Matemática Básica: Fatoração, Proporcionalidade e Regra de Três

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BASES MATEMÁTICA – JOÃO MESQUITA 
 
FATORAÇÃO E PROPORCIONALIDADE 
 
 
Conceito de razão: 
 
Razão entre duas grandezas a e b (b  0) é o 
quociente da divisão de a por b. 
 
Ex: A razão entre 2 e 5 é 2/5. 
 
Se ligue!!!! 
 
O primeiro termo da razão é chamado 
antecedente e o segundo é chamado 
consequente. 
 
Conceito de proporção 
 
Proporção é uma igualdade entre duas 
razões. 
 
Ex: 
2
3
 = 
4
6
 
 
Termos da proporção: 
 
a
b
 = 
c
d
 ou a : b :: c : d
 
 
 
antecedentes: 
 
consequentes: 
 
extremos: 
 
meios: 
 
Propriedade das proporções: 
 
1) Em uma proporção, o produto dos 
extremos é igual ao produto dos meios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Em uma proporção, a soma dos 
antecedentes está para a soma dos 
consequentes, assim como qualquer 
antecedente está para o seu consequente. 
 
 
 
 
 
Divisão Proporcional: 
 
1) Duas sequências são diretamente 
proporcionais quando é constante o 
quociente entre os termos correspondentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Duas sequências são inversamente 
proporcionais quando é constante o produto 
entre os termos correspondentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hora de praticar: 
 
1) Dividir 720 em três partes 
diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
2) Dividir 540 em partes inversamente 
proporcionais a 4, 6 e 12. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Em uma razão, a diferença entre o 
antecedente e o consequente é 9 e o dobro do 
consequente mais o antecedente é 57. 
Determinar a razão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Dois sócios com capitais de R$ 2.000,00 e 
R$ 3.000,00 participaram de uma firma que 
após um certo tempo deu R$ 18.000,00 de 
lucro. Quanto coube a cada um? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Em uma sociedade, o sócio A entrou com 
2/5 do capital durante 3/4 do tempo e B 
entrou com o resto do capital durante 2/3 do 
tempo. sabendo-se que houve um lucro de R$ 
4.921,00, calcular que parte dele caberá a cada 
um dos sócios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra de Três: 
 
Regra prática: 
 
O termo que se relaciona com x fica sempre no 
numerador. 
 
Compara-se cada razão com a razão que tem x 
 
A pergunta é para saber qual o termo da razão 
que vai para o numerador. 
 
Se a resposta for “+” o que vai para o 
numerador é o maior termo da razão. Se a 
resposta for “-” é o menor. 
 
Hora de Praticar: 
 
 
 
1) 30 operários trabalhando 8 h/d durante 40 
dias constroem 24 casas. Quantas casas 
construiriam 40 operários trabalhando 6 h/d 
durante 30 dias? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
2) 8 bombeiros utilizando 6 mangueiras 
conseguem extinguir um incêndio em 9 horas. 
Em quanto tempo 9 bombeiros extinguiriam o 
mesmo incêndio utilizando 8 mangueiras? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Um gato e meio comem um rato e meio em 
um minuto e meio. Em quanto tempo um gato 
come dois ratos? 
 
 
 
 
 
4) Uma escola de 1º grau fornece merenda 
para 1.800 crianças e possui, no início do ano, 
ingredientes suficientes para alimentar os 
alunos por 230 dias. Decorridos 52 dias, 
ingressam, na escola, mais 336 estudantes. Se 
a escola não receber ingredientes adicionais, 
pode fornecer merenda para todas as crianças 
por mais x dias. Determinar x. 
 
 
 
 
 
5) 40 operários trabalhando 6 h/d durante 40 
dias asfaltam uma rua de 360 metros de 
comprimento e 6 metros de largura. Que 
comprimento deveria ter uma rua de 8 metros 
de largura, para que 50 operários 
conseguissem asfaltar trabalhando 8 h/d 
durante 30 dias, sabendo-se que este grupo 
tem capacidade dupla em relação ao primeiro, 
mas vai encontrar uma dificuldade tripla? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questões de concursos: 
 
1) Num banco, 4 caixas atenderam 450 
clientes durante um expediente de 6 horas. 
Em média, quanto tempo gastou um caixa 
para atender cada cliente? 
 
a) 4,8 min. 
b) 3,2 min. 
c) 4,1 min. 
d) 3,8 min. 
e) 4,0 min. 
 
 
 
 
 
2) Dada a tabela abaixo: 
 
x 1 2 3 4 
y 4 8 11 20 
z 7 6 5 4 
t -8 -7 -4 -2 
 
Assinalar a alternativa correta: 
 
a) Os valores de x são diretamente 
proporcionais aos de y. 
b) Os valores de x são inversamente 
proporcionais aos de z. 
c) Os valores de y são diretamente 
proporcionais aos de t. 
d) Os valores de y são inversamente 
proporcionais aos de z. 
e) Todas as respostas anteriores são falsas. 
 
 
 
 
 
 
3) Sendo k e b duas constantes, se x e y 
representam duas grandezas inversamente 
proporcionais, podemos escrever: 
 
a) 
x
y
 = k
 
b) x + y = k (k > 0) 
c) x + y = k (k < 0) 
d) y = kx + b 
e) xy = k 
 
 
 
 
 
4 
 
4) Se x é uma grandeza inversamente 
proporcional a y + 2 tal que x = 1 quando y = 
4, podemos dizer que quando y = 1, o valor de 
x é: 
 
a) -2 
b) 0 
c) 1/2 
d) 2 
e) 3 
 
 
 
 
 
5) Os termos da sequência (10; x; 5) são 
inversamente proporcionais aos da sequência 
(20; 50; y). Então a soma (x + y) é igual a: 
 
a) 30 
b) 44 
c) 10 
d) 35 
e) 100 
 
 
 
 
 
6) Doze operários, em 90 dias, trabalhando 8 
horas por dia, fazem 36m de certo tecido. 
Podemos afirmar que, para fazer 12m do 
mesmo tecido, com o dobro da largura, 15 
operários, trabalhando 6 horas por dia 
levarão: 
 
a) 90 dias 
b) 80 dias 
c) 12 dias 
d) 36 dias 
e) 64 dias.