Otimização do Trem de Engrenagens

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UNIFEI – Universidade Federal de Itajubá 
IEM – Instituto de Engenharia Mecânica 
Curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica 
 
MCC 03 – Matemática Aplicada 
 
Prof. Sebastião Simões C. Jr 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 2/1 
Otimização do Trem de Engrenagens 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nome: Rodrigo Gustavo Dourado da Silva 
Matrícula: 2016103370 
Valor: 
Data: 20/11/2016 
 
(1) 
1 – INTRODUÇÃO 
 
 É de extrema importância conhecer as frequência naturais de um sistema. Dessa 
maneira, pode-se evitar que sua frequência de operação possua valores próximos das 
naturais, inibindo problemas de amplitudes de vibração elevadas. Altos índices de 
vibrações podem levar o sistema a falhar, acarretando em grandes prejuízos para uma 
empresa. 
 Este trabalho consiste em determinar as equações de movimento para o sistema 
da Fig. 1 e determinar suas frequências naturais. Em seguida, é proposto um procedimento 
de otimização a fim de melhorar as condições de vibração do sistema. 
 
 
Figura 1 – Sistema do trem de engrenagens. 
Sendo: 
I1 e I2 engrenagens de um motor elétrico. 
I3 e I4 engrenagens de um redutor (multiplicador). 
I5 um compressor de uso diverso. 
 
2 – DETERMINAÇÃO DAS MATRIZES DE MASSA E RIGIDEZ DO SISTEMA 
 
 Para o cálculo das equações do movimento e das matrizes de massa e rigidez do 
sistema será utilizada a Equação de Lagrange. Sabe-se que a equação do movimento para 
um sistema conservativo é dada pela equação de Lagrange: 
 
𝜕
𝜕𝑡
(
𝜕𝐿
𝜕�̇�
) =
𝜕𝐿
𝜕𝑞
 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
(7) 
(8) 
(9) 
sendo 𝐿 o Lagrangiano, 𝑞 o vetor posição para uma coordenada generalizada e �̇� a 
derivada de 𝑞 em relação ao tempo. 
 Sabe-se também que o Lagrangiano é dado pela diferença entre a Energia Cinética 
(T) e a Energia Potencial (U), ou seja: 
 
𝐿 = 𝑇 − 𝑈 
É dado que: 
𝑇 =
1
2
𝐼�̇�2 
𝑈 =
1
2
𝑘(𝜃1 − 𝜃2)
2 
 
sendo I o momento de inércia do eixo e k a rigidez do eixo. Logo, a energia cinética e 
potencial do sistema é: 
𝑇𝑠𝑖𝑠𝑡 =
1
2
(𝐼1�̇�1
2 + 𝐼2�̇�2
2 + 𝐼3�̇�3
2 + 𝐼4�̇�4
2 + 𝐼5�̇�5
2) 
𝑈𝑠𝑖𝑠𝑡 =
1
2
[𝑘1(𝜃1 − 𝜃2)
2 + 𝑘2(𝜃2 − 𝜃3)
2 + 𝑘3(𝜃4 − 𝜃5)
2] 
Da relação de velocidades entre as engrenagens 3 e 4 resulta que �̇�4 = −𝑛�̇�3. Portanto: 
𝑇𝑠𝑖𝑠𝑡 =
1
2
(𝐼1�̇�1
2 + 𝐼2�̇�2
2 + 𝐼3�̇�3
2 + 𝐼4𝑛
2�̇�3
2 + 𝐼5�̇�5
2) 
𝑈𝑠𝑖𝑠𝑡 =
1
2
[𝑘1(𝜃1 − 𝜃2)
2 + 𝑘2(𝜃2 − 𝜃3)
2 + 𝑘3(−𝑛𝜃3 − 𝜃5)
2] 
Substituindo os valores de 𝑇𝑠𝑖𝑠𝑡 e 𝑈𝑠𝑖𝑠𝑡 na Eq. (2), resulta: 
𝐿 =
1
2
[𝐼1�̇�1
2 + 𝐼2�̇�2
2 + 𝐼3�̇�3
2 + 𝐼4𝑛
2�̇�3
2 + 𝐼5�̇�5
2 + 𝑘1(𝜃1 − 𝜃2)
2 + 𝑘2(𝜃2 − 𝜃3)
2
+ 𝑘3(−𝑛𝜃3 − 𝜃5)
2] 
Fazendo, 
 
𝑞 = [
𝜃1
𝜃2
𝜃3
𝜃5
] 
 
a Eq. (1) resulta em um sistema de quatro equações que foram calculadas com o auxílio 
do software Maple, cujo programa desenvolvido pode ser encontrado no apêndice A. 
Segue o sistema de equações encontrado: 
(10) 
(11) 
(12) 
(13) 
𝐼1�̈�1 + 𝑘1𝜃1 − 𝑘1𝜃2 = 0 
𝐼2�̈�2 − 𝑘1𝜃1 + (𝑘1 + 𝑘2)𝜃2 − 𝑘2𝜃3 = 0 
(𝐼3 + 𝑛
2𝐼4)�̈�3 − 𝑘2𝜃2 + (𝑘2 + 𝑛
2𝑘3)𝜃3 − 𝑛𝑘3𝜃5 = 0 
𝐼5�̈�5 − 𝑛𝑘3𝜃3 + 𝑘3𝜃5 = 0 
 
O sistema pode ser escrito da forma [𝑀]�̈� + [𝐾]𝜃 = 0, sendo [𝑀] a matriz de 
massas e [𝐾] a matriz de rigidez do sistema. Logo, tem-se: 
[𝑀] = [
𝐼1
0
0
0
0
𝐼2
0
0
0
0
𝐼3 + 𝑛
2𝐼4
0
0
0
0
𝐼5
] 
[𝐾] = [
𝑘1
0
0
0
−𝑘1
𝑘1 + 𝑘2
−𝑘2
0
0
−𝑘2
𝑘2 + 𝑛
2𝑘3
−𝑛𝑘3
0
0
−𝑛𝑘3
𝑘3
] 
 
3 – DETERMINAÇÃO DAS FREQUÊNCIAS NATURAIS DO SISTEMA 
 
Sendo 𝜔𝑛 as frequências naturais do sistema, tem-se que: 
[𝐾] − 𝜔𝑛
2[𝑀] = 0 
Multiplicando e Eq. (12) por [𝑀]−1 , resulta: 
[𝑀]−1[𝐾] − 𝜔𝑛
2[𝐼] = 0 
Definindo 𝐴 = [𝑀]−1[𝐾] e sendo 𝜆 os autovalores de 𝐴, observa-se que 𝜔𝑛 =
√𝜆. Para o cálculo das frequências naturais, são dados do problema: 
 
𝑛 = 3 
𝐼1 = 0,24811 𝑘𝑔. 𝑚
2 
𝐼2 = 0,11965 𝑘𝑔. 𝑚
2 
𝐼3 = 0,94203 𝑘𝑔. 𝑚
2 
𝐼4 = 0,01938 𝑘𝑔. 𝑚
2 
𝐼5 = 0,08974 𝑘𝑔. 𝑚
2 
𝑘1 = 𝑘2 = 1,5733 × 10
5𝑁/𝑚 
𝑘3 = 1,1800 × 10
5𝑁/𝑚 
 
(14) 
(15) 
(16) 
Foi utilizado o programa MATLAB para o cálculo das frequências naturais 
(apêndice B). Foram encontrados os valores: 
Ω𝑛1 = 0 
Ω𝑛2 = 90,50 𝐻𝑧 
Ω𝑛3 = 238,21 𝐻𝑧 
Ω𝑛4 = 280,56 𝐻𝑧 
Observe que a frequência de operação do sistema, Ω𝑜 = 260 𝐻𝑧, se encontra entre 
a terceira e a quarta frequência natural e seu valor é próximo Ω𝑛4, ou seja, o sistema possui 
um nível de vibração elevado. Nota-se que a primeira frequência natural é nula, isso deve 
ao fato de ser um sistema com vibração livre sem referencial fixo. 
 
4 – OTIMIZAÇÃO DO TREM DE ENGRENAGENS 
 
 Nesta seção é proposto um projeto de otimização, cujo objetivo é fazer com que a 
frequência natural de operação fique distante das frequências naturais de vibração. Como 
a matriz de massa do sistema não varia, já que as engrenagens não podem ser modificadas, 
deve-se variar a matriz de rigidez [K]. Nota-se que essa matriz varia com o tamanho dos 
eixos (L) e com o raio de cada eixo (𝑅𝑖). Uma vez que o tamanho dos eixos é constante, 
as variáveis de projeto são os raios de cada um dos eixos: 𝑅1, 𝑅2 e 𝑅3. 
 As constantes de rigidez de cada eixo podem ser escritas em função do momento 
polar J: 
𝑘 =
𝐺𝐽
𝐿
 
sabe-se que o momento polar de área de um eixo de seção circular é dado por: 
𝐽 =
𝜋𝑅4
2
 
Substituindo a Eq. (15) na Eq. (14) é obtida uma expressão da rigidez do eixo em função 
do raio: 
𝑘 =
𝐺𝜋𝑅4
2𝐿
 
As restrições de projeto são: 
(1) 𝑅𝑖 ≥ (
2𝑃
𝜋Ω𝑜𝜏max
)
1
3
 
(2) 𝑅𝑖 < 0,0335 
(17) 
(18) 
(3) Ω𝑛3 < 200 𝐻𝑧 
 
sendo i=1,2,3, 𝑃 = 22,05 𝑊 (potência do motor) e 𝜏max = 9 × 10
6 𝑘𝑔𝑓/𝑚² (tensão de 
cisalhamento admissível). 
 Para otimizar o problema, deve-se maximizar a distância entre a frequência de 
operação e a frequência natural mais próxima, o que é a mesma coisa que minimizar o 
inverso dessa função. Sendo assim, a função objetivo é dada por: 
𝑆 =
1
min(Ω𝑜 − Ω𝑛)2
 
Para atender a terceira restrição, caso o valor da terceira frequência natural calculada seja 
maior que 200 Hz, a função a ser minimizada é: 
𝑆 = (Ω𝑛3 − 100)
2
 
Para otimizar o problema foi utilizada a função fmincon do MATLAB. Os raios 
obtidos para o sistema otimizado foram: 
𝑅1 = 0,0253 𝑚 
𝑅2 = 0,0195 𝑚 
𝑅3 = 0,0137 𝑚 
Utilizando os raios obtidos, as novas frequências naturais de vibração são: 
Ω𝑛1 = 0 
Ω𝑛2 = 93,71 𝐻𝑧 
Ω𝑛3 = 139,14 𝐻𝑧 
Ω𝑛4 = 933395 𝐻𝑧 
Nessa nova configuração do trem de engrenagens, a frequência de operação se 
encontra longe das frequências naturais do sistema os raios estão dentro dos limites 
aceitáveis de projeto. 
 
 
APÊNDICE A 
 
 Neste apêndice é apresentado o código que calcula simbólicamente as equações 
do movimento para o sistema composto pelo trem de engrenagens, usando o software 
Maple. 
 
> 
> 
 
> 
 
> 
 
> 
> 
> 
 
 
 
 
 
 
APÊNDICE B 
 
 Neste apêndice encontra-se o código desenvolvido no software MATLAB para o 
cálculo das frequências naturais do sistema e para determinar os raios dos eixos do 
sistema otimizado. 
 
clear 
clc 
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 
% UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA 
%% IEM - INSTITUTO DE ENGENHARIA MECANICA 
% 
%ALUNO: Rodrigo Dourado 
% 
% 
% 
%O programa calcula as frequencias naturais de um sistema que consiste 
num% 
%trem de engrenagens com 4 graus de liberdade e na sequencia realiza 
sua % 
%otimizacao 
% 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%% 
 
%% Dados 
 
n=3; 
I1=0.24811; 
I2=0.11965; 
I3=0.94203; 
I4=0.01938; 
I5=0.08974; 
k1=1.5733*10^5; 
k2=k1; 
k3=1.18*10^5; 
G=79.3*10^9; 
tau=9*10^6; 
rho=7800; 
L=0.1267; 
P=22.05*10^3; 
 
Fo=260; 
wo=260*2*pi; 
 
M=[I1 0 0 0;0 I2 0 0;0 0 I3+n^2*I4 0;0 0 0 I5]; 
K=[k1 -k1 0 0;-k1 k1+k2 -k2 0;0 -k2 k2+n^2*k3 n*k3;0 0 n*k3 k3]; 
 
%% Determinacao das frequencias naturais do sistema 
 
wn=eig(M^-1*K); 
wn(1)=abs(wn(1)); 
wn(2:4)=sqrt(wn(2:4)); 
Fn=sort(wn/(2*pi)); 
 
%% Problema de otimizacao 
 
R0=(2*L/(pi*G)*[k1 k2 k3]).^(1/4); 
R0=R0'; 
A=[1 0 0;0 1 0;0 0 1;-1 0 0;0 -1 0;0 0 -1]; 
b=(2*P/(pi*wo*tau))^(1/3); 
B=[0.0335;0.0335;0.0335;-b;-b;-b]; 
rantes=R0; 
Rotm=fmincon(@minimizacao,R0,A,B); 
raio=Rotm; 
erro=min(abs(raio-rantes)); 
R0=raio; 
 
%% Calculo das Frequencias Naturais do sistema OTIMIZADO 
 
k=pi*G*raio.^4/(2*L); 
K=[k(1) -k(1) 0 0;-k(1) k(1)+k(2) -k(2) 0;0 -k(2) k(2)+k(3)*n^2 -
n*k(3);0 0 -n*k(3) k(3)]; 
wn=eig(M^-1*K); 
wn(1)=abs(wn(1)); 
wn(2:4)=sqrt(wn(2:4)); 
Fn2=sort(wn/(2*pi)); 
 
%% Apresentacao dos resultados 
 
fprintf('\nRaio Original (m):\n\n%.4f\n%.4f\n%.4f',rantes); 
fprintf('\n\nFrequencias naturais do sistema original (Hz): 
\n\n%.0f\n%.2f\n%.2f\n%.2f',Fn); 
fprintf('\n\nRaio Otimizado (m):\n\n%.4f\n%.4f\n%.4f',raio); 
fprintf('\n\nFrequencias naturais do sistema otimizado (Hz): 
\n\n%.0f\n%.2f\n%.2f\n%.2f\n\n',Fn2); 
 
function Rotimo=minimizacao(R) 
 
n=3; 
I1=0.24811; 
I2=0.11965; 
I3=0.94203; 
I4=0.01938; 
I5=0.08974; 
G=79.3*10^9; 
L=0.1267; 
Fo=260; 
 
M=[I1 0 0 0;0 I2 0 0;0 0 I3+I4*n^2 0;0 0 0 I5]; 
k=pi*G*R.^4/(2*L); 
K=[k(1) -k(1) 0 0;-k(1) k(1)+k(2) -k(2) 0;0 -k(2) k(2)+k(3)*n^2 -
n*k(3);0 0 -n*k(3) k(3)]; 
Wn=sqrt(eig(inv(M)*K)); 
F=Wn./(2*pi); 
S=1/min(Fo-F).^2; 
F=sort(F); 
if F(3)>200 
 S=(F(3)-100)^2; 
end 
Rotimo=S; 
end