 
 
1 0.987 100.000bar atm Pa= = 
( )t dV yF
A dy
τ = = η 2 1 P P gh= +ρ 1 2
1 2
F FP
A A
= = deslE gV= ρ ( )
( , ) , 0r t J r t
t
∂ρ
+∇⋅ =
∂

 

 
 
5 de 11 
 
yx zJJ JJ
x y z
∂∂ ∂
∇ ⋅ = + +
∂ ∂ ∂
 
 1 1 2 2J A J A= 1 1 2 2J A J A= 
2 2
1 2
1 1 2 22 2
V VP gy P gyρ ρ+ρ + = +ρ + 
2
constante
2
VP gy ρ+ρ + = 0 (1 )L L T= + α∆ 0 0L L L L T∆ = − = α∆ 
( )0 2S S T∆ = α ∆ ( )03V V T∆ = α ∆ Q C T∆ = ∆ Q cm T∆ = ∆ 
C c
m
= 
C c
n
= Q mL= 
22 2
3 2 3 c
mvPV N NE
 
= = 
 

 23 01,38 10k N K−=  2 3
2 2
m v kT= 3
2c
E NkT= 
PV NkT= PV nRT= 0 8,31
JR kN
molK
= = 
2
3/2
/2( , )
2
mv kT
x y z
mdNv T N e dv dv dv
kT
− =  
 

π
 
2
3/2
/2 22( , ) mv kTmf v T N e v dv
kT
− =  
 π
 
( ) 2
3/2
2 2 4 /2
0 0
, 4
2
mv kTmv dvv f v T N dvv e
kT
+∞ +∞
− ≡ = π π ∫ ∫ 
2 3
qm
kTv v
m
≡ = 
2 3
2 2
mv kTE = = ( , ) 0
mv v
df v T
d =
=
ν
 
2
m
kTv
m
= 
Q E∆ = ∆ + ∆τ d PAdx PdVτ = = 
3
2v v
EC nR
T
∂ = = ∂ 
 3 2.98 / deg2vC R cal mol= = 
3C
2v
v R+= p vC C nR= + 
5C
2P
v nR+= VV
Cc
m
= P
P
QC
T
∆ ≡  ∆ 
 
1P nRT
V
 =  
 
 1 ln
f f
i i
V V
f
iV V
V
PdV nRT dV nRT
V V
= = =∫ ∫τ 
 ( )vCdQ VdP PdV PdV
nR
/ = + + p v
dV dPdQ T C C
V P
 = + 
 
 
 + =0dV dP
V P
γ ln +ln =0 ln =0VV P
P
γ
γ ⇒ PV Cγ = 
11
1
ff f
i i i
VV V
V V V
CPdV dV CV
V
−γ+
γτ = = = − γ −∫ ∫ 
P P
V V
c C
c C
γ = = 
1
1 f if i
C CV V
V Vγ γ
 
τ = − − 
γ −   
 
1
i i f fPV P V−τ =
γ −
 
dQdS
T
/
≥ 
dQdS
T
/
=
dQdS
T
≥ 
B
B A A
dQS S
T
− ≥ ∫ ( ) ( )S
B
A
dQB S A
T
− = ∫ 
( ) ( ) 0S S A S A∆ = − = 0dQ
T
≤∫ ( ) ( ) 0S S A S A∆ = − = 0
dQ
T
≤∫ 
1 B
A
mLS dQ
T T
∆ = =∫ 
2
1
ln VS Nk
V
 
∆ =  
 
 1 f
q q
Q
Q Q
= = −
τη 
2
1 f
Q
T
Q T
= = −
τη 
 
6 de 11 
 
GABARITO 
CURSO Engenharia de Computação TURMA 2018.2 APLICAÇÃO 1º bim/2019 CÓDIGO DA PROVA 
R001 DISCIPLINA FCO001 - Física II 
QUESTÕES OBJETIVAS 
 
Questão 1 
A resposta correta é: D. 
 
Justificativa 
ANÁLISE DAS ALTERNATIVAS. 
a) T independe da massa m. 
 O período T, do MHS, é o intervalo de tempo durante o qual a partícula completa uma oscilação. O 
período se relaciona com a frequência angular por meio da relação: 
T = 2𝜋𝜋 �𝑚𝑚
𝑘𝑘
. Portanto, T depende da massa. 
Alternativa FALSA. 
 
b) T depende da amplitude de oscilação. 
T = 2𝜋𝜋 �𝑚𝑚
𝑘𝑘
. Portanto, o período T não depende da amplitude da oscilação. 
Alternativa FALSA. 
 
c) T é diretamente proporcional a constante elástica k da mola. 
T = 2𝜋𝜋 �𝑚𝑚
𝑘𝑘
. 
Portanto, o período T não é DIRETAMENTE proporcional a constante elástica k. O período T é 
inversamente proporcional a √𝑘𝑘 . Se a mola for substituída por outra de constante k 4 vezes maior, o 
novo período será 2 vezes menor. Se a proporção fosse direta, o novo período seria 4 vezes maior. 
Alternativa FALSA. 
 
d) O período T é igual ao inverso da frequência f do MHS. 
Frequência f é o número de vibrações que ocorre na unidade de tempo, por exemplo, 1 segundo. O 
período T é a duração de uma vibração. Ambas se relacionam. Por uma regra de 3 simples conclui-se 
que: T = 1
𝑓𝑓
. 
Alternativa VERDADEIRA. 
 
e) Dobrando-se a massa m, o período diminui pela metade. 
T = 2𝜋𝜋 �𝑚𝑚
𝑘𝑘
. Substituindo a massa oscilante por outra 2 vezes maior, o novo período torna-se √2 
vezes maior. 
Alternativa FALSA. 
 
7 de 11 
 
QUADRO RESUMO 
Alternativa (a) FALSA 
Alternativa (b) FALSA 
Alternativa (c) FALSA 
Alternativa (d) VERDADEIRA 
Alternativa (e) FALSA 
 
Resposta: A alternativa (d) é a VERDADEIRA 
 
Questão 2 
A resposta correta é: D. 
 
Justificativa 
a) 375 /V f m s= λ = . 
b) A função de onda deve ser da forma de uma onda progressiva, se propagada com velocidade 
V+ . O deslocamento de um ponto x é atrasado de ( )0x V− em relação ao ponto 0x = . 
Assim, 
( ) ( ) [ ]( ), 0, /y x t y t x V Asen t x V= − = ω − 
E, portanto, 
( ) ( ),y x t Asen t kx= ω − 
A frequência angular é dada por, 
32 7,85 10 /f rad sω = π = × 
Enquanto que o módulo do vetor de onda é: 
 20,9 /k V rad m= ω = 
Derivando ( ),y x t em relação ao tempo. 
( ) ( ), cosy
yv x t A t kx
t
∂
= = ω ω −
∂
 
Portanto, 
 ( )3 37,85 10 cos 20,9 7,8510yv x t= − ⋅ − 
 
Questão 3 
A resposta correta é: D. 
 
Justificativa 
Nos quatro processos do ciclo, o gás passa de um estado a uma temperatura inicial 1T , para uma 
temperatura final 2T , trocando calor com um outro sistema. A capacidade térmica do gás, C , é 
constante em cada etapa. Para computar a variação de entropia, consideramos um processo reversível 
entre os mesmos dois estados e efetuamos uma integral simples, a saber: 
( )2
1
2 1ln
T
T
dQ CdTS C T T
T T
∆ = = =∫ ∫ 
 
8 de 11 
 
Assim, levando em conta que 
C nc= 
 
( )2
1
2 1ln
T
T
dQ CdTS nc T T
T T
∆ = = =∫ ∫ 
 
Levando em conta que dois processos são isobáricos, e dois deles são isovolumétricos, obtemos: 
( )
( )
( )
( )
ln
ln
ln
ln
0
A B v B A
B C p C B
C D v D C
D A p A D
ABCDA
S nc T T
S nc T T
S nc T T
S nc T T
S
→
→
→
→
∆ =
∆ =
∆ =
∆ =
∆ =
 
Como ( )1,00 e 8,314 :n mol R J mol K= = ⋅ 
 
Assim, para determinar a variação de entropia devemos determinar as temperaturas final e inicial em 
cada processo. 
Aplicando a lei dos gases, PV nRT= , obtemos os valores das temperaturas. 
 . C CA A B B D DA A C D
P VP V P V P VT T T T
nR nR nR nR
= = = = 
 
Obtemos, assim, 
 
 
 
241
482 
723
361
A
B
C
D
T K
T K
T K
T K
=
=
=
=
 
 
E concluimos, que 
( )
( )
( )
( )
20,78ln 2
29,08ln 1.5
20,78ln 2
29,08ln 1.5
0
A B
B C
C D
D A
ABCDA
S
S
S
S
S
→
→
→
→
∆ =
∆ =
∆ = −
∆ = −
∆ =
 
 
Questão 4 
A resposta correta é: D. 
 
 
9 de 11 
 
Justificativa 
Começamos analisando o caso de uma membrana retangular de lados a e b . 
a) Nesse caso, mais geral, os valores possíveis são aqueles para os quais: 
0
0
x
y
senk a
senk b
=
=
 
Portanto, 
 1, 2,3,
 m 1,2,3,
x x
y y
nk a n k n
a
mk b m k
a
π
= π⇒ = =
π
= π⇒ = =


 
b) Da equação de ondas, segue que: 
2 2 2
2 2 2
2 2 2, , 
z z zkx z ky z z
x y t
∂ ∂ ∂
= − = − = −ω
∂ ∂ ∂
 
Portanto, da equação de ondas, obtém: 
2
2 2
2 0kx ky v
ω
+ − = 
Os valores possíveis de w são: 
2 2
nm
n mv
a b
π π   ω = +   
   
 
O menor valor da frequência é aquele para os quais os números inteiros são dados por: 
1n = e 1m = 
 
Assim, a menor frequência dos sons produzidos por essa membrana de lados iguais, será: 
 2 2
11
402 2
0,2
v v
a a a
π π π   ω = + = = π   
   
 
Logo, a menor frequência angular, será: 
 
11 200 2ω = π
 
A menor frequência é, portanto, 
 
11 112 200 2fπ = ω = π
 
 
11
200 100 2
2
f Hz Hz= =
 
 
QUESTÕES DISSERTATIVAS 
 
Questão 5 
A velocidade é dada por: 
Tv =
µ
 
A densidade é determinada pelo comprimento e a massa. Ou seja: 
 
10 de 11 
 
M
L
µ = 
No caso: 
3
2
2
2 10 110
60 10 3
kg kg
m m
−
−
−
⋅
µ = =
⋅
 
Logo, 
12000 3 36000 189.7 /v m s= × = = 
 
a) Os comprimentos de ondas possíveis são obtidas a partir da condição: 
( ) 0sen kL = 
Logo, 
n
nk
L
π
= 
2 1, 2,3,
1, 2
n
n
L n
n
metros
n
λ = =
λ =

 
 
b) As frequências são dadas pela relação: 
2
fn n v
v vfn n
n L
λ =
 = =  λ  
 
No caso, 
( )0fn n f= 
Como: 
0 2
vf
L
= 
No caso, 
0
189.7 158,1
1,2
f Hz= = 
 
 
Questão 6 
A densidade da água liquida, 31g cmρ = pode ser expressa como: 
Nm
V
ρ = 
 
em que N é o número de moléculas de massa m que ocupam o volume V. Assim, a densidade 
numérica de moléculas de água fica: 
ANN
V m M
ρρ
== 
 
11 de 11 
 
em que 236,02 10AN mol= × é a constante de Avogadro, e 18M g mol= é a massa 
molecular da água. Assim: 
22 33,34 10N cm
V
= × 
 
O volume médio ocupado por molécula é: 
23 32,99 10Vv cm
N
−= = × 
 
Uma estimativa para o espaçamento entre as moléculas é a aresta de um cubo com tal volume: 
1/3 8 103,1 10 3,1 10 0,31d v cm m nm− −≈ = × = × = 
 
a) Usando a lei dos gases ideais, PV NkT= , com 5 231 10 , 373 e 1,38 10P Pa T K k J K−= × = = × 
25 3 19 31,94 10 1,94 10N P m cm
V kT
= = × = × 
20 35,15 10Vv cm
N
−= = × 
1/3 7 93,7 10 3,7 10 3,7d v cm m nm− −≈ = × = × =