Exercícios de Física 2 - P2

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 EXERCÍCIOS DE TEORIA DE FÍSICA 
GERAL E EXPERIMENTAL II 
1o SEM/2019 
P2 
FACULDADES DE ENGENHARIA CIVIL, 
MECÂNICA, PETRÓLEO, PRODUÇÃO, 
QUÍMICA E ELÉTRICA. 
 
1 
 
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SISTEMAS CONSERVATIVOS E DISSIPATIVOS DE ENERGIA. 
 
ENERGIA MECÂNICA 
 
Energia é a capacidade de executar um trabalho. 
Energia mecânica é aquela que acontece devido ao movimento dos corpos ou armazenada 
nos sistemas físicos. 
Dentre as diversas energias conhecidas, as que veremos no estudo de dinâmica são: 
 Energia Cinética 
 Energia Potencial Gravitacional 
 Energia Potencial Elástica 
1. Energia Cinética 
É a energia ligada ao movimento dos corpos. Resulta da transferência de energia do 
sistema que põe o corpo em movimento. É dada por: 
𝐄𝐜 =
𝐦. 𝐯𝟐
𝟐
 
m: massa do corpo (em kg) 
v: velocidade do corpo (em m/s) 
Ec: energia cinética (em joule – J) 
Teorema da Energia Cinética (TEC) 
“O trabalho total realizado por todas as forças atuantes em um corpo extenso, internas e 
externas, mede a variação de sua energia cinética. ” 
 
𝛕𝐑𝐞𝐬𝐮𝐥𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞 = ∆𝐄𝐜 = 𝐄𝐜𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥 − 𝐄𝐜𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥 
Ec: energia cinética (em joules – J), é a energia associada ao movimento. 
𝐄𝐜 =
𝐦. 𝐯𝟐
𝟐
 
m: massa (em kg) 
v: velocidade (em m/s) 
2. Energia Potencial 
Energia Potencial é a energia que pode ser armazenada em um sistema físico e tem a 
capacidade de ser transformada em energia cinética. Conforme o corpo perde energia 
potencial ganha energia cinética e vice-versa. 
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2.1 Energia Potencial Gravitacional 
É a energia que corresponde ao trabalho que a força Peso realiza. É obtido quando 
consideramos o deslocamento de um corpo na vertical, tendo como origem o nível de 
referência (solo, chão de uma sala, ...). 
𝐄𝐩 = 𝐦. 𝐠. 𝐡 
m: massa (em kg) 
g: aceleração gravitacional (em m/s²) 
h: altura/desnível (em metro) 
Ep: energia potencial gravitacional (em joule – J) 
Obs.: Enquanto o corpo cai vai ficando mais rápido, ou seja, ganha Energia Cinética, e 
como a altura diminui, perde Energia Potencial Gravitacional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Energia Potencial Elástica 
Podemos entendê-la como a energia associada ou "armazenada" na propriedade elástica 
dos materiais. A propriedade elástica ou elasticidade de um corpo está associada ao fato 
dele ser capaz de se deformar sob a ação de uma força e retornar à forma original quando 
a força cessa a sua atuação. 
Corresponde ao trabalho que a força elástica realiza para reconstituir a mola ao seu 
comprimento original, transformando a energia potencial elástica em energia cinética. 
3 
 
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Como a força elástica é uma força variável, seu trabalho é calculado através do cálculo 
da área do seu gráfico, cuja Lei de Hooke diz ser: Fel = k.x 
Como a área de um triângulo é dada por: A = ୠୟୱୣ.ୟ୪୲୳୰ୟ
ଶ
 
Então: 
τ୊ୣ୪ = Eୣ୪ =
deformação. força
2
=
x. k. x
2
 
𝐄𝐞𝐥 =
𝐤. 𝐱𝟐
𝟐
 
K: constante elástica da mola (em N/m) 
x: deformação da mola (em metro – m) 
Eel: energia potencial elástica (em joule – J) 
 
SISTEMAS CONSERVATIVOS 
 
A energia mecânica de um corpo é igual a soma das energias potenciais e cinética dele. 
 
𝐄𝐌 = 𝐄𝐜 + 𝐄𝐩 + 𝐄𝐞𝐥 
 
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Forças conservativas: são aquelas que realizam trabalhos independentemente do 
caminho escolhido entre dois pontos distintos e ele aparece como energia cinética ou 
energia potencial. Exemplo: força peso. 
Forças dissipativas: são as forças que atuam no sistema, transformando energia 
mecânica em outras formas de energia, também são denominadas de forças não 
conservativas. Exemplo: a força de atrito pode transformar energia cinética em 
energia sonora (som) e energia térmica (calor). 
Princípio da Conservação da Energia Mecânica: 
“Para um sistema conservativo, isto é, um sistema isolado, que não troca energia com o 
ambiente, e onde não agem forças dissipativas, a energia cinética e a energia potencial 
variam, mas a energia mecânica permanece constante”. 
𝐄𝐌𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥 = 𝐄𝐌𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥 
𝐄𝐜𝐢 + 𝐄𝐩𝐢 + 𝐄𝐞𝐥𝐢 = 𝐄𝐜𝐟 + 𝐄𝐩𝐟 + 𝐄𝐞𝐥𝐟 
 
 
SISTEMA NÃO CONSERVATIVOS 
Num sistema de forças não conservativo, há variação da energia mecânica total. 
Quando um sistema apresenta forças dissipativas, como a força de resistência do ar, a 
força de atrito, a força viscosa de líquidos, ocorre a diminuição da energia mecânica, 
com a transformação, principalmente, em energia térmica. 
 
O trabalho das forças não-conservativas é igual à variação da energia mecânica sofrida 
por um corpo. 
 
𝛕𝐟𝐨𝐫ç𝐚𝐬𝐝𝐢𝐬𝐬𝐢𝐩𝐚𝐭𝐢𝐯𝐚𝐬 = 𝐄𝐌𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥 − 𝐄𝐌𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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26. Uma pequena esfera de massa 30g está sobre uma mola comprimida 4 cm. Solta-se a 
mola e deseja-se que a esfera descreva a trajetória ABCD. Considere g = 10 m/s2 e calcule 
a constante elástica mínima da mola, tal que a partícula consiga descrever a referida 
trajetória. 
Resp.: k = 168,8 N/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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27. Uma pequena esfera de massa 10g está sobre uma mola comprimida 5 cm. Solta-se 
a mola e deseja-se que a esfera descreva a trajetória ABCD. Considere g = 10 m/s2 e 
calcule a constante elástica mínima da mola, tal que a partícula consiga descrever a 
referida trajetória. 
Resp.: k= 53,8N/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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28. Uma esfera de massa m = 2 kg abandonada no ponto A, descreve a trajetória indicada 
e para no ponto C após comprimir a mola em 0,5 m. Sendo a constante elástica da mola 
k = 200 N/m e a aceleração da gravidade g = 10 m/s2, determinar: 
(a) a altura do ponto A em relação ao ponto B; 
(b) a reação exercida sobre a esfera no ponto B sabendo 
que o raio de curvatura desse ponto é 20 m. 
Resp.: (a) hA = 2,25 m; (b) NB = 24,5 N. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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29. Uma esfera de massa m = 4 kg é abandonada, sem velocidade inicial, no ponto A, 
descreve a trajetória indicada e para no ponto C após comprimir a mola em 0,6 m. 
Sendo a constante elástica da mola k = 400 N/m e a aceleração da gravidade g = 10 
m/s2, determinar: 
(a) a altura do ponto A em relação ao ponto B; 
(b) a reação exercida sobre a esfera no ponto B sabendo 
que o raio de curvatura desse ponto é 10 m. 
Resp.: (a) hA= 2,8m (b) NB= 62,5N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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30. Uma partícula é posta a deslizar sobre uma superfície polida de maneira a descrever 
a curva ABCD num plano vertical. O trecho BCD é um arco de circunferência de centro 
O e de raio 20 cm. Admitindo que o móvel seja abandonado no ponto A do repouso, 
calcular: 
(a) a velocidade da partícula no ponto B; 
(b) a intensidade da força de reação da superfície quando a partícula passar pelo ponto B 
situado a 80cm abaixo de A, sendo 60° o ângulo formado pelos segmentos OB e OC. 
Admitir que a massa da partícula seja 5 g e g = 10 m/s2. 
Resp.: (a) VB= 4,0m/s 
 (b) NB= 0,425N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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31. Uma partícula é posta a deslizar sobre uma superfície polida de maneira a descrever 
a curva ABCD num plano vertical. O trecho BCD é um arco de circunferência de centro 
O e de raio 40 cm. Admitindo que o móvel seja abandonado no ponto A do repouso, 
calcular: 
(a) a velocidade da partícula no ponto B; 
(b) a intensidade da força de reação da superfície quando a partícula passar pelo ponto B 
situado a 100 cm abaixo de A, sendo 60° o ângulo formado pelos segmentos OB e OC. 
Admitir que a massa da partícula seja 4 g e g = 10 m/s2. 
Resp.: (a) VB= 4.5m/s 
 (b) NB= 0,222N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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32. Na figura abaixo, encontra-se representada uma pista com um trilho sobre o qual pode 
deslizar, sem atrito, uma pequena bola. Calcular: 
(a) a velocidade mínima no ponto mais alto da trajetória circular; 
(b) qual deve a altura h para que o carrinho, abandonado do repouso no ponto A, descreva 
a circunferência de centro O e raio 20 cm? 
Resp.: (a) Vmin= 1,4m/s 
 (b) h = 0,5 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
 
33. Na figura abaixo, encontra-se representada uma pista com um trilho sobre o qual 
pode deslizar, sem atrito, uma pequena bola. Calcular: 
(a) a velocidade mínima no ponto mais alto da trajetória circular; 
(b) qual deve a altura h para que o carrinho, abandonado do repouso no ponto A, 
descreva a circunferência de centro O e raio 10 cm? 
Resp.: (a) Vmin= 1,0m/s 
 (b) h= 0,25m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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34. A partícula da figura de massa 2 kg é abandonada do ponto A sendo desviado por uma 
canaleta B para o plano horizontal de modo a provocar a compressão da mola de constante 
elástica 18.103 N/m, inicialmente sem deformação. Sabendo-se que g = 10 m/s2 , que o 
coeficiente de atrito dinâmico entre a partícula e a superfície do plano horizontal é 0,5, 
que AB = 10 cm e BC = 10 cm, determinar a máxima compressão na mola. 
Resp.: x= 1,05 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
35. A partícula da figura de massa 4 kg é abandonada do ponto A sendo desviado por uma 
canaleta B para o plano horizontal de modo a provocar a compressão da mola de constante 
elástica 2.103 N/m, inicialmente sem deformação. Sabendo-se que g = 10 m/s2, que o 
coeficiente de atrito dinâmico entre a partícula e a superfície do plano horizontal é 0,5, 
que AB = 40 cm e BC = 40 cm, determinar a máxima compressão na mola. 
Resp.: x= 8,9cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
36. Um corpo de massa m = 1 kg está com a velocidade de 2 m/s na posição A da figura. 
Ao atingir a mola de constante elástica 4.103 N/m provoca a deformação máxima de 5.10-
2m. Calcular: 
(a) o trabalho da força de atrito; 
(b) a altura máxima atingida ao voltar, sabendo-se que o trabalho de atrito do ponto de 
retorno até a altura h é –1J. 
Adotar g = 10 m/s2. 
Resp.: a) Wfat = - 2 J; b) h = 40,0 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
37. Um corpo de massa m = 0,5 kg está com a velocidade de 4 m/s na posição A da 
figura. Ao atingir a mola de constante elástica 2.103 N/m provoca a deformação máxima 
de 4.10-2m. Calcular: 
(a) o trabalho da força de atrito; 
(b) a altura máxima atingida ao voltar, sabendo-se que o trabalho de atrito do ponto de 
retorno até a altura h é –0,2J. 
Adotar g = 10 m/s2. 
Resp.: (a) Wfat= -4,9J 
 (b) h= 28,0cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CINEMÁTICA VETORIAL: vetor posição, vetor velocidade média, vetor 
velocidade instantânea, vetor aceleração média, vetor aceleração instantânea. 
 
CINEMÁTICA VETORIAL 
 
Na Cinemática Escalar, estudamos a descrição de um movimento em trajetória conhecida, 
utilizando as grandezas escalares. Agora, veremos como obter e correlacionar as 
grandezas vetoriais descritivas de um movimento, mesmo que não sejam conhecidas 
previamente as trajetórias. 
Vetor posição 
Em cada instante a posição de uma partícula pode ser dada pelas suas coordenadas 
cartesianas x, y e z, ou através do Vetor Posição, �⃗�, cuja origem coincide com a origem 
do referencial e cuja extremidade coincide com a posição da partícula. 
 
 
 
�⃗� = 𝐏 − 𝐎 ⟹ �⃗� = �⃗�𝐱 + �⃗�𝐲 + �⃗�𝐳 ⟹ �⃗� = 𝐱଍⃗ + 𝐲଎⃗ + 𝐳�⃗� 
Em módulo: |�⃗�| = ඥ𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 + 𝐳𝟐 
 
Se a partícula estiver em movimento, o vetor posição dependerá do instante de tempo t. 
Escrevemos �⃗� = �⃗�(𝐭) ou, em coordenadas cartesianas, �⃗� = 𝐱(𝐭)଍⃗ + 𝐲(𝐭)଎⃗ + 𝐳(𝐭)�⃗�. 
 
Vetor deslocamento 
Consideremos dois instantes t1 e t2. Nesses instantes, o vetor posição são dados por �⃗�(𝐭𝟏) 
e �⃗�(𝐭𝟐). Definimos o vetor deslocamento, ∆�⃗�, entre os instantes t1 e t2 como sendo o vetor 
 ∆�⃗� = �⃗�(𝐭𝟏) − �⃗�(𝐭𝟐) = ∆𝐱଍⃗ + ∆𝐲଎⃗ + ∆𝐳�⃗� 
Em módulo: |∆�⃗�| = ඥ∆𝐱𝟐 + ∆𝐲𝟐 + ∆𝐳𝟐 
 
 
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Velocidade vetorial média 
Numa trajetória qualquer (retilínea ou curvilínea), a velocidade vetorial média é definida 
pela razão entre o vetor deslocamento e o correspondente intervalo de tempo 
𝐯ሬ⃗ 𝐦 =
∆�⃗�
∆𝐭
=
�⃗�𝟐 − �⃗�𝟏
𝐭𝟐 − 𝐭𝟏
 
O vetor velocidade média tem a mesma direção e o mesmo sentido do vetor deslocamento. 
Em módulo: |𝐯ሬ⃗ 𝐦| =
|∆�⃗�|
∆𝐭
 
 
 
 
Velocidade vetorial instantânea 
Quando o intervalo de tempo tende a zero, a velocidade vetorial média tende a um limite 
que é denominado velocidade vetorial instantânea. 
𝐯ሬ⃗ = 𝐥𝐢𝐦
∆𝐭→𝟎
𝐯ሬ⃗ 𝐦 = 𝐥𝐢𝐦∆𝐭→𝟎
∆�⃗�
∆𝐭
 
Em termos da linguagem de derivada, 
𝐯ሬ⃗ =
𝐝�⃗�
𝐝𝐭
=
𝐝𝐱
𝐝𝐭
଍⃗ +
𝐝𝐲
𝐝𝐭
଎⃗ +
𝐝𝐳
𝐝𝐭
�⃗� ⟹ 𝐯ሬ⃗ = 𝐯𝐱଍⃗ + 𝐯𝐲 ଎⃗ + 𝐯𝐳�⃗� 
Em módulo: |𝐯ሬ⃗ | = ට𝐯𝐱𝟐 + 𝐯𝐲𝟐 + 𝐯𝐳𝟐 
O vetor velocidade instantânea representa a direção, o sentido e a “rapidez” do 
movimento, em cada ponto da trajetória, sendo a rapidez dada pelo módulo de 𝐯ሬ⃗ . 
O módulo da velocidade vetorial instantânea é o mesmo que o da velocidade escalar, sua 
direção é a representada pela reta da tangente à trajetória, e o seu sentido é o do 
movimento do corpo, que é determinado pelo sinal da velocidade escalar v. 
Obs.: A velocidade vetorial instantânea, pode ser chamada apenas de velocidade vetorial. 
 
 
 
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Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
Aceleração vetorial média 
Considere as velocidades vetoriais 𝐯ሬ⃗ ଵ e 𝐯ሬ⃗ 𝟐 nos instantes t1 e t2. A aceleração vetorial 
médiaé o quociente entre a v 
ariação da velocidade vetorial (∆𝐯ሬ⃗ ) e o intervalo de tempo (∆𝐭) em que ocorreu tal 
variação. 
𝐚ሬ⃗ 𝐦 =
∆𝐯ሬ⃗
∆𝐭
=
𝐯ሬ⃗ 𝟐 − 𝐯ሬ⃗ 𝟏
𝐭𝟐 − 𝐭𝟏
 
A aceleração vetorial média tem a mesma direção e o mesmo sentido da variação de 
velocidade vetorial. 
 
 
 
 
Aceleração vetorial instantânea 
É a aceleração vetorial de um móvel em cada ponto de sua trajetória. 
Quando o intervalo de tempo tende a zero, a aceleração vetorial média tende a um limite 
que é denominado aceleração vetorial instantânea. 
𝐚ሬ⃗ = 𝐥𝐢𝐦
∆𝐭→𝟎
𝐚ሬ⃗ 𝐦 = 𝐥𝐢𝐦∆𝐭→𝟎
∆𝐯ሬ⃗
∆𝐭
 
Em termos da linguagem de derivada, 
𝐚ሬ⃗ =
𝐝𝐯ሬ⃗
𝐝𝐭
=
𝐝𝒗𝒙
𝐝𝐭
଍⃗ +
𝐝𝒗𝒚
𝐝𝐭
଎⃗ +
𝐝𝒗𝒛
𝐝𝐭
�⃗� ⟹ 𝒂ሬሬ⃗ = 𝒂𝒙ଙ⃗ + 𝒂𝒚ଚ⃗ + 𝒂𝒛𝒌ሬሬ⃗ 
Em módulo: |𝐚ሬ⃗ | = ට𝐚𝐱𝟐 + 𝐚𝐲𝟐 + 𝐚𝐳𝟐 
A aceleração também pode ser a derivada segunda do vetor de posição: 
𝐚ሬ⃗ =
𝐝𝟐�⃗�
𝐝𝐭𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
CINEMÁTICA VETORIAL: movimento ao longo de uma curva. 
Componentes da aceleração 
 
Como todo vetor pode ser obtido pela soma de suas componentes perpendiculares, vamos 
decompor o vetor aceleração instantânea, tomando como base a direção do vetor 
velocidade. 
 
a) Componente tangencial (𝐚ሬ⃗ 𝐭) 
É a componente da aceleração vetorial na direção do vetor velocidade (𝐯ሬ⃗ ) e mede a 
rapidez da variação do módulo deste. Possui módulo igual ao da aceleração escalar. É 
dado por 
𝐚ሬ⃗ 𝐭 =
(𝐚ሬ⃗ . 𝐯ሬ⃗ ) 𝐯ሬ⃗
|𝐯ሬ⃗ |𝟐
 
 
Importante: 
 
1) Em movimentos acelerados, 𝐚ሬ⃗ 𝐭 e 𝐯ሬ⃗ têm o mesmo sentido. 
2) Em movimentos retardados, 𝐚ሬ⃗ 𝐭 e 𝐯ሬ⃗ têm sentidos contrários. 
3) Em movimentos uniformes, 𝐚ሬ⃗ 𝐭 é nula, já que o módulo de 
𝐯ሬ⃗ não varia nesses movimentos. 
 
 
 
b) Componente centrípeta (𝐚ሬ⃗ 𝐜𝐩) ou componente normal (𝐚ሬ⃗ 𝐧) 
É a componente da aceleração vetorial na direção do raio de curvatura (R) e mede a 
rapidez da variação da direção do vetor velocidade (𝐯ሬ⃗ ). Tem sentido apontando para o 
centro da trajetória (por isso, centrípeta). É dado por 
𝐚ሬ⃗ 𝐜𝐩 = 
𝑽𝟐
𝑹
 
Importante: 
Nos movimentos retilíneos, 𝐚ሬ⃗ 𝐜𝐩 é nula porque o móvel não muda de 
direção nesses movimentos. 
 
Em módulo: 
 ห𝐚ሬ⃗ 𝐜𝐩ห =
|𝐯ሬ⃗ |𝟐
𝐑
 
 
 
 
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Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
 
Aceleração resultante ou aceleração vetorial 
Também pode ser obtida pela soma vetorial de suas componentes. 
𝐚ሬ⃗ = 𝐚ሬ⃗ 𝐭 + 𝐚ሬ⃗ 𝐜𝐩 
Em módulo: 
|𝐚ሬ⃗ |𝟐 = |𝐚ሬ⃗ 𝐭|𝟐 + ห𝐚ሬ⃗ 𝐜𝐩ห
𝟐 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
38. Uma partícula em movimento obedece a seguinte função: 
 ).(.4).3(.2 32 ISktjtitr
  
Determine: 
(a) o vetor posição no instante t= 3,0s; 
(b) o vetor deslocamento no intervalo de 0 a 2,0s. 
Resp.: (a) )(.12.30.183 mkjir
  (b) )(.8.8.8 mkjir
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39. Uma partícula em movimento obedece a seguinte função: 
 ).(.).2().4( 3342 ISktjttittr
  
Determine: 
(a) o vetor posição no instante t= 2,0s; 
(b) o vetor deslocamento no intervalo de 1,0s a 2,0s. 
Resp.: (a) )(.8.40.142 mkjir
  (b) )(.7.37.11 mkjir
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
40. Uma partícula em movimento obedece a seguinte função: 
 ).().42().42().65( 33 ISktjttitr
  
Determine: 
(a) o vetor posição no instante t= 1,0s; 
(b) o vetor deslocamento no intervalo de 0 a 2,0s. 
Resp.: (a) )(.2.61 mkjir
  (b) )(.4.36.40 mkjir
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41. Uma partícula em movimento obedece a seguinte função: 
 ).().2().42().2( 223 ISktjttittr
  
Determine: 
(a) o vetor posição no instante t= 2,0s; 
(b) o vetor deslocamento no intervalo de 0 a 2,0s. 
Resp.: (a) )(.20.122 mjir
  (b) )(2.20.12 mkjir
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
42. Uma partícula em movimento obedece a seguinte função: 
 ).().13().().42( 32 ISktjttitr
  
Determine: 
(a) o vetor velocidade; 
(b) o vetor velocidade no instante t= 0; 
(c) o vetor velocidade no instante t= 2,0s. 
Resp.: (a) .).(.3).13(.4 2 ISkjtitv
  (b) )/(.30 smkjv
  
 (c) )/(.3.13.82 smkjiv
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
43. Uma partícula em movimento obedece a seguinte função: 
 ).().3().2(.4 22 ISktjtitr
  
Determine: 
(a) o vetor velocidade; 
(b) o vetor velocidade no instante t= 0; 
(c) o vetor velocidade no instante t= 3,0s. 
Resp.: (a) .).(.2.8 ISkjtitv
  (b) )/(0 smkv
  
 (c) )/(.6.243 smkjiv
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
44. Uma partícula em movimento obedece a seguinte função: 
 ).().4().2(.4 222 ISktjttitr
  
Determine: 
(a) o vetor velocidade; 
(b) o vetor velocidade no instante t= 0; 
(c) o vetor velocidade no instante t= 3,0s. 
Resp.: (a) .).(2).22(.8 ISktjtitv
  (b) )/(.20 smjv
  
 (c) )/(.6.8.243 smkjiv
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
45. Uma partícula em movimento obedece a seguinte função: 
 ).().75().2().2( 32 ISktjttittr
  
Determine: 
(a) o vetor velocidade; 
(b) o vetor velocidade no instante t= 0; 
(c) o vetor velocidade no instante t= 5,0s. 
Resp.: (a) .).(5).61().22( 2 ISkjtitv
  (b) )/(5.20 smkjiv
  
 (c) )/(5.149.125 smkjiv
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
46. O vetor posição de uma partícula obedece a seguinte função: 
 ).().1().3(. 32 ISktjtitr
  
Determine: 
(a) as coordenadas da partícula no instante t= 2,0s; 
(b) o vetor deslocamento no intervalo de 0 a 3,0s; 
(c) o vetor velocidade média no mesmo intervalo; 
(d) a velocidade instantânea para t= 1,0s. 
Resp. (a) P(4,5,3)(m) (b) )(.3.27.9 mkjir
  
 (c) )/(.9.3 smkjivm
  (d) )/(.3.21 smkjiv
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
47. O vetor posição de uma partícula obedece a seguinte função: 
 ).(.).3()52( 2232 ISktjttittr
  
Determine: 
(a) as coordenadas da partícula no instante t= 1,0s; 
(b) o vetor deslocamento no intervalo de 0 a 2,0s; 
(c) o vetor velocidade média no mesmo intervalo; 
(d) a velocidade instantânea para t= 2,0s. 
Resp. (a) P(-2,-1,1)(m) (b) )(.4.12.8 mkjir
  
 (c) )/(2.6.4 smkjivm
  (d) )/(4.16.62 smkjiv
 30 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
48. O vetor posição de uma partícula obedece a seguinte função: 
 ).().().25().23( 2 ISkttjtitr
  
Determine: 
(a) as coordenadas da partícula no instante t= 1,0s; 
(b) o vetor deslocamento no intervalo de 0 a 4,0s; 
(c) o vetor velocidade média no mesmo intervalo; 
(d) a velocidade instantânea para t= 2,0s. 
Resp. (a) P(5,7,2)(m) (b) )(.20.20.8 mkjir
  
 (c) )/(5.5.2 smkjivm
  (d) )/(5.5.22 smkjiv
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
49. O vetor posição de uma partícula obedece a seguinte função: 
 ).(.2).().( 232 ISktjtttittr
  
Determine: 
(a) as coordenadas da partícula no instante t= 1,0s; 
(b) o vetor deslocamento no intervalo de 1,0 a 3,0s; 
(c) o vetor velocidade média no mesmo intervalo; 
(d) a velocidade instantânea para t= 2,0s. 
Resp. (a) P(0,3,2)(m) (b) )(.4.36.6 mkjir
  
 (c) )/(2.18.3 smkjivm
  (d) )/(2.17.32 smkjiv
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
50. O vetor posição de uma partícula obedece a seguinte função: 
 ).().22().3(. 22 ISktjttitr
  
Determine: 
(a) o vetor deslocamento no intervalo de 0 a 2,0s; 
(b) o vetor velocidade média no mesmo intervalo; 
(c) o vetor aceleração média no mesmo intervalo. 
Resp.: (a) )(.4.10.4 mkjir
  (b) )/(.2.5.2 smkjivm
  
 (c) )/(.2.2 2smjiam
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
51. O vetor posição de uma partícula obedece a seguinte função: 
 ).().12().3(.2 22 ISktjtitr
  
Determine: 
(a) o vetor deslocamento no intervalo de 1,0s a 3,0s; 
(b) o vetor velocidade média no mesmo intervalo; 
(c) o vetor aceleração média no mesmo intervalo. 
Resp.: (a) )(.4.8.16 mkjir
  (b) )/(.2.4.8 smkjivm
  
 (c) )/(.2.4 2smjiam
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
52. O vetor posição de uma partícula obedece a seguinte função: 
 ).(.).22( 22 ISjtitr
  
Determine: 
(a) o vetor deslocamento no intervalo de 0 a 4,0s; 
(b) o vetor velocidade média no mesmo intervalo; 
(c) o vetor aceleração média no mesmo intervalo. 
Resp.: (a) )(.16.32 mjir
  (b) )/(.4.8 smjivm
  
 (c) )/(.2.4 2smjiam
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
53. A posição de uma partícula em função do tempo é dada por: 
 ).().1().4().3( 23 ISktjtittr
  
Para t= 1,0s, calcule: 
(a) o vetor posição r ; 
(b) o vetor velocidade v ; 
(c) o vetor aceleração a . 
Resp.: (a) )(.5.51 mjir
  (b) )/(.2.41 smkjiv
  
 (c) )/(.2.6 21 smjia
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
54. A posição de uma partícula em função do tempo é dada por: 
 ).().2().34( 22 ISjttitr
  
Para t= 2,0s, calcule: 
(a) o vetor posição r ; 
(b) o vetor velocidade v ; 
(c) o vetor aceleração a . 
Resp.: (a) )(.10.192 mjir
  (b) )/(.9.162 smjiv
  
 (c) )/(.4.8 22 smjia
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
55. A posição de uma partícula em função do tempo é dada por: 
 ).().3().3( 3 ISktitr
  
Para t= 3,0s, calcule: 
(a) o vetor posição r ; 
(b) o vetor velocidade v ; 
(c) o vetor aceleração a . 
Resp.: (a) )(.30.63 mkir
  (b) )/(273 smkiv
  
 (c) )/(.18 23 smka
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
56. O vetor posição de uma partícula varia com o tempo segundo a lei 
 .).(.4.2 2 ISjtitr
  
Determinar: 
(a) as funções cartesianas da trajetória; 
(b) os vetores da velocidade e da aceleração; 
(c) as componentes normal e tangencial da aceleração para t= 1,0s. 
Resp.: (a) 2xy  (b) .).(.8.2 ISjtiv
  e )/(.8 2smja
  
 (c) )/(.5,7.9,1 2smjiat
  e )/(5,0.9,1 2smjian
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
57. O vetor posição de uma partícula varia com o tempo segundo a lei 
 .).().36().24( 22 ISjttittr
  
Determinar: 
(a) as funções cartesianas da trajetória; 
(b) os vetores da velocidade e da aceleração; 
(c) as componentes normal e tangencial da aceleração para t= 1,0s; 
(d) o instante em que a velocidade é paralela ao eixo Oy. 
Resp.: (a) 
2
3xy  (b) .).().66().44( ISjtitv
  e )/(.6.4 2smjia
  
 (c) 0ta
 e )/(6.4 2smjian
  (d) t= 1,0s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
58. O vetor posição de uma partícula varia com o tempo segundo a lei 
 .).().14(.2 2 ISjtitr
  
Determinar: 
(a) as funções cartesianas da trajetória; 
(b) os vetores da velocidade e da aceleração; 
(c) as componentes normal e tangencial da aceleração para t= 1,0s. 
Resp.: (a) 12  xy (b) .).(.8.2 ISjtiv
  e )/(.8 2smja
  
 (c) )/(.5,7.9,1 2smjiat
  e )/(5,0.9,1 2smjian
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
59. O vetor posição de uma partícula varia com o tempo segundo a lei 
 .).().532(. 242 ISjttitr
  
Determinar: 
(a) as funções cartesianas da trajetória; 
(b) os vetores da velocidade e da aceleração; 
(c) as componentes normal e tangencial da aceleração para t= 1,0s. 
Resp.: (a) 532 2  xxy (b) .).().68(.2 3 ISjttitv
  e 
)/().624(.2 22 smjtia
  
(c) )/(.10.10 2smjiat
  e )/(8.8 2smjian
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
21,9 0,5 ( / )na i j m s  
 
60. O vetor posição de uma partícula varia com o tempo segundo a lei 
 .).(.5).44().1( 2 ISkjttitr
  
Determinar: 
(a) as funções cartesianas da trajetória; 
(b) as funções horárias da velocidade e da aceleração; 
(c) as componentes normal e tangencial da aceleração para t= 1,0s; 
(d) o instante em que a velocidade é paralela ao plano xOz. 
Resp.: (a) 8124 2  xxy ; z= 5 (b) .).().48(ISjtiv
  e )/(.8 2smja
  
 (c) )/(.5,7.9,1 2smjiat
  e (d) t= 0,5s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
61. As coordenadas de uma partícula são x= 3t e y= (t-2)2, onde x e y são dados em 
metros e t em segundos. Determinar: 
(a) as funções cartesianas da trajetória; 
(b) os vetores da velocidade e da aceleração; 
(c) as componentes normal e tangencial da aceleração para t= 1,0s; 
(d) o instante em que a velocidade é paralela ao eixo Ox. 
Resp.: (a) 4
3
4
9
2
 xxy (b) .).().42(.3 ISjtiv
  e )/(.2 2smja
  
 (c) )/(.6,0.9,0 2smjiat
  e )/(4,19,0 2smjian
  (d) t= 2,0s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
62. As coordenadas de uma partícula são x= 2t e y= 8t3-4t+2, onde x e y são dados em 
metros e t em segundos. Determinar: 
(a) as funções cartesianas da trajetória; 
(b) os vetores da velocidade e da aceleração; 
(c) as componentes normal e tangencial da aceleração para t= 1,0s. 
Resp.: (a) 223  xxy (b) .).().424(.2 2 ISjtiv
  e )/(.48 2smjta
  
 (c) )/(.48.8,4 2smjiat
  e )/(.8,4 2smian
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
63. A velocidade de uma partícula obedece a equação 
 ).(.8).24().13( 32 ISktjtitv
  
 Sabe-se que para t = 0 o móvel ocupa a posição P0 (2; -1; -3) (m). Determinar: 
a) O instante em que a velocidade do móvel é paralela ao plano xOz; 
b) O vetor posição em função do tempo; 
c) A aceleração do móvel em função do tempo. 
Resp.: (a) t= 0,5s (b) .).().32().122().2( 423 ISktjttittr
  
 (c) .).(.24.4.6 2 ISktjita
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
64. A velocidade de uma partícula obedece a equação 
 ).(.2).22( ISjitv
  
 Sabe-se que para t = 0 o vetor posição da partícula é ).(.10 mkr
  Determinar: 
(a) O vetor posição em função do tempo; 
(b) A aceleração do móvel em função do tempo; 
(c) as componentes normal e tangencial da aceleração e o raio de curvatura pata t= 1,0s. 
Resp.: (a) .).(.10.2).2( 2 ISkjtittr
  (b) )/(.2 2smia
  
 (c) )/(.8,0.6,1 2smjiat
  )/(.8,0.4,0 2smjian 
 R=22,5m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
65. A velocidade de uma partícula obedece a equação 
 ).(.2).44( ISjitv
  
 Sabe-se que para t = 0 o vetor posição da partícula é ).(.5 mkr
  Determinar: 
(a) O vetor posição em função do tempo; 
(b) A aceleração do móvel em função do tempo; 
(c) as componentes normal e tangencial da aceleração e o raio de curvatura pata t= 1,0s. 
Resp.: (a) .).(.5.2).42( 2 ISkjtittr
  (b) )/(.4 2smia
  
 (c) )/(.9,0.8,3 2smjiat
  )/(.9,0.2,0 2smjian
  R=73,9m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
66. A velocidade de uma partícula obedece a equação 
 ).(.8).64( ISjtitv
  
 Sabe-se que para t = 0 o vetor posição da partícula é ).(.15 mkr
  Determinar: 
(a) O vetor posição em função do tempo; 
(b) A aceleração do móvel em função do tempo; 
(c) as componentes normal e tangencial da aceleração e o raio de curvatura pata t= 1,0s; 
Resp.: (a) .).(.15.4).62( 22 ISkjtittr
  (b) )/(.8.4 2smjia
  
 (c) )/(.1,5.3,6 2smjiat
  )/(.9,2.3,2 2smjian
  R=44,3m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
67. A velocidade de uma partícula obedece a equação 
 ).(.2).44( ISjitv
  
 Sabe-se que para t = 0 o vetor posição da partícula é ).(.5.40 mkjr
  Determinar: 
(a) O vetor posição em função do tempo; 
(b) A aceleração do móvel em função do tempo; 
(c) as componentes normal e tangencial da aceleração e o raio de curvatura pata t= 1,0s. 
Resp.: (a) .).(.5).42().42( 2 ISkjtittr
  (b) )/(.4 2smia
  
 (c) )/(.9,0.8,3 2smjiat
  )/(.9,0.2,0 2smjian
  R=73,9m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
68. A aceleração de uma partícula obedece a equação 
 .).(.12.4 ISjtia
  
Sabe-se que para t = 0 a velocidade da partícula é )/(.100 smkv
  e para t = 1,0s a 
partícula está na posição P1 (10, -.2, 0) (m). Determinar: 
(a) A função horária da velocidade; 
(b) O vetor posição; 
(c) As componentes normal e tangencial da aceleração para t = 1 s. 
Resp.: (a) .).(.10.6.4 2 ISkjtitv
  
 (b) .).().1010().42().82( 32 ISktjtitr
  
 (c) )/(.8,5.5,3.3,2 2smkjiat
  )/(.8,5.5,8.7,1 2smkjian
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
51 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
69. A aceleração de uma partícula obedece a equação 
 .).(.4.6 2 ISjtita
  
 Para t = 1,0s a velocidade da partícula é )/(.5.61 smjiv
  . Determinar: 
(a) A função horária da velocidade; 
(b) As componentes normal e tangencial da aceleração para t = 1,0 s. 
Resp.: (a) .).().72().42( 23 ISjtitv
  
 (b) )/(3,1.6,1 2smjiat
  )/(.3,5.4,4 2smjian
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
70. A aceleração de uma partícula obedece a equação 
 .).(.3.2 ISjita
  
 Para t = 0 a velocidade da partícula é )/(0 smjiv
  . Determinar: 
(a) A função horária da velocidade; 
(b) As componentes normal e tangencial da aceleração para t = 1,0 s. 
Resp.: (a) .).().13().1( 2 ISjtitv
  
 (b) )/(2,3.6,1 2smjiat
  )/(.2,0.4,0 2smjian
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
Material de divulgação para distribuição sem fins lucrativos 
71. A aceleração de uma partícula obedece a equação 
 .).(.2.4 ISjtia
  
 Para t = 0 a velocidade da partícula é )/(.5.20 smkiv
  . Determinar: 
(a) A função horária da velocidade; 
(b) As componentes normal e tangencial da aceleração para t = 1,0 s. 
Resp.: (a) .).(.5.).24( 2 ISkjtitv
  
 (b) )/(1,24,0.5,2 2smkjiat
  )/(.1,2.6,1.5,1 2smkjian
 