CÁLCULO NUMÉRICO

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CÁLCULO NUMÉRICO
1a aula
		
	 
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	 1a Questão
	
	
	
	
	Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536
		
	
	3,142
	
	3,14159
	 
	3,1416
	
	3,141
	
	3,1415
	Respondido em 28/05/2019 09:54:34
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4).
		
	 
	17/16
	
	- 2/16
	
	2/16
	
	16/17
	
	9/8
	Respondido em 28/05/2019 09:54:37
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Sendo f e g  funções de R em R, definida por f(x) = 3x - 4  e g(x) = 4x -3    calcule f(3) +g(2)  .
		
	
	14
	
	 9      
	
	  6    
	 
	10      
	
	 7      
	Respondido em 28/05/2019 09:54:42
	
Explicação:
f(3) = 3.3 -4 = 5   e  g(2) = 4.2 -3 = 5    , então  f(3) +g(2)  =  5 + 5  = 10 .
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Toda medida Física apresenta um erro inerente. Dois erros são muito utilizados para avaliar o afastamento de um valor, supostamente, correto. Suponha que ao medir o diâmetro do eixo de um motor, um técnico encontrou o valor 35,42 mm. Ao examinar o manual do motor, a informação é de que o diâmetro deste eixo é de 35,50 mm. Qual o erro percentual desta medição:
		
	
	8%
	
	1,08%
	
	0,35%
	
	0,08%
	 
	0,23%
	Respondido em 28/05/2019 09:54:47
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (35,50 - 35,42) = 0,08
Erro relativo: = 0,08/35,50 = 0,0023 = 0,23%
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	
		
	
	-11
	
	3
	 
	-5
	
	-3
	
	2
	Respondido em 28/05/2019 09:54:51
	
Explicação:
f(2) = 3.2 - 5 = 1
f(-2) = 3.(-2) - 5 = -11
f(2) + f(-2) = -10 / 2 = -5
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, expresse seu salário em função de x.
		
	 
	1000 + 0,05x
	
	1000 - 0,05x
	
	1000
	
	1000 + 50x
	
	50x
	Respondido em 28/05/2019 09:54:54
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a:
		
	
	1084
	 
	1085
	
	10860
	
	1086
	
	10085
	Respondido em 28/05/2019 09:54:59
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2).
		
	
	3
	
	-11
	
	-7
	 
	-3
	
	2
	Respondido em 28/05/2019 09:55:03
	
	
	
	
	 
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	 1a Questão
	
	
	
	
	A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado:
		
	
	Relativo
	
	De modelo
	
	Percentual
	
	Absoluto
	 
	De truncamento
	Respondido em 28/05/2019 09:55:11
	
Explicação:
Em matemática e ciência da computação, o truncamento é a limitação do número de dígitos à direita da vírgula decimal
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Suponha um polinômio P(x) = x18 - 3x6 + 1. Sobre a equação P(x) = 0, é possível afirmar que existe ao menos uma raiz real em qual dos intervalos abaixo?
		
	
	(3; 4)
	
	(4, 5)
	
	(1,5; 2)
	
	(2,5; 3)
	 
	(0; 1)
	Respondido em 28/05/2019 09:55:18
	
Explicação:
Teorema de Bolzano:
P(0) = 018 - 3.06 + 1 = 1
P(1) = 118 - 3.16 + 1 = -1
P(0) x P(1) < 0, então pelo teorema de Bolzano existe um número ímpar de raízes reais neste intervalo, ou seja, ao menos uma.
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Em que intervalo numérico abaixo a função f(x) = x3-8x+1 possui pelo menos uma raiz real?
		
	 
	(0, 0.5)
	
	(-0.5, 0)
	
	(1, 1.5)
	
	(0.5, 1)
	
	(1.5, 2)
	Respondido em 28/05/2019 09:55:20
	
Explicação:
Utilizar o teorema de Bolzano, testando qual das opções  resulta f(a). f(b < 0 .
f(x) = x3-8x+1   
para  x=0  resulta  f(0) =  +1  positivo
para x=0,5  resulta f(0,5) =  0,53 - 8.x0,5  +1 =  - 2,875 negativo  
Então o produto deses valores negativo e há pelo menos uma raiz nesse intervalo ou um número ímpar de raizes.
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 8. Seja uma função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se afirmar que:
		
	
	tem três raízes
	
	nada pode ser afirmado
	
	não tem raízes reais
	 
	pode ter duas raízes
	
	tem uma raiz
	Respondido em 28/05/2019 09:55:25
	
Explicação:
g(x) = h(x) - 2.  e    h(-1) =4  ,  h(0) = 0;  h(1) = 8  , então : 
g( -1) = h(-1) - 2   =  4 - 2 = 2 
 g(+ 1) = h(+1) - 2   =  8 -2  = 6 .
Então como g(-1). g(+1) = +12 positivo , podemos afirmar que entre  x =-1  e  x=+1   g(x)  pode ter um número par de raízes , como por exemplo  2 raízes positivas.
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa posição, qual o valor da raiz após a primeira iteração.
		
	
	1,85
	
	0,55
	 
	1,14
	
	1,56
	
	1,00
	Respondido em 28/05/2019 09:55:29
	
Explicação:
Função f(x) = x3 - 2x e o intervalo [1, 3]. . Valor da raiz após a primeira iteração - o método da falsa posição. 1,14
Confirmando a existência de raiz :  f(1) =  1-2 = -1  ..   f(3) =  27 - 6 = +21  , então como f(1) . f(3) < 0 , há ao menos uma raiz nesse intervalo .
x =  [a. f(b) - b. f(a) ] / [f(b) - f(a) ]    ,
Cálculo de x0 :   a=1 ,  b= 3,  f(b) = f(3) = 21  ,  f(a)= f(1) =  - 1 , 
substituindo na expressão de x , resulta x0 =  [1. 21 - 3(-1)]  / [ 21 - (-1)]   =   24 / 22 = 1,0909
Testando novo intervalo : f(x0) = 1,09093 - 2 .1,0909 = 1,2982 - 2,1818 = - 0,8835  ,sinal diferente de f(b), então intervlo da raiz é [x0 e 3]
Então na fórmula de x  :  a = x0 = 1,0909   ,  b = 3 ,  f(a) = f(x0) = -0,8835 , f(b) = 21
substituindo na expressão de x  ,
resulta x1  = [1,0909 x 21 - 3(-0,8835)]  / [ 21 - (-0,8835)]   =  (22,9089 + 2,6505 =25,5594 ) / 21,8835  =  1.1679
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Suponha a função contínua, definida por f(x) = x3 -10 . Marque o intervalo em que  existe pelo menos uma raiz real da equação f(x) = 0.
		
	
	[-1,0]
	 
	[2,3] 
	
	[1,2]  
	
	 [0,1]  
	
	[-2,-1]  
	Respondido em 28/05/2019 09:55:34
	
Explicação:
f(-2) = -18    f(-1) = -11    f(0) = -10       f(1) = -9      f(2) = -2       f(3) =  17 
Então apenas o intervalo  [2,3]  atende à condição f(2) .f(3) < 0  para que tenha ao menos uma raiz nesse intervalo.
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Usando um método iterativo para buscar a raiz da equação f(x) = 0 são encontrados  os  valores: x1=  2,79    x2 = 2,75    x3= 2,74   x4 =  2,735   x5=2,734. Considerando que o critério de parada é obter um valor para a raiz  cujo erro absoluto  seja menor que  0,01, qual  o maior valor que pode  ser adotado para a raiz ?
		
	
	x3      
	
	x1    
	 
	 x4             
	
	 x2      
	
	x5  
	Respondido em 28/05/2019 09:55:38
	
Explicação:
Observa-se que  de  x2 para x3 o módulo da diferença ( 2,75 - 2,74) = 0,01  igual ao erro absoluto 0,01 ,não é menor . De x3 para x4 o módulo da diferença ( 2,74 -2,735) = 0,005 que é o primeiro erro menor que 0,01 , portanto pode-se parar no valor x4 como valor da raiz.
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja implementada em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
		
	
	Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.
	
	Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela palavra inglesa "if".
	 
	Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until".
	
	As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os "pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas.
	
	Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while".
	Respondido em 28/05/2019 09:55:43
	
Explicação:
Estruturas repetitivas sempre devem ter uma condição lógica de saída
	
	
	
	
	 
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	 1a Questão
	
	
	
	
	Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson -  Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1) será:
		
	
	2,443
	
	1,243
	
	3,243
	
	2,143
	 
	1,143
	Respondido em 28/05/2019 09:55:52
	
Explicação:
Newton_Raphson:
x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0)
x0 = 1
f(x) = 4x3 - 5x
f'´(x) = 12x2 - 5
Para x0 = 1
f(1) = 4.13 - 5.1 = -1
f'´(1) = 12.12 - 5 = 7
Assim, x1 = x0 - f(x0)/ f'(x0) = x1 = 1 - (-1)/ 7 = 1,1428 = 1,143
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Qual método procura  a aproximação para o valor da raiz usando a derivada da função?
 
		
	 
	Newton Raphson  
	
	Gauss Jacobi
	
	Bisseção      
	
	Ponto fixo      
	
	Gauss Jordan        
	Respondido em 28/05/2019 09:55:54
	
Explicação:
Pelo método de Newton Raphson escolhe-se uma aproximação inicial para a raiz e após isso  calcula-se a função da reta tangente aplicando a derivada da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, buscando  encontrar uma aproximação para a raiz. Repete-se o processo, em um método iterativo, para encontrar a raiz da função .
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores consecutivos, a quinta e sexta iterações, valem, respectivamente 1,257 e 1,254. Considerando como critério de parada o erro absoluto igual a 0,01, marque a afirmativa correta.
		
	
	O valor 1,254 não pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	
	Qualquer um dos dois valores pode ser arbitrado para ser raiz aproximada da equação f(x) = 0.
	
	É verdade que f(0) = 1,254
	
	É verdade que f(1,257) - f(1,254) = 0,01
	 
	O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01.
	Respondido em 28/05/2019 09:55:59
	
Explicação:
Se o critério de parada é o erro, devemos sempre que encontrarmos uma nova solução aproximada comparar com a anterior e avaliar se é menor que o critério. No exercício, x5 = 1,257 e x6 = 1,254. Assim, como módulo (1,257 - 1,254) = 0,003 é menor que o erro (0,01), 1,254 é uma raiz aproximada de f(x) = 0.
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize quatro casas decimais para as iterações)
 
		
	
	1.0245
	
	1.0746
	
	1.9876
	
	1.0909
	 
	1.0800
	Respondido em 28/05/2019 09:56:03
	
Explicação:
f(x) = 3x4-x-3  , utilizando x0 = 1.    Aplique duas iterações para a raiz .  
xn+1 = xn - [  f(xn) / f' (xn) ]
x1 = x0 -   [f(x0) / f"(x0)]     
f '(x) = 12x3 - 1 
f(x0) = f(1) = 3.14- 1 - 3 =  -1    ...    f '(x0 ) = 12.13 - 1 = 11
daí : x1 =  1 -  (-1) / 11   = 12/11 = 1,0909
x2 = x1 - [f(x1) /  f"(x1)]
 f(x1) =  3. 1,09094 - 1,0909 - 3 =  0,1578    ...    f '(x1 ) = 12.(1,0909) 3 - 1 =  14,578 
daí  x2 =  1,0909  -  ( 0,1578 ) / 14,578   =  1,0909 -  0,0108  = 1,0801 
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos.
		
	
	Os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema
	 
	o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir.
	
	não há diferença em relação às respostas encontradas.
	
	no método direto o número de iterações é um fator limitante.
	
	o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não.
	Respondido em 28/05/2019 09:56:07
	
Explicação:
Os métodos iterativos são aqueles em que determinamos a solução, aproximada ou exata, a partir de um determinado valor. São feitas iterações por meio de relações matemáticas e novos valores vão sendo alcançados, até que estejamos próximo da solução (estima-se um critério de parada). Já nos métodos diretos, existem relações matemáticas que determinam diretamente o valor da solução.
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
		
	
	Gauss Jordan
	
	Ponto fixo
	
	Bisseção 
	
	Gauss Jacobi
	 
	Newton Raphson 
	Respondido em 28/05/2019 09:56:12
	
Explicação:
O Método de Newton procura uma convergência mais rápida para  a raiz usando a derivada da função . Devido à interpretação gráfica  da derivada como tangente , é também conhecido como Método das Tangentes .
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) através de:
		
	
	Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x).
	
	Uma aproximação da reta tangente f(x).
	
	Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x).
	 
	Uma expressão fi(x) baseada em f(x).
	
	Uma reta tangente à expressão f(x).
	Respondido em 28/05/2019 09:56:17
	
Explicação: A raiz da equação é encontrada através da raiz de uma função fi(x) que podemos resolver ao invés da f(x). Assim o valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação.
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
		
	
	-1
	 
	2
	
	1
	
	-2
	
	1.75
	Respondido em 28/05/2019 09:56:21
	
Explicação:
Como f'(x)= 2x. e  x0 =1 , temos  após a realização dessa  iteração : x1 = 2x = 2x0 = 2 .1 = 2 .
 
	
	
	
		 
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	 1a Questão
	
	
	
	
	Os sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas apresentam uma interpretação geométrica para as diversas possibilidades de solução. Assinale a opção incorreta.
		
	 
	O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas paralelas
	
	O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas coincidentes
	
	O sistema linear 2 x 2 impossível é representado por duas retas paralela
	
	O sistema linear 2 x 2 nem sempre tem solução
	
	O sistema linear 2 x 2 possível e indeterminado é representado por duas retas coincidentes
	Respondido em 28/05/2019 09:56:28
	
Explicação:
Graficamente uma equação linear de duas variáveis x e y, como ax + by + c = 0 é representada por uma reta. Assim, um sistema 2 x 2 apresentará duas retas e, dependendo da posição relativa destas, o sistema apresentará discussão:
Sistema possível e determinado: par de retas concorrentes (1 solução)
Sistema possível e indeterminado: par de retas coincidentes (infinitas soluções)
Sistema impossível: par de retas paralelas (sem solução)
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss:
		
	
	É utilizado para encontrar a raiz de uma função.
	 
	É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares.
	
	É utilizado para fazer a interpolação de dados.
	
	Nenhuma das Anteriores.
	
	Utiliza o conceito de matriz quadrada.
	Respondido em 28/05/2019 09:56:34
	
Explicação:
Observando a teoria , o Método Eliminação de Gauss é usado na resolução de sistema de equações lineares. Não usa conceito de matriz quadrada., e não  é usado para cálculo de raiz de função. nem  para fazer  interpolação de dados .Então só a opção  correspondente está correta. 
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Os valores de x1,x2 e x3 são:
		
	 
	-1, 3, 2
	
	-1,2, 3
	
	1,-2,3
	
	2,-1,3
	
	1,2,-3
	Respondido em 28/05/2019 09:56:37
	
Explicação:
Aplicando-se o método indicado, são determinados os valores das incógnitas
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e (2,5).
		
	 
	y=2x+1
	
	y=2x
	
	y=x3+1
	
	y=2x-1
	
	y=x2+x+1
	Respondido em 28/05/2019 09:56:40
	
Explicação:
Substituindo  nas funções questionadas os valores de x e de y  dos pontos (x,y) dados , observamos que apenas a função y=2x+1atende  a todos os  valores dos pares  x e y . 
Por exemplo, para  (1,3)  temos   x=1 , y =3  e  substitundo nessa função , confirma-se a igualdade  : 3 = 2.1 + 1 ... 
O mesmo ocorre para os demais pontos  (x=4, y =9 )  , ( x=3 , y =7) e  (x=2, y =5) ..
As demais opções de função não confirmam a igualdade , quando se substituem todos os valores  (x, y). 
 
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste sistema podemos afirmar que:
		
	
	apresenta infinitas soluções
	 
	apresenta uma única solução
	
	apresenta ao menos uma solução
	
	não apresenta solução
	
	nada pode ser afirmado.
	Respondido em 28/05/2019 09:56:46
	
Explicação:
A representação gráfica de uma equação do primeiro grau é uma reta. No exercício, as duas retas concorrem. Assim, o sistema apresenta solução única ( o ponto de concorrência). Portanto, o sistema é possível e determinado.
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Uma maneira de resolver um sistema linear é utilizando a eliminação de Gauss. Este método pode ser resumido como:
		
	 
	Encontrar uma matriz equivalente escalonada
	
	Determinar uma matriz equivalente singular
	
	Encontrar uma matriz equivalente com (n-1) linhas 'zeradas'.
	
	Determinar uma matriz equivalente não inversível
	
	Determinar uma matriz equivalente com determinante nulo
	Respondido em 28/05/2019 09:56:48
	
Explicação:
A partir do escalonamento de uma matriz, é possível resolver o sistema pelo método citado. Por exemplo, num sistema 3 x 3, "eliminar os coeficientes" de x e y  na terceira linha linha e de z na segunda linha. Assim, encontramos, diretamente o valor de z na terceira linha. Substituindo na segunda linha, encontramos y e, por fim, x.
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema físico, econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares.
		
	 
	Método de Gauss-Jordan.
	
	Método de Newton-Raphson.
	
	Método da bisseção.
	
	Método da falsa-posição.
	
	Método do ponto fixo.
	Respondido em 28/05/2019 09:56:51
	
Explicação:
O único método que se aplica à soluçõa de sistemas  é o primeiro. Os demais são todos para determinação de raízes.
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que:
		
	
	Existem critérios que mostram se há convergência ou não.
	
	Consistem em uma sequência de soluções aproximadas
	 
	Sempre são convergentes.
	
	As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo.
	
	Apresentam um valor arbitrário inicial.
	Respondido em 28/05/2019 09:56:56
	
Explicação:
As afirmações sobre métodos iterativos estão corretas , exceto a que "sempre são convergentes."  Nem sempre a solução converge ou  tende a um valor como resposta.
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
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	 1a Questão
	
	
	
	
	Os valores de x1,x2 e x3 são:
		
	 
	-1, 3, 2
	
	-1,2, 3
	
	2,-1,3
	
	1,-2,3
	
	1,2,-3
	Respondido em 28/05/2019 09:57:09
	
Explicação:
Multiplicando a primeira equação por 3 e somando-se à segunda: 0 5 16 47
Multiplicando a primeira equação por -2  e somando-se à terceira: 0 10 -3  24
Multiplicando a nova segunda equação por 2 e somando-se à nova terceira equação: 0 0 35 70
 
Rearrumando:
1x1 + 2x2 + 4x3 = 13
0   +   5x2 + 16x3 = 47
0    +   0     + 35x3 = 70
 
Assim, x3 = 2
Substituindo na segunda equação: x2 = 3
Substituindo na primeira equação: x1 = -1
(-1, 3, 2) 
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA.
		
	
	Integração.
	
	Verificação de erros.
	 
	Interpolação polinomial.
	
	Derivação.
	
	Determinação de raízes.
	Respondido em 28/05/2019 09:57:18
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados ¨31¨ pontos distintos( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método de Newton ou método de Lagrange. Qual o maior grau possível para este polinômio interpolador?
		
	 
	grau 30
	
	grau 32
	
	grau 31
	
	grau 15
	
	grau 20
	Respondido em 28/05/2019 09:57:20
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
		
	
	Há convergência para o valor 2.
	
	Há convergência para o valor - 3475,46.
	 
	Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
	
	Há convergência para o valor -3.
	
	Há convergência para o valor -59,00.
	Respondido em 28/05/2019 09:57:25
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) que se ajuste aos pontos pontos A (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios abaixo pode ser P(x)
		
	
	Um polinômio do sexto grau
	
	Um polinômio do décimo grau
	
	Um polinômio do quarto grau
	
	Um polinômio do quinto grau
	 
	Um polinômio do terceiro grau
	Respondido em 28/05/2019 09:57:30
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Numa situação experimental, um engenheiro sabe que o carregamento distribuído sobre uma viga é um arco de parábola dado pela equação w(x) = a.x2 + b.x, onde x é dado em metros e W(x) em kN/m. A viga tem comprimento l = 2 m e, nas extremidades, o carregamento é zero. Além disso, no ponto médio da viga W vale 2 kN/m. Encontre a função para W(x)
		
	 
	W(x) = -2.x2 + 4x
	
	W(x) = -2.x2 + 2x
	
	W(x) = 2.x2 + 4x
 
	
	W(x) = x2 + 4x
	
	W(x) = - x2 + 4x
	Respondido em 28/05/2019 09:57:33
	
Explicação:
W(x) = a.x2 + bx
Para x = 2, W = 0. Logo, 0 = 4a + 2b
Para x = 1, W = 2. Logo, 2 = a + b
Resolvendo o sistema, a = -2 e b = 4. Portanto, W(x) = -2.x2 + 4x
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
		
	
	Função logarítmica.
	
	Função exponencial.
	 
	Função linear.
	
	Função cúbica.
	
	Função quadrática.
	Respondido em 28/05/2019 09:57:58
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Considere o gráfico de dispersão abaixo.
 
 
Analisando o gráfico acima, qual a curva que os pontos acima melhor se ajustam?
		
	
	Y = ax + 2
	
	Y = b + x. ln(2)
	
	Y = ax2 + bx + 2
	 
	Y = a.2-bx
	
	 Y = a.log(bx)
	Respondido em 28/05/2019 09:58:05
	
Explicação:
A função tem um comportamento decrescente e aspecto exponecial. Assim, a expressão deve ser do tipo y = b-kx, com b > 1 e k > 0
	
	
	
	
	 
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	 1a Questão
	
	
	
	
	Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v
		
	
	(10,8,6)
	
	(6,10,14)
	
	(13,13,13)
	 
	(11,14,17)
	
	(8,9,10)
	Respondido em 28/05/2019 09:58:15
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Considere o conjunto de instruções: If A > B then C = A x B Else C = A/B Se os valores de A e B são, respectivamente, 10 e 2, determine o valor de C após esse conjunto de instruções ser executado.
		
	 
	20
	
	Qualquer valor entre 2 e 10
	
	5
	
	0
	
	Indefinido
	Respondido em 28/05/2019 09:58:17
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	A dedução do método da secante utiliza qual método para encontrar a raiz de uma função?
		
	
	Semelhança de retângulos.
	
	Semelhança de quadrados.
	
	Semelhança de círculos.
	 
	Semelhança de triângulos.
	
	Nenhuma das anteriores.
	Respondido em 28/05/2019 09:58:22
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados (n + 1) pontos. 
		
	
	n + 1
	
	menor ou igual a n - 1
	 
	menor ou igual a n
	
	n
	
	menor ou igual a n + 1
	Respondido em 28/05/2019 09:58:26
	
Explicação:
Na interpolação polinomial, quando temo "n +1 " pontos, o polinômio interpolador tem grau máximo "n".
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Calcular pela regra do Trapézio usando 5 pontos e sabendo-se que:
 
 
		
	
	7,970
	
	2,395
	
	4,785
	 
	3,985
	
	5,125
	Respondido em 28/05/2019 09:58:33
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada?
		
	
	Função logarítmica.
	
	Função linear.
	 
	Função quadrática.
	
	Função cúbica.
	
	Função exponencial.
	Respondido em 28/05/2019 09:58:36
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida:
		
	
	Varia, diminuindo a precisão
	
	Nunca se altera
	
	Nada pode ser afirmado.
	 
	Varia, aumentando a precisão
	
	Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão
	Respondido em 28/05/2019 09:58:42
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dada a função f através do tabelamento a seguir, complete a tabela, e calcule, aproximadamente, o valor de  usando o método dos trapézios com 3 casas decimais.
 
 
		
	
	 13,000
	
	 13,500
	
	 13,857
	
	 13,017
	 
	 13,900
	Respondido em 28/05/2019 09:58:48
	
	
	
		 
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	 1a Questão
	
	
	
	
	Considere o valor exato x = 3,1415926536 e o valor aproximado x¿ = 3, 14, o erro absoluto neste caso é:
		
	
	3,14
	
	0,14
	 
	0.0015926536
	
	3,1416
	
	0,1415926536
	Respondido em 28/05/2019 10:00:26
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Ao realizar uma medida o técnico encontrou o valor 12 cm, mas o valor correto era 13 cm.  Qual o erro relativo desta medição?
		
	
	0,077%
	
	8,3%      
	 
	7,7%    
	
	0,83%
	
	0,77%
	Respondido em 28/05/2019 10:00:29
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (13 - 12) = 1 cm
Erro relativo: = 1 / 13 = 0,077=  7,7%3a Questão
	
	
	
	
	Ao medir uma peça  de 100cm o técnico anotou com erro  relativo de 0,5% . Qual o valor do erro absoluto?  
		
	
	0,05 cm.
	
	5 cm     
	 
	 0,5 cm
	
	 95 cm
	
	99,5 cm   
	Respondido em 28/05/2019 10:00:33
	
Explicação:
Erro relativo  = erro absoluto / valor real      
0,5%   = erro absoluto / 100   , então erro absoluto = 0,5% . 100 =  0.5/100 . 100 = 0,5 cm
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida cujos limites de integração são 0 e 3, n = 10, cada base h do retângulo terá que valor?
		
	
	Indefinido
	 
	0,3
	
	30
	
	3
	
	0,5
	Respondido em 28/05/2019 10:00:36
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Suponha que uma pessoa esteja realizando a medição de um terreno utilizando uma fita métrica à Laser. Marque a opção que contém os erros que ela poderá cometer na execução desta atividade, na seguinte sequencia: ERRO DO OPERADOR, ERRO DO SISTEMA (PROCESSO) e ERRO ALEATÓRIO, respectivamente.
		
	
	marcação errada por radiação solar intensa, marcação errada por baterias fracas, mal posicionamento da trena.
	
	marcação errada por tremor de terra, mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas.
	
	Nenhuma das Anteriores
	 
	mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas, marcação errada por radiação solar intensa.
	
	marcação errada por baterias fracas, mal posicionamento da trena, marcação errada por radiação solar intensa.
	Respondido em 28/05/2019 10:00:41
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Ao realizar uma medida o técnico anotou o valor 124 cm, mas o valor correto era 114 cm.  Qual o erro relativo desta medição?
 
		
	
	8,1 %        
	 
	8,8 %
	
	10%
	
	0,81 %        
	
	0,88 %
	Respondido em 28/05/2019 10:00:47
	
Explicação:
Erro absoluto = módulo (124 - 114) = 10 cm
Erro relativo: = 10 / 114 = 0,088 = 8,8 %
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Um aluno no Laboratório de Física fez a medida para determinada grandeza e encontrou o valor aproximado de 1,50 mas seu professor afirmou que o valor exato é 1,80. A partir dessas informações, determine o erro relativo.
 
		
	
	0,6667
	
	0,1266
	
	0,30
	
	0,2667
	 
	0,1667
	Respondido em 28/05/2019 10:00:52
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	O valor da integral de f(x) = 2/x3, variando no intervalo de 1 a 2, é igual a 7,5. Utilizando um método de integração numérica qualquer, foi encontrado o valor aproximado de 7,75. Determine, respectivamente, os erros absoluto e relativo desta aproximação.
		
	
	0,025 e 0,03
	
	0,50 e o,30
	 
	0,25 e 0,03
	
	0,03 e 0,25
	
	0,25 e 0,30
	Respondido em 28/05/2019 10:00:56
	
	
	
	
		 
	CÁLCULO NUMÉRICO
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	 1a Questão
	
	
	
	
	Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x3 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se como resposta o valor de:
		
	
	0,3000
	
	0,2500
	
	0,3225
	
	0,2750
	 
	0,3125
	Respondido em 28/05/2019 10:01:07
	
Explicação:
Inicialmente vamos determinar o valor de cada intervalo: h = (1- 0)/2 = 0,5
x0 = 0, x1 = 0,5 e x2 = 1
f(x) = x3
f(0) = 03 = 0
f(0,5) = (0,5)3 = 0,125
f(1) = 13 = 1
I = [f(x0) + 2.f(x1) + f(x2)].h/2
I = [0 + 2.(0,125) + 1)].0,25 = 0,3125
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é correto afirmar que:
		
	
	É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração
	
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos retângulos
	
	É um método de pouca precisão
	 
	Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método do trapézio
	
	Só pode ser utilizado para integrais polinomiais
	Respondido em 28/05/2019 10:01:13
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. Nesta análise concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou seja, através de um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) por interpolação polinomial?
		
	 
	2
	
	5
	
	4
	
	1
	
	3
	Respondido em 28/05/2019 10:01:17
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, exigindo menos esforço computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros métodos através de cálculos sequenciais. As duas primeiras etapas são obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais.
		
	
	0,382
	 
	0,351
	
	0,725
	
	1,567
	
	1,053
	Respondido em 28/05/2019 10:01:23
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Os processos reiterados (repetitivos) constituem um procedimento de vários métodos numéricos para obtenção de raízes, como podemos constatar no método da bisseção. Um destes processos, se baseia na sucessiva divisão de um intervalo numérico no qual se conjectura a existência de uma raiz ou algumas raízes. Considerando-se a função f(x)= 2x3-5x2+4x-2 e o intervalo [2,6], determine o próximo intervalo a ser adotado no método de investigação das raízes.
		
	 
	[2,3]
	
	[3,4]
	
	[4,5]
	
	[4,6]
	
	[5,6]
	Respondido em 28/05/2019 10:01:25
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, com EXCEÇÃO de:
		
	
	As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio.
	
	Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos.
	 
	Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida.
	
	A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos.
	
	Utiliza a extrapolação de Richardson.
	Respondido em 28/05/2019 10:01:32
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
		
	
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinarum ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
	
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	 
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	Respondido em 28/05/2019 10:01:36
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica a regra do trapézio de forma repetida e "refina" a expressão obtida através da extrapolação de Richardson. Identifique nas opções a seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao descrito.
		
	
	Regra de Simpson.
	
	Método do Trapézio.
	
	Método da Bisseção.
	 
	Método de Romberg.
	
	Extrapolação de Richardson.
	Respondido em 28/05/2019 10:01:46
	
	
	
		 
	CÁLCULO NUMÉRICO
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	 1a Questão
	
	
	
	
	Considere a situação em que você disponha de 20 pares ((x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x19,f(x19)) ) de dados distintos no plano cartesiano. Suponha que você utilize o método de Newton para a determinação do polinômio interpolador. Qual dos polinômios abaixo pode representar este polinômio?
		
	
	X20 + 7X - 9
	 
	X19 + 5X + 9
	
	X30 + 8X + 9
	
	X21 + 3X + 4
	
	X20 + 2X + 9
	Respondido em 28/05/2019 10:01:59
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. Sabendo-se que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por y=ex, determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA.
		
	
	2,50
	
	1,00
	 
	1,34
	
	2,54
	
	3,00
	Respondido em 28/05/2019 10:02:09
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como:
		
	
	erro de arredondamento
	
	erro booleano
	
	erro relativo
	
	erro absoluto
	 
	erro de truncamento
	Respondido em 28/05/2019 10:02:11
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considere f (x) = x3 − 9x + 3. Considerando o teorema do valor intermediário, podemos afirmar que:
		
	
	Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) > 0
	 
	Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) < 0
	
	Existe raiz no intervalo [-2,-1], pois f(-2) * f(-1) > 0
	
	Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) > 0
	
	Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) < 0
	Respondido em 28/05/2019 10:02:14
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico que corresponde aos MÉTODO DA BISSEÇÃO:
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	Respondido em 28/05/2019 10:02:39
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA.
		
	
	0
	
	-3
	 
	3
	
	-2
	
	1
	Respondido em 28/05/2019 10:02:47
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA.
		
	
	0
	
	-2
	 
	2
	
	1
	
	-1
	Respondido em 28/05/2019 10:02:51
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR:
		
	 
	Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice da parábola.
	
	O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a função.
	
	A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal.
	
	Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos.
	
	Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo.
	Respondido em 28/05/2019 10:02:58
	
	
	
	
	 
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	 1a Questão
	
	
	
	
	As equações diferenciais ordinárias (EDOs) têm grande aplicação nos diversos ramos da engenharia. Em algumas situações as EDOs precisam de um método numérico para resolvê-las. Um dos métodos é o de Runge - Kutta de ordem "  n". Em relação a este método são feitas as seguintes afirmações:
I - é um método de passo dois
II - há a necessidade de se calcular a função derivada
III - não é necessário utilizar a série de Taylor
É correto afirmar que:
		
	 
	todas estão erradas
	
	apenas I e II estão corretas
	
	apenas II e III estão corretas
	
	apenas I e III estão corretas
	
	todas estão corretas
	Respondido em 28/05/2019 10:03:43
	
Explicação:
O método de Runge - Kutta de ordem "n" utiliza um único passo, sem necessidade de utilizar a função derivada para determinar o ponto subsequente e vale-se da série de Taylor
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P- Q, se:
 
		
	
	a = b = c = d= e - 1
 
	
	b = a + 1, c = d= e = 4
	 
	a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1
	
	2b = 2c = 2d = a + c
	
	b - a = c - d
 
	Respondido em 28/05/2019 10:03:51
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, respectivamente:
		
	 
	2.10-2 e 1,9%
	
	3.10-2 e 3,0%
	
	0,030 e 3,0%
	
	0,020 e 2,0%
	
	0,030 e 1,9%
	Respondido em 28/05/2019 10:03:55
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 4a QuestãoDentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode ser enquadrada como fator de geração de erros:
		
	
	Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou regulagem de equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão)
	
	Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números
	
	Uso de dados de tabelas
	 
	Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo.
	
	Uso de rotinas inadequadas de cálculo
	Respondido em 28/05/2019 10:04:00
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA.
		
	
	Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste em transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade
	
	Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de Gauss-Jacobi.
	
	Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário.
	
	O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares.
	 
	Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método pode não convergir para a solução do sistema.
	Respondido em 28/05/2019 10:04:04
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
		
	
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
	
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	 
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	Respondido em 28/05/2019 10:04:10
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro relativo associado?
		
	
	1,008 m2
	
	0,992
	
	0,2 m2
	 
	0,8%
	
	99,8%
	Respondido em 28/05/2019 10:04:14
	
	
	Gabarito
Coment.
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos expressar condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um sistema. Considerando as opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a relação destes sistemas.
		
	
	Método de Decomposição LU.
	
	Método de Gauss-Seidel.
	
	Método de Gauss-Jordan.
	 
	Método de Newton-Raphson.
	
	Método de Gauss-Jacobi.
	Respondido em 28/05/2019 10:04:18
	
	
	Gabarito
Coment.