9 -Momento Vetorial

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Prof. Eng. Francisco Lemos, MsC.
Disciplina: Mecânica dos Sólidos
Momento Vetorial
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As forças que atuam no corpo rígido pode ser separada em dois grupos: (1) forças externas (2) forças internas)
F
F’
 CORPOS RÍGIDOS: SISTEMAS 
EQUIVALENTES DE FORÇAS
*
De acordo com o principio do transmissibilidade duas forças que agem no corpo rígido em dois pontos diferentes têm o mesmo efeito nesse corpo se tiverem o mesmo valor, o mesmo sentido, e a mesma linha de ação. 
F
F’
*
q
V = P x Q
P
Q
O produto de dois vetores pode ser definido como:
V = P x Q
O produto do vetor P e Q é um vetor V que é perpendicular aos vetores P e Q, de magnitude igual a:
V = PQ sin 
*
i
k
j
Da definição do produto dois vetores, temos que a o produto entre vetores unitários (i, j, k) é igual a:
i x i = j x j = k x k = 0
i x j = k , j x k = i , k x i = j , i x k = - j , j x i = - k , k x j = - i
P = Px i + Py j + Pz k Q = Qx i + Qy j + Qz k
Vamos agora determinar o produto vetorial entre dois vetores P e Q em função de suas componentes cartesianas. 
*
P = Px i + Py j + Pz k Q = Qx i + Qy j + Qz k
V = P x Q =
i
Px
Qx
j
Py
Qy
k
Pz
Qz
= Vx i + Vy j + Vz k
onde
Vx = Py Qz - Pz Qy
Vy = Pz Qx - Px Qz
Vz = Px Qy - Py Qx
*
O
d
A
F
Mo
r
O momento da força F sobre o ponto O é definido como o produto do vetor 
MO = r x F
Onde r é o is vetor posição e F é a força de aplicada no corpo rígido, e Θ é o ângulo formado entre a linha de ação de r e F. 

A magnitude do momento de F sobre O pode ser escrito como:
MO = rF sin  = Fd
onde d é a distância perpendicular de O até a linha de ação de F.
*
x
y
z
Fx i
Fz k
Fy j
x i
y j
z k
O
A (x , y, z )
r
As componentes retangulares do momento Mo são determinada através do produto vetorial entre o vetor posição r e a força F. 
Mo = r x F =
i
x
Fx
j
y
Fy
k
z
Fz
= Mx i + My j + Mzk
Onde
Mx = y Fz - z Fy My = zFx - x Fz
Mz = x Fy - y Fx
*
x
y
Fx i
Fz k
Fy j
O
r
MB = rA/B x F =
i
xA/B 
Fx
j
yA/B
Fy
k
zA/B
Fz
onde 
z
B (x B, yB, z B)
A (x A, yA, z A)
rA/B = xA/B i + yA/B j + zA/B k 
e
xA/B = xA- xB yA/B = yA- yB zA/B = zA- zB
No exemplo ao lado mostra um momento sobre um ponto arbitrário B através de uma força F aplicada em A, por tanto temos: 
*
x
y
Fy i
F
Fz j
O
MB = (zA- zB )Fy + (yA- yB ) Fz 
z
B
A
(zA - zB ) i
rA/B
(yA - yB ) j
Nos problemas envolvendo duas dimensões, a força F pode ser expressa em função das componentes yz. O momento sobre o ponto B é perpendicular a este plano yz. 
MB = MB x
*

P
Q
O produto escalar entre dois vetores P e Q é definido como:
O produto escalar de P e Q pode ser escrito em termos de suas
componentes retangulares como:
Onde  é o ângulo formado entre eles.
*
x
y
z
O
L
A
x
P

z
y
A projeção do vetor P no eixo OL pode ser obtido pelo produto escalar entre P e o vetor unitário
POL = P 
Usando as componentes retangulares temos:
POL = Px cos x + Py cos y + Pz cos z 
*
O produto misto de tres vetores S, P, e Q é:
S (P x Q ) =
Sx
Px
Qx
Sy
Py
Qy
Sz
Pz
Qz
Os elementos do determinante são as componentes retangulares dos tres vetores.
*
x
F
O

O momento de uma força F sobre uma linha central OL é a projeção OC em OL do momento MO da força F. Isto pode ser escrito como um produto triplo.
z
A (x, y, z)
y
MO
L
C
r
x
x
Fx
y
y
Fy
z
z
Fz
MOL =MO =(r x F) =
x, y , z = cosseno diretor do eixo OL
x, y , z = componentes de r
Fx, Fy , Fz = componentes de F
*
d
F
- F
M
Binário – quando duas forças F e - F que têm o mesmo valor, as linhas de ação paralelas, e o sentido oposto.
O momento de um binário é independente do ponto sobre que é computado; é um vetor M perpendicular ao plano dos pares e de magnitude igual ao produto Fd.
*
Dois pares que têm o mesmo momento M são equivalentes (têm o mesmo efeito em um corpo rígido dado). 
x
y
z
d
F
- F
x
y
z
O
O
M
(M = Fd)
x
y
z
O
Mx
My
Mz
M
*
O
A
r
F
O
A
F
MO
Toda força F que age em um ponto A de um corpo rígido pode ser substituída por um sistema de força-pares em um ponto arbitrário O, consistindo na força F aplicada em O e em um momento Mo igual ao momento sobre o ponto O da força F em sua posição original. O vetor F e o vetor Mo são sempre perpendiculares entre si. 
*
O
A1
r1
F1
O
M1
r2
A2
F2
r3
A3
F3
F1
M2
M3
F2
F3
R
O
Todo o sistema de forças pode ser reduzido a uma força e um momento em um ponto dado O. Primeiramente, cada uma das forças do sistema é substituída por um sistema equivalente de força e momento no ponto O. Em seguida todas as forças são adicionadas então para obter uma força resultante R, e todos os momentos são adicionados para obter um vetor resultante Mo. No final, a força resultante R e o vetor Mo não serão perpendiculares entre si. 
*
O
A1
r1
F1
r2
A2
F2
r3
A3
F3
R
O
Dois sistemas de forças F1, F2, F3 . . . , e F’1, F’2, F’3 . . . , serão equivalentes se, e somente se,
  F =  F’ 
 e 
 Mo =  Mo’ 
*