Exercícios de revisão - P2 - Derivadas

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EXERCÍCIOS DE REVISÃO – P2 
 
1) Determine a derivada de cada função aplicando as regras de diferenciação: 
a) 
  13 35  xxxf
 n) 
 26sen4 xy 
 
b) 
  6
52
510

xx
xf
 o) 
   xxh cos
 
c) 
 
tt
tf
43
2

 p) 
   ttg 3sen4
 
d) 
 
23
2
5
2
tt
tf 
 q) 
    2sencos xxf 
 
e) 
3
2
2
x
x
y 
 r) 
   53cotg ttg 
 
f) 
    





 1
2
83
x
xxf
 s) 
  




  1cossec 2xxf
 
g) 
23
12
2
2



xx
xx
y
 t) 
   xxf 5sec1
 
h) 
   x.xxg sen
 u) 
     tttf 7tg7sec 22 
 
i) 
 
 x
x
y
sen21
cos


 v) 
 x
x
y
5sec1
2


 
j) 
   1025 xxf 
 w) 
    7412 2  yyyf 
k) 
 
1
1
2 

x
xf
 x) 
 
13
72



x
x
xf
 
l) 
     322 3573 tttg  
y) 
 
56
5
x
xf 
 
m) 
 
2
3
2
13
12











t
t
tg
 z) 
 
x
xxf
5
4 
 
2) Se 
2
2 12
x
xy 
 determine 
3
3
dx
yd . 
3) Encontre 
 1''f
 para 
 
23
12



x
x
xf
. 
4) Encontre as derivadas primeira e segunda da função definida por 
  12  xxf
. 
5) Uma partícula está se movendo ao longo de um eixo, de acordo com a função 
  44 24  ttts
, 
s em metros e t em segundos. Encontre: 
a) as funções velocidade e aceleração; 
b) a velocidade e a aceleração no instante em que 
2
1
t
 segundo. 
6) Uma partícula está se movendo ao longo de um eixo, de acordo com a função 
  345 2  ttts
, s em metros e t em segundos. Encontre: 
a) as funções velocidade e aceleração; 
b) a velocidade e a aceleração no instante em que 
1t
 segundo. 
7) O deslocamento de uma partícula sobre uma corda vibrante é dado pela equação 
   tts  10sen
4
1
10
 onde s é medido em centímetros e t em segundos. Encontre: 
a) a velocidade e a aceleração instantâneas; 
b) a velocidade e a aceleração no instante em que 
7
1
t
 segundo. 
8) Uma partícula move-se ao longo de uma reta de acordo com a equação 
 
1
4
2
1 2


t
t
tts
 , s em 
metros e t em segundos. Encontre a posição e a velocidade da partícula no instante em que a 
aceleração é nula. 
9) a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 
  24 xxf 
 no ponto 
 31,
. 
 b) Faça o gráfico da curva e da reta tangente no mesmo sistema de eixos mostrando a reta 
tangente no ponto. 
10) a) Encontre as equações das retas tangente e normal (perpendicular à reta tangente) ao gráfico 
de 
  xxf 49
 no ponto 
 30,
. 
 b) Faça o gráfico da curva, da reta tangente e da reta normal no mesmo sistema de eixos 
mostrando as retas no ponto. 
11) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 
 xxy sen2
 no ponto em que 
2

x
. 
12) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 
 xy 2cos2
 no ponto 





 
0
4
,
. 
13) Numa pequena comunidade obteve-se uma estimativa que daqui a t anos a população será de 
 
1
5
20


t
tp
 milhares. Daqui a 18 meses, qual será a taxa de variação da população desta 
comunidade? 
14) Um tanque está sendo esvaziado segundo a função 
   230200 ttV 
 onde o volume é dado 
em litros e o tempo em minutos. A que taxa a água escoará após 8 minutos? 
15) Se 
xxy 23 
 e 
5
dt
dx
, encontre 
dt
dy
 quando 
2x
. 
16) Uma bola de neve esférica é formada de tal maneira que seu volume aumenta à razão de 
8 dm
3
/min. Encontre a razão com que o raio é aumentado quando a bola de neve tem 6 dm de 
diâmetro. 
17) Um cilindro é comprimido lateralmente e, ao mesmo tempo, alongado, de forma que o raio da 
base decresce a uma taxa de 4 cm/s e a altura do cilindro aumenta a uma taxa de 5 cm/s. Encontre a 
taxa de variação do volume do cilindro quando o raio da base mede 6 cm e a altura 8 cm. 
18) Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada numa parede vertical. Arrastando-se 
horizontalmente a base da escada, a parte superior desliza ao longo da parede a 2,25 m/s. A que 
velocidade a base da escada é arrastada quando a base encontra-se a 3 m da parede? 
19) Acumula-se areia em um monte de forma cônica, à razão de 10 dm
3
/min. Se a altura do cone é 
sempre igual ao dobro do raio da base, a que razão cresce a altura do monte quando esta é igual a 
8 dm? 
20) Uma escada com 10 pés de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. Se a base da 
escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade de 2 pés/s, quão rápido está variando o 
ângulo entre o topo da escada e a parede quando o ângulo é de 
4

 rad? 
 
RESPOSTAS: 
1) a) 
24 95 xx 
 b) 
495 xx 
 c) 
23
46
tt


 d) 
32 3
22
5
2
tt


 e) 
x
x 2
34
3


 f) 
2
2
34
16
xx
x

 
 g) 
 22
2
23
567


xx
xx
 h) 
   
x
xxx
2
sencos2 
 i) 
 
  2sen21
2sen-
x
x


 j) 
 92520 x
 k) 
 32 1

x
x
 
 l) 
    6360633573 222  tttt
 m)   
 33
242
13
496122


t
tttt
 n) 
 26cos48 xx
 o)  
x
x
2
sen-
 
 p) 
   tt 3cos3sen12 3
 q) 
    22 sensen.cos2 xxx
 r) 
 524 3cossec15 tt
 
 s) 
1
1cotg1cosssec
2
22














x
x.xx t) 
   
 x
x.x
5sec12
5tg5sec5

 u) 0 
 v) 
     
  25sec1
5tg5sec105sec22
x
xxxx


 w) 
14824 2  yy
 x) 
 213
23


x
 y) 
66
25
x

 z) 
32
52
xx

 
2) 
5
24
x

 
3) 
125
42
 
4) 
 
12 

x
x
x'f
 
 
 32 1
1


x
x''f
 
5) a) 
  tttv 84 3 
 
  812 2  tta
 b) 
53
2
1
,v 





m/s 
5
2
1






a
m/s2 
6) a) 
 
34
2
10


t
ttv
 
 
 334
4
10


t
ta
 b) 
  121 v
m/s 
  61 a
m/s2 
7) a) 
   ttv  10cos
2
5
 
   tta  10sen25 2
 b) 
751
7
1
,v 





cm/s 
55240
7
1
,a 





cm/s2 
8) 
52,s 
m 
2v
m/s 
9) a) 
52  xy
 b) 
 
 
 
 
 
 
 
10) a) 
3
3
2


 xy
 
3
2
3
 xy
 b) 
 
 
 
 
 
 
11) 
2 xy
 
12) 
 xy 4
 
13) 800 pessoas/ano 
14) –8800 L/min 
15) 70 
16) 0,07 dm/min 
17) –640,88 cm3/min 
18) 3m/s 
19) 0,1989 dm/min 
20) 0,2828 rad/s