Exercicios-Otimiz-Nova-Versao

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Lista de Exercícios de Modelagem de Otimização 
 
1 – Sabe-se que uma pessoa necessita, em sua alimentação diária, de um mínimo de 15 unidades de 
proteínas e 20 unidades de carboidratos. Suponhamos que, para satisfazer esta necessidade, ela 
disponha dos produtos A e B. Um Kg do produto A contém 3 unidades de proteínas, 10 unidades de 
carboidrato e custa R$ 2,00. Um Kg do produto B contém 6 unidades de proteínas, 5 unidades de 
carboidrato e custa R$ 3,00. Que quantidade deve-se comprar de cada produto de modo que as 
exigências da alimentação sejam satisfeitas a custo mínimo? (Prado, 1999) 
 
2 – Uma empresa adquire petróleo para produção de gasolina comum, gasolina especial e óleo 
diesel. Ela necessita manter em seus tanques, no início de cada semana, um estoque mínimo de 
produtos. A tabela abaixo mostra, para uma determinada semana, as composições, disponibilidades 
e estoques mínimos. Construir um modelo de forma a gerar uma produção a custo mínimo. (Prado, 
1999) 
 
 Petróleo A Petróleo B Estoque mínimo (barris) 
Gas.Comum (%) 10 60 200 
Gas. Especial (%) 20 30 50 
Óleo diesel (%) 70 10 100 
Disponibilidade (barris) 200 300 
Custo (R$) 10,00 15,00 
 
3 – Uma pequena fábrica de papel-toalha manufatura três tipos de produto: A, B e C. A fábrica 
recebe o papel em grandes rolos. Ele é cortado, dobrado e empacotado. Dada a pequena escala da 
fábrica, o mercado absorve qualquer produção a um preço constante. O lucro unitário de cada 
produto é, respectivamente R$ 1,00, R$ 1,50 e R$ 2,00. O quadro abaixo identifica o tempo 
requerido para operação (em horas) em cada seção da fábrica, bem como a quantidade de máquinas 
disponíveis. Desenvolver um modelo de forma a maximizar o lucro semanal da empresa. 
(Prado,1999). 
 
Seção Produto A Produto B Produto C Qtde. Máquinas 
Corte 8 5 2 3 
Dobra 5 10 4 10 
Empacotamento 0,7 1 2 2 
 
4 - Uma empresa de mineração possui 2 minas e 3 usinas sendo que o custo de transporte do 
minério de cada mina a cada usina variável conforme a distância. As minas têm limitações nas 
capacidades de produção e as usinas têm requisições mínimas de minério para manter suas 
produções. Os dados do problema são mostrados na tabela abaixo. Construir um modelo que 
descreva o transporte de minério para as usinas de modo a minimizar o custo total de transporte. 
(Pinto, 2001) 
 
Dados das minas e usinas 
 Usina 1 Usina 2 Usina 3 Cap. max (t/mês) 
Mina 1 9 16 28 103000 
Mina 2 14 29 19 197000 
Qmin (t/mês) 71000 133000 96000 
 
 
5 - Uma empresa siderúrgica possui 3 usinas e cada uma delas requer uma quantidade mensal 
mínima de minério para operar. A empresa compra minério de 2 minas diferentes. Cada uma das 
minas tem uma capacidade máxima de produção mensal estabelecida. O custo do minério para a 
empresa é variável de acordo com a distância entre as minas e usinas (cada par mina/usina tem um 
custo diferente). Os dados referentes à capacidade máxima de produção das minas, requisições 
mínimas de minério para as usinas e custos de transporte entre minas e usinas são mostrados na 
tabela abaixo. Por questões técnicas, a usina 1 deve comprar no mínimo 20% de minério da mina 1, 
a usina 2 deve comprar no mínimo 30% da mina 2 e a usina 3 deve comprar no mínimo 35% da 
mina 1. Posto isso, construir um modelo de otimização para determinar a quantidade de minério a 
ser comprada de cada mina e levada a cada usina de forma a minimizar o custo total de compra de 
minério. (Pinto, 2001) 
 
Mina / Usina Usina 1 Usina 2 Usina 3 Cap. das Minas (t/mês) 
Mina 1 8 9 15 30000 
Mina 2 7 16 23 25000 
Req. das usinas (t/mês) 15000 17000 19000 
 
6 - Uma mineradora possui um pátio onde são formadas 10 pilhas de minério. Cada uma destas 
pilhas possui massa conhecida, bem como os teores das variáveis de controle ferro, fósforo, alumina 
e sílica, conforme mostrado na tabela abaixo. A mineradora fornece minério a uma usina que 
especifica a qualidade requerida para a alimentação de seus fornos, informando os teores mínimo e 
máximo para cada uma das variáveis de controle. Desenvolver um modelo de otimização para 
determinar qual o máximo de produto pode ser obtido com a blendagem destas pilhas atendendo as 
especificações de qualidade impostas pela usina. 
O material é retirado das pilhas utilizando uma carregadeira cuja caçamba tem uma capacidade de 
1200 Kg. Logo, o valor a ser retirado de cada pilha deve ser múltiplo de 1200, para se evitar 
caçambadas fracionárias. (Pinto, 2001) 
 
Dados das pilhas de minério 
Pilha Fe P Al2O3 SiO2 
Massa 
(t) 
1 62,24 0,051 1,17 7,42 12500 
2 64,55 0,059 1,25 3,56 13750 
3 58,81 0,043 0,94 13,93 25000 
4 59,45 0,048 0,98 12,22 35000 
5 64,62 0,071 1,68 3,06 81000 
6 62,37 0,042 1,03 7,95 17560 
7 63,72 0,052 1,16 5,17 26800 
8 66,89 0,041 1,4 1,46 3600 
9 62,06 0,047 1,09 8,48 9400 
10 58,75 0,035 1,03 6,05 15000 
Lim Min 61 0,032 1,01 4,5 
Lim 
Max 100 0,048 1,35 8,5 
 
7 - Uma mineração faz o seu planejamento semanal, colocando um total de 6 frentes de minério (1 
até 6) e 4 de estéril (7 até 10) disponíveis para a lavra, informando os teores das variáveis de 
controle (tvi = teor da variável v na frente i). Desenvolva um modelo de otimização para maximizar 
a produção da mina (minério + estéril) e determinar qual deve ser a produção de cada frente, 
levando-se em consideração que: 
A empresa possui 5 equipamentos de carga (2 escavadeiras e 3 carregadeiras). As carregadeiras 
(equipamentos 1,2 e 3) trabalham no minério e as escavadeiras (equipamentos 4 e 5) trabalham no 
estéril. 
A produção máxima das carregadeiras é de 900 t/h 
A produção máxima das escavadeira é de 750 t/h 
Por questões estratégicas, para cada carregadeira deve ser estipulada uma produção mínima de 250 
t/h e para a escavadeira de 380 t/h. 
A produção mínima da mina deve ser de 1500 t/h de ROM. 
A relação estéril / minério mínima deve ser de 0,3. 
A qualidade do ROM deve estar dentro dos limites especificados para cada variável. O teor mínimo 
do ROM para cada variável v de ser Tminv e o máximo Tmaxv. Os dados dos terrores das frentes de 
lavra e dos limites encontram-se na tabela abaixo. 
(Pinto, 2001). 
Obs: Para facilitar a modelagem do problema crie a variável binária Xji que informa se o 
equipamento de carga j (1 a 5) trabalha na frente i (1 a 10) ou não, isto é, Xji=1 ou Xji=0, 
respectivamente. 
 
 Dados dos teores das frentes e seus limites 
Frente Fe P Al2O3 SiO2 
1 62,24 0,051 1,17 7,42 
2 64,55 0,059 1,25 3,56 
3 58,81 0,043 0,94 13,93 
4 59,45 0,048 0,98 12,22 
5 64,62 0,071 1,68 3,06 
6 62,37 0,042 1,03 7,95 
7 0 0 0 0 
8 0 0 0 0 
9 0 0 0 0 
10 0 0 0 0 
Lim Min 61 0,032 1,01 4,5 
Lim Max 66 0,053 1,35 8,5 
 
Referências Utilizadas: 
 
Pinto, L. R. – Notas de Aula de Pesquisa Operacional Aplicada à Mineração, 2001. 
 
Prado, D. S. – Programação Linear – Editora DG, 1999.