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CÁLCULO III AULA 9 – MÁXIMOS E MÍNIMOS Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Conteúdo Programático Máximos e mínimos Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Introdução: Aplicação das funções de várias variáveis → máximos e mínimos com valores extremos de funções de duas variáveis. Problema: Quais são as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume a e com a menor área de superfície possível? Agora vamos definir este conceito funções de duas variáveis e depois para funções de várias variáveis. MÁXIMOS E MÍNIMOS Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Definição Máximo e Mínimo Relativo Considere uma função real z = f(x,y) definida em D 2 e (x0,y0) D. Ponto de Máximo Relativo ou local Dizemos que é um valor de máximo relativo de , se existir uma bola aberta B de centro , tal que para todo (x,y) pertencente a B. Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Ponto de Mínimo Relativo ou local Dizemos que é um valor de máximo relativo de , se existir uma bola aberta B de centro , tal que Chamamos o valor de máximo ou mínimo relativo de valor extremo relativo. O ponto onde f assume um valor extremo relativo é definido como ponto extremo relativo. Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III OBSERVAÇÃO Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Interpretação Geométrica Em termos geométricos, um máximo relativo de uma função é um cume, um ponto da superfície z= f(x,y) que é mais alto do que todos os seus pontos vizinhos sobre a superfície. Um mínimo relativo é o fundo de um vale, um ponto que está mais baixo do que qualquer ponto vizinho da superfície. Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Definição Ponto Crítico ou Ponto Estacionário Dizemos que (a,b) é um ponto crítico ou estacionário de f se (a,b) no domínio da f for ou não exista. (Isto é, se ). Se o ponto crítico (a,b) é um ponto interior do domínio da f, então dizemos que este é um ponto crítico interior do domínio . Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III EXEMPLO Encontre os pontos críticos da função O domínio da função é (x,y) . Vamos então calcular fx e fy para podermos aplicar a definição de ponto crítico. fx = 3x2 -3 e fy = 3 y2 – 3. Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Aplicando a definição: 3x2 -3 = 0 3x2 = 3 x = 1 3 y2 – 3 = 0 3y2 = 3 y = 1 Portanto, os pontos críticos serão todos os pares ordenados possíveis com x = 1 e y = 1: (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1). Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III OBSERVAÇÃO Condição necessária para a existência de pontos extremantes Z = f(x,y) ser diferenciável Logo (x0 , y0) é um ponto crítico de f. Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Condição suficiente para um ponto crítico ser extremante local Proposição Seja z = f(x,y) uma função cujas derivadas parciais de primeira e segunda ordem são contínuas num conjunto aberto que contém (x0 ,y0 ) e suponhamos que (x0 ,y0 ) seja um ponto crítico de f. Definimos então a HESSIANA – H(x,y) como um determinante. Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Para calcularmos o(s) máximos e/ou mínimos relativos apresentaremos o teorema da segunda derivada, mas primeiro aprenderemos a calcular a Hessiana. Definição: Seja f(x,y) de classe C2. A função H dada por denomina-se hessiana de f. Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III OBSERVAÇÃO determinante da matriz De forma mais simplificada definimos: Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III TEOREMA DA SEGUNDA DERIVADA Teorema Sejam f(x,y) de classe C2 e um ponto interior do D(f). Suponhamos que (a,b) seja ponto crítico de f. Então: Se ( ou fxx (a,b) > 0) e H(a,b) > 0 então (a,b) será ponto de mínimo local de f Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Se e H(a,b) > 0 então (a,b) será ponto de máximo local de f. Se H(a,b) < 0 então (a,b) não será extremante local. Nesse caso, (a,b) será ponto de sela. Se H(a,b) = 0 nada se pode afirmar. Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III EXEMPLO 1 Seja Os pontos críticos de f são (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1) - calculados no exemplo anterior. Vamos primeiro calcular a Hessiana: e Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III 1º Passo: Podemos verificar que H(1,1) = 36 >0 e Logo pelo teorema da segunda derivada, (1,1) é ponto de mínimo local. Note que (1,1) não é o único ponto de mínimo, existem outros menores que ele, por exemplo. Pois f(-3,0) < f(1,1), veremos mais adiante que este será o ponto de mínimo global. Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Logo pelo teorema da segunda derivada, (1,-1) não será extremante local. Nesse caso, será ponto de sela. 2ºPasso: Podemos verificar que H(1,-1) = -36 < 0 e 3ºPasso: Podemos verificar que H(-1,1) = -36 < 0 e Logo pelo teorema da segunda derivada, (-1,1) não será extremante local. Nesse caso, será ponto de sela. Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III 4ºPasso: Podemos verificar que H(-1,-1) = 36 > 0 e Logo pelo teorema da segunda derivada, (-1,1) é ponto de máximo local. Pergunta: O que é ponto de sela ? Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Definição Chamamos ponto sela a todo o ponto crítico que não é extremo, ou seja, a todo o ponto a tal que toda a bola (a,r), contém pontos x tais que f(x) < f(a) e outros pontos x para os quais f(x) < f(a). Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Veja a figura de uma sela de cavalo. No ponto indicado podemos descer na curva amarela ou subir na curva verde. Portanto, em uma bola (a,r) vamos ter uma curva amarela que contém pontos x tais que f(x) < f(a) e para a curva verde, outros pontos x para os quais f(x) > f(a). Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Agora vamos partir para a situação onde queremos saber quem é o maior ou o menor de todos os pontos, para isto, vamos conhecer mais algumas definições. Definição: Ponto de fronteira Um ponto (x0,y0) em A que não é um ponto interior. Denomina-se ponto de fronteira de A. Um ponto de fronteira de D(f) pode ser um extremante local sem que as derivadas parciais se anulem nele. Os pontos de fronteira devem ser analisados separadamente. Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III EXTREMOS ABSOLUTOS Considere uma função real z = f(x,y) definida em D 2 e (x0,y0) D. Máximo Absoluto: Dizemos que f(x0,y0) é um valor de máximo absoluto de f , se f(x0,y0), tal que , para todo (x,y) pertencente a D. Mínimo Absoluto: Dizemos que f(x0,y0) é um valor de máximo absoluto de f , se f(x0,y0), tal que , para todo (x,y) pertencente a D. Observação: O valor de máximo ou mínimo absoluto de f é denominado de extremo absoluto de f. Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Teorema: Existência do extremo absoluto Seja f uma função de duas variáveis cujo domínio D não apenas seja limitado, mas também contenha todos os pontos de fronteira. Então f tem um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto. Observação Um extremoabsoluto que seja ponto interior do domínio da função f é automaticamente um extremo relativo de f . Também pode ser observado que um extremo absoluto de f que não é extremo relativo precisa necessariamente estar em um ponto de fronteira do domínio. Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III A temperatura em uma placa de metálica é dada por T = 3x2 – 2xy + 3y2 + 2y + 5 graus Celsius, onde x e y estão em metros. A placa é circular de raio 1 e centro na origem. Supondo que a mesma é aquecida determine a maior e a menor temperatura da placa. 1ª Parte)Primeiro devemos encontrar as derivadas parciais Tx , Ty e os pontos críticos. Tx = 6x – 2y Ty = -2x + 6y + 2 EXEMPLO Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Portanto, os pontos críticos serão encontrados com a resolução do sistema: Resolvendo tal sistema encontraremos x = -1/8 e y = -3/8 Agora vamos estudar esse ponto. Vamos calcular a Hessiana: Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Podemos verificar que Logo pelo teorema da segunda derivada o ponto x = -1/8 e y = -3/8 é ponto de mínimo local. Portanto a temperatura mínima no ponto x = -1/8 e y = -3/8 será aproximadamente T = 3x2 – 2xy + 3y2 + 2y + 5 = 4.625 graus. Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III 2ª Parte) Anteriormente procuramos o ponto interior. Agora vamos procurar os pontos de fronteira da placa. A placa é uma circunferência centrada na origem ((a,b) = (0,0)) de raio um, portanto a equação que representa a placa será x2 + y2 = 1. Utilizando as coordenadas polares temos: Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III A temperatura será portanto: T = 3x2 – 2xy + 3y2 + 2y + 5 T = 3 cos2 - 2 cos sen + 3 sen2 + 2 sen + 5 Simplificando teremos: T = 3 - 2 cos sen + 2 sen + 5= 8 - 2 cos sen + 2 sen = 4 - cos sen + sen Os candidatos a máximo e mínimo da função T na fronteira da placa são os pontos correspondentes a dt/dӨ = 0 e Ө = 0. Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Podemos ainda escrever que ( 2 cos + 1) (cos - 1 ) = 0 Portanto 2cos = -1 cos = -1/2 = 2/3 ou = 4/3 Logo cos = 1 = 0. sen 120º = sen (180º – 120º) sen 120º = sen 60º = 0,8660 cos 120º = – cos (180º – 120º) cos 120º = – cos 60º = – 0,5000 sen 240° = -√3/2 cos 240° = -1/2 Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III Quando = 2/3 temos T = 4 - cos sen + sen = (16 + 3√3)/4. Quando = 4/3 temos T = 4 - cos sen + sen = (16 - 3√3)/4. Quando = 0 temos T = 4 - cos sen + sen = 4 Podemos então concluir que a temperatura mínima absolutas erá em = 4/3 e a temperatura máxima absoluta será em = 2/3. Tema da Apresentação Máximos e Mínimos – AULA 9 CÁLCULO III RESUMINDO Tema da Apresentação FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6 FUNÇÃO LOGARÍTMICA - AULA 6
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