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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Departamento de Estatística (DEST)
Disciplina: Probabilidade I
Prof. Fidel Ernesto Castro Morales
Aluno (a):
1
a
Lista de exercicíos
1. Estão planejadas seis missões espaciais independentes para a lua. A probabilidade estimada
de sucesso em cada missão é de 0,95. Qual é a probabilidade de que pelo menos cinco das
missões planejadas sejam bem-sucedidas?
2. Suponha que se devam realizar 5 experimentos de laboratorio, independentes e idênticos.
Cada experimento é extremamente sensível às condições ambientais, e há apenas uma prob-
abilidade p de que seja completado com sucesso. Determine matematicamente o valor de p
que maximiza a probabilidade de a quinta prova ser o primeiro fracasso.
3. Um gerente de pessoal entrevista empregados potencias para o preenchimento de duas vagas.
A probabilidade de um entrevistado ter as qualificações necessarias e aceitar a oferta é de
0,8.
(a) Qual é a probabilidade de que seja necessario entrevistar exatamente 4 pessoas?
(b) Qual é a probabilidade de que menos de 4 pessoas tenham que ser entrevistadas?
4. Um lote de 25 tubos de televisão a cores é submetido a um procedimento de teste de aceitação.
O procedimento consiste em extrair aleatoriamente 5 tubos, sem reposição, e testá-los. Se
dois ou menos tubos falharem, os restantes são aceitos. Caso contrário, o lote é rejeitado.
Suponha que o lote contenha 4 tubos defeitosos. Qual é a probabilidade exata de aceitação
do lote?
5. Um prisioneiro político esta para ser exilado para a Sibéria ou para os Montes Urais. As
probabilidades de ser enviado para esses lugares são 0,6 e 0,4, respectivamente. Sabe-se
tambem que se um morador da Siberia for aleatoriamente selecionado a probabilidade de
estar vestindo um casaco de pele é de 0,5, enquanto essa probabilidade para os moradores
dos Montes Urais é de 0,7. Chegando no exílio, a primeira pessoa que o prisioneiro vê não
esta vestindo casaco de pele. Qual é a probabilidade de que ele esteja na Sibéria?
6. Considere a montagem paralelo-serial mostrada na figura que se segue. Os valores Ri (i =
1, . . . , 5) são as probabilidades de que a unidade i funcione adequadamente. Os componentes
operam de forma independente, e a montagem falha somente quando o caminho de A para B
é interrompido. Expresse a probabilidade da montagem não falhar em funcão de R1, . . . , R5.
7. Um dado equilibrado é lançado até que apareça um 6. Qual é a probabilidade de que devam
ser feitos mais do que cinco lançamentos?
8. Uma das hipóteses básicas da teoria de gráficos de controle é que pontos locados sucessi-
vamente sejam inpendentes uns dos outros. Cada ponto locado indica que o processo de
fabricação está operando corretamente ou que há algum tipo de problema. Mesmo quando
o processo de fabricação está funcionando bem, há uma pequena probabilidade de que um
determinado ponto indique um problema no processo. Suponha que essa probabilidade seja
0,05. Qual é a probabilidade de que pelo menos de 10 pontos sucessivos indique um problema
quando na verdade o processo opera corretamente? Responda esta pergunta para 25 pontos
sucessivos.
9. O professor Antonio Hermes pode usar uma de duas rotas em seu caminho de volta do tra-
balho para casa. Na primeira rota, há quatro cruzamentos com ferrovias. A probabilidade
dele ter de parar em qualquer um dos cruzamentos é 0.1 e os trens operam de forma indepen-
dente nos quatro cruzamentos. A outra rota é mais longa, mas tem apenas dois cruzamentos,
independentes um do outro, com a mesma probabilidade de parada da primeira rota. Um
dia, o professor Antonio Hermes tem um compromisso em casa com hora marcada. Em
qualquer rota ele estima que chegará atrasado se for parado por trens em pelo menos metade
dos cruzamentos encontrandos.
(a) Que rota deve seguir para minimizar a probabilidade de chegar atrasado?
(b) Se joga uma moeda para decidir que rota tomar e chegar atrasado, qual será a proba-
bilidade dele ter usado a rota com quatro cruzamentos?
10. Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa ou um
prato à base de carne. Considere que 20% dos fregueses do sexo masculino preferem a salada,
30% das mulheres escolhem carne, 75% dos fregueses são homens. Para um freguês sorteado
ao acaso desse restaurante, obtenha a probabilidade de:
(a) preferir salada;
(b) preferir carne dado que é um homem;
(c) ser uma mulher, sabendo-se que prefere salada?
11. Para cada um dos seguintes experimentos. Descreva o espaço amostral.
(a) Lançar uma moeda quatro vezes.
(b) Contar o numero de folhas danificadas por um inseto em uma planta.
(c) Medir o tempo de duração (em horas) de uma determinada marca de lâmpada
12. Dois jogadores, A e B, alternada e independentemente, lançam uma moeda e o primeiro
jogador que obtém cara vence. Assuma que o jogador A lança a moeda primeiro. Se a
moeda for equilibrada, qual é a probabilidade de que A vença?
13. Nasceram duas ninhadas de uma determinada espécie de roedores, uma delas com dois
filhotes marrons e um cinza (ninhada 1), e a outra com três filhotes marrons e dois cinzas
(ninhada 2). Selecionamos aleatoriamente uma ninhada e, então, escolhemos um filhote,
também aleatoriamente, desta ninhada.
(a) Qual é a probabilidade de que o animal escolhedo seja marrom?
(b) Considerando que um filhote marrom tenha sido escolhido, qual é a probabilidade de
que o espécime seja da ninhada 1?
14. Suponha que 5% dos homens e 0.25% das mulheres sejam daltônicos. Considerando que
homens e mulheres estão em igual número (P (escolher um homem) = P (escolher uma mulher) =
0.5). Uma pessoa daltonica é escolhida aleatóriamente. Qual é a probabilidade de que essa
pessoa seja homem?
15. Sejam A e B eventos tais que P (A) = 1/2, P (AUB) = 3/4.
(a) Calcule P (B) considerando A e B eventos disjuntos;
(b) Calcule P (B) considerando A e B eventos independentes;
(c) Calcule P (B) considerando que A está contido em B.
16. Demonstre que:
(a) Se P (A) = P (B) = 3/4 então P (A|B) ≥ 2/3
(b) P (A ∩B) ≥ P (A) + P (B)− 1
(c) Se A, B e C são independentes, então P (B|A ∩ C) = P (B|A ∪ C) = P (B)
17. Uma empresa usa três linhas de montagem diferentes A1, A2, A3 para fabricar certo com-
ponente. Dos componentes fabricados pela linha A1, 5% exigem retrabalho para corrigir um
defeito, enquanto 8% dos componentes da linha A2 exigem retrabalho, assim como 10% de
A3. Suponha que 50% de todos os componentes sejam produzidos pela linha A1, 30% por
A2 e 20% por A3. Se um componente selecionado aleatoriamente exigir retrabalho, qual será
a probabilidade dele ser proveniente da linha A1?
18. Em um sorteio de prêmios uma caixa contém quatro pedaços de papel exatamente de mesmas
dimensões. Cada pedaço de papel é enumerado de 1 até 4 de forma que: (1) ganha o prêmio
1; (2) ganha o premio 2; (3) ganha o premio 3 e(4) ganha os prêmios 1, 2 e 3. Um pedaço
é selecionado aleatoriamente. Seja A1 = {ganha o premio 1}; A2 = {ganha o premio 2} e
A3 = {ganha o premio 3}. Mostre que A1 e A2 são independentes, assim como A2 e A3 são
independentes. Mostre, entretanto, que A1, A2 e A3 não são independentes.
19. Verifique se são verdadeiras as afirmações (justifique sua resposta):
(a) Não existe um evento A tal que P (A)× P (Ac) = 3/4;
(b) Se P (A) = 1/4 e P (B) = 1/3 então P (A ∪B) = 1/8.
20. Um lote contém 15 moldes provenientes de um fornecedor local e 25 moldes provenientes de
um fornecedor de um estado vizinho. Dois moldes são selecionados ao acaso, sem reposição,
do lote de 40. Faça A denotar o evento em que o primeiro molde selecionado seja proveniente
do fornecedor local e faça B denotar o evento em que o segundo molde seleccionado seja
proveniente do fornecedor local. Determine
(a) P (A).
(b) P (B | A).
(c) P (A∩B).
(d) P (A ∪B).
21. Suponha que 2% dos rolos de tecido de algodão e 3% dos rolos de tecido de náilon contenham
falhas. Dos rolos usados por um fabricante, 70% são de algodão e 30% são de náilon.
Qual será a probabilidade de que um rolo selecionado aleatóriamente, usado pelo fabricante,
contenha falhas?
22. O circuito a seguir opera se, e somente se, houver um caminho de equipamentos funcionais,
da esquerda para a direita. A probabilidade de que cada aparelho funcione é mostrada no
gráfico. Suponha que a probabilidade de que um equipamento seja funcional não dependa
de se ou não os outros equipamentos sejam fincionais. Qual será a probabilidade de que o
circuito opere?
23. Experimento de duas etapas. Supor que uma caixa contenha três moedas: duas honestas e
uma de duas caras. Retirar uma moeda ao acaso e jogá-la. Qual a probabilidade da moeda
ter sido a duas caras, dado que o resultado final foi cara?
24. Um programa computacional para detectar fraudes em cartões telefônicos dos consumidores
rastreia, todo dia, o número de áreas metropolitanas de onde as chamadas se originam. Sabe-
se que 1% dos usuários legítimos fazem suas chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas
em um único dia. Entretanto, 30% dos usuários fraudulentos fazem suas chamadas de duas
ou mais áreas metropolitanas em um único dia. A proporção de usuários fraudulentos é de
0.01%. Se o mesmo usuário fizer as chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um
único dia, qual será a probabilidade de que o usuário seja fraudulento?
25. Desprezando a possibilidade de aniversário no dia 29 de fevereiro, suponha que um indivíduo
selecionado aleatoriamente tenha iguais probabilidades de ter nascido em qualquer um dos
outros 365 dias. Se 10 pessoas forem selecionadas aleatoriamente, qual será a probabilidade
de todas terem datas de aniversario diferente? Que ao menos duas tenham a mesma data
de aniversário?
26. A aspereza nas bordas de produtos de papel cortado aumenta à medida que as lâminas de
uma faca vão sendo gastadas. Somente 1% dos produtos cortados com novas laminas tem
bordas ásperas, 3% dos produtos cortados com lâminas mediamente afiadas exibem bordas
ásperas e 5% dos produtos cortados com laminas gastas exibem bordas ásperas. Se 25% das
lâminas na fabricação forem novas, 60% forem mediamente afiadas e 15% foram gastas, qual
será a proporção dos produtos que exibem uma aspereza nas bordas?
27. Em uma fabrica de parafusos, as maquinas A, B e C produzem 25, 35 e 40 por cento
do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina, 5, 4 e 2 por cento,
respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e se verifica ser
defeituoso. Qual será a probabilidade de que o parafuso venha da maquina A? Da B? Da C?