Teoria Elementar de Torção

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C
A
P
ÍT
U
L
O
 
2 
 
 
 
 
 
TORÇÃO. 
 
Profa. Dra. Fernanda Rodrigues Mittelbach 
3. Torção. 
3.1. Definições iniciais. 
No caso das barras submetida a força normal foram definidos: 

- tensão normal e ε – deformação específica, sendo 
 E
 
No caso de torção ficam definidos: 

- tensão de cisalhamento e 

- distorção angular 
Distorção: retas inicialmente perpendiculares em uma vizinhança, passam a ter um 
ângulo diferente de 90º entre si. 
 
A
A*
B
B*
C
t
C*
s
A* B*
st
 C*
 
Deformação angular (ou distorção) 
st
 no ponto A e associada às 
direções s, t  redução do ângulo 
(originalmente reto) entre AB e AC. 
***
2
BACst




 
 
Figura 3-1 
Lei de Hooke Generalizada: 
G  
, sendo G o módulo de elasticidade 
transversal. 
3.2. Teoria Elementar de Coulomb 
Efeitos causados pela solicitação à torção: 
Capítulo 3: Torção 
 
2 
 
 Giro relativo entre as seções; 
 Por causa desses giros surgem tensões de cisalhamento. 
Hipóteses adotadas: 
 Material homogêneo, isótropo e linearmente elástico; 
 As seções transversais permanecem planas e giram, sem se deformar 
umas em relação às outras (as seções giram como se fossem planos 
rígidos). 
Observa-se pelas hipóteses que a teoria elementar de Coulomb só é válida se a seção 
transversal da barra for circular (cheia ou vazada). Se a seção transversal não for 
circular, ocorre o chamado empenamento da mesma. 
Convenção de sinais: 
 Seja uma barra com o referencial indicado na figura. Um ponto genérico tem 
coordenadas (polares) x, r, . Os momentos de torção positivos têm os sentidos 
mostrados, e as rotações  são positivas quando a seção gira de y para z. 
 
xy
z
r

R
l
S
T
T
 
 
x
x
S
S
M t
M t
T
T
 
Figura 3-2 
O momento torçor 
tM
é positivo, desde que solicite um parafuso de rosca direita 
no sentido de apertá-lo. 
Capítulo 3: Torção 
 
3 
 
Do eixo solicitado a torção, retira-se um elemento infinitesimal. Na direção 
longitudinal atua a tensão de cisalhamento 
x
e na direção transversal, atua 
x
. 
x
T T
x
x
xx
x dx
l
 
Figura 3-3 
 
Pelo teorema de Cauchy 
xx  
 
A variação do ângulo reto é a distorção 
x
. Admitindo a hipótese de que a seção S 
gira em relação a S0 sem se deformar, ocorrem distorções 
x
 nos planos que têm a direção 
radial para normal. Num elemento infinitesimal da periferia da barra (r = R), a distorção é 
dada por: x
dx
d
R

x x = R
ds
S0
S
 
dx
d
R
dx
ds
Rrx



 
Figura 3-4 
A mesma conclusão é válida para um elemento qualquer no interior, à distância r 
do eixo, tendo-se assim: 
dx
d
rx

 
, isto é, a distorção 
x
 é proporcional ao raio e o valor máximo ocorre na 
periferia do eixo com 
2
D
Rr 
. Assim, tem-se 
Rrxmáx 

. 
Capítulo 3: Torção 
 
4 
 
 Define-se o ângulo de torção por unidade de comprimento, designado por , como 
dx
d

, e conseqüentemente a distorção se escreve 
rx  
 
Da lei de Hooke genaralizada: 
  xx G
, onde G é o módulo de elasticidade transversal que se relaciona com o 
módulo de elasticidade longitudinal E por meio da seguinte equação: 
 2 1
E
G



, sendo 

 o coeficiente de Poisson. 
A partir disso pode-se escrever: 
GG
G máxmáx
x
xxx



 
 
logo: 
máxmáxx
máxx
máxx
D
r
R
r
GR
r
GR
r




 


2
 
Da mesma forma que para tensões normais, pode-se definir uma tensão de 
cisalhamento admissível 

 e um coeficiente de segurança s, em que: 
s
máx


. 
3.3. Seção transversal circular cheia. 
Determinação da tensão de cisalhamento 
 
dA
R
r
dr
x
 
Figura 3-5 
Em cada seção transversal da barra ou eixo, o momento de torção 
tM
 é o 
momento resultante das tensões de cisalhamento, cujo valor, pela convenção de sinais 
adotada,é dado por: 
  
A
xt dArM
 
p
t
máxp
máx
A
máx
A
máxt
J
RM
J
R
dAr
R
dAr
R
r
M





 
2
 
Capítulo 3: Torção 
 
5 
 
onde Jp é o chamado momento de inércia de área polar. 
Ou ainda, sendo 
2dA r dr 
 e 
máxx
R
r
 
, faz-se a integral de 
0r 
 até r = R 










  
R
máxmáx
R
R
máxt
r
R
drr
R
rdrr
R
r
M
0
4
3
0
0
4
22
2
 
33
34 162
24
2
D
M
R
MRR
R
M ttmáxmáxmáxt














 
Que pode ser escrita na seguinte forma: 
t
t
máx
w
M

, em que 3
16
t
D
w


 é o chamado módulo de resistência à torção 
Determinação do deslocamento (rotação). 
Foi mostrado anteriormente que: 
dx
D
d máx
2
 e sabendo que 
G
máx
máx


. 
Logo: 
dx
GD
ddx
G
D
d máx
máx 


2
2
 
A rotação relativa entre as seções x =0 e x da barra será: 
 
 
    x
GJ
M
dx
J
RM
GD
xdx
GD
d
p
t
p
t
xx
máx
x








 
 

 000
2
0
2
, 
sendo G, Jp e Mt,constantes no trecho. 
Ou, tendo que 
32
4D
J p


para a seção circular cheia: 
    x
GD
M
x t
4
32
0


 
Neste caso, a rotação 
 x
 varia linearmente com x, de modo que dois pontos são 
suficientes para determinar a função. 
No caso de a extremidade em x = 0 ser engastada, conforme ilustra a figura a 
seguir, tem-se: 
Capítulo 3: Torção 
 
6 
 
lA
B
T
(x) 
 
 
x
A B
Mt . x
G Jp Mt . l
G Jp
 l
 
Figura 3-6 
 
  l
GJ
M
xlx
xx
p
t
 00 
3.4. Seção transversal circular vazada – tubo de parede grossa. 
As deduções são semelhantes, chegando-se às seguintes equações: 
t
t
p
t
p
t
máx
w
M
J
DM
J
RM





2
, em que o módulo de resistência é calculado 
por:  4 4
16
t
D d
w
D
 

, sendo d o diâmetro interno da seção e  
32
44 dD
J p


. 
3.5. Exemplos – estruturas isostáticas 
3.5.1. Determine os valores máximos da tensão e do giro. Verifique se existe alguma 
seção, além do engaste, com giro nulo. Caso exista determine sua posição. 
2m 1m 3m
15kN.m
10kN.m
50kN.m
TR
III II
I
A B C D
x
 
 
Figura 3-7 
Dados: 
G = 8000 kN/cm2, DAB = DBC = 8 cm e DCD = 6 cm 
Capítulo 3: Torção 
 
7 
 
Reação de apoio: 
  kNmTTT RRx 2501015500
 
 Esforços solicitantes e diagrama: 
 Seção I 
 
Mt
10kN.m
 
10 0 10t tM M kN m    
 
(negativo) 
Figura 3-8 
 Seção II 
Mt
25kN.m
 
15 10 0 25t tM M kN m     
 
Figura 3-9 
 Seção III 
 
Mt25kN.m
 
25 0 25t tM M kN m     
 
Figura 3-10 
 
25
-25
-10
Mt (kN.m)
 
Figura 3-31 
Tensões de cisalhamento: 
Como foi pedido para se determinar a máxima tensão d cisalhamento, é necessário 
calcular 
máx
 na extremidade da seção em cada trecho. 
Trecho AB: 
2
3
33
/87,24
53,100
2500
53,100
16
8
16
cmkN
w
M
cm
D
w
tAB
tAB
máxAB
ABAB
tAB






 
 (o sinal não tem influência na verificaçãoda resistência) 
Capítulo 3: Torção 
 
8 
 
Trecho BC: 
2
3
/87,24
53,100
2500
53,100
cmkN
w
M
cmww
tBC
tBC
máxBC
tt ABBC


 
 (o sinal não tem influência na verificação da resistência) 
Trecho CD: 
2
3
33
/58,23
41,42
1000
41,42
16
6 
16
cmkN
w
M
cm
D
w
tCD
tCD
máxCD
CD
tCD






 
 (o sinal não tem influência na verificação da resistência) 
Logo: 
máx
 =
máxAB

 ou 
máxBC

2/87,24 cmkNmáx 
 
Determinação dos deslocamentos, giros ou rotações das seções: 
  l
GJ
M
x
p
t
 e 
32
4D
J p


 
4
4
12,402
32
8
cmJJ
BCAB pp



 
4
4
23,127
32
6
cmJ
CDp



 
Trecho AB: 
radl
GJ
M
AB
p
t
AB
AB
AB 1554,0
12,4028000
2002500




 
Trecho BC: 
radl
GJ
M
BC
p
t
BC
BC
BC 0777,0
12,4028000
1002500




 
Trecho CD: 
radl
GJ
M
CD
p
t
CD
CD
CD 2947,0
23,1278000
3001000




 
rad
BCABAC
0777,00777,01554,0 
 
rad
CDACAD
217,0295,00777,0 
 
 
 
Capítulo 3: Torção 
 
9 
 
x0
= - 0,1554radAB
= 0,0777radBC
= - 0,0777 radAC
= 0,2947radCD
(rad)
AB BC
= 0,217 radADAC CD
A B C D
 
Figura 3-12 
Seção de rotação nula: 
mx
xx
209,2
0777,0
3
217,0
0
00 


. 
3.5.2. Calcular o valor admissível de P. Para o valor calculado de P, qual é o giro na 
extremidade da barra. 
 
2m 2m 4m
TA
II
I
A B C D
1,5 P
1,5 P
P
P
x
 
1,5 P
1,5 P
P
P
4
cm
8
cm
G = 8000 kN/cm
 = 10 kN/cm2
2

 
 
 
 
Figura 3-43 
Reação de apoio: 
  PPPTPPTT AAx 16412045,180
 
Esforços solicitantes e diagramas 
 Seção I 
Mt 4 P 
4 0 4t tM P M P   
 
Figura 3-5 
 Seção II 
Mt 4 P
12 P
 
12 4 0 16t tM P P M P     
Figura 3-6 
 
Diagrama final: 
Capítulo 3: Torção 
 
10 
 
A B C D
Mt
16 P
4 P
 
Figura 3-7 
Tensão de cisalhamento máxima na seção: 
3
16
t
D
w

 
3
38 100,53
16AB AB
t tw w cm
 
  
 , 
3100,53
BC ABt t
w w cm 
 
3
34 12,57
16CD CD
t tw w cm
 
  
 
t
t
máx
w
M

 
máx
 
 
 P
P
máxAB
159,0
53,100
16 kNPP
máxAB
90,6210159,0 
 
 P
P
máxBC
04,0
53,100
4 kNPP
máxBC
2501004,0 
 
 P
P
máxCD
318,0
57,12
4 kNPP
máxBC
45,3110318,0 
 
 
Logo: 
kNP 45,31
 
 
- Determinação do giro na extremidade: 



32
4D
J p
4
4
12,402
32
8
cmJ
ABp



 , 
ABBC pp
JJ 
 
 
4
4
13,25
32
4
cmJ
CDp



 
  x
GJ
M
x
p
t
 
radl
GJ
M
AB
p
t
AB
AB
AB 031,0200
12,4028000
45,3116




 
radl
GJ
M
BC
p
t
BC
BC
BC 008,0200
12,4028000
45,314




 
radl
GJ
M
CD
p
t
CD
CD
CD 250,0400
13,258000
45,314




 
Capítulo 3: Torção 
 
11 
 
radCDBCABAD 289,0250,0008,0031,0 
 
3.6. Exemplos – Estruturas estaticamente indeterminadas 
De forma análoga ao que ocorre em vigas e barras sujeitas a cargas axiais, a resolução 
de barras estaticamente indeterminadas submetidas a torção se faz através da utilização de 
uma equação de compatibilidade. A compatibilidade, no caso da torção se faz através do 
ângulo de giro. 
3.6.1. Calcular o valor admissível do momento de torção T que pode ser aplicado à 
barra a seguir. 
Dado: 
2
10
kN
cm
 
. 
III
TA TD
T
40cm 40cm 15cm
A B C D
x
 
4c
m
6c
m
 
 
- Reações de apoio: 
 
III
TA TD
T
 
A B C D
 
 
 Equação de equilíbrio: 
  TTTTTTT DADAx 00
 
 Esforços solicitantes 
tM
: 
 
Trecho AB – seção I: 
Capítulo 3: Torção 
 
12 
 
TA Mt
 
0A t t AT M M T   
 
Trecho BD – seção II: 
TA
T
Mt
 
0A t t AT T M M T T     
 
 
 Equação de compatibilidade: 
 
00  CDBCABDAD
 
  x
GJ
M
x
p
t
 e 
32
4D
J p


 
4
4
23,127
32
6
cmJJ
BCAB pp



 
4
4
13,25
32
4
cmJ
CDp



 
   
0
13,25
15
23,127
40
23,127
40















G
TT
G
TT
G
T AAA
CDBCABD
 
0597,0597,0314,0314,0314,0  TTTTT AAA
 
TTTT AA 744,00911,0225,1 
 
TTTTTTTTT ADDA 256,0744,0 
 
 
- Cálculo das tensões máximas em cada trecho: 
2/10 cmkNmáx 
, 
t
t
máx
w
M

 e 
16
3D
wt


 
3
3
3
3
6
42,41
16
4
12,57
16
AB BC AB BC
CD CD
t t t t
t t
w w w w cm
w w cm



    

  
 
 
kNcmT
T
w
T
ABt
A
máxAB
03,57010
41,42
744,0

 
Capítulo 3: Torção 
 
13 
 
kNcmT
T
w
T
BCt
D
máxBC
64,165610
41,42
256,0

 
kNcmT
T
w
T
CDt
D
máxAB
01,49110
57,12
256,0

 
 
Logo: 
kNcmTkNcmT 01,49101,491 
 
 
3.6.2. Calcular o momento de torção T admissível para a estrutura a seguir. 
 
T
100cm 100cm
A,B
C D
TC
10
0c
m
10
0c
m
E = 21.000 kN/cm
 = 8 kN/cm2
2

 = 12 kN/cm2
G = 7.000 kN/cm2
y
x
 
A B
VA
VB
= 1cm
4
c
m
 
-Reações e esforços solicitantes 
T A,B
C D
TC
VA
VB
VC
 
Quando o torque T agir ambos os fios vão se alongar de um mesmo 
comprimento 
l
, já que os dois fios são idênticos. Assim, tem-se que a normal nos 
dois fios será a mesma e 
VVV BA 
 
  000 CBACy VVVVF
 
  TVTVTTT CCx 4040
 
Trecho CD: 
MtTC
 
0 4C t t C tT M M T M V T      
 
Capítulo 3: Torção 
 
14 
 
Trecho DA: 
TC
T
Mt
 0 4 4C t t C t tT T M M T T M V T T M V           
 
 
- Compatibilidade de deslocamentos 
N = V
R
N = V
L
L

 
Considerando pequenas deformações: 








210
4
100
4
1
21000
2
V
l
V
ll
EA
N
l
Rl
R
l
tg
 
  x
GJ
M
x
p
t
, 
32
4D
J p


 e 
DACDCA 
 
     TVVTVVTV 























 8
17920
32
44
470
32
32
4
7000
1004
32
4
7000
1004
444
 
Pela compatibilidade: 
    
TVVT
TVVTV
V
Rl
075,01075,0
8
17920
322210
48
17920
32
2
210
4







 
TVVV BA 075,0
 e 
TTC 7,0
 
 
- Cálculo das tensões máximas e determinação 
T
 
 Condição das barras verticais 
N
0,075T
0,075T
 
 
2
0,075
12 12 125,66
1
44
N V T
T kN cm
A
  
        

 
 
 
Capítulo 3: Torção 
 
15 
 
 Condição da barra horizontal 
C
D A,B
0,3T
-0,7T 
 
t
t
máx
w
M

 e 
2/8 cmkNmáx 
 
kNcmT
T
máx 61,1438
16
4
7,0
3


 
 
Logo: 
kNcmT 66,125. 
3.7. Tubo de parede fina 
z
y
T
a b
cd T
x
e
 
 A figura anterior ilustra um tubo de parede fina e seção transversal qualquer. 
Pode haver variação da espessura, e, ao longo da seção, porém, seu valor é 
considerado muito pequeno em relação à largura total da seção. As tensões de 
cisalhamento que surgem devido à ação do torque T são consideradas uniformes ao 
longo da pequena espessura da parede o tubo, porém pode haver variação dessa 
intensidade ao redor da seção. Note-se que o torque tem sinal negativo e as tensões 
sinal positivo, de acordo com a convenção de sinais adotada. 
a b
cd
F1
F2
dx
x
 
 Considere agora um elemento abcd de comprimento dx retirado do tubo. As 
tensões 
x
 surgem devido ao torque T, e as forças 
1F
 e 
2F
 são as resultantes das 
Capítulo 3: Torção 
 
16 
 
tensões 
x
 longitudinais associadas ao teorema de Cauchy. Essas resultantes são 
dadas por: 
1 1 1F e dx  
 e 
2 2 2F e dx  
, em que: 
1 2 1 1 2 2F F e e     
. 
 Devido à arbitrariedade do elemento abcd, pode-se dizer que tal produto é 
constante ao longo da seção. Nos casos em que a espessura e for uniforme na seção, 
a tensão 
x
 também será. O produto 
eef médx  
 é chamado fluxo de 
cisalhamento. Note-se que a máxima tensão de cisalhamento ocorre onde a espessura 
é menor. 
dsfds
r
O
 
Com o objetivo de relacionar o fluxo de cisalhamento com o torque T que age 
sobre o tubo, considera-se um elemento de comprimento ds da seção transversal. A 
força de cisalhamento total agindo neste elemento é fds, e m momento desta força em 
torno de um ponto O é dado por: 
rfdsdMt 
 
onde r é a distância do ponto O à tangente a linha média da parede do tubo. O torque 
total é obtido integrando ao longo do comprimento Lm total da linha média da seção 
transversal: 
 

mL
t rdsfM
0
 
 Pode-se dar uma interpretação geométrica simples para a integral da 
expressão anterior. A quantidade rds representa o dobro da área do pequeno triângulo 
hachurada da figura anterior. Assim a integral representa o dobro da área 
compreendida no interior do perímetro médio da seção transversal. Denotando-se 
esta área por Am, tem-se: 
 
eA
M
A
M
effAM
m
t
méd
m
t
médmt


22
2
. 
O ângulo de torção por unidade de comprimento 

 pode ser determinado 
considerando a energia de deformação do tubo. A energia por unidade de volume é 
dada por: 
Capítulo 3: Torção 
 
17 
 
2
2
0
22
0
222 eG
f
G
G
dGdu médxméd





 


. 
A energia de deformação por unidade de comprimento se escreve: 
 
mm LL
A
e
ds
G
f
dseuuda
0
2
0
2
U
 e, sendo 
m
t
A
M
f
2

, 
 



mm L
m
t
L
m
t
e
ds
GA
M
T
e
ds
GA
M
0
2
0
2
2
42
1
8
U
 
 Se a espessura e for constante na seção transversal: 
 
m
m
t L
eGA
M


24
. 
O ângulo de torção é determinado através da equação 


dx
d
. 
Buscando analogia com o caso da seção circular tratado anteriormente, 
define-se a constante de torção da seção transversal como: 


mL
m
t
e
ds
A
J
0
24 , sendo 
m
m
t
L
eA
J


24
 no caso de a espessura da seção transversal ser constante. 
Para um tubo circular de parede fina e espessura constante, pode-se 
considerar a tensão 
méd
 uniforme atuando na área 
mD e  
. 
Dm
/2
e
O
méd
 
 
 Assim, o momento de torção pode ser calculado por: 
 
 
2
2
2 m
t
méd
m
médmt
De
MD
eDM


, com 
20
mDe 
 
 Que pode ser escrita da seguinte forma: 
Capítulo 3: Torção 
 
18 
 
 
t
t
méd
w
M

, com 2
2
m
t
e D
w
  

 sendo o módulo de resistência à torção. 
 O giro relativo entre duas seções é obtido por: 
 
 
    dx
De
M
DG
xxdx
DG
d
x
x m
t
m
x
x
méd
m
x
x
 






 000
20
222
, 
 que pode ser escrito, para um trecho de momento de torção e seção 
transversal constante, na seguinte forma: 
     o
t
t xx
GJ
M
xx  0
, sendo 
4
3 eD
J mt


 a constante de torção da seção 
transversal. 
3.8. Exemplos Importantes 
3.8.1. Uma barra cilíndrica é engastada na extremidade A e submetida a um torque 
uniformemente distribuído t. Determinar a fórmula para a rotação 

na 
extremidade B. Considere G e Jp conhecidos. 
 t
x
l
A
B
 
r
x

D
 
seção reta 
Determinação do momento de torção t
t Mt
Mt
TA
x
l-x
 
   00 xltMT tx
 
 lxtM t 
 
   
ppp
t
GJ
xlt
GJ
lxt
GJ
M
dx
d 




 
     
p
l
p
l
p
l
GJ
tlx
lx
GJ
t
l
GJ
xlt
d
22
0
2
0
2
00











 
 
Capítulo 3: Torção 
 
19 
 
Sendo 
  00 
, a rotação 

 na extremidade B resulta: 
 
p
B
GJ
tl
l
2
2

. 
3.8.2. Uma peça é composta de um cilindro de um material elástico, sendo G1 o 
módulo de elasticidade transversal e um tubo externo de outro material elástico 
cujo módulo de elasticidade do material é G2 . Os materiais trabalham de forma 
solidária em 
irr 
. Determinar as funções para o ângulo de rotação 

 e a 
componente de tensão 
x
 resultantes da aplicação do torque T. 
 
T
T
x
r
r
i
0
l
 
T
M
r
r
i
0
St 1
Mt 2
 
 Passando uma seção S na peça e efetuando o equilíbrio de uma das partes, 
tem-se: 
TMMT ttx 
21
0
, sendo 
1
tM
 o momento de torção no material 1 e 
2
tM
 o 
momento de torção no material 2. 
 Como os materiais trabalham de forma solidária: 
    xxx  21
, e assim 
    xx
dx
d
x
dx
d




 21
. Utilizando a igualdade entre os ângulos de torção por unidade de 
comprimento: 
 
1
1
1
1
p
t
JG
M
dx
xd 


 e 
 
2
2
2
2
p
t
JG
M
dx
xd 


2
2
1
1
21 p
t
p
t
JG
M
JG
M

. Utilizando a condição de 
equilíbrio, podemos escrever que 
12
tt MTM 
, com isso  
2
1
1
1
21 p
t
p
t
JG
MT
JG
M 

. 
Manipulando algebricamente: 
 
Capítulo 3: Torção 
 
20 
 
21
1
1
221
1121
22
1
1
1
21
1
221
12
221 pp
p
t
ppp
ptpt
pp
t
p
t
JGJG
JGT
M
JG
T
JGJG
JGMJGM
JG
T
JG
M
JG
M














 
 
21
2
21
1
12
21
2
21
1
pp
p
pp
p
tt
JGJG
JGT
JGJG
JGT
TMTM






 
Tendo os valores de 
1
tM
 e 
2
tM
 se torna imediata a determinação de 
     xxx 21 
 e de 
 rx
. 
    x
JGJG
T
x
JGJG
T
JG
M
dx
d
ppppp
t
21211
1
21211
0





; 
 









 
0
2
2
1
1 0
rrr,r
J
M
rr,r
J
M
r
i
P
t
i
P
t
x
 
 
 













 
0
21
2
21
1
21
210
rrr,r
JGJG
GT
rr,r
JGJG
GT
r
i
pp
i
pp
x
 
 
. 
Sendo 
2
4
1
i
p
r
J


 e  
2
44
0
1
i
p
rr
J


. 
3.8.3. Um tubo de alumínio de seção retangular (60x100)mm2 foi fabricado por 
extrusão. Determinar a componente média de tensão de cisalhamento 
méd

 em 
cada uma das paredes do tubo, quando este fica submetido a um torque de 
3kNm . 
100mm
60mm
3mm
3mm
5mm
5mm
A B
C
D
 
Sendo, para uma seção de paredes delgadas, a tensão média dada por: 
eA
M
m
t
méd


2
, onde Mt é o momento de torção solicitante, Am é a compreendida no 
interior do perímetro médio da seção do tubo e e é a espessura da parede da seção do 
tubo no ponto considerado. 
No presente exemplo: 
Capítulo 3: Torção 
 
21 
 
22 76,535376
2
5
2
3
100
2
5
2
3
60 cmAmmA
mm













 
Nas “paredes” AB e AD, nas quais e = 0,3cm: 
2/30,9
3,076,532
300
cmkN
ADmédABméd



. 
Nas “paredes” BC e CD, nas quais e = 0,5cm: 
2/58,5
5,076,532
300
cmkN
CDmédBCméd



.